湖南省郴州市2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷 含解析

郴州市年下学期期末教学质量监测试卷高一数学（试题卷）注意事项：．本试卷分试题卷和答题卡．试题卷共6页，有四道大题，共道小题，满分分．考试时间分钟．．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置．．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试题卷上答题无效．考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．．考试结束后，将答题卡小号在上，大号在下，装袋密封上交．一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.已知集合，则（·）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先得到，根据并集概念求出答案.【详解】，又，故.故选：B2.已知实数满足，，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用不等式性质得到，得到答案.【详解】，又，故，即.第1页/共18页故选：D3.已知，则是（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据推出关系得到答案.【详解】，但，故是的充分不必要条件.故选：B4.已知，则的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】变形得到，由指数函数单调性，对数函数单调性及中间值比较出大小.【详解】，又，在R上单调递增，故，即，所以.故选：A5.函数的单调递增区间是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到递增区间.第2页/共18页【详解】的图象如下：显然的单调递增区间为.故选：D6.已知，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式和二倍角公式得到答案.【详解】故选：A7.已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】画出函数图象，数形结合得到，得到答案.【详解】画出的图象，第3页/共18页显然当时，方程恰有三个不同的实数解，C正确，ABD错误.故选：C8.已知函数为上的奇函数，且，当时，，则的值为（）A.B.0C.D.1【答案】C【解析】【分析】首先利用奇函数的性质求出的值，再根据已知条件推出函数的周期，然后将所求的通过周期转化到已知区间上进行计算.【详解】因为函数是上的奇函数，那么.已知当时，，所以，解得.此时.已知，则.用代替可得：.所以，这表明函数的周期.因为，所以.由可得.又因为是奇函数，所以.第4页/共18页当时，，则，所以.因为，所以.那么.所以的值为.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得09.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BC【解析】【分析】利用不等式的性质，结合作差比较大小的方法，逐项判断即得.【详解】对于A，取，，A错误；对于B，若，则，，B正确；对于C，若，，则，C正确；对于D，若，则，则，D错误.故选：BC10.下列说法正确的是（）A.命题“”的否定形式是“”B.函数（且）的图象过定点C.方程的根所在区间为第5页/共18页D.若命题“恒成立”为假命题，则“或”【答案】BCD【解析】【分析】A选项，全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定，A错误；B选项，由对数函数的特征得到图象过定点，B正确；C选项，由零点存在性定理和函数单调性得到C正确；D选项，先得到成立为真命题，由根的判别式得到不等式，求出答案.【详解】A选项，命题“”的否定形式是“”，A错误；B选项，令，故，此时，（且）的图象过定点，B正确；C选项，令，显然其在R上单调递减，又，，故的零点在内，故方程的根所在区间为，C正确；D选项，命题“恒成立”为假命题，则命题“成立”为真命题，故，解得或，D正确.故选：BCD函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）第6页/共18页A.B.C.若上恰好有三个零点，则D.【答案】ACD【解析】AB选项，合得到；C选项，先求出，进而可得到，求出答案；D选项，先求出，结合函数的最小正周期，得到答案.A的最小正周期为A正确；B选项，由图象可知，故，将代入解析式得，即，又，故，解得，B错误；C选项，由B知，，当时，，在上恰好有三个零点，故，解得，C正确；D选项，由A知，的最小正周期为6，第7页/共18页其中，，，，故，所以，D正确.故选：ACD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共分）12.已知幂函数为偶函数，则___________．【答案】【解析】【分析】根据函数为幂函数得到方程，求出或，检验后得到不合要求，得到答案.【详解】根据幂函数定义知，，解得或，当时，，为奇函数，不合要求，当时，，定义域为，故，满足为偶函数，满足要求.故答案为：13.将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象，则的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】根据左加右减得到平移后的解析式，得到方程，求出，得到最小值.第8页/共18页【详解】的图象向左平移个单位后，得到，从而，解得，又，故当时，取得最小值，最小值为.故答案：14.已知函数，且，则的取值范围为___________．【答案】【解析】【分析】首先构造一个新函数，利用其奇偶性和单调性来解决不等式问题【详解】设.证明是奇函数：，则.根据对数运算法则，可得.由于.所以，即，所以是奇函数.证明是增函数：在上单调递增,在上单调递增则在上单调递增,又因为对数函数在异减的原则，在上单调递增.又是奇函数，故在上单调递增.已知，即，也就是.因为是奇函数，所以.因为在上单调递增，，所以.移项可得，即，解得.第9页/共18页故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.已知集合．（1）若，求实数的取值范围；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）或；（2）或【解析】1）分和两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围；（2）分和，得到不等式，求出答案.【小问1详解】，当时，，解得，当时，，解得，综上，实数的取值范围为或；【小问2详解】，当时，，解得，当时，或，解得或，故实数的取值范围为或.16.已知．第10页/共18页（1）求的最小正周期与单调递增区间；（2）已知，角的终边与单位圆交于点，求．【答案】（1）最小正周期为，单调递增区间为；（2）【解析】1求出单调递增区间；（2）根据及求出，结合三角函数定义得到，由余弦二倍角公式求出答案.【小问1详解】，故的最小正周期为，令，，解得，，故单调递增区间为【小问2详解】，即，因为，所以，故，解得，第11页/共18页角的终边与单位圆交于点，故，所以.17.某地开展乡村振兴计划，鼓励村民返乡创业.老李响应政府号召，打算回家乡种植某种水果．经调研发现该果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本（如树苗费、人工费等）720元/卖完，记该果树的单株利润为（1）求的值及函数的解析式；（2）当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1），；（2）故当单株施肥量为4千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是400元.【解析】1）由题意得到，解得，并分和两种情况，得到的解析式；（2）分和两种情况，由函数单调性和基本不等式求出最大值，比较后得到结论.【小问1详解】已知单株施肥量为7千克时，产量为千克，故，解得，，第12页/共18页当时，，当时，，故；【小问2详解】当时，，对称轴为，开口向上，故当时，取得最大值，最大值为，当时，，由基本不等式得，故，当且仅当，即时，等号成立，由于，故当单株施肥量为4千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是400元.18.已知为偶函数．（1）求；（2）设，对，都有成立，求的取值范围．【答案】（1）（2）第13页/共18页【解析】1）根据函数为偶函数，得到，化简得到，求出；（2）只需在上的最大值小于等于在上的最小值，求出的最小值为，并分，和三种情况，得到的最大值，得到不等式，求出答案.【小问1详解】因为为偶函数，所以，即，即，其中，故，解得；【小问2详解】对，都有成立，只需在上最大值小于等于在上的最小值，其中，由复合函数性质得在上单调递增，故最小值为，开口向下，对称轴，当时，在上单调递减，最大值为，故，解得，结合与可得；当时，在上单调递增，在上单调递减，故最大值为，故，解得，第14页/共18页结合与可得，当时，在上单调递增，故最大值为，故，解得，结合和，此时无解，综上，的取值范围为.【点睛】关键点点睛：第二问需先转化为在上的最大值小于等于在上的最小值，再进一步进行求解19.若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使得成立，则称该函数是“依赖函数”．（1）判断是否是“依赖函数”，并说明理由；（2）若在定义域上是“依赖函数”，求的值；（3）已知函数中在定义域上是“依赖函数”，记，若的解集中恰有两个整数，求实数的取值范围．【答案】（1）不是“依赖函数”，理由见解析；（2）（3）或【解析】1）举出反例，得到不是“依赖函数”；（2）整体法得到，，在定义域上单调递增，且第15页/共18页，从而得到，求出；（3）当时，，举出反例得到在定义域上不是“依赖函数”，当时，在上单调递增，要想在定义域上是“依赖函数”，需满足，解得，再分，和三种情况，由的解集中恰有两个整数，得到的取值范围.【小问1详解】不是“依赖函数”，理由如下：当时，，则，故，解得，所以不是“依赖函数”；【小问2详解】时，，显然，解得，在定义域上单调递增，且，由题意得，当时，，要想满足存在唯一的使得，则，，解得；【小问3详解】当时，，第16页/共18页故对于，不存在，使得，在定义域上不是“依赖函数”，当时，在上单调递增，要想在定义域上是“依赖函数”，需满足，即，解得（舍去）或0，故，若，则的解集为，的解集中恰有两个整数，故，若，此时的解集为，不合要求，若，则