专题06 二次函数中的存在性问题专训（解析版）

专题06二次函数中的存在性问题专训【题型目录】题型一二次函数中直角三角形的存在性问题题型二二次函数中等腰三角形的存在性问题题型三二次函数中等腰直角三角形的存在性问题题型四二次函数中特殊角度的存在性问题题型五二次函数中平行四边形的存在性问题题型六二次函数中矩形的存在性问题题型七二次函数中菱形的存在性问题题型八二次函数中正方形的存在性问题【经典例题一二次函数中直角三角形的存在性问题】【例1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．

(1)求抛物线的解析式：(2)证明：为直角三角形：(3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)见解析(3)存在，【分析】（1）将、、的坐标代入抛物线解析式，求解即可；（2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形；（3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标．【详解】（1）解：与轴交于、两点，与轴交于点，，解得：，抛物线的解析式为；（2）解：、、，，，，，，则，是直角三角形；（3）解：存在，当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为，，把代入得：，，．点坐标为．

【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点间的距离公式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023·陕西西安·统考三模）二次函数的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点，其中点坐标为，且．(1)求二次函数表达式；(2)抛物线上是否存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的表达式为：(2)存在，点的坐标为：或【分析】（1）先求出点、、的坐标，再利用用待定系数法即可求解；（2）是以为直角边的直角三角形，则存在为直角和为直角两种情况，当为直角时，得到直线的表达式为：，即可求解；当为直角时，同理可解．【详解】（1）解：由点的坐标知，，则，即点、、的坐标分别为：、、，则抛物线的表达式为：，把代入，则，∴，则抛物线的表达式为：；（2）解：存在，理由：是以为直角边的直角三角形，则存在为直角和为直角两种情况，当为直角时，如图，

由点、的坐标知，和轴负半轴的夹角为，即，则，而点，∴设直线的表达式为：，将点的坐标代入上式并解得：，故直线的表达式为：，联立得：，解得：（不合题意的值已舍去），则点；当为直角时，同理可得，直线的表达式为：，联立并解得：（不合题意的值已舍去），即点的坐标为：；综上，点的坐标为：或．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数和二次函数的性质、直角三角形的性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）已知抛物线与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点．(1)求抛物线的表达式及顶点坐标；(2)将抛物线沿y轴方向向上平移k个单位（），平移后抛物线的顶点为点P，且点P在x轴下方，是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，当以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形时，k值为2或3【分析】（1）根据抛物线与y轴的交点求出c，得到抛物线的表达式，进而求出顶点坐标；（2）点P在直线上运动，分和两种情况，分别求出点P的坐标即可求出k的值．【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，，抛物线的函数表达式为，抛物线的对称轴为直线，令，解得，则抛物线的顶点坐标为．（2）解：存在．由（1）得，抛物线的函数表达式为，顶点D的坐标为，对称轴为直线．抛物线沿y轴方向向上平移，点P在直线上运动．点P在x轴下方，，若要使为直角三角形，则分以下两种情况讨论：①当时，如图①，

设直线与x轴交于点E，则，令，则，解得或，点A在点B的左侧，，，，，，，，，，将抛物线沿y轴方向向上平移2个单位即可，；②当时，如图②，

设，，，，，则，即，化简得，解得（舍去），．将抛物线沿y轴方向向上平移3个单位即可，．综上所述，当以B，C，P为顶点的三角形为直角三角形时，k值为2或3．【点睛】本题考查二次函数图象中特殊三角形的存在性问题，待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，熟练运用数形结合思想，注意分情况讨论．3．（2023·江苏南京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，直线经过B，C两点，已知，，且．

(1)试求出点B的坐标．(2)分别求出直线和抛物线的解析式．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，(3)存在，或或或【分析】（1）由，，可由勾股定理求，进而得点B坐标；（2）用待定系数法即可求解函数解析式；（3）设点P坐标为，分三类讨论：①当时；②当时；③当时，分别建立勾股定理方程求解点P坐标即可．【详解】（1）解：∵点，即．∵，在中，根据勾股定理得，即点B坐标为．（2）把分别代入中，得，解得．∴直线解析式为；把、、分别代入得，解得．∴抛物线的解析式是．（3）在抛物线的对称轴上存在点P，使得以三点为顶点的三角形是直角三角形，理由如下：∵抛物线的解析式是，∴抛物线对称轴为直线．设点P坐标为．①当时，有．∵，，，∴，解得：，故点；②当时，有．∵，，，∴，解得：，故点；③当时，有．∵，，，∴．解得：，，∴，．综上所述，使得为直角三角形的点P的坐标为或或或．【点睛】本题以二次函数为背景，考查了勾股定理及其逆定理，待定系数法求解析式，分类讨论的数学思想，难度不大．第（3）问特别注意分类讨论思想的运用．做到不重不漏．【经典例题二二次函数中等腰三角形的存在性问题】【例2】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线过点A、B，抛物线的对称轴交x轴于点D，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，且．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)在x轴上存在点P，使得为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为或或或．【分析】（1）根据一次函数解析式求出点B、C的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）分三种情况进行讨论：①时；②；③．【详解】（1）解：对于直线，令，即，解得：，令，得，∴，，∵A为x轴负半轴上一点，且，∴．将点A、B的坐标分别代入中，得，解得，∴抛物线的解析式为；（2）解：存在．如图2，由得抛物线的对称轴为直线，∴，∵点P在x轴上，∴设．∵，∴由勾股定理，得：，，，分为三种情况讨论：①当时，，即，解得，，此时点P的坐标为或；②当时，，即，解得，（不符合题意，舍去），此时点P的坐标为；③当时，，即，解得，此时点P的坐标为．综上所述，在x轴上存在点P，使得为等腰三角形，满足条件的点P的坐标为或或或．【点睛】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、待定系数法求二次函数解析式、等腰三角形的定义及两点坐标距离公式，熟练掌握待定系数法和分类讨论思想是解题的关键．【变式训练】1．（2023·云南楚雄·统考三模）如图，抛物线的顶点为D，其图象交x轴于A，B两点，交y轴于点，点B的坐标为．

(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以A，C，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，求出以为腰时点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线解析式为(2)存在，符合条件的点M有3个，其坐标分别为或或【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）设点M的坐标为，分两种情况讨论：①当时；②当时，即可求解．【详解】（1）解：∵抛物线过点，，∴代入得解得∴抛物线解析式为．（2）解：存在；由（1）得：抛物线解析式为，∴对称轴，当时，解得或1，∴点A的坐标为，∵点C坐标为，设点M的坐标为，由勾股定理，得，，，∵为等腰三角形的腰，①当时，即．解得，∴，；②当时，即，解得，∴；综上，符合条件的点M有3个，其坐标分别为或或；【点睛】本题考查了二次函数的综合题，待定系数法求解析式、三角形问题，掌握解题方法是关键．2．（2023·山东菏泽·统考二模）如图，抛物线与轴相交于点，，对称轴是，与轴相交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；(2)点为抛物线对称轴上一动点，当是以为底边的等腰三角形时，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，在第一象限内，抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)点的坐标为(3)存在，点的横坐标为或【分析】（1）由对称轴以及，建立关于，的方程组并求解即可；（2）首先求出、两点坐标，从而确定，因为要满足是以为底边的等腰三角形，则应满足，从而确定直线并平分，即为直线，求其与对称轴的交点即可；（3）过点作轴，交于点，交轴于点，求出直线解析式之后，通过设点坐标，表示出，结合割补法表示出，并求出，即可建立方程求解．【详解】（1）解：由对称轴为直线，得，∵抛物线过点，，解得，抛物线的函数表达式为；（2）解：当时，，点的坐标为，由，得，，点的坐标为，，∵是以为底边的等腰三角形时，有，直线，直线平分，∴直线解析式为，将代入得，点的坐标为；

（3）过点作轴，交于点，交轴于点，设直线的函数表达式为，则，解得，，设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，，，，由，得，解得，，存在，点的横坐标为或．

【点睛】本题考查二次函数综合问题，包括等腰三角形的存在性问题，三角形的面积问题等，掌握二次函数的基本性质，熟练运用割补法求解平面直角坐标系中三角形的面积问题是解题关键．3．（2023·湖北荆州·统考模拟预测）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q，过点P作交x轴于点E，交于点F．(1)求抛物线的解析式：(2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)请用含m的代数式表示线段的长，并求出m为何值时有最大值．【答案】(1)(2)存在，，(3)；【分析】（1）将A，B坐标代入求得a、b的值即可解答；（2）先利用勾股定理计算出，利用待定系数法可求得直线的解析式为，则可设，分类讨论：当、和三种情况，分别列方程求出m，即可得到对应的Q点坐标；（3）过点F作于点G．则轴.再说明为等腰直角三角形，进而说明；然后证明可得，进而得到；再根据题意得到，最后根据二次函数的性质求最值即可【详解】（1）解：将A，B坐标代入得：，解得∴此抛物线的解析式为：．（2）解：存在，理由如下：，设的解析式为，把代入得：，解得：，∴直线的解析式为，设，当时，，解得，（舍去），此时Q点坐标为；当时，，解得（舍去），此时Q点坐标为；当时，，解得（舍去）．综上所述，满足条件的Q点坐标为，．（3）解：过点F作于点G．则轴．∵，∴为等腰直角三角形，∴∴∵，∴，由轴知：．，∴∴，即∴∴，∴，∵轴，点的横坐标为，∴，∴∴∵∴有最大值．∴当时，QF有最大值．【点睛】本题属于二次函数的综合题，主要考查了二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质、会待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质等知识点，理解坐标与图形性质和分类讨论的思想是解答本题的关键．【经典例题三二次函数中等腰直角三角形的存在性问题】【例3】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）已知抛物线：的图象与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点．(1)当时，判断的形状；(2)抛物线与抛物线关于原点中心对称，抛物线与轴相交于点．在轴右侧有一点，使得是等腰直角三角形，并且点在抛物线上，求此时抛物线的解析式．【答案】(1)是等腰直角三角形，理由见解析(2)解析式为或或【分析】（1）根据题意求得抛物线与坐标轴的交点坐标，进而即可求解；（2）根据中心对称的性质得出，根据等腰直角三角形的性质，分类讨论得出点的坐标，然后待定系数法，即可求解．【详解】（1）解：，抛物线：，令，解得：，即，则，令，即，解得：，∴，，∴，∴，又∴是等腰直角三角形

（2）解：由，可知，依题意∵是等腰直角三角形，①当为底边时，点在轴上，∴∴∵在上，∴解得：∴

②当为直角边时，则或，∴或分别代入即，或解得：或∴或，综上所述，解析式为或或，【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023·吉林·统考一模）如图，抛物线与轴交于，两点．直线过点且在第一象限与抛物线相交于点．(1)①求此抛物线的函数解析式；②当时，自变量的取值范围__________；(2)设点的横坐标为，作轴于．①当为等腰直角三角形时，点的纵坐标为________（用含的式子表示）；②在①题的条件下，求出点的坐标．【答案】(1)①；②(2)①或；②【分析】（1）①利用待定系数法即可解决问题；②结合图像的位置即可得到自变量的取值范围；（2）点的横坐标为且在抛物线上，可得点的纵坐标，再根据等腰直角三角形的性质可得，从而可得表示点纵坐标的另一个代数式；②根据在同一直角坐标系中，点的坐标的唯一性可得关于的方程，解方程即可．【详解】（1）解：①∵抛物线与轴交于，两点，∴，解得：，∴抛物线的函数解析式为；②由①知：抛物线的函数解析式为，∵二次项系数，抛物线图像开口向上，与轴交于点，，∴当图像在轴下方，即时，自变量的取值范围为．故答案为：．（2）①∵点在抛物线上，横坐标为，∴点的纵坐标为：，∵轴，．直线过点且在第一象限与抛物线相交于点，∴，∵为等腰直角三角形，∴，∴点的纵坐标为：，综上所述，点的纵坐标为或，故答案为：或；②根据题意，得：，解得：或（不合题意，舍去），当时，，∴．∴点的坐标是．【点睛】本题考查图形与坐标，用待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图像上点的坐标特征，利用图像确定自变量的取值范围，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的应用．根据题意，灵活运用所学知识是解题的关键．2．（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为，B点坐标为，连接．动点P从点A出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为t秒．

(1)求抛物线的表达式；(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？(3)在线段上方的抛物线上是否存在点M，使是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)，最小值为4(3)存在，【分析】（1）利用待定系数法即可求出抛物线解析式；（2）先求出点，则，进一步得到是等腰直角三角形，则，如图①，过点P作轴，垂足为E，则是等腰直角三角形,由题意可知，则，即，又得到，则=，利用二次函数的性质即可得到答案；（3）连接，过点P作轴于点E，过M作，交点于点F，则.先证明，则，则，又，得到点M的坐标为，由点M在上，则，解方程即可得到答案．【详解】（1）解：∵抛物线经过点，则，解得，∴抛物线表达式为；（2）在中令，得，∴，∴

∵，∴，∴，∵∴是等腰直角三角形,，如图①，过点P作轴，垂足为E，则是等腰直角三角形,由题意可知，∴，即，又，

∴，∴===∵当P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，∴，∵,∴当时，四边形的面积取得最小值4；（3）存在，理由如下：如图②，连接，过点P作轴于点E，过M作，交点于点F，则.

∵是等腰直角三角形，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，又，∴点M的坐标为，∵点M在抛物线上，∴，解得，（不合题意，舍去），∴，∴M点的坐标为【点睛】此题考查了二次函数和三角形综合题，用到了待定系数法、全等三角形的判定和性质、二次函数的最值、解一元二次方程等知识，添加适当的辅助线是解决问题的关键．3．（2023·陕西榆林·统考一模）如图，抛物线的顶点坐标为，且与轴交于点、（点在点的右侧），与y轴交于点，点为该抛物线的对称轴上的点．

(1)求该抛物线的函数表达式和点的坐标；(2)在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的函数表达式为；(2)存在，的坐标为或【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法即可求解，令即可求得点的坐标；（2）记抛物线的对称轴与轴的交点为，则，分两种情况：①当点在轴上方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，证明，得，，设，则，代入可得的值，从而求得的坐标；②当点在轴下方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，同理可得的坐标．【详解】（1）解：设抛物线的函数表达式为，将点代入得：，解得，抛物线的函数表达式为，令得：，解得，，；（2）解：存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：记抛物线的对称轴与轴的交点为，则，①当点在轴上方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，如图：

，，，，，，，，，，，，设，则，将代入得：，解得（舍去）或；；②当点在轴下方时，如图点、分别在点的位置，过点作于点，如图：

，，，，，，，，，，，，设，则，把代入得：，解得：（舍去）或，．综上所述，E的坐标为或．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形的性质及应用，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．【经典例题四二次函数中特殊角度的存在性问题】【例4】（2023·江苏苏州·统考二模）如图，已知抛物线M交x轴于与两点，交y轴于点，点在抛物线上运动．(1)求出抛物线的解析式；(2)是否存在点（在上方），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)存在，．【分析】（1）利用待定系数法直接求出抛物线解析式即可；（2）先过点A作垂直于，取，连接交抛物线与点，构建等腰直角三角形，得出，点D作轴，利用全等三角形的性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，与抛物线联立成方程组，解方程组即可得出结论．【详解】（1）设抛物线的解析式为，把，，代入得，，解得，，∴抛物线的解析式为；（2）存在点（在上方），使得；过点A作垂直于，取，连接交抛物线与点，过点D作轴，∵垂直于，∴，∵，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，设直线的解析式为，把，代入，得，解得：，∴，与抛物线联立得：，解得：或，∴，故存在点，使得．【点睛】本题主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，函数图象的交点等知识，解题的关键是能否正确构建等腰直角三角形，得出，从而求解．【变式训练】1．（2023春·广东汕头·九年级统考阶段练习）如图，已知拋物线与轴交于点，，与轴交于点．点是抛物线上一动点，且在直线的下方，过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求抛物线的函数解析式；(2)连接，若，求点的坐标；(3)连接，求四边形面积的最大值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）运用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）如图：过点C作于点F，则，进而得到，则；再由可得，设，则，可确定点P的坐标，最后将点P的坐标代入计算即可解答；（3）如图：设P的坐标为，则，进而得到，,；再根据求出函数解析式，最后根据二次函数的性质求最值即可解答．【详解】（1）解：由拋物线与轴交于点，，与轴交于点则，解得：所以抛物线的函数解析式为．（2）解：如图：过点C作于点F，则∴∴∴.∵∴.设，则.∴.∵点P在抛物线上，∴，解得或(舍去).∴点P的坐标为．（3）解：如图：设P的坐标为，则∴，,∴=∴四边形面积的最大值为．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数图像的性质等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）综合与探究抛物线与轴交于A，两点（点A在点的左侧），与轴交于点．已知点A的坐标为，点的坐标为，是线段上的一个动点，点从点出发沿方向向点A移动，运动速度为每秒2个单位长度，过点作轴的垂线，与抛物线交于点，设点的运动时间为．(1)求抛物线的函数表达式和点的坐标．(2)如图1，当时，作直线，是直线上方抛物线上一点，连接，，是抛物线对称轴上的一个动点．当的面积最大，且是等腰三角形时，请直接写出点的坐标．(3)如图2，连接，，是否存在某一时刻，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)．点的坐标为(2)点的坐标为或或或或(3)存在，【分析】（1）把，代入解析式求解即可得到解析式，再令即可得到答案；（2）当时，求出D点坐标，求出直线解析式，过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，设，表示出，根据面积最大得到点坐标，再结合是等腰三角形分类讨论即可得到答案；（3）过点作，交的延长线于点，过点作轴于点，证明，得到K点坐标，结合列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：把，分别代入，得解得∴抛物线的函数表达式为，当时，．解得，，∴点的坐标为；（2）解：点的坐标为或或或或，当时，，∴．把代入，得，∴点的坐标为，设直线的函数表达式为，把，分别代入，得解得，∴直线的函数表达式为，如解图，过点作轴于点，交直线于点，过点作于点，设，则，∴，∴，∵，，∴当时，的面积最大．当时，，∴点的坐标为，∴，∵，∴抛物线的对称轴为直线，设点的坐标为，∴，，①当时，，∴，解得，②当时，，∴，解得，③当时，，∴，解得，综上所述，点的坐标为或或或或；（3）解：存在，如解图，过点作，交的延长线于点，过点作轴于点，在中，，∴，∴，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∴，∴点的坐标为，设直线的函数表达式为，把，分别代入，得解得，∴直线的函数表达式为，设点的坐标为，∵点在抛物线上，∴，解得，（舍去），∴点的横坐标为，∴；【点睛】本题考查二次函数综合运用中的特殊三角形，特殊角及最大面积题，解题的关键是设出点的坐标根据特殊关系列式求解．3．（2023·青海西宁·统考二模）如图，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，且顶点的坐标为，对称轴与直线交于点，与轴交于点，连接．

(1)求二次函数的解析式；(2)点在上方二次函数图象上，且的面积等于6，求点的坐标；(3)在二次函数图象上是否存在一点，使得？若存在，求出直线与轴的交点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）由题意可设二次函数的解析式为，然后把点A的坐标代入求解即可；（2）由题意可得，则可得直线的解析式为，然后可得，进而问题可求解；（3）由题意可分①当在内部且时，令直线与轴的交点为点，②当在外部，且时，令直线与轴的交点为点，然后根据等腰直角三角形的性质及勾股定理可进行求解．【详解】（1）解：设二次函数的解析式为设二次函数的解析式为，把顶点代入，得，把点代入得：，∴，∴二次函数的解析式为；（2）解：∵，∴，设直线的解析式为，把的坐标代入，得，解得，∴直线的解析式为，∵二次函数的对称轴是直线，∴点的横坐标为，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴点的横坐标为，∴，∴；（3）解：存在，理由如下：∵点坐标为，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∵抛物线的顶点，∴两点关于直线对称，∴点坐标为，①当在内部且时，令直线与轴的交点为点，∵，，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴点的坐标为，∴直线与轴的交点的坐标为；

②当在外部，且时，令直线与轴的交点为点，∵，，∴，即过点作的垂线与抛物线的交点为为则在中，，∴

解得，∴与轴的交点的坐标为，综上所述，直线与轴的交点的坐标为或．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．【经典例题五二次函数中平行四边形的存在性问题】【例5】（2023·陕西西安·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点．

(1)求点、、的坐标；(2)点在坐标平面内，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是以为边且面积为12的平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)存在，或【分析】(1)令，求出y，再令，求出x，即可求出点的坐标；(2)由面积为12可求出P点的横坐标的绝值，然后分类讨论P点横坐标的取值即可得到答案．【详解】（1）在中，令，则，．令．则，解得，．，．（2），，由题意知，即，．当时，，；当时，，．故在抛物线上存在点P，使得以为顶点的四边形是以为边且面积为12的平行四边形，点P的坐标为或．

【点睛】本题是二次函数在综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，平行四边形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．【变式训练】1．（2023·陕西咸阳·统考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．连接，，．

(1)求抛物线的解析式；(2)若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使得以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)抛物线的解析式为(2)存在满足条件的点的坐标有，，．【分析】（1）根据待定系数法，即可求得抛物线的解析式；（2）分类讨论：当为对角线，当为对角线，当为对角线，三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同进行求解即可.【详解】（1）解：∵与轴交于，两点，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：∵抛物线解析式为，∴抛物线对称轴为直线，设，①如图1，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，∴，在中，当时，，∴；

②如图2，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，∴，在中，当时，，∴；

③如图3，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：，∴，在中，当时，，∴；综上所述，存在满足条件的点的坐标有，，．

【点睛】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用平行四边形的性质，根据平行四边形对角线中点坐标相同求点的坐标是解题的关键．2．（2023·陕西西安·高新一中校考三模）如图，已知二次函数的图像经过，两点，顶点为．(1)求该二次函数的解析式和顶点的坐标(2)设图像的对称轴为，点是图像上一动点，当的面积为时，点关于的对称点为，能否在图像和上分别找到点，，使得以点、、、为顶点的是四边形为平行四边形?若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由．【答案】(1)顶点的坐标为(2)能．存在满足条件的点，其坐标为或或【分析】（1）运用待定系数法计算即可．（2）根据对称性，平行四边形的判定和性质，分类计算即可．【详解】（1）将、代入，得：，解得，该二次函数的解析式为．，顶点的坐标为．（2）能．理由如下：如图，过点作轴的垂线交于点，设直线的解析式为，将、代入，得：，解得，直线的解析式为，．，．点在图像上，．的面积为，，即，解得．．，图像的对称轴为．点关于的对称点为，，，若以点、、、为顶点的四边形为平行四边形，有两种情况：当为边时，则有且．点的横坐标为或，点的纵坐标为，点的坐标为或；当为对角线时，则可知点为抛物线的顶点，即；综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或．【点睛】本题考查了待定系数法确定解析式，平行四边形的判定，抛物线的对称性，三角形面积的计算，熟练掌握待定系数法确定解析式，平行四边形的判定，抛物线的对称性是解题的关键．3．（2023·宁夏银川·校考二模）如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点．

(1)求抛物线的解析式．(2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标．(3)点是抛物线上的动点，在轴的正半轴上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)或或【分析】（1）将点A和点B的坐标代入即可求出结论；（2）先利用抛物线解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，设点P的坐标为，点E的坐标为且，从而求出与x的函数解析式，然后利用二次函数求最值即可；（3）设点D的坐标为，点F的坐标为，根据平行四边形的对角线分类讨论，然后根据平行四边形的对角线互相平分和中点公式列出方程，即可分别求解．【详解】（1）将，两点坐标分别代入抛物线解析式中，得，，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）将点代入抛物线解析式中，得，，∴点C的坐标为，设直线的解析式为，将和点的坐标分别代入，得，，解得：，∴直线的解析式为，设点P的坐标为，点E的坐标为且，∴，，，∵，∴抛物线的开口向下，∴当时，PE有最大值，最大值为，此时点P的坐标为；（3）存在，设点D的坐标为，点F的坐标为，若和为平行四边形的对角线时，∴的中点即为的中点，∴，解②，得，，将代入①，解得：；将代入①，解得：；∴此时点D的坐标为或；若和为平行四边形的对角线时，∴的中点即为的中点，∴，解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去），将代入①，解得：；∴此时点D的坐标为；若和为平行四边形的对角线时，∴的中点即为的中点，∴，解②，得，（此时点F和点C重合，故舍去），将代入①，解得：，∵点在轴的正半轴上，故舍去；综上：存在，此时点D的坐标为或或．

【点睛】此题考查的是二次函数与几何图形的综合大题，掌握利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式、利用二次函数求最值和平行四边形的性质是解题关键．【经典例题六二次函数中矩形的存在性问题】【例6】（2023·北京朝阳·统考二模）图1是一块铁皮材料的示意图，线段长为，曲线是抛物线的一部分，顶点C在的垂直平分线上，且到的距离为．以中点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系．

(1)求图2中抛物线的表达式（不要求写出自变量的取值范围）；(2)要从此材料中裁出一个矩形，使得矩形有两个顶点在上，另外两个顶点在抛物线上，求满足条件的矩形周长的最大值．【答案】(1)(2)10【分析】（1）先求出抛物线顶点C的坐标为，A的坐标为，然后利用待定系数法求解即可；（2）先证明关于抛物线对称轴对称，则E、F关于抛物线对称轴对称，设点F的坐标为，则，求出，根据矩形周长公式列出矩形周长与m的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意得抛物线顶点C的坐标为，A的坐标为，设抛物线解析式为，∴，解得，∴抛物线解析式为；（2）解：如图所示，∵四边形是矩形，∴，∵E、F都在x轴上，∴轴，∴关于抛物线对称轴对称，∴E、F关于抛物线对称轴对称，设点F的坐标为，则，∴，，∴，∴矩形的周长，∵，∴当时，矩形的周长有最大值10．

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，矩形的性质，正确理解题意并熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．【变式训练】1．（2023·山东菏泽·统考一模）如图，抛物线与坐标轴相交于，两点，点D为直线下方抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为G；交直线于点E．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求的最大值；(3)过点B的直线交y轴于点C，交直线于点F，H是y轴上一点，当四边形是矩形时，求点H的坐标．【答案】(1)(2)2(3)【分析】（1）利用待定系数法即可求解抛物线的函数表达式；（2）利用待定系数法求出直线的解析式为，设点D的坐标是，则点E的坐标是，得到，根据二次函数的性质即可得到的最大值；（3）先求出，得到，根据四边形是矩形，得到，，则，由轴得到，，则，，同理可得，，则，得到，得到点H的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线与坐标轴相交于，两点，∴，解得，∴抛物线的函数表达式为；（2）设直线的解析式为，把，代入得，，解得，∴直线的解析式为，设点D的坐标是，则点E的坐标是，∴，∴当时，的最大值是2；（3）解：过点B的直线交y轴于点C，当时，，∴点C的坐标为，∴，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴，∵过点D作x轴的垂线，垂足为G，∴轴，∴，，∴，∴，∵，，

∴∴∴，∴,∴，∴点H的坐标是．【点睛】此题考查了二次函数图象和性质、矩形的性质、全等三角形的判定和性质，数形结合和准确计算是解题的关键．2．（2023·山东泰安·校考二模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于B、C两点，抛物线经过B、C两点，且交x轴于另一点．点D为抛物线在第一象限内的一点，过点D作，交于点P，交x轴于点Q．(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在，求出m值；(3)在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点F的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，此时点的坐标为或【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得；（2）先根据求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得；（3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得．【详解】（1）解：一次函数，当时，，即，当时，，解得，即，把，代入得，解得，则抛物线的解析式为．（2）解：，，，，，，，点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，当时，，解得或（舍去），则．（3）解：存在，求解如下：设点的坐标为，①当四边形是矩形时，则，∵直线的解析式为，∴设直线的解析式为，把点代入得，直线的解析式为，联立，解得或（即为点，舍去），，四边形是矩形，且，，，，解得，则此时点的坐标为；②当四边形是矩形时，则，设直线的解析式为，将点代入得：，解得，则直线的解析式为，联立，解得或（即为点，舍去），，四边形是矩形，且，，，，解得，则此时点的坐标为，综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、矩形的性质等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键3．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，．

(1)求抛物线解析式，并直接写出直线的解析式；(2)点在此拋物线的对称轴上，当最大时，点的坐标为______；(3)若点是第三象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交于点，过点作交直线于点，求周长的最大值及此时点的坐标；(4)点在抛物线上，在平面内是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形是以为边的矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)(3)最大值为，点的坐标为(4)存在，，【分析】（1）求得，再将两点代入抛物线解析式，再求出点的坐标，再根据待定系数法，求得直线的解析式，即可解答；（2）根据三角形三边关系，可得当在的延长线上时，最大，即可解答；（3）设点，根据直线的解析式为，可得，故等腰直角三角形，即最大时，周长最大，即可解答；（4）根据题意勾股定理求得点的坐标，根据中点公式求得点的坐标．【详解】（1）、，点的坐标为，将，代入抛物线解析式，可得，解得抛物线的表达式为；，设直线的解析式为，将，代入解析式可得，解得直线的解析式为：（2）解：根据三角形三边关系，可得，即当在的延长线上时，最大，设直线的解析式为，将，代入解析式得，解得，直线的解析式为，根据可得抛物线的对称轴为，把代入，得，．（3）解：设点，，（）直线的解析式为，，，轴，，为等腰直角三角形，的周长，当取最大值时，的周长最大，根据，当，最大，最大值为，的周长的最大值为，此时点的坐标为．（4）解：设，①当时，，根据勾股定理可得，,，可得方程：，解得，（舍），，②当时，，可得方程：，解得，（舍），设，当时，根据中点公式可得可得：，解得，，同理可得，综上所述，存在点，使以点、、、为顶点的四边形是以为边的矩形，，．【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的性质，二次函数与四边形的综合应用，勾股定理，中点公式，掌握数形结合思想是解题的关键．【经典例题七二次函数中菱形的存在性问题】【例7】（2023·西藏拉萨·统考一模）如图，已知经过，两点的抛物线与轴交于点．(1)求此抛物线的解析式及点的坐标；(2)若线段上有一动点不与、重合，过点作轴交抛物线于点．①求当线段的长度最大时点M的坐标；②是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；(2)①；②不存在，理由见解析【分析】（1）将，代入，待定系数法求解析式即可求解；（2）①先待定系数法求得直线的解析式为，设M的坐标为，则，进而得出关于的函数关系式，根据二次函数的性质得出线段的长度最大时，求得点的值，即可点M的坐标；②当根据菱形的性质得出，求得，进而计算，得出进行判断，即可得出结论．【详解】（1）解：将，代入，得，解得：，∴抛物线解析式为：，当时，，即；（2）解：①设直线的解析式为，将点代入得，，解得：，∴直线的解析式为，设M的坐标为，则，∴，∵，∴当时，取得最大值，∴；②∵四边形是菱形，则，∴，∴，此时，，∴，∴不存在点使得四边形为菱形．【点睛】本题考查了二次函数综合运用，线段最值问题，菱形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于，两点，其对称轴直线l与x轴交于点D．(1)求抛物线L的函数表达式．(2)将抛物线L向左平移得到抛物线，当抛物线经过原点时，与原抛物线的对称轴相交于点E，点F为抛物线对称轴上的一点，点M是平面内一点，若以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，请求出满足条件的点M的坐标．【答案】(1)(2)点M的坐标为或或或【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据平移的性质得到抛物线的解析式为，求出点E的坐标，设，分两种情况：当时，则；当时，则，利用两点间的距离公式列方程求解．【详解】（1）解：将，代入，得，解得，∴抛物线L的函数表达式是（2）∵抛物线L向左平移得到抛物线，，∴抛物线L向左平移3个单位得到抛物线，∴抛物线过点，设抛物线的解析式为，∴，解得，∴，∵抛物线与原抛物线的对称轴相交于点E，原抛物线对称轴为直线，∴，∴，∵点F为抛物线对称轴上的一点，对称轴为直线，∴设，∵以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，∴当时，则，∴，解得，∴F的坐标为或，∵以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，∴，∴点M的坐标为或；当时，则，∴，解得，∴F的坐标为或，∵以点A，E，F，M为顶点的四边形是以为边的菱形，∴，∴点M的坐标为或，综上，点M的坐标为或或或．【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，二次函数平移的规律，坐标系中两点间的距离，正确掌握二次函数与图形问题是解题的关键．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，抛物线与轴交于点和点．与轴交于点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点是第二象限内抛物线上的一点，当点到，距离相等时，求点的坐标；(3)如图2，点在抛物线上，点在直线上，在抛物线的对称轴上是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；（2）由题意知点在的角平分线上，设与轴交于点，过作交于点，求出点坐标，直线与抛物线的交点即为所求；（3）设，由菱形的性质可知点与点关于直线对称，求出，再将点代入函数的解析式求出的值即可．【详解】（1）解：将，代入，∴，解得，∴抛物线的解析式为．（2）解：令，则，解得或，且点在正半轴上，∴，∴，在中，，如图所示，设与轴交于点，过作于点，∵点到距离相等，∴点在的角平分线上，则，∴，则，在中，，即，解得，∴，设直线的解析式为，∴，解得，∴，联立方程组，解得或，∴．（3）解：存在点，使四边形为菱形，理由如下，∵，，设直线的解析式为，∴，解得，∴直线的解析式为，∵，∴抛物线的对称轴为直线，如图所示，过点交于点，假设四边形为菱形，设，∴，点与点关于直线对称，即点关于直线对称的点是，根据点关于直线对称点的坐标公式可知，∴点的横坐标为，纵坐标为，∴，∴，解得或，∴（舍）或，∴点坐标为．【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质，角平分线的性质，勾股定理，菱形的性质，点与直线对称的性质是解题的关键．3．（2023秋·重庆南川·九年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴于，两点，与y轴交于C点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)当动点Р运动到什么位置时，使四边形ACPB的面积最大，求出此时四边形ACPB的面积最大值和P的坐标；(3)如图2，点M在抛物线对称轴上，点N是平面内一点，是否存在这样的点M、N，使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有M点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为(3)存在，、、、【分析】（1）由二次函数的图象与x轴交于两点，直接利用待定系数法，即可求得这个二次函数的表达式；（2）设点P的坐标为，即可由求得答案；（3）分别从当，，AC为对角线，结合菱形的性质去分析求解即可求得答案．【详解】（1）∵二次函数的图象与x轴交于两点，∴，解得：，∴这个二次函数的表达式为：；（2）设点P的坐标为∵∴当时，四边形ABCP的最大值是，此时点P的坐标为（3）∵∴抛物线的对称轴为直线，当时，，∴设点M的坐标为，则：，，，设的中点为Q，则点Q的坐标为即，∴，当时，则∴解得，∴、；当时，则，∴解得，∴、；舍去，此时M、A、C三点共线，无法构成菱形当AC为对角线时则有：∴解得，∴∴存在这样的点M、N能够使得以点M、N、A、C为顶点的四边形是菱形，此时点M的坐标为：、、、【点睛】此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式的知识、二次函数的最值问题以及菱形的性质．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．【经典例题八二次函数中正方形的存在性问题】【例8】（2023·陕西西安·校考三模）如图，抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C．点B坐标为，点C坐标为，点D是抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及点D的坐标；(2)点M是抛物线上的动点，过点M作轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，在坐标平面内是否存在点Q，使得以线段为对角线的四边形为正方形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)存在，或【分析】（1）由、的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点即可；（2）由于、两点关于对称轴对称，可知点为对称轴与轴的交点，点在对称轴上，可设出点的坐标，则可表示出的坐标，代入抛物线解析式可求得点的坐标．【详解】（1）解：把、两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为，，；（2）存在，如图，点、关于抛物线对称轴对称，且四边形为正方形，点为抛物线对称轴与轴的交点，点在抛物线的对称轴上，设，则坐标为，点在抛物线的图象上，，解得或，或．【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，确定出、的位置是解题的关键．【变式训练】1．（2023·安徽合肥·统考模拟预测）对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，则称a是这个函数的不动点．已知抛物线．(1)若抛物线经过点，求该抛物线的顶点坐标；(2)如图，在（1）的条件下，在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于B，C两点（点C在对称轴的右侧），过点B，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D．当矩形为正方形时，求B点的坐标．(3)若抛