2024-2025学年上海师大附中高一（下）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海师大附中高一（下）开学数学试卷一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知△ABC中，sinA=35，cosB=513，则cosCA.1665或5665 B.1665 C.5665 2.在等差数列{an}中，其前n项和是Sn，若S15>0，S16<0，则在S1aA.S1a1 B.S8a83.已知△ABC是锐角三角形，下列结论一定不成立的是(

)A.sin(B+C)=sinA B.sinA+B2=cosC4.数列{an}满足a1=1，kan+1+an+1an−an=0，k为常数，则下列说法中：①数列{an}可能是常数列；A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共12小题，共54分。5.我们在语文课上学过《劝学》，其中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把(1+1%)365看作是经过365天的“进步值”，(1−1%)365看作是经过365天的“退步值”，则大约经过______天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍(参考数据：lg101≈2.0043，6.设等比数列{an}的前n项和为Sn.若S2=37.满足条件sinx=−32，x∈[0,2π)的角x8.设扇形的半径长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是______．9.已知sinα+cosβ=1，cosα+sinβ=0，则sin(α+β)=

．10.设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=a11.在△ABC中，A=60°，b=1，△ABC的面积为3，则a+b+csinA+sinB+sinC=12.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0,π2]时，f(x)=sinx，则f(5π13.函数f(x)=|sin(ωx+π3)|(ω>0)的部分图象如图所示，则ω=14.已知数列{an}的前n项和Sn=2n2−12n，数列{|a15.在角θ1、θ2、θ3、…、θ30的终边上分别有一点P1、P2、P3、…、P30，如果点Pk的坐标为(sin16.设函数y=sin(2x+φ)(0<φ<π2)的图像与直线y=t相交的连续的三个公共点从左到右依次记为A，B，C，若|BC|=2|AB|三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

在△ABC中，设角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c.已知3c=3bcosA+asinB．

(1)求角B的大小；

(2)当a=218.(本小题12分)

设数列{an}的前n项和为Sn，且2an−Sn−3=0．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{19.(本小题12分)

如图，有一条宽为60m的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中△ABC)养殖观赏鱼，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE=ℎ1，AD=ℎ2，C，B两点分别在两岸l1，l2上，设∠ABD=α．

(1)若α=30°，求养殖区域面积的最大值；

(2)现拟沿着养殖区域△ABC三边搭建观赏长廊(宽度忽略不计)，若20.(本小题12分)

在平面直角坐标系xOy中，任意角α，β的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A，B两点．

(1)若α，β为锐角，且|AB|=255，求cos(β−α)的值；

(2)若角α为锐角，且终边绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于P(−13,y)，求sinα的值；

(3)若A，B两点的纵坐标分别为正数21.(本小题12分)

若函数f(x)平移ℎ(ℎ≠0)个单位后可以成为偶函数，则称f(x)为“平移偶函数”．

(1)求证：所有对称轴不为y轴的抛物线均为“平移偶函数”；

(2)若f(x)=sinx,sinx≥cosxcosx,sinx<cosx为“平移偶函数”，求：|ℎ|的最小值；

(3)若f(x)是定义域为R的奇函数，求：f(2024ℎ)．参考答案1.B

2.B

3.C

4.D

5.230

6.63

7.{5π8.189.−110.511.212.313.3214.5

15.216.1217.解：(1)由正弦定理得3sinC=3sinBcosA+sinAsinB，

由于C=π−(A+B)，

则3sin(A+B)=3sinBcosA+sinAsinB，

展开得3sinAcosB+3sinBcosA=3sinBcosA+sinAsinB，即3sinAcosB=sinAsinB，

因为sinA≠0，

化简得3cosB=sinB，

则tanB=3，

又0<B<π，

所以B=π3；

(2)由正弦定理，得18.解：(1)当n=1时，2a1−S1−3=0，可得a1=3，

当n≥2时，Sn=2an−3Sn−1=2an−1−3，

两式相减可得an=2an−2an−1，即an=2an−1(n≥2)，

∴{an}是首项为3，公比为2的等比数列，

∴an=3×2n−1；

(2)由(1)可得bn+1−bn=an=3×2n−1，

所以bn−bn−1=3×2n−219.解：(1)α=30°时，AB=ℎ2sinα=2ℎ2,AC=ℎ1cosα=23ℎ1，

所以S△ABC=12AB⋅AC=23ℎ1ℎ2，

又因为ℎ1+ℎ2=60≥2ℎ1ℎ2(当且仅当ℎ1=ℎ2时等号成立)，

所以ℎ1ℎ2≤900，

于是20.解：(1)由题意知A(cosα,sinα)，B(cosβ,sinβ)，

∵|AB|=255，∴(cosα−cosβ)2+(sinα−sinβ)=255，

∴cos2α+cos2β−2cosαcosβ+sin2α+sin2β−2sinαsinβ=45，

∴2−2cos(β−α)=45，∴cos(β−α)=35．

(2)由角α为锐角，且终边绕原点逆时针转过π6后，终边交单位圆于P(−13,y)，

∴y>0，且OP2=19+y2=1，y=223，

∴sin(α+π6)=y=223，cos(α+π6)=−13，

∴sinα=sin21.解：(1)证明：根据题意，对于二次函数y=ax2+bx+c，

有y=ax2+bx+c=a(x+b2a)2+4ac−b24a，其对称轴为x=−b2a，

若其对称轴不为y轴，则b≠0，则该函数向左或向右平移|b2a|个单位成为偶函数，

故所有对称轴不为y轴的抛物线均为“平移偶函数”．

(2)由正余弦函数的单调性可得，在[0,2π]内，当π4≤x≤5π4时，sinx≥cosx，

又f(x)=sinx,sinx≥cosx