第03讲 立体几何中的向量方法【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

第03讲立体几何中的向量方法【人教A版2019】·模块一向量法判定位置关系·模块二向量法求空间角·模块三向量法求距离·模块四课后作业模块一模块一向量法判定位置关系1．空间中直线、平面的平行(1)线线平行的向量表示：设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.(2)线面平行的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.(3)面面平行的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.2．利用向量证明线线平行的思路：证明线线平行只需证明两条直线的方向向量共线即可．3．证明线面平行问题的方法：(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内；(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内；(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内．4．证明面面平行问题的方法：(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．5．空间中直线、平面的垂直(1)线线垂直的向量表示：设u1，u2分别是直线l1,l2的方向向量，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.(2)线面垂直的向量表示：设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.(3)面面垂直的向量表示：设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.6．证明两直线垂直的基本步骤：建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．7．用坐标法证明线面垂直的方法及步骤：(1)利用线线垂直：①将直线的方向向量用坐标表示；②找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；③判断直线的方向向量与平面内两条直线的方向向量垂直．(2)利用平面的法向量：①将直线的方向向量用坐标表示；②求出平面的法向量；③判断直线的方向向量与平面的法向量平行．8．证明面面垂直的两种方法：(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直．【考点1求平面的法向量】【例1.1】（2023春·江苏镇江·高二校考期末）已知向量AB=1,1,-1,AC=-1,1,0A．1,1,2 B．1,-1,0 C．-1,1,2 D．【例1.2】（2023·江苏·高二专题练习）已知A1,0,0,BA．-1,1,1 B．C．1,1,1 D．1【变式1.1】（2023·江苏·高二专题练习）已知平面α内两向量a=(1,1,1)，b=(0,2,-1)且c=ma+nb+(4,-4,1).若cA．-1，2 B．1，-2C．1，2 D．-1，-2【变式1.2】（2023秋·河南许昌·高三校考开学考试）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BA．（1，-2，4） B．（-4，1，C．（2，-2，1） D．（1，2，-【考点2空间线、面平行关系的判定及应用】【例2.1】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，E为CP的中点，N为DE的中点，DM

【例2.2】（2023·全国·高二课堂例题）如图，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=13BD，AN=

【变式2.1】（2023春·高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1【变式2.2】（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥E-ABCD中，AB//CD，CD=4AB，点F为棱CD的中点，与E，F(1)当P为EF的中点时，证明：PB//平面ADE(2)设平面EAD与平面EBC的交线为l，是否存在点P使得l/平面PBD？若存在，求EPPF【考点3空间线、面垂直关系的判定及应用】【例3.1】（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD

【例3.2】（2023秋·高二课时练习）在三棱台A1B1C1-ABC中，∠BAC=90°,A1

【变式3.1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段(1)求证：AM⊥(2)求证：AM⊥平面BDF【变式3.2】（2023·全国·高二课堂例题）如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1

(1)求证：平面O1DC⊥(2)若点E,F分别在棱AA1,BC上，且模块二模块二向量法求空间角1．夹角问题(1)两个平面的夹角：平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．(2)空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))直线与平面所成的角设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))【考点4利用空间向量求空间角】【例4.1】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1

【例4.2】（2023春·山东东营·高二统考期末）如图，已知六面体ABCDPE的面ABCD为梯形，AB//CD，AB⊥AD，AB=2，CD=AD=4，棱PA⊥平面ABCD，

(1)求证：AF//平面PBC(2)求直线BE与平面PCD所成角的大小.【变式4.1】（2023春·甘肃白银·高二校考阶段练习）如图，AB为圆柱底面的直径，△ACD是圆柱底面的内接正三角形，AP和DQ为圆柱的两条母线，若AB

(1)求证：平面PCQ⊥平面BDQ(2)求BP与面ABQ所成角正弦值；(3)求平面ABQ与平面ABC所成角的余弦值.【变式4.2】（2023春·贵州黔西·高二校考期中）如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD=2(1)若M为PA的中点，求证：BM//平面PCD(2)若直线PC与平面PAB所成角的正弦值为1510，求平面PAB与平面PCD所成锐二面角的余弦值模块三模块三向量法求距离1．距离问题(1)点P到直线l的距离：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq\r(a2－a·u2)(如图)．(2)点P到平面α的距离：设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)(如图)．【考点5利用空间向量研究距离问题】【例5.1】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，AC∩BD=O，底面ABCD为菱形，边长为2，PC⊥BD，PA=

(1)求证:PO⊥平面ABCD(2)若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.【例5.2】（2023春·江苏常州·高二校考阶段练习）如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC

(1)求直线BD与平面APM所成角的正弦值；(2)求D到平面APM的距离．【变式5.1】（2023·全国·高二假期作业）直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，边长为2，侧棱A

(1)求证：平面AMN//平面EFBD；(2)求平面AMN与平面EFBD的距离．【变式5.2】（2023春·高二单元测试）如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，D，E，F分别是棱AB，BC，

(1)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；(2)求点P到平面DEF的距离；(3)求点P到直线EF的距离．【考点6利用空间向量研究存在性问题】【例6.1】（2023·全国·高三专题练习）已知正四棱台ABCD-A1B1

(1)求侧棱AA1与底面(2)在线段CC1上是否存在一点P，使得BP⊥A【例6.2】（2023春·江苏连云港·高二校考期中）如图在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=2，底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD

(1)求二面角C-(2)线段AD上是否存在Q，使得它到平面PCD的距离为32?若存在，求出AQ【变式6.1】（2023秋·湖南长沙·高二校考开学考试）如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，若A1A⊥平面ABC，AB⊥AC，

(1)若M为BC的中点，求证：A1N//(2)是否存在点M，使得平面C1MA与平面ACC1A【变式6.2】（2023·全国·高三专题练习）图①是直角梯形ABCD，AB//CD，∠D=90∘，四边形ABCE是边长为2的菱形，并且∠BCE=60∘，以

(1)求证：平面BC1E(2)在棱DC1上是否存在点P，使得点P到平面ABC1的距离为155？若存在，求出直线模块四模块四课后作业1．（2023·江苏·高二专题练习）已知直线l的一个方向向量m=2,-1,3，且直线l过点A0,a,3和BA．0 B．1 C．32 D．2．（2023春·江苏连云港·高二校考阶段练习）空间直角坐标系O-xyz中，已知点A2,0,2，B2,1,0，C0,2,0A．2,1,2 B．-1,2,1 C．2,4,2 D．3．（2023春·广东韶关·高二统考期末）已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则（

）A．若m//α，n//α，则m//n BC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥β D4．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，点F在棱C1D1上，且D1A．14 B．13 C．125．（2023春·四川乐山·高二期末）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M,N为正方体的顶点．则满足MN⊥A．

B．

C．

D．

6．（2023春·河南新乡·高二统考期末）在长方体ABCD-A1B1C1D1中，底面A1BA．AC1⊥C．A1C//平面BDE D．平面7．（2023·全国·高二假期作业）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=12AD=1，A．55 B．255 C．28．（2023春·福建泉州·高二校联考阶段练习）在正方体ABCD-A1B1C1DA．DB1⊥平面ACD1 B．直线C．平面A1C1B∥平面ACD19．（2021秋·四川南充·高二校考阶段练习）如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1①平面BCM⊥平面②三棱锥B-M③当M为AB1中点时，直线B1D与直线CM④直线CM与A1D其中正确的是（

）A．①②④ B．②③ C．①②③ D．①③④10．（2021·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，F为线段BC1的中点，E为线段A1C1上的动点，则下列四个结论：①存在点E，使EF // BD；②存在点E，使EF⊥A．4 B．3 C．2 D．111．（2023秋·高二课时练习）根据下列条件，判断相应的线､面位置关系：(1)直线l1,l(2)平面α,β的法向量分别是(3)直线l的方向向量､平面α的法向量分别是a=(4)直线l的方向向量､平面α的法向量分别是a=12．（2023春·高二单元测试）如图，在多面体ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB

(1)求证：A1B1(2)求证：AB1∥平面13．（2023春·江苏扬州·高二校考期中）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，△PAD为等边三角形，平面P