第02讲 空间向量基本定理【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（原卷版）

第02讲空间向量基本定理【人教A版2019】·模块一空间向量基本定理·模块二用空间向量基本定理解决相关的几何问题·模块三课后作业模块一模块一空间向量基本定理1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步骤:(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．【考点1用空间基底表示向量】【例1.1】（2023春·高二单元测试）如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2

A．23a+C．-23a【例1.2】（2023春·江苏常州·高二校考阶段练习）已知空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在BC上，且MB=2MC，A．12a-C．-12a【变式1.1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P为AD1与AA．a+12C．-a+1【变式1.2】（2023秋·河南许昌·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BDA．-a+b+2c B．a+【考点2由空间向量基本定理求参数】【例2.1】（2023春·甘肃兰州·高二校考期末）已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PCA．-1 B．1 C．-12【例2.2】（2023·江苏·高二专题练习）设P-ABC是正三棱锥，G是△ABC的重心，D是PG上的一点，且PD=DG，若PDA．56,13,23 B．【变式2.1】（2022·全国·高二假期作业）如图，在三棱锥O-ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若OD=kOA，OE=A．133 B．23 C．32【变式2.2】（2022秋·河南·高二校考阶段练习）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，H分别在棱BB1，BC，BA上，且满足BM=34BB1，BNA．105 B．125 C．145【考点3正交分解】【例3.1】（2023春·高二课时练习）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,-12,3 B．-3【例3.2】（2023·全国·高二专题练习）设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=A．(10,12,14) B．(14,12,10)C．(12,14,10) D．(4,3,2)【变式3.1】（2023·高二课时练习）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{DA,DC,DD1}为单位正交基底,A．(12,C．(0,12【变式3.2】（2023秋·黑龙江大庆·高二统考期末）a,b,c是空间的一个单位正交基底，p在基底a,b,c下的坐标为A．(-1,2,3) B．(1,-2,3) C．(1,2,-3) D．(-3,2,1)模块二模块二用空间向量基本定理解决相关的几何问题1．证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.3．求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【考点4证明平行、共线、共面问题】【例4.1】（2023·全国·高二假期作业）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且【例4.2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G【变式4.1】（2023秋·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM=(1)判断MA,(2)判断点M是否在平面ABC内.【变式4.2】（2022秋·湖北武汉·高二校考阶段练习）在正四棱锥P-ABCD中，点M,N,S分别是棱(1)若x=1,y=12，且PD(2)若x=23,y=1【考点5几何中的求夹角、证明垂直问题】【例5.1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A【例5.2】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN【变式5.1】（2023·全国·校联考一模）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设AB=a，AC=(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．【变式5.2】（2022秋·天津滨海新·高二校考阶段练习）已知平行六面体ABCD-A1B1C1（1）证明：DD（2）求异面直线CA1与AB【考点6几何中的求距离(长度)问题】【例6.1】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD

【例6.2】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD

【变式6.1】（2023·高二课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90∘，沿它的对角线AC将△ACD折起，使【变式6.2】（2022秋·河南洛阳·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：(1)AB⋅AD(2)线段AC1的长模块三模块三课后作业1．（2023春·甘肃天水·高二校考期中）已知空间向量a,b,A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．若a,C．若a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量pD．若a,b不共线，向量c=λa+μ2．（2023秋·高二课时练习）已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．3a，a-b，a+2b B．C．a，2b，b-c D．c，3．（2023春·高二课时练习）若a,b,A．2a-b，B．2a+b，C．2a+b，D．2a-b，4．（2023春·高二课时练习）在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心，M是线段OG的中点，若AM=xA．-12 B．14 C．-5．（2023秋·高二课时练习）在四面体OABC中，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，若OG=13OA+x4OBA．1 B．2 C．23 D．6．（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若PA=a，PB=b，PC=

A．-12aC．a-12b7．（2023春·高二单元测试）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（）A．OM=OA+C．OM=128．（2023春·江西抚州·高一统考期末）把边长为22的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为60°，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（

A．14 B．-14 C．-9．（2023春·江苏淮安·高二统考期中）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DDA．12 B．14 C．1310．（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1A．5 B．22 C．10 D．11．（2023秋·高二课时练习）已知e1,e2,e3为空间的一个基底，且OA12．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F(1)证明：A、E、C1、F(2)若EF=xAB13．（2022·全国·高二专题练习）如图，空间四边形OABC的各边及对角线长都为2，E是AB的中点，F在OC上，且OF=2

（1）用{