吉安市2024-2025学年高二上学期期末考试 数学试卷（含答案详解）

注意事项：

吉安市高二上学期期末教学质量检测2025.1数学试题（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．l:xcos2025π直线π

4 的倾斜角为（ ）2025π πA. B.2

4 C.4 D.0

x225

2y 1k9的焦点坐标为（ ）y9kA.8,0

B.4,0

C.0,8

D.0,43.直线3x2y30与3x2y0之间的距离为（ ） 5

x2 2

513y2 x2

79

D.31313已知双曲线 2

1与双曲线4

1b0的离心率相同，则b（ ）b222A. B.2 C.222

D.8圆

:x2y24与圆C

:(x2)2(y3)29的公切线条数为（ ）2A.0 B.1 C.2 D.32ABCD

E,F

BD,CD中点，G为线段EF上一动点，设AGxADyABzAC，则x（ ）21 B.12

1 2C. D.3 3春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从B,C,D四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片A，则所有不同的选法种数为（ ）A.72 B.96 C.180 D.288如图，四边形ABCDABBDDA23,BCCD2，现将△ABDBD折起，当二面角 ABDC的值属于区间π,π时，直线AB和CD所成角为则的最大值为（ ） 43 4

28

C. 238

D. 8二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．0已知点P5,y在抛物线C:y22pxp0上，且PF6，其中F为抛物线C的焦点，则（ ）0抛物线Cx1

F的坐标为203y023

PPQx轴于点Q，则FPQ的面积为545 1nx210.已知2x x2

展开式中二项式系数之和为64，则（ ）n5

1展开式中第4项的二项式系数最大 D.展开式中常数项为240已知点Ma2,Na,2，且点P在直线l:xy10上，下列说法正确是（ ）

的最大值为3MN与直线l有交点，则3a0a3PPMPN17当a1时，VPMN周长的最小值为 317三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．aa12.已知空间向量r2,1,3,bm,2n3满足r，则mn．aa13.已知圆P过1,1,7,3,5,7三点，则圆P的面积为 ．x2 y2

F,F F x14.已知双曲线C: a2 b2

1a0,b0左右焦点分别为1 2过点2

轴的垂线与双曲线CM,O

u3u在第一象限交于点

为坐标原点若MN2且ON0则双曲线C的离心率为 ．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．150，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题．5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？16.已知椭圆C:x2y21ab0的右焦点为20，点2,2在椭圆C上．a2 b2求椭圆C的标准方程；已知直线l交椭圆CBAB中点为2，求直线l的斜率．已知eCy轴上，且经过点3,1和222．求eC的标准方程；P3的直线l与eCB两点．2①若AB42

，求直线l的方程；②求弦AB最短时直线l的方程．ABCDAB2AD2EAB（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题．ECAE的长度；求点A距离的取值范围．x2x已知双曲线C: a2

y2

1a

0

y12

C

x轴的正、负半轴分别交于M1，M2A2a0的直线l与CPQ两点.若l的斜率存在，求出l斜率的取值范围；kMP探究： 2是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由（其中k ，k 分别表示直线kMQ

M1Q

M2PMQM2P的斜率；M2PMQRSVQSVM1M2，求的取值范围.注意事项：

吉安市高二上学期期末教学质量检测2025.1数学试题（测试时间：120分钟 卷面总分：150分）答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在答题卡上．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．l:xcos2025π直线π

4 的倾斜角为（ ）2025π πA. B.2

4 C.4 D.0【答案】A【解析】【分析】根据直线的方程可得出其倾斜角.【详解】因为cos2025π为常数，故直线lxcos2025ππ.4 4 2故选：A.

x225

2y 1k9的焦点坐标为（ ）y9kA.8,0

B.4,0

C.0,8

D.0,4【答案】B【解析】【分析】根据椭圆方程确定焦点位置，进而写出其坐标.25k925k9k【详解】由题设9k025k9

，故椭圆的焦点在

x轴上，且c

4，所以焦点坐标为4,0.故选：B3.直线3x2y30与3x2y0之间的距离为（ ） 5

513

79

D.31313【答案】D【解析】【分析】根据两平行直线的距离公式计算即可求解.【详解】因为直线3x2y30和3x2y0平行，0332220332221331313故选：D．

x2 2

y2 x2已知双曲线 2

1与双曲线4

1b0的离心率相同，则b（ ）b222A. B.2 C.222

D.8【答案】A【解析】

x2 2

y2 x2【分析】先分别求得双曲线 2

1和双曲线4

1b0的离心率，再根据其离心率相同求解.b2【详解】解：因为双曲线

x22y2y

1，a

2,b1，则c ，e ，3326233262又双曲线y24

b2

1b0，a2c

，则e ，44b24b2x2 2 y2 x2因为双曲线 2

1与双曲线4

1b0的离心率相同，b2624b262所以 ，解得b22，则b ，2 2故选：A圆

:x2y24与圆C

:(x2)2(y3)29的公切线条数为（ ）2A.0 B.1 C.2 D.32【答案】C【解析】【分析】根据两圆的位置关系可判断两圆公切线的条数.【详解】圆Cx2y24，则圆心C00r2，1 1 1圆C2

x2)2y3)29，则圆心C

233，222则C222

13，由于1 5，即

C1C2

r1r2，13故圆C1与圆C2相交，其公切线条数为2．13故选：C．ABCD

E,F

BD,CD中点，G为线段EF上一动点，设AGxADyABzAC，则x（ ）21 B.12

1 2C. D.3 3【答案】B【解析】【分析】设EGlEF，再利用向量的加法法则与减法法则即可求得结果.【详解】设EGlEF,则1

1 AG AE EG AB ADAB AD

lBC2 2 211

1

1

1 BD CB

D B

lAC2 2 2x1,2故选：B

2 2 2春节档将有多部影片上映，小明一行五个人准备在大年初一各自从B,C,D四部影片中选一部去观看．已知每部影片都有人选，且小明没有选影片A，则所有不同的选法种数为（ ）A.72 B.96 C.180 D.288【答案】C【解析】【分析】先将五人进行分组，再根据题意进行影片选择，由分步乘法计数原理可得结果.5【详解】根据题意先将五人分成四组，共有C210种，533再将四组人员分别分配去观看四部电影，且有小明的一组人员没有选影片A，共有C1A318种，33533因此所有不同的选法种数为C2C1A3180种.533故选：C如图，四边形ABCDABBDDA23,BCCD2，现将△ABDBD折起，当二面角 ABDC的值属于区间π,π时，直线AB和CD所成角为则的最大值为（ ） 43 4

28

C. 238

D. 8【答案】D【解析】【分析】取BD的中点为O，连接OA,OC,AC，易知AOCq是ABDC的平面角，根据已知构建合适的空间直角坐标系，再应用向量法求得直线AB和CD所成角的余弦值关于AOCq的表达式，即可求最大值.【详解】取BD的中点为O，连接OA,OC,AC，又ABBDDA23,BCCD2，所以OABDOCBD，且OCOA3AOCABDC的平面角，由OAIOCOAOCBDAOCAOC内过O作OzOC，B(0

3,0),C(1,0,0),D(0,3,0)，由π,π，则0,，且1, 2]，432 2所以BA(3cosq,3,3sinq),CD(1,3,0)，uuruuur则cosacosBA,CD

BA232232BA

3(1cosq)

3(1cosq)，4当cosq1时，最大cosa 3.2 8故选：D.【点睛】关键点点睛：构建合适空间直角坐标系，并确定含参的点A坐标为关键.3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．0已知点P5,y在抛物线C:y22pxp0上，且PF6，其中F为抛物线C的焦点，则（ ）0抛物线Cx1

F的坐标为203y023

PPQx轴于点Q，则FPQ的面积为545【答案】AD【解析】【分析】根据抛物线的定义得p2，进而得到准线、焦点判断A、B；将x5代入抛物线判断C；求出三角形面积判断D.

5p6p2，则C:y24x，2所以抛物线的准线为x1，焦点F(1,0)，A对，B错；0 x5y2200

|2

，C错；55PQx轴于点Q，则Q(50)，故|FQ|4，所以FPQ142552

45，D对.故选：AD 1nx210.已知2x x2

展开式中二项式系数之和为64，则（ ）n5

1展开式中第4项的二项式系数最大 D.展开式中常数项为240【答案】BCD【解析】【分析】根据二项式系数之和得到n6，再根据二项式及展开式通项、组合数、赋值法判断各项的正误.【详解】A，由题设，二项式系数之和2n64n6，A错； 161Bx1时各项系数之和为211

1，B对；C，由组合数的性质知，r3，即T时二项式系数C3最大，C对；D，对于

2x

16

，则T

4Cr(2x)6r

61)r(1)r26rCrx63r，r0,1,L,6， x2

r1 6 x2 6 3 令63r0r2，则常数项为T1)224C2240，D对故选：3 已知点Ma2,Na,2，且点P在直线l:xy10上，下列说法正确的是（ ）

的最大值为3MN与直线l有交点，则3a0a3PPMPN17当a1时，VPMN周长的最小值为 317【答案】ABD【解析】【分析】易知PM

的最大值为MN的长度，可得A正确，求得两直线交点坐标得出不等式可得B正确，求出以MN为直径的圆方程可得C错误，利用点关于直线对称即可求得D正确.AMa2Na2MN两点的纵坐标相同，MNxMN3，因此PM

的最大值为MN的长度3，即A正确；BMNy2,可知直线lxy10y2的交点坐标为(−3,2)；MN与直线la33a，解得3a0B正确；Ca3M02N32， 32 2 92以MN为直径的圆方程为x 2

y2 ，4922922显然圆心22到直线lxy10d

9 2r3， 4 2PPMPNCDa1M22N2，M关于直线lxy10的对称点坐标为ab，b21a2可得a2 b2 1

，解得a3Mb1 1

3,1，如下图所示：2 2显然VPMN

PM

PN

3PM1PN

3NM1

3D正确.17故选：ABD17【点睛】关键点点睛：求解周长最值以及线段长度最值问题时，经常求出对称点坐标结合三角形性质可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．aa12.已知空间向量r2,1,3,bm,2n3满足r，则mn．aa【答案】4【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示和垂直向量的坐标表示计算即可求解.a^b【详解】因为a^b故,,3,2n,32m2n190，解得mn4．故答案为：413.已知圆P过1,1,7,3,5,7三点，则圆P的面积为 ．【答案】25π【解析】【分析】设圆的一般方程，将三点的坐标代入方程，利用待定系数法求解圆的方程，结合圆的面积公式计算即可求解.Px2y2DxEyF0(D2E24F11DEF0

D4代入1,17,357三点坐标可得4997D3EF025495D7EF所以圆P的方程为x2y24x6y120，其标准方程为(x2)2y3)225r5Sπr225π．故答案为：25π

，解得E6 ，F12x2 y2

F,F F x已知双曲线C: a2 b2

1a0,b0的左右焦点分别为1 2过点2

轴的垂线与双曲线CM,O

u3u在第一象限交于点【答案】 512

为坐标原点若MN2且ON0则双曲线C的离心率为 ．【解析】借助相似三角形性质列式求解作答.x轴，所以为直角三角形，由ON0有ON，x2 y2

c2

b2

b2c0xc代入

1有

1y Mc,

，即

b2

b2a

a22a

b2 a2 b2a2c2，a

au3u

2

2a2c2

RtVONF

RtVMFF 由MNa2c2

2有ac

5 5a ，由2 2 2

1 21 ，即 ac5ac a2c2

5ace

5e10e .551故答案为： 51.2四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．0，1，2，3，4这五个数字，回答下列两个问题．5个数字能够组成多少个无重复数字的五位数？5个数字能够组成多少个无重复数字的五位偶数？【答案（1）96； （2）60.【解析】【分析】（1）先排数字0，再排其它4个数字即可计算得解；（2）选偶数先排个位数，分个位数字为0和个位数字为2或4两种情况，再排其它数位；【小问1详解】4先排数字0，0只能占除最高位外的其余四个数位，有A1种排法，4再排四个非0数字有A4种，由分步乘法计数原理得A1A442496，4 44所以能组成96个无重复数字的五位数；【小问2详解】4当个位数字为0时，则可以组成A424个无重复数字的五位偶数，423当个位数字为2或4时，则可以组成C1C1A336个无重复数字的五位偶数，所以用这5个数字能够组成组成2436602316.已知椭圆C:x2y21ab0的右焦点为20，点2,2在椭圆C上．a2 b2求椭圆C的标准方程；已知直线l交椭圆CBAB的中点为2，求直线l的斜率． 22【答案（1）C:x y 1； 228 4（2）1.【解析】【分析】（1）由点在椭圆上及c2、椭圆的参数关系求椭圆方程；（2）由题意，设l:yk(x2)1，联立椭圆及韦达定理和中点坐标求参数k，即可得直线方程.【小问1详解】c24

2

a28

x2 y2由题设a2

2 1，可得

，则椭圆C: 4 8

1；a2b2c2【小问2详解】由题设，令l:yk(x2)1，联立椭圆x22y28，所以x22[k(x2)1]28，整理得(12k2)x24k(2k1)x8k28k60，则16k2(2k1)28(12k2)(4k24k3)0，整理易得32(k1)2160，2

A

4k(2k1)4，可得k1，直线l的斜率为1.12k2已知eCy轴上，且经过点3,1和222．求eC的标准方程；P3的直线l与eCB两点．2①若AB42

，求直线l的方程；②求弦AB最短时直线l的方程．（1）x2y129（2）①3x4y90x1x2y70；【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，根据圆上点的坐标解方程即可；（2）①根据弦长求得圆心到直线的距离，分别讨论直线的斜率是否存在解方程可得结果；②易知当CPl时，弦AB最短，由直线的点斜式方程计算可得结果.【小问1详解】2222022b233021b2

r，解得b1；则该圆的圆心为0,1，半径为r3；故Cx2y129；【小问2详解】P3的直线l与eCBd,2由AB42

，可得2

2 4

，d1；r2d29r2d29d22当直线l的斜率存在时，设直线方程为y3kx1，即kxyk30k21k2d 1k21k24故直线ly33x1，即3x4y90.4综上可知，直线l的方程为3x4y90或x1；P,3x2y129内，如下图所示：9d2设圆心到直线l的距离为d，由弦长公式可得AB2 显然当d取得最大值时，即CPl时，此时dmax9d2即当CPl时，弦AB最短，k

312，因此直线l的斜率为1，CP 10 2可得直线l的方程为y31x1，即x2y70.2ABCDAB2AD2EAB（不包含端点）上一动点，请利用空间向量法解决下列两个问题．ECAE的长度；求点A距离的取值范围．【答案（1）1； （2）(0,25).5【解析】【分析】（1）构建合适空间直角坐标系，设E(1,m,0)且0m2，应用向量垂直的坐标表示列方程求参数m，即可得AE长度；（2）求出面D1EC的一个法向量，应用点面距离的向量求法求范围.【小问1详解】构建如下图示的空间直角坐标系，则C(020D1(0m0)且0m2mCEm20)EC，CEmm20)1m(m2)00m1，AE1.【小问2详解】r若n(x,y,z)是面DEC的一个法向量，则nD1Exmyz0，1 rnCEx(m2)y0令y1，则n(2m,1,2)，而A(1,0,0)，故D1A(1,0,1)，(2m)2(2m)2所以点Ad1941941m2m19(12)25m 9 9

r ||n|

，0m2，1 1 25所以 ，且m2，故d(0,5).已知双曲线C:x2y21a0y1xCxM，a2 2 1M2A2a0的直线l与CPQ两点.若l的斜率存在，求出l斜率的取值范围；kMP探究： 2