菏泽市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（含答案解析）

保密★启用前注意事项：

2024—2025学年高二上学期教学质量检测数学试题2025.01本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.已知a(2,1,3)，b(4,2,x)，且ab，则x的值为（）A1 B.2 C.3 D.4已知直线l过点，且l的一个方向向量为(2,，则直线l的方程为（ ）A.2x3y50

B.3x2y10

C.3x2y10

D.3x2y50在公差不为0的等差数列{an}中，若S93(a2a6ak)，则k的值为（ ）A.5 B.6 C.7 D.8预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用PP(1k)n(kP为预测期人n 0 n口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口增长率，n为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（ ）若在某一时期内1k0，则这期间人口数呈下降趋势若在某一时期内k0，则这期间人口数呈上升趋势若在某一时期内0k1，则这期间人口数呈摆动变化k0，则这期间人口数不变x 2x 2设曲线a2

，C:x2y22422

1的离心率分别为，若

，则a＝（ ）6A.6已知数列}

B.32an,n为奇数3

C.2，a16，则a（ 2

D.2n

a3n,为偶数 5 1nA7 B.12

C.1 D.2p如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为2，且二面角A-BC-D的大小为3，则ACBD为（ ）33A.2 B.2333C.2 3

231 1 2 ykx1kR与圆Ox2y24M(xyN(xy31 1 2 4123x24y212的最小值为（ ）23 23A. B.10 2

C.5

D.23二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．若数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，S5S6，S6S7，S7S8，下列说法中正确的有（ ）d00S6和S7均为Sn的最大值

S9S52M与两个定点O00A301MC，下列说法中正2确的有（ ）C的方程为(x1)2y24若过点A的直线l与曲线C相切，则l的斜率为 3315C与圆(x1)2y21的公共弦长为152B1|MA||MB|的最小值为22ABCABACABACMN分别为C1,C的中点，点P在直线11上，且1P110)，下列说法中正确的有（ ）MNAAπ1 4AMPNPNABC2点N到平面AMP距离的最大值为 3010三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．x2 2双曲线 4

1的渐近线方程 ．1 113.在三棱锥PABC中，AB2,，AC，AP2,，则直线AP与平面ABC所成角的余弦值为 ．14.若项数有限的数列{an}0，且|||a2|L|an1012a2Lan0，则称数列{an}为“n阶上进数列”．①若等比数列{an}是“2024阶上进数列”，则数列{an}通项公式为an；②若等差数列{an}是“2025阶上进数列”，则．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.A,,3B,,C,,3D,,．ABAC为邻边的平行四边形面积；A、B、C、Dλ的值．Opxyy，ABO的直径，抛0 0物线的弦CD//AB，且直线CD与圆O相切．CD方程；求VBCD的面积．已知数列}d0，Snna2S2S30．求数列{an}的通项公式；记数列}nT，且b

2n1

，求T．n n

2an2a

2 nan3aABCDAD1所成角正切值为2，M，N，P分别为棱DD1，DA，DC上异于D点的动点．2PCD；定义：异面直线的距离指的是公垂线（与两条异面直线都垂直相交的直线）的距离；MNPHHN2HPHM0MNPPBB1的夹角余弦值的取值范围．极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆C:x2y21ab0Mxya2 b2 0 0（不是坐标原点）C的极线为

:x0xy0y1.已知F，F为椭圆C的左右焦点，点M为C上M a2 b2 1 2M

2MC的极线经过点(42

2)．C的方程；MC的极线lMxaABAB；保密★启用前注意事项：

2024—2025学年高二上学期教学质量检测数学试题2025.01本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将姓名、班级等个人信息填写在答题卡指定位置．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答．超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.a2b42x，且ab，则x的值为（ ）A.1【答案】B【解析】B.2C.3D.4【分析】根据空间向量垂直的坐标表示求解.【详解】因为ab，所以24123x0x2.故选：B已知直线l过点，且l的一个方向向量为(2,，则直线l的方程为（ ）A.2x3y50

B.3x2y10

C.3x2y10

D.3x2y50【答案】C【解析】【分析】根据方向向量写出直线斜率，再由点斜式写出直线方程.【详解】由l的一个方向向量为(2,3)，则其斜率为3，2所以直线l的方程为y13(x1)，则3x2y10.2故选：C在公差不为0的等差数列{an}中，若S93(a2a6ak)，则k的值为（ ）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式化简得到a7ak，即可得k的值.【详解】因为S93(a2a6ak)，所以9a136d3(2a16dak)，所以a16dak，即a7ak，故k7.故选：C.PP(1k)n(kP为预测期人n 0 n口数，P0为初期人口数，k为预测期内人口增长率，n为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（ ）若某一时期内1k0，则这期间人口数呈下降趋势若在某一时期内k0，则这期间人口数呈上升趋势若在某一时期内0k1，则这期间人口数呈摆动变化k0，则这期间人口数不变【答案】C【解析】【分析】根据指数增长的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，1k0时，01k1，所以这期间人口数呈下降趋势，A选项正确.BC选项，k0时，1k1，所以这期间人口数呈上升趋势，B选项正确，C选项错误.Dk0时，1k1D选项正确.故选：Cx 2x 2设曲线a2

，C:x2y22422

1的离心率分别为，若

，则a＝（ ）632A. B. C. D.2632【答案】A【解析】【分析】由曲线方程求出离心率，结合e26e1求参数即可.a21a21

a ,

55 ，又551

6e1，a2156所以 且a1，则a2156a

5a .666故选：A已知数列}a

2an,n为奇数

，a16，则a（ ）n

a3n,为偶数 5 1nA.7 B.12【答案】D

C.1 D.2【解析】【分析】利用分段数列的特点，将a516代入，求出的项判断奇偶后继续代入即可求出a1.【详解】数列{a}满足：a

2an,n为奇数

，a16，n

a3n,为偶数 5na41a43416，所以a44a42a342，则a3a21a2322，所以a24，a2a112a14，所以a12.故选：D.pABCBCDE2A-BC-D3ACBD为（ ）33A.2 B.2333C.2 3

23【答案】A3【解析】

的中点

M，连接

,，则

A

,N

，得

p,N ，3取基底C,N,CDCA2CN进行求解．【详解】如图所示：CM，连接,，则A

,N

，

p得N为二面角ACD的平面角，即,N ，3 uu 取基底MC,MN,MA，33uup33则CN

CA

N 2cs ，3因为C

C,D

DB

CNC

C， ACBDMCMA2MCMN2MCMCMCMN2MAMCMAMN32 故选：A.31 1 2 ykx1kR与圆Ox2y24M(xyN(xy1 1 2 4123x24y212的最小值为（ ）23 23A. B.10 2

C.5

D.23【答案】D【解析】【分析】先求得弦MNExy的轨迹方程，则

3x14y1123x24y212的几何意义为5 5PQx2y2两点到直线3x4y120Exy到直线3x4y120距离的2倍，结合点到直线的距离公式求解即可.【详解】由题设知，直线lykx1yA0,1MNExy，连接OE，则OEMN，即OEAE，所以OEAE0，即xyxy1x2yy10，所以点E的轨迹方程为x2(y1)21，2 4即E的轨迹是以0,1为圆心，1为半径的圆， 2 2 设直线l为3x4y120，则E到l的最小距离为212123，5 2 10M分别作直线lPRQMNQPR的中点，则ER是直角梯形的中位线，所以MPNQ2ER，即3x14y1123x24y212

2ER，5 5即3x14y1123x24y21210ER23，所以3x14y1123x24y212的最小值为23.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．若数列{an}为等差数列，Sn为前n项和，S5S6，S6S7，S7S8，下列说法中正确的有（ ）d00S6和S7均为Sn的最大值

S9S5【答案】AC【解析】【分析】运用等差数列单调性及下标和性质可解.S5S6a60S7S80d0，且0A正确，B错误；而且S6S7均为Sn的最大值，故C正确；S9S5a9a7a62(a8a72a80S9S5D错误.故选：AC2M与两个定点O00A30的距离之比为1MC，下列说法中正2确的有（ ）C的方程为(x1)2y24若过点A的直线l与曲线C相切，则l的斜率为 3315C与圆(x1)2y21的公共弦长为152B1|MA||MB|的最小值为22【答案】ABD【解析】【分析】设点M(x,y)，由|MO|1列式，化简整理可得曲线C的方程，即可判断A；利用过已知点求圆|MA| 2的切线方程的方法求解即可判断D；求出两圆的公共弦所在直线的方程，再按求弦长的方法求解即可判断C；1|MA||MB|即为|MO||MB|，当M、O、B三点共线时取得最小值，求解可判断D.2AM(xy

|MO|

，所以

x2y2 12 2 ，x2yx2y2(x3)2y2即4x24y2(x3)2y2，所以(x1)2y24.故A正确；

(xy 4对于B，若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：x3，此时圆心1,0到直线l的距离等于d42r，直线l与圆C不相切；若直线l的斜率存在，设直线l的方程为：ykx3，即kxy3k01k2则圆心C0)到直线ld|k3k|2，即1k2

，解得k3.故B正确；11k2C，将(x1)2y24与(x1)2y21x3，444472 圆心C0)到直线x 的距离等于 ，所以公共弦长为24 4

.C不正确；2对于D，1MAMBMOMBOB，当M、O、B三点共线时，等号成立，2221MAMB

OB

.故D成立.2 2 min故选：ABD.ABCABACABACMN分别为C1,C的中点，点P在直线11上，且1P110)，下列说法中正确的有（ ）MNAAπ1 4AMPNPNABC2点N到平面AMP距离的最大值为 3010【答案】BCD【解析】【分析】构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求线线、线面、点面距离，结合参数范围求最值判断A、C、D；坐标法求AM×PN的值判断B.【详解】由题设，构建如下图示空间直角坐标系，则1 2 l1 1(,,0,A(,,,M(,,,N(, ,0,P(,,)，1 2 l22uuuur

111

1 1 10NMNMNM

, ,)，AM)，PN( ,，222 2 2 21cosNMAA

2

3，显然直线MN与AA所成角不为π，A错；341 3 3412uuuuruuur又

11l1

110AMPN，B对；AM

)( , ,02 2 2 2

PNPN11)252 4ABC0

cos,PN ，25所以l1时，PN与平面ABC所成最大角的正弦值为252

，则正切值为2，C对；1由AM(0,1,)，AP(l,0,1)，若m(x,y,z)为面AMP的一个法向量，2r1则mAMy2z0，令z2l，则m(2,l,2l)，rmPxz0uuur

mAN

21(, ,又AN11 ，则点N到平面AMP(, ,22

d245l22 24 245l22 24 2052)2 21224(t5)2512 6(,令t1224(t5)2512 6(,32

dmax

30，D对.10故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．x2 2双曲线 4

1渐近线方程 ．【答案】y1x2【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线

x22y4y

1的a=2，b=1，焦点在x轴上2x2a2

y2 ba1的渐近线方程为y=± xab2x2 2 1x∴双曲线 4

1的渐近线方程为y=±2故答案为y=±1x2【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想

1

113.在三棱锥PABC中，AB2,，AC，AP2,，则直线AP与平面ABC所成角的余弦值为 ．【答案】 3##1 33 3【解析】

ruuurnAPrnAPrnAPrnAPr

求出直线AP与平面ABC所成角的正弦，进而求出直线AP与平面ABC所成角的余弦值.r【详解】设平面ABC的一个法向量为nx,y,z,r1又AB(0,2,1)，AC(1,1,1)，r1则nAB2yz0

，令y2，则x1,z1，rnCxyz0r所以n1,2,1,r设直线AP与平面ABC所成的角0qπ，又 1 ， 2

AP ,2sin

nAPrnAPrnAPrnAPr114114则 q cosn,AP

3，所以cosq

1sin2q 3，3即直线AP与平面ABC所成角的余弦值为 3.3故答案为： 3.314.若项数有限的数列{an}0，且|||a2|L|an1012a2Lan0，则称数列{an}为“n阶上进数列”．①若等比数列{an}是“2024阶上进数列”，则数列{an}通项公式为an；②若等差数列{an}是“2025阶上进数列”，则．【答案】

()n12

1012②.1013【解析】【分析】根据数列新定义，结合等差、等比的通项公式求出对应的基本量，即可得答案.【详解】由等比数列{an}是“2024阶上进数列”2024q，所以aaqn1，又aaLa 0，则1qLq20230，且a0，n 1 1 2 2024 1所以q0

1q20241q

0

2024

1q1an

n1

a1，1 a(1)n1所以|||a2|L|a202410122，故n 2 ；若等差数列{an}是“2025阶上进数列”，即数列共有2025项，若公差为d，a

La

2025(a1a2025)2025a

0，即a 0，1 2 2025 2

1013

1013a

a1012d0d

1013na，1013 1

1012

n 1012 1则|a1||a2|L|a2025|a1La1013a1014La20251012，所以LL1012L10121012，1012 1012 506即a1101210131012a

1012.506 2()n1故答案为：2

1012， .1013

1 1013四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15A,,3B,,C,,3D,,．ABAC为邻边的平行四边形面积；A、B、C、Dλ的值．9【答案（1）12 （2）2【解析】【分析】（1）根据向量的夹角公式求出ÐBAC的余弦，再得出ÐBAC的正弦，利用面积公式得解；（2）根据共面向量基本定理的坐标运算求解.【小问1详解】AB(2,4,4)，AC2,0)，2222(4)2(4)2

225又|AB| 6，|AC| ，5ABAC21(4)2(4)06

ABAC 65cosAB,AC5uu1cos2AB,ACsinAB,AC

65|B|C|65252552525∴四边形ABCD的面积为S .|AB||AC|sinAB,ACABACABCD【小问2详解】由题意，得AD(1,1,l3),∵A、B、C、D四点共面∴存在唯一一对实数x,y使得ADxAByAC12xy

56 125 3 1 9∴14x2y，解得：x，y，l34x∴l的值为9.2

8 4 2Opxyy，ABO的直径，抛0 0物线的弦CD//AB，且直线CD与圆O相切．CD的方程；求VBCD的面积．【答案】（1）y2x5（2）5112【解析】【分析】（1）先列方程组得出抛物线方程，在根据点到直线距离求出参数即可；（2）直线和抛物线联立方程组再应用弦长公式求出|CD|

55结合面积公式计算.【小问1详解】∵圆O与抛物线交于点Ay25 y2 0 00y22p1 p20∴抛物线方程为：y24x∵2)，∴B(1,

∴直线AB的斜率k2，设直线CD的方程为：y2xm5∵直线CD与圆O相切5|m|22

，解得：m5（舍）或m5∴直线CD的方程为：y2x5【小问2详解】y2x5由 2y

4x

得：4x224x250设C(xyD(xy

xx

6，xx251 11k1k2 (xx)24x1 212

2 2 1 2

12 414614624254555CD//AB，B到直线CD的距离为点O到直线CD则距离d55∴△BCD的面积S1|CD|d155 51152 2 2已知数列}d0，Snna2S2S30．求数列{an}的通项公式；a记数列}nT，且ba

2n1

，求T．n（1）an42n

n n 2n2

2 nan3a（2）

n(n2)16(n1)2【解析】【分析】（1）根据已知条件求得首项和公差，从而求得an.（2）利用裂项求和法来求得Tn.【小问1详解】∵S3a23a2，∴a2，S2，3a2{0,2}，∴a20，S30，若S20，则a10，d0与已知d0矛盾；若S22，则a12，a32，d2，即a20，S22，S30符合题意.∴an42n.2详解】由（1）知，an242(n2)2n，an342(n3)2n2，2n1 2n1 11 1 ∴

2n22n22

16n2n2

16

，n2 ∴L1(1116

1122

L1n2

1 (n1)21 1 n(n2)161n12

16(n1)2.ABCDAD1所成角的正切值为2，M，N，P分别为棱DD1，DA，DC上异于D点的动点．2PCD；定义：异面直线的距离指的是公垂线（与两条异面直线都垂直相交的直线）的距离；MNPHHN2HPHM0MNPPBB1的夹角余弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2） 33（3）[0,

15)15【解析】（1）建立空间直角系，由所成角可得CD2的判定定理证明；r由rBC0， BD0，先求出公垂线所在向量，再求距离；r1 1HB1DDHHHN2HPHM0，MNP的坐标，再利用空间向量法求夹角.【小问1详解】连接B1C，因为CD平面BB1C1C，所以DB1C为直线B1D与平面BB1C1C所成角，21所以tanDBCCD ，又BC21

2，所以CD2，1DDADCxyz轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,2,0)，C1(0,2,1)，B1(1,2,1)，D1(0,0,1).当P是CD的中点时，P(0,1,0)，PB1(1,1,1)，AP(1,1,0)，AD1(1,0,1)，∴AP0，0，APQAPIAAP，B1P平面APD1；【小问2详解】uuur，2,，(0,，r r r设n0(x0,y0,z0)，由n0BC10，n0B1D0，

uuur 0

xz0 rn0BC1∴

，∴ 0 0

，令x1，取n(1,1,1)，r

x2yz0 0 001D0

0 0 0

与BD的距离为：d|n|1 ；331|n| 3331【小问3详解】设M(0,0,m)，N(n,0,0)，P(0,p,0)，由点H在直线B1D上，则DHlDB1l(1,2,1)，∴H(l,2l,l)，∴HN(n，HMm，HPp，HN2HPHM00n2pm，∴npm（*）∴MN0,，MP(0,，rMNP的法向量为x1y1，rr0

0 rn1MN由

，得 1 1

x1

=(1,1,1)，r

0 1 11NP0 1 1r设平面PBB1的法向量为n2(x2,y2,z2)，uuurPB2p,0)，(0,，

uuurPB PB

x(2p)y0 r由r

，得

z0

，令y21得：n2(p2,1,0)，2 210 2 ，设平面MNP与平面PBB1的夹角为q，，cosq|n1n2|

|p1|3(p3(p2)21|n1||n2|∵M，N，PDCD由（*）0p1，p1cosq0，当0p1时，令t1p(0,1)，则1(1,)，t3t22t3t22t2∴

(0, )，13 213 221t2t15MNPPBB1所成夹角余弦值的取值范围为

15).15极点与极线是射影几何学研究中的重要理论，对于椭圆C:x2y21ab0Mxya2 b2 0 0（不是坐标原点）C的极线为

:x0xy0y1.已知F，F为椭圆C的左右焦点，点M为C上M a2 b2 1 2M

2MC的极线经过点(42

2)．C的方程；MC的极线lMxaABAB；若P(xy

2 2) x y 为曲线E: 上的动点，且点P对应椭圆C的极线 交椭圆C于Q，R) x y P P a2 b2 2 P判断四边形OQPR的面积是否为定值，如果是定值，求出该定值；如果不是定值，说明理由．x2 2【答案（1） y122（2）证明见解析