中考数学-三角形(章节测试)(含答案)

Page章节检测验收卷四三角形（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（）A．南偏东QUOTE60掳60掳方向 B．北偏西QUOTE60掳60掳方向 C．南偏东QUOTE50掳50掳方向 D．北偏西QUOTE50掳50掳方向2．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架QUOTE𝐴𝐵AB与吊线QUOTE𝐹𝐺FG平行，灯杆QUOTE𝐶𝐷CD与底部支架QUOTE𝐴𝐵AB所成锐角QUOTE．顶部支架QUOTE𝐸𝐹EF与灯杆QUOTE𝐶𝐷CD所成锐角QUOTE，则QUOTE𝐸𝐹EF与QUOTE𝐹𝐺FG所成锐角的度数为（

）A．QUOTE60掳60掳 B．QUOTE55掳55掳 C．QUOTE50掳50掳 D．QUOTE45掳45掳3．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即QUOTE𝐴𝐶=5AC=5，QUOTE𝐷𝐶=1DC=1，QUOTE𝐵𝐷=𝐵𝐴BD=BA，则QUOTE𝐵𝐶=BC=（

）A．8 B．10 C．12 D．13QUOTE𝐵𝐶=124．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高QUOTE1.8m1.8m的测量仪QUOTE𝐸𝐹EF测得的仰角为QUOTE45掳45掳，小军在小明的前面QUOTE5m5m处用高QUOTE1.5m1.5m的测量仪QUOTE𝐶𝐷CD测得的仰角为QUOTE53掳53掳，则电子厂QUOTE𝐴𝐵AB的高度为（

）（参考数据：QUOTE，QUOTE，QUOTE）A．QUOTE22.7m22.7m B．QUOTE22.4m22.4m C．QUOTE21.2m21.2m D．QUOTE23.0m23.0m5．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，QUOTE𝐴𝐸AE平分QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的外角QUOTE鈭燙𝐴𝑁鈭燙AN，点QUOTE𝑀M是QUOTE𝐴𝐶AC的中点，连接QUOTE𝐵𝑀BM并延长交QUOTE𝐴𝐸AE于点QUOTE𝐷D，连接QUOTE𝐶𝐷CD．求证：四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD是平行四边形．证明：∵QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，∴QUOTE鈭燗𝐵𝐶=鈭?鈭燗BC=鈭?．∵QUOTE，QUOTE鈭燙𝐴𝑁=鈭?+鈭?鈭燙AN=鈭?+鈭?，QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴①______．又∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTE𝑀𝐴=𝑀𝐶MA=MC，∴QUOTE（②______）．∴QUOTE𝑀𝐷=𝑀𝐵MD=MB．∴四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（

）A．QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTEAASAAS B．QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTEASAASAC．QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTEAASAAS D．QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTEASAASA6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，QUOTE𝐷D是QUOTE𝐴𝐶AC的中点，QUOTE，QUOTE𝐵𝐷BD与QUOTE𝐶𝐸CE交于点QUOTE𝑂O，且QUOTE𝐵𝐸=𝐶𝐷BE=CD．下列说法错误的是（

）

A．QUOTE𝐵𝐷BD的垂直平分线一定与QUOTE𝐴𝐵AB相交于点QUOTE𝐸EB．QUOTEC．当QUOTE𝐸E为QUOTE𝐴𝐵AB中点时，QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC是等边三角形D．当QUOTE𝐸E为QUOTE𝐴𝐵AB中点时，QUOTE7．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD中，QUOTE，点QUOTE𝐸E是QUOTE𝐴𝐵AB边上的点，QUOTE𝐴𝐸=4AE=4，QUOTE𝐵𝐸=8BE=8，点QUOTE𝐹F是QUOTE𝐵𝐶BC上的一点，QUOTE鈻矱𝐺𝐹鈻矱GF是以点QUOTE𝐺G为直角顶点，QUOTE鈭燛𝐹𝐺鈭燛FG为QUOTE30掳30掳角的直角三角形，连结QUOTE𝐴𝐺AG．当点QUOTE𝐹F在直线QUOTE𝐵𝐶BC上运动时，线段QUOTE𝐴𝐺AG的最小值是（

）A．2 B．QUOTE43−243−2 C．QUOTE2323 D．4QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE𝐴𝐼=𝑀𝐻AI=MHQUOTEQUOTE𝑀𝐻MHQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE鈭燘=60掳鈭燘=60掳QUOTEQUOTEQUOTEQUOTE𝑀𝐻𝐴𝐼MHAIQUOTE𝑀𝐻=𝐴𝐼MH=AIQUOTE𝐵𝐸=8BE=8QUOTEQUOTE𝑀𝐻=12𝐸𝑀=23=𝐴𝐼MH=12EM=23=AIQUOTEQUOTE𝐴𝐺AGQUOTE23238．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD中，QUOTE𝐴𝐵=10AB=10．下列三个结论：①若QUOTE，则QUOTE𝐸𝐹=2EF=2；②若QUOTE的面积是正方形QUOTE𝐸𝐹𝐺𝐻EFGH面积的3倍，则点F是QUOTE𝐴𝐺AG的三等分点；③将QUOTE鈻矨𝐵𝐺鈻矨BG绕点A逆时针旋转QUOTE90掳90掳得到QUOTE鈻矨𝐷𝐺'鈻矨DG'，则QUOTE𝐵𝐺'BG'的最大值为QUOTE55+555+5．其中正确的结论是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在QUOTE中，QUOTE鈭燗𝐵𝐶=90掳鈭燗BC=90掳，QUOTE𝐴𝐵=3cmAB=3cm，QUOTE𝐵𝐶=2cmBC=2cm，点QUOTE𝐴A在直线QUOTE𝑙1l1上，点QUOTE𝐵B，QUOTE𝐶C在直线QUOTE𝑙2l2上，QUOTE，动点QUOTE𝑃P从点QUOTE𝐴A出发沿直线QUOTE𝑙1l1以QUOTE1cm/s1cm/s的速度向右运动，设运动时间为QUOTE𝑡sts．下列结论：①当QUOTE𝑡=2st=2s时，四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝑃ABCP的周长是QUOTE10cm10cm；②当QUOTE𝑡=4st=4s时，点QUOTE𝑃P到直线QUOTE𝑙2l2的距离等于QUOTE5cm5cm；③在点QUOTE𝑃P运动过程中，QUOTE鈻砅𝐵𝐶鈻砅BC的面积随着QUOTE𝑡t的增大而增大；④若点QUOTE𝐷D，QUOTE𝐸E分别是线段QUOTE𝑃𝐵PB，QUOTE𝑃𝐶PC的中点，在点QUOTE𝑃P运动过程中，线段QUOTE𝐷𝐸DE的长度不变．其中正确的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④10．（2023·辽宁·中考真题）如图，QUOTE鈭燤𝐴𝑁=60掳鈭燤AN=60掳，在射线QUOTE𝐴𝑀AM，QUOTE𝐴𝑁AN上分别截取QUOTE𝐴𝐶=𝐴𝐵=6AC=AB=6，连接QUOTE𝐵𝐶BC，QUOTE鈭燤𝐴𝑁鈭燤AN的平分线交QUOTE𝐵𝐶BC于点D，点E为线段QUOTE𝐴𝐵AB上的动点，作QUOTE交QUOTE𝐴𝑀AM于点F，作QUOTE交射线QUOTE𝐴𝐷AD于点G，过点G作QUOTE于点H，点E沿QUOTE𝐴𝐵AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形QUOTE𝐸𝐹𝐻𝐺EFHG与QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于步．（注：“步”为长度单位）

12．（2024·四川达州·中考真题）如图，在QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，QUOTE𝐴𝐸1AE1，QUOTE𝐵𝐸1BE1分别是内角QUOTE鈭燙𝐴𝐵鈭燙AB、外角QUOTE鈭燙𝐵𝐷鈭燙BD的三等分线，且QUOTE，QUOTE，在QUOTE鈻矨𝐵𝐸1鈻矨BE1中，QUOTE𝐴𝐸2AE2，QUOTE𝐵𝐸2BE2分别是内角QUOTE，外角QUOTE的三等分线．且QUOTE，QUOTE，…，以此规律作下去．若QUOTE．则QUOTE度．13．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，QUOTE鈯橭鈯橭是等边三角形QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC的外接圆，其半径为4．过点B作QUOTE于点E，点P为线段QUOTE𝐵𝐸BE上一动点（点P不与B，E重合），则QUOTE𝐶𝑃+12𝐵𝑃CP+12BP的最小值为．

14．（2024·河北·中考真题）如图，QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的面积为QUOTE22，QUOTE𝐴𝐷AD为QUOTE𝐵𝐶BC边上的中线，点QUOTE𝐴A，QUOTE𝐶1C1，QUOTE𝐶2C2，QUOTE𝐶3C3是线段QUOTE𝐶𝐶4CC4的五等分点，点QUOTE𝐴A，QUOTE𝐷1D1，QUOTE𝐷2D2是线段QUOTE𝐷𝐷3DD3的四等分点，点QUOTE𝐴A是线段QUOTE𝐵𝐵1BB1的中点．（1）QUOTE鈻矨𝐶1𝐷1鈻矨C1（2）QUOTE的面积为．15．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC是正三角形，点A在第一象限，点QUOTE𝐵0,0B0,0、QUOTE𝐶1,0C1,0．将线段QUOTE𝐶𝐴CA绕点C按顺时针方向旋转QUOTE120掳120掳至QUOTE𝐶𝑃1CP1；将线段QUOTE𝐵𝑃1BP1绕点B按顺时针方向旋转QUOTE120掳120掳至QUOTE𝐵𝑃2BP2；将线段QUOTE𝐴𝑃2AP2绕点A按顺时针方向旋转QUOTE120掳120掳至QUOTE𝐴𝑃3AP3；将线段QUOTE𝐶𝑃3CP3绕点C按顺时针方向旋转QUOTE120掳120掳至QUOTE𝐶𝑃4CP4；……以此类推，则点QUOTE𝑃99P99的坐标是．

16．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，将QUOTE𝐴𝐵AB绕点A顺时针旋转QUOTE伪伪至QUOTE𝐴𝐵'AB'，将QUOTE𝐴𝐶AC绕点A逆时针旋转QUOTE尾尾至QUOTE，得到QUOTE鈻矨𝐵'𝐶'鈻矨B'C'，使QUOTE，我们称QUOTE鈻矨𝐵'𝐶'鈻矨B'C'是QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的“旋补三角形”，QUOTE鈻矨𝐵'𝐶'鈻矨B'C'的中线QUOTE𝐴𝐷AD叫做QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有．①QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC与QUOTE鈻矨𝐵'𝐶'鈻矨B'C②QUOTE𝐵𝐶=2𝐴𝐷BC=2AD；③若QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，连接QUOTE𝐵𝐵'BB'和QUOTE𝐶𝐶'CC'，则QUOTE；④若QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，QUOTE𝐴𝐵=4AB=4，QUOTE𝐵𝐶=6BC=6，则QUOTE𝐵'𝐶'=10B'C'=10．三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，QUOTE，QUOTE𝐴𝐸=𝐵𝐹AE=BF．若________，则QUOTE𝐴𝐵=𝐶𝐷AB=CD．请从①QUOTE；②QUOTE𝐶𝐸=𝐷𝐹CE=DF；③QUOTE鈭燛=鈭燜鈭燛=鈭燜这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．18．（2024·北京·中考真题）已知QUOTE，点QUOTE𝐵B，QUOTE𝐶C分别在射线QUOTE𝐴𝑁AN，QUOTE𝐴𝑀AM上，将线段QUOTE𝐵𝐶BC绕点QUOTE𝐵B顺时针旋转QUOTE180掳−2伪180掳−2伪得到线段QUOTE𝐵𝐷BD，过点QUOTE𝐷D作QUOTE𝐴𝑁AN的垂线交射线QUOTE𝐴𝑀AM于点QUOTE𝐸E.

(1)如图1，当点QUOTE𝐷D在射线QUOTE𝐴𝑁AN上时，求证：QUOTE𝐶C是QUOTE𝐴𝐸AE的中点；(2)如图2，当点QUOTE𝐷D在QUOTE鈭燤𝐴𝑁鈭燤AN内部时，作QUOTE，交射线QUOTE𝐴𝑀AM于点QUOTE𝐹F，用等式表示线段QUOTE𝐸𝐹EF与QUOTE𝐴𝐶AC的数量关系，并证明。19．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的QUOTE3𝐷3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．数据采集：如图，点QUOTE𝐴A是纪念碑顶部一点，QUOTE𝐴𝐵AB的长表示点QUOTE𝐴A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点QUOTE𝑀M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点QUOTE𝐶C处时，测得点QUOTE𝐴A的仰角QUOTE鈭燗𝐶𝐷=18.4掳鈭燗CD=18.4掳；然后沿QUOTE𝐶𝑁CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角QUOTE鈭燦𝐶𝐷=37掳鈭燦CD=37掳，当到达点QUOTE𝐴A正上方的点QUOTE𝐸E处时，测得QUOTE𝐴𝐸=9AE=9米；QUOTE数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，QUOTE𝐸E，QUOTE𝐴A，QUOTE𝐵B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点QUOTE𝐴A到地面的距离QUOTE𝐴𝐵AB的长（结果精确到1米．参考数据：QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTEtan18.4???.33)tan18.4???.33)．20．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC是等腰三角形，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，QUOTE，QUOTE鈭燤𝐴𝑁鈭燤AN在QUOTE鈭燘𝐴𝐶鈭燘AC的内部，点M、N在QUOTE𝐵𝐶BC上，点M在点N的左侧，探究线段QUOTE之间的数量关系．

（1）如图①，当QUOTE鈭燘𝐴𝐶=90掳鈭燘AC=90掳时，探究如下：由QUOTE鈭燘𝐴𝐶=90掳鈭燘AC=90掳，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC可知，将QUOTE鈻矨𝐶𝑁鈻矨CN绕点A顺时针旋转QUOTE90掳90掳，得到QUOTE鈻矨𝐵𝑃鈻矨BP，则QUOTE𝐶𝑁=𝐵𝑃CN=BP且QUOTE鈭燩𝐵𝑀=90掳鈭燩BM=90掳，连接QUOTE𝑃𝑀PM，易证QUOTE，可得QUOTE𝑀𝑃=𝑀𝑁MP=MN，在QUOTE中，QUOTE𝐵𝑀2+𝐵𝑃2=𝑀𝑃2BM2+BP2=MP2，则有QUOTE𝐵𝑀2+𝑁𝐶2=𝑀𝑁2BM2+NC2=MN2．（2）当QUOTE鈭燘𝐴𝐶=60掳鈭燘AC=60掳时，如图②：当QUOTE鈭燘𝐴𝐶=120掳鈭燘AC=120掳时，如图③，分别写出线段QUOTE之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．21．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”．(1)如图1，直线QUOTE𝐶𝐷CD经过线段QUOTE𝐴𝐵AB的中点P，试说明直线QUOTE𝐶𝐷CD是点A，B的一条等距线．(2)如图2，QUOTE是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“QUOTE两点的等距线”．(3)如图3，QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，QUOTE𝐴1,2,𝐵0,−1,𝐶−2,1A1,2,B0,−1,C−2,1，则在坐标轴上是否存在点P，使QUOTE？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，点D是QUOTE𝐴𝐶AC上的一个动点，过点D作QUOTE于点E，延长QUOTE𝐸𝐷ED交QUOTE𝐵𝐴BA延长线于点F．请你解决下面各组提出的问题：(1)求证：QUOTE𝐴𝐷=𝐴𝐹AD=AF；(2)探究QUOTE𝐷𝐹𝐷𝐸DFDE与QUOTE𝐴𝐷𝐷𝐶ADDC的关系；某小组探究发现，当QUOTE𝐴𝐷𝐷𝐶=13ADDC=13时，QUOTE𝐷𝐹𝐷𝐸=23DFDE=23；当QUOTE𝐴𝐷𝐷𝐶=45请你继续探究：①当QUOTE𝐴𝐷𝐷𝐶=76ADDC=76时，直接写出QUOTE𝐷𝐹𝐷𝐸②当QUOTE𝐴𝐷𝐷𝐶=𝑚𝑛ADDC=mn时，猜想QUOTE𝐷𝐹𝐷𝐸DFDE的值（用含(3)拓展应用：在图1中，过点F作QUOTE，垂足为点P，连接QUOTE𝐶𝐹CF，得到图2，当点D运动到使QUOTE鈭燗𝐶𝐹=鈭燗𝐶𝐵鈭燗CF=鈭燗CB时，若QUOTE𝐴𝐷𝐷𝐶=𝑚𝑛ADDC=mn，直接写出QUOTE𝐴𝑃𝐴𝐷APAD的值（用含m，n的式子表示）．23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，QUOTE鈭燗=90掳鈭燗=90掳，将线段QUOTE𝐵𝐶BC绕点QUOTE𝐵B顺时针旋转QUOTE90掳90掳得到线段QUOTE𝐵𝐷BD，作QUOTE交QUOTE𝐴𝐵AB的延长线于点QUOTE𝐸E．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段QUOTE𝐴𝐵AB与QUOTE𝐷𝐸DE的数量关系是______；(2)【问题解决】如图3，连接QUOTE𝐶𝐷CD并延长交QUOTE𝐴𝐵AB的延长线于点QUOTE𝐹F，若QUOTE𝐴𝐵=2AB=2，QUOTE𝐴𝐶=6AC=6，求QUOTE鈻矪𝐷𝐹鈻矪DF的面积；(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接QUOTE𝐶𝐸CE交QUOTE𝐵𝐷BD于点QUOTE𝑁N，则QUOTE𝐵𝑁𝐵𝐶=BNBC=______；(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线QUOTE𝐴𝐵AB上找点QUOTE𝑃P，使QUOTE，请直接写出线段QUOTE𝐴𝑃AP的长度．24．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为QUOTE6cm6cm的等边三角形纸片QUOTE叠放在一起，使点E、B分别在边QUOTE上（端点除外），边QUOTE相交于点G，边QUOTE相交于点H．(1)如图1，当E是边QUOTE𝐴𝐶AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；(2)如图2，若QUOTE，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；(3)如图3，当QUOTE𝐴𝐸>𝐸𝐶AE>EC，QUOTE𝐹𝐵>𝐵𝐷FB>BD时，QUOTE𝐴𝐸AE与QUOTE𝐹𝐵FB有怎样的数量关系？试说明理由．25．（2024·山东德州·中考真题）在QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，QUOTE𝐴𝐶=𝐵𝐶AC=BC，QUOTE鈭燗𝐶𝐵=120掳鈭燗CB=120掳，点D是QUOTE𝐴𝐵AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段QUOTE𝐷𝐶DC顺时针旋转QUOTE120掳120掳得到线QUOTE𝐷𝐸DE．(1)如图1，当QUOTE鈭燗𝐶𝐷=15掳鈭燗CD=15掳时，求QUOTE鈭燘𝐷𝐸鈭燘DE的度数；(2)如图2，连接QUOTE𝐵𝐸BE，当QUOTE时，QUOTE鈭燗𝐵𝐸鈭燗BE的大小是否发生变化？如果不变求，QUOTE鈭燗𝐵𝐸鈭燗BE的度数；如果变化，请说明理由；(3)如图3，点M在CD上，且QUOTE𝐶𝑀:𝑀𝐷=3:2CM:MD=3:2，以点C为中心，将线CM逆时针转QUOTE120掳120掳得到线段CN，连接EN，若QUOTE𝐴𝐶=4AC=4，求线段EN的取值范围．章节检测验收卷四三角形（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（）A．南偏东QUOTE60掳60掳方向 B．北偏西QUOTE60掳60掳方向 C．南偏东QUOTE50掳50掳方向 D．北偏西QUOTE50掳50掳方向【答案】A【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义和平行线的性质是正确解决本题的关键．作QUOTE，根据平行线的性质得QUOTE，再根据QUOTE，可得QUOTE，根据方向角的定义即可得到答案．【详解】解：如图，作QUOTE，则QUOTE，QUOTE鈭粹垹𝐷𝐶𝐸=100掳−50掳=60掳鈭粹垹DCE=100掳−50掳=60掳，QUOTE，QUOTE鈭碈𝐷鈭𝐹鈭碈D鈭F，QUOTE，QUOTE科技馆位于小亮家的南偏东QUOTE方向，故答案为：A．2．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架QUOTE𝐴𝐵AB与吊线QUOTE𝐹𝐺FG平行，灯杆QUOTE𝐶𝐷CD与底部支架QUOTE𝐴𝐵AB所成锐角QUOTE．顶部支架QUOTE𝐸𝐹EF与灯杆QUOTE𝐶𝐷CD所成锐角QUOTE，则QUOTE𝐸𝐹EF与QUOTE𝐹𝐺FG所成锐角的度数为（

）A．QUOTE60掳60掳 B．QUOTE55掳55掳 C．QUOTE50掳50掳 D．QUOTE45掳45掳【答案】A【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点QUOTE𝐸E作QUOTE，可得QUOTE，即得QUOTE，QUOTE，根据QUOTE鈭犖?45掳鈭犖?45掳求出QUOTE即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：过点QUOTE𝐸E作QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE鈭燘𝐸𝐻=伪=15掳鈭燘EH=伪=15掳，QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE𝐸𝐹EF与QUOTE𝐹𝐺FG所成锐角的度数为为QUOTE，故选：QUOTEAA．3．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即QUOTE𝐴𝐶=5AC=5，QUOTE𝐷𝐶=1DC=1，QUOTE𝐵𝐷=𝐵𝐴BD=BA，则QUOTE𝐵𝐶=BC=（

）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设QUOTE𝐵𝐶=𝑥BC=x，则QUOTE𝐵𝐷=𝐵𝐴=𝑥+1BD=BA=x+1，由勾股定理列出方程进行求解即可．【详解】解：设QUOTE𝐵𝐶=𝑥BC=x，则QUOTE𝐵𝐷=𝐵𝐴=𝑥+1BD=BA=x+1，由题意，得：QUOTE𝑥+12=52+𝑥解得：QUOTE𝑥=12x=12，即QUOTE𝐵𝐶=12BC=12，故选：C．4．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高QUOTE1.8m1.8m的测量仪QUOTE𝐸𝐹EF测得的仰角为QUOTE45掳45掳，小军在小明的前面QUOTE5m5m处用高QUOTE1.5m1.5m的测量仪QUOTE𝐶𝐷CD测得的仰角为QUOTE53掳53掳，则电子厂QUOTE𝐴𝐵AB的高度为（

）（参考数据：QUOTE，QUOTE，QUOTE）A．QUOTE22.7m22.7m B．QUOTE22.4m22.4m C．QUOTE21.2m21.2m D．QUOTE23.0m23.0m【答案】A【分析】本题考查了与仰角有关的解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，先证明四边形QUOTE𝐸𝐹𝐷𝐺EFDG、QUOTE𝐸𝐹𝐵𝑀EFBM、QUOTE𝐶𝐷𝐵𝑁CDBN是矩形，再设QUOTE𝐺𝑀=𝑥mGM=xm，表示QUOTE𝐸𝑀=𝑥+5mEM=x+5m，然后在QUOTE以及QUOTE运用线段和差关系，即QUOTE𝑀𝑁=𝐴𝑁−𝐴𝑀=43𝑥−𝑥+5=0.3MN=AN−AM=43x−x+5=0.3，再求出QUOTE𝑥=15.9mx=15.9m，即可作答．【详解】解：如图：延长QUOTE𝐷𝐶DC交QUOTE𝐸𝑀EM于一点QUOTE𝐺G，∵QUOTE鈭燤𝐸𝐹=鈭燛𝐹𝐵=鈭燙𝐷𝐹=90掳鈭燤EF=鈭燛FB=鈭燙DF=90掳∴四边形QUOTE𝐸𝐹𝐷𝐺EFDG是矩形∵QUOTE鈭燤𝐸𝐹=鈭燛𝐹𝐵=鈭燘=90掳鈭燤EF=鈭燛FB=鈭燘=90掳∴四边形QUOTE𝐸𝐹𝐵𝑀EFBM是矩形同理得四边形QUOTE𝐶𝐷𝐵𝑁CDBN是矩形依题意，得QUOTE，QUOTE∴QUOTE𝐶𝐺=1.8−1.5m=0.3mCG=1.8−1.5m=0.3m，QUOTE𝐹𝐷=𝐸𝐺=5∴QUOTE𝐶𝐺=𝑀𝑁=0.3mCG=MN=0.3m∴设QUOTE𝐺𝑀=𝑥mGM=xm，则QUOTE𝐸𝑀=𝑥+5mEM=x+5m在QUOTE∴QUOTE𝐸𝑀脳1=𝐴𝑀EM脳1=AM即QUOTE𝐴𝑀=𝑥+5mAM=x+5在QUOTE∴QUOTE𝐶𝑁tan53?=43𝑥=𝐴𝑁即QUOTE𝐴𝑁=43𝑥m∴QUOTE𝑀𝑁=𝐴𝑁−𝐴𝑀=43𝑥−𝑥+5=0.3∴QUOTE𝑥=15.9mx=15.9m∴QUOTE𝐴𝑀=15.9+5=20.9mAM=15.9+5=20.9m∴QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝑀+𝐸𝐹=𝐴𝑀+𝑀𝐵=20.9+1.8=22.7mAB=AM+EF=AM+MB=20.9+1.8=22.7m故选：A5．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：已知：如图，QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，QUOTE𝐴𝐸AE平分QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的外角QUOTE鈭燙𝐴𝑁鈭燙AN，点QUOTE𝑀M是QUOTE𝐴𝐶AC的中点，连接QUOTE𝐵𝑀BM并延长交QUOTE𝐴𝐸AE于点QUOTE𝐷D，连接QUOTE𝐶𝐷CD．求证：四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD是平行四边形．证明：∵QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，∴QUOTE鈭燗𝐵𝐶=鈭?鈭燗BC=鈭?．∵QUOTE，QUOTE鈭燙𝐴𝑁=鈭?+鈭?鈭燙AN=鈭?+鈭?，QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴①______．又∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTE𝑀𝐴=𝑀𝐶MA=MC，∴QUOTE（②______）．∴QUOTE𝑀𝐷=𝑀𝐵MD=MB．∴四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD是平行四边形．若以上解答过程正确，①，②应分别为（

）A．QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTEAASAAS B．QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTEASAASAC．QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTEAASAAS D．QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTEASAASA【答案】D【分析】本题考查平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据等边对等角得QUOTE，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，证明QUOTE，得到QUOTE𝑀𝐷=𝑀𝐵MD=MB，再结合中点的定义得出QUOTE𝑀𝐴=𝑀𝐶MA=MC，即可得证．解题的关键是掌握：对角线互相平分的四边形是平行四边形．【详解】证明：∵QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，∴QUOTE．∵QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，∴①QUOTE．又∵QUOTE鈭?=鈭?鈭?=鈭?，QUOTE𝑀𝐴=𝑀𝐶MA=MC，∴QUOTE（②QUOTEASAASA）．∴QUOTE𝑀𝐷=𝑀𝐵MD=MB．∴四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD是平行四边形．故选：D．6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，QUOTE𝐷D是QUOTE𝐴𝐶AC的中点，QUOTE，QUOTE𝐵𝐷BD与QUOTE𝐶𝐸CE交于点QUOTE𝑂O，且QUOTE𝐵𝐸=𝐶𝐷BE=CD．下列说法错误的是（

）

A．QUOTE𝐵𝐷BD的垂直平分线一定与QUOTE𝐴𝐵AB相交于点QUOTE𝐸EB．QUOTEC．当QUOTE𝐸E为QUOTE𝐴𝐵AB中点时，QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC是等边三角形D．当QUOTE𝐸E为QUOTE𝐴𝐵AB中点时，QUOTE【答案】D【分析】连接QUOTE𝐷𝐸DE，根据QUOTE，点QUOTE𝐷D是QUOTE𝐴𝐶AC的中点得QUOTE𝐷𝐸=𝐴𝐷=𝐶𝐷=12𝐴𝐶DE=AD=CD=12AC，则QUOTE𝐵𝐸=𝐷𝐸BE=DE，进而得点QUOTE𝐷D在线段QUOTE𝐵𝐷BD的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设QUOTE鈭燗𝐵𝐷=伪鈭燗BD=伪，根据QUOTE𝐵𝐸=𝐷𝐸BE=DE得QUOTE，的QUOTE鈭燗𝐸𝐷=鈭燛𝐷𝐵+鈭燗𝐵𝐷=2伪鈭燗ED=鈭燛DB+鈭燗BD=2伪，再根据QUOTE𝐷𝐸=𝐴𝐷DE=AD得QUOTE，则QUOTE，由此可对选项Ｂ进行判断；当QUOTE𝐸E为QUOTE𝐴𝐵AB中点时，则QUOTE𝐵𝐸=12𝐴𝐵BE=12AB，QUOTE𝐶𝐸CE是线段QUOTE𝐴𝐵AB的垂直平分线，由此得QUOTE𝐴𝐶=𝐵𝐶AC=BC，然后根据QUOTE𝐵𝐸=12𝐴𝐵BE=12AB，QUOTE𝐶𝐷=12𝐴𝐶CD=12AC，QUOTE𝐵𝐸=𝐶𝐷BE=CD得QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，由此可对选项Ｃ进行判断；连接QUOTE𝐴𝑂AO并延长交QUOTE𝐵𝐶BC于QUOTE𝐹F，根据QUOTE是等边三角形得QUOTE，则QUOTE𝑂𝐴=𝑂𝐵OA=OB，进而得QUOTE𝑂𝐵=2𝑂𝐹OB=2OF，QUOTE𝐴𝐹=3𝑂𝐹AF=3OF，由此得QUOTE，QUOTE，由QUOTE𝐸E为QUOTE𝐴𝐵AB中点，则QUOTE，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．【详解】解：连接QUOTE𝐷𝐸DE，如图1所示：

QUOTE鈭礐𝐸鈯𝐵鈭礐E鈯B，点QUOTE𝐷D是QUOTE𝐴𝐶AC的中点，QUOTE为QUOTE斜边上的中线，QUOTE，QUOTE鈭礏𝐸=𝐶𝐷鈭礏E=CD，QUOTE鈭碆𝐸=𝐷𝐸鈭碆E=DE，QUOTE点QUOTE𝐷D在线段QUOTE𝐵𝐷BD的垂直平分线上，即线段QUOTE𝐵𝐷BD的垂直平分线一定与QUOTE𝐴𝐵AB相交于点QUOTE𝐸E，故选项A正确，不符合题意；设QUOTE鈭燗𝐵𝐷=伪鈭燗BD=伪，QUOTE鈭礏𝐸=𝐷𝐸鈭礏E=DE，QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭礑𝐸=𝐴𝐷鈭礑E=AD，QUOTE，QUOTE鈭粹垹𝐵𝐷𝐶=鈭燗+鈭燗𝐵𝐷=3伪鈭粹垹BDC=鈭燗+鈭燗BD=3伪，即QUOTE鈭燘𝐷𝐶=3鈭燗𝐵𝐷鈭燘DC=3鈭燗BD，故选B正确，不符合题意；当QUOTE𝐸E为QUOTE𝐴𝐵AB中点时，则QUOTE𝐵𝐸=12𝐴𝐵BE=12AB，QUOTE鈭礐𝐸鈯𝐵鈭礐E鈯B，QUOTE是线段QUOTE𝐴𝐵AB的垂直平分线，QUOTE鈭碅𝐶=𝐵𝐶鈭碅C=BC，QUOTE??𝐸=12𝐴𝐵??E=12AB，QUOTE𝐶𝐷=12𝐴𝐶CD=12AC，QUOTE𝐵𝐸=𝐶𝐷QUOTE鈭碅𝐵=𝐴𝐶鈭碅B=AC，QUOTE，QUOTE鈭粹柍𝐴𝐵𝐶鈭粹柍ABC是等边三角形，故选C正确，不符合题意；连接QUOTE𝐴𝑂AO，并延长交QUOTE𝐵𝐶BC于QUOTE𝐹F，如图2所示：

当QUOTE𝐸E为QUOTE𝐴𝐵AB中点时，QUOTE点QUOTE𝐷D为QUOTE𝐴𝐶AC的中点，QUOTE根据三角形三条中线交于一点得：点QUOTE𝐹F为QUOTE𝐵𝐶BC的中点，QUOTE当QUOTE𝐸E为QUOTE𝐴𝐵AB中点时，QUOTE是等边三角形，QUOTE，QUOTE，QUOTE𝐴𝐹AF平分QUOTE，QUOTE𝐵𝐷BD平分QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭碠𝐴=𝑂𝐵鈭碠A=OB，在QUOTE中，QUOTE𝑂𝐵=2𝑂𝐹OB=2OF，QUOTE鈭碠𝐴=𝑂𝐵=2𝑂𝐹鈭碠A=OB=2OF，QUOTE鈭碅𝐹=𝑂𝐴+𝑂𝐹=3𝑂𝐹鈭碅F=OA+OF=3OF，QUOTE，QUOTE，∵QUOTE𝐸E为QUOTE𝐴𝐵AB中点，∴QUOTEQUOTEQUOTE，故选项D不正确，符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．7．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD中，QUOTE，点QUOTE𝐸E是QUOTE𝐴𝐵AB边上的点，QUOTE𝐴𝐸=4AE=4，QUOTE𝐵𝐸=8BE=8，点QUOTE𝐹F是QUOTE𝐵𝐶BC上的一点，QUOTE鈻矱𝐺𝐹鈻矱GF是以点QUOTE𝐺G为直角顶点，QUOTE鈭燛𝐹𝐺鈭燛FG为QUOTE30掳30掳角的直角三角形，连结QUOTE𝐴𝐺AG．当点QUOTE𝐹F在直线QUOTE𝐵𝐶BC上运动时，线段QUOTE𝐴𝐺AG的最小值是（

）A．2 B．QUOTE43−243−2 C．QUOTE2323 D．4【答案】C【分析】如图：过E作QUOTE于点M，作QUOTE于点H，作QUOTE于点I，则点E、M、F、G四点共圆，从而得到QUOTE𝐴𝐼=𝑀𝐻AI=MH，因为QUOTE，所以求出QUOTE𝑀𝐻MH的值即可解答．【详解】解：如图，过E作QUOTE于点M，作QUOTE于点H，作QUOTE于点I，∵QUOTE，∴点E、M、F、G四点共圆，∴QUOTE，∵QUOTE鈭燘=60掳鈭燘=60掳，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∴四边形QUOTE𝑀𝐻𝐴𝐼MHAI是矩形，∴QUOTE𝑀𝐻=𝐴𝐼MH=AI，∵QUOTE𝐵𝐸=8BE=8，∴QUOTE，∴QUOTE𝑀𝐻=12𝐸𝑀=23=𝐴𝐼∴QUOTE，∴QUOTE𝐴𝐺AG最小值是QUOTE2323．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质、解直角三角形、垂线段最短、圆内接四边形对角互补等知识点，熟练掌握相关知识点和添加合适的辅助线是解题关键．8．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝐷ABCD中，QUOTE𝐴𝐵=10AB=10．下列三个结论：①若QUOTE，则QUOTE𝐸𝐹=2EF=2；②若QUOTE的面积是正方形QUOTE𝐸𝐹𝐺𝐻EFGH面积的3倍，则点F是QUOTE𝐴𝐺AG的三等分点；③将QUOTE鈻矨𝐵𝐺鈻矨BG绕点A逆时针旋转QUOTE90掳90掳得到QUOTE鈻矨𝐷𝐺'鈻矨DG'，则QUOTE𝐵𝐺'BG'的最大值为QUOTE55+555+5．其中正确的结论是（

）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】根据QUOTEtan??𝐷𝐹=𝐴𝐹𝐷𝐹=34tan??DF=AFDF=34，设QUOTE𝐴𝐹=3𝑥AF=3x，得到QUOTE𝐷𝐹=4𝑥DF=4x，进而得到QUOTE𝐴𝐷=5𝑥=𝐴𝐵=10AD=5x=AB=10，求出QUOTE𝑥x的值，判定①，根据QUOTE的面积是正方形QUOTE𝐸𝐹𝐺𝐻EFGH面积的3倍，求出QUOTE𝐴𝐺=32𝐵𝐺AG=32BG，进而得到QUOTE𝐹𝐺=𝐴𝐺−𝐵𝐺=13𝐴𝐺FG=AG−BG=13AG，判断②；旋转得到QUOTE，进而得到点QUOTE𝐺'G'在以QUOTE𝐴𝐷AD为直径的半圆上，取QUOTE𝐴𝐷AD的中点QUOTE𝑂O，连接QUOTE𝐵𝑂,𝑂𝐺'BO,OG'，得到QUOTE，判断③．【详解】解：在QUOTE中，QUOTEtan??𝐷𝐹=𝐴𝐹𝐷𝐹=34tan??DF=AFDF∴设QUOTE𝐴𝐹=3𝑥AF=3x，则：QUOTE𝐷𝐹=4𝑥DF=4x，∴QUOTE𝐴𝐷=5𝑥=𝐴𝐵=10AD=5x=AB=10，∴QUOTE𝑥=2x=2，∴QUOTE𝐴𝐹=6,𝐷𝐹=8AF=6,DF=8，∵QUOTE，∴QUOTE𝐷𝐸=𝐴𝐹=6DE=AF=6，∴QUOTE𝐸𝐹=𝐷𝐹−𝐷𝐸=2EF=DF−DE=2；故①正确；若QUOTE的面积是正方形QUOTE𝐸𝐹𝐺𝐻EFGH面积的3倍，则：QUOTE，∴QUOTE，即：QUOTE，∴QUOTE𝐴𝐺=32𝐵𝐺AG=32BG或QUOTE𝐴𝐺=23𝐵𝐺∴QUOTE𝐹𝐺=𝐴𝐺−𝐵𝐺=13𝐴𝐺FG=AG−BG=1∴点F是QUOTE𝐴𝐺AG的三等分点；故②正确；∵将QUOTE绕点A逆时针旋转QUOTE得到QUOTE，∴QUOTE，∴点QUOTE𝐺'G'在以QUOTE𝐴𝐷AD为直径的半圆上，取QUOTE𝐴𝐷AD的中点QUOTE𝑂O，连接QUOTE𝐵𝑂,𝑂𝐺'BO,OG'，则：QUOTE，QUOTE𝑂𝐺'=𝑂𝐴=12𝐴𝐷=5OG'=OA=12AD=5，

∴QUOTE𝐵𝑂=𝑂𝐴2+𝐴𝐵2∴QUOTE，即：QUOTE𝐵𝐺'BG'的最大值为QUOTE55+555故选D．【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，旋转的性质，解一元二次方程，求圆外一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在QUOTE中，QUOTE鈭燗𝐵𝐶=90掳鈭燗BC=90掳，QUOTE𝐴𝐵=3cmAB=3cm，QUOTE𝐵𝐶=2cmBC=2cm，点QUOTE𝐴A在直线QUOTE𝑙1l1上，点QUOTE𝐵B，QUOTE𝐶C在直线QUOTE𝑙2l2上，QUOTE，动点QUOTE𝑃P从点QUOTE𝐴A出发沿直线QUOTE𝑙1l1以QUOTE1cm/s1cm/s的速度向右运动，设运动时间为QUOTE𝑡sts．下列结论：①当QUOTE𝑡=2st=2s时，四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝑃ABCP的周长是QUOTE10cm10cm；②当QUOTE𝑡=4st=4s时，点QUOTE𝑃P到直线QUOTE𝑙2l2的距离等于QUOTE5cm5cm；③在点QUOTE𝑃P运动过程中，QUOTE鈻砅𝐵𝐶鈻砅BC的面积随着QUOTE𝑡t的增大而增大；④若点QUOTE𝐷D，QUOTE𝐸E分别是线段QUOTE𝑃𝐵PB，QUOTE𝑃𝐶PC的中点，在点QUOTE𝑃P运动过程中，线段QUOTE𝐷𝐸DE的长度不变．其中正确的是（）A．①④ B．②③ C．①③ D．②④【答案】A【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当QUOTE𝑡=2st=2s时，得到四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝑃ABCP是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断．【详解】解：①当QUOTE𝑡=2st=2s时，QUOTE𝐴𝑃=2cmAP=2cm，QUOTEQUOTE𝐴𝑃=𝐵𝐶AP=BC，QUOTEQUOTE，QUOTE，QUOTE四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝑃ABCP是矩形，QUOTEQUOTE𝐴𝐵=𝑃𝐶=3cmAB=PC=3cm，QUOTE，四边形QUOTE𝐴𝐵𝐶𝑃ABCP的周长是QUOTE2?2+3=10cm2?2+3=10cm，故①正确；②QUOTEQUOTE，QUOTE，QUOTE𝐴𝐵=3cmAB=3cm，QUOTE直线QUOTE𝑙1l1与直线QUOTE𝑙2l2之间的距离是QUOTE3cm3cm，QUOTE当QUOTE𝑡=4st=4s时，点QUOTE𝑃P到直线QUOTE𝑙2l2的距离等于QUOTE3cm3cm，故②错误；③由②可知点QUOTE𝑃P到QUOTE𝐵𝐶BC的距离为定值QUOTE3cm3cm，即QUOTE的QUOTE𝐵𝐶BC边上的高为QUOTE3cm3cm，又QUOTEQUOTE𝐵𝐶=2cmBC=2cm，QUOTEQUOTE的面积为定值，故③错误；④QUOTE点QUOTE𝐷D，QUOTE𝐸E分别是线段QUOTE𝑃𝐵PB，QUOTE𝑃𝐶PC的中点，QUOTEQUOTE𝐷𝐸DE是QUOTE的中位线，QUOTEQUOTE𝐷𝐸=12𝐵𝐶=1cmDE=12BC=1cm，即线段QUOTE𝐷𝐸DE的长度不变，故④正确；故选：A．10．（2023·辽宁·中考真题）如图，QUOTE鈭燤𝐴𝑁=60掳鈭燤AN=60掳，在射线QUOTE𝐴𝑀AM，QUOTE𝐴𝑁AN上分别截取QUOTE𝐴𝐶=𝐴𝐵=6AC=AB=6，连接QUOTE𝐵𝐶BC，QUOTE鈭燤𝐴𝑁鈭燤AN的平分线交QUOTE𝐵𝐶BC于点D，点E为线段QUOTE𝐴𝐵AB上的动点，作QUOTE交QUOTE𝐴𝑀AM于点F，作QUOTE交射线QUOTE𝐴𝐷AD于点G，过点G作QUOTE于点H，点E沿QUOTE𝐴𝐵AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形QUOTE𝐸𝐹𝐻𝐺EFHG与QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可．【详解】解：∵QUOTE，QUOTE𝐴𝐶=𝐴𝐵=6AC=AB=6，∴QUOTE是边长为6的正三角形，∵QUOTE𝐴𝐷AD平分QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，QUOTE𝐶𝐷=𝐷𝐵=3CD=DB=3，①当矩形QUOTE𝐸𝐹𝐺𝐻EFGH全部在QUOTE之中，即由图1到图2，此时QUOTE0<𝑥鈮?0<x鈮?，

∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE𝐴𝐸=𝐸𝐺=𝑥AE=EG=x，在QUOTE中，QUOTE，∴QUOTE𝐸𝐹=32𝐴𝐸=32𝑥∴QUOTE𝑆=32𝑥2S=②如图3时，当QUOTE𝐴𝐸+𝐴𝐹=𝐺𝐸+𝐴𝐹=𝐴𝐹+𝐶𝐹=𝐴𝐶AE+AF=GE+AF=AF+CF=AC，则QUOTE𝑥+12𝑥=6x+12x=6，解得QUOTE𝑥=4x=4，由图2到图3，此时QUOTE3<𝑥鈮?3<x鈮?，

如图4，记QUOTE𝐵𝐶BC，QUOTE𝐸𝐺EG的交点为QUOTE𝑄Q，则QUOTE是正三角形，∴QUOTE𝐸𝑄=𝐸𝐵=𝐵𝑄=6−𝑥EQ=EB=BQ=6−x，∴QUOTE𝐺𝑄=𝑥−6−𝑥=2𝑥−6GQ=x−6−x=2x−6，而QUOTE，∴QUOTE𝑃𝐺=3𝑄𝐺=32𝑥−6PG=∴QUOTEQUOTE=−332𝑥2+12③如图6时，QUOTE𝑥=6x=6，由图3到图6，此时QUOTE4<𝑥鈮?4<x鈮?，

如图5，同理QUOTE是正三角形，∴QUOTE𝐸𝐾=𝐾𝐵=𝐸𝐵=6−𝑥EK=KB=EB=6−x，QUOTE𝐹𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐹=6−12𝑥FC=AC−AF=6−12x，QUOTE𝐸𝐹=32𝑥EF=3∴QUOTE𝑆=𝑆???𝐸𝐾𝐶𝐹S=QUOTE=−338𝑥2+3因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线，故选：A．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于步．（注：“步”为长度单位）

【答案】6【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【详解】解：根据勾股定理得：斜边为QUOTE82+152=17则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径QUOTE𝑟=8+15−172=3r=8+15−17故答案为：6．【点睛】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握QUOTE中，两直角边分别为QUOTE𝑎a、QUOTE𝑏b，斜边为QUOTE𝑐c，其内切圆半径QUOTE𝑟=𝑎+𝑏+𝑐3r=a+b+c3是解题的关键．12．（2024·四川达州·中考真题）如图，在QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，QUOTE𝐴𝐸1AE1，QUOTE𝐵𝐸1BE1分别是内角QUOTE鈭燙𝐴𝐵鈭燙AB、外角QUOTE鈭燙𝐵𝐷鈭燙BD的三等分线，且QUOTE，QUOTE，在QUOTE鈻矨𝐵𝐸1鈻矨BE1中，QUOTE𝐴𝐸2AE2，QUOTE𝐵𝐸2BE2分别是内角QUOTE，外角QUOTE的三等分线．且QUOTE，QUOTE，…，以此规律作下去．若QUOTE．则QUOTE度．【答案】QUOTE13𝑛𝑚1【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先分别对QUOTE运用三角形的外角定理，设QUOTE，则QUOTE鈭燙𝐴𝐵=3伪鈭燙AB=3伪，QUOTE，则QUOTE鈭燙𝐵𝐷=3尾鈭燙BD=3尾，得到QUOTE，QUOTE3尾=3伪+鈭燙3尾=3伪+鈭燙，同理可求：QUOTE，所以可得QUOTE．【详解】解：如图：∵QUOTE，QUOTE，∴设QUOTE，QUOTE，则QUOTE鈭燙𝐴𝐵=3伪鈭燙AB=3伪，QUOTE鈭燙𝐵𝐷=3尾鈭燙BD=3尾，由三角形的外角的性质得：QUOTE，QUOTE3尾=3伪+鈭燙3尾=3伪+鈭燙，∴QUOTE，如图：同理可求：QUOTE，∴QUOTE，……，∴QUOTE，即QUOTE，故答案为：QUOTE13𝑛𝑚1313．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，QUOTE鈯橭鈯橭是等边三角形QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC的外接圆，其半径为4．过点B作QUOTE于点E，点P为线段QUOTE𝐵𝐸BE上一动点（点P不与B，E重合），则QUOTE𝐶𝑃+12𝐵𝑃CP+12BP的最小值为．

【答案】6【分析】过点P作QUOTE，连接QUOTE𝐶𝑂CO并延长交QUOTE𝐴𝐵AB于点F，连接QUOTE𝐴𝑂AO，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到QUOTE𝑂𝐴=𝑂𝐵=4OA=OB=4，QUOTE，然后利用含QUOTE角直角三角形的性质得到QUOTE𝑂𝐸=12𝑂𝐴=2OE=12OA=2，进而求出QUOTE𝐵𝐸=𝐵𝑂+𝐸𝑂=6BE=BO+EO=6，然后利用QUOTE代入求解即可．【详解】如图所示，过点P作QUOTE，连接QUOTE𝐶𝑂CO并延长交QUOTE𝐴𝐵AB于点F，连接QUOTE𝐴𝑂AO

∵QUOTE是等边三角形，QUOTE∴QUOTE∵QUOTE是等边三角形QUOTE𝐴𝐵𝐶ABC的外接圆，其半径为4∴QUOTE𝑂𝐴=𝑂𝐵=4OA=OB=4，QUOTE，∴QUOTE∴QUOTE∵QUOTE∴QUOTE𝑂𝐸=12𝑂𝐴=2OE=∴QUOTE𝐵𝐸=𝐵𝑂+𝐸𝑂=6BE=BO+EO=6∵QUOTE，QUOTE∴QUOTE𝑃𝐷=12𝑃𝐵PD=∴QUOTE∴QUOTE𝐶𝑃+12𝐵𝑃CP+12BP的最小值为QUOTE𝐶𝐹CF的长度∵QUOTE是等边三角形，QUOTE，QUOTE∴QUOTE𝐶𝐹=𝐵𝐸=6CF=BE=6∴QUOTE𝐶𝑃+12𝐵𝑃CP+1故答案为：6．【点睛】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含QUOTE角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．14．（2024·河北·中考真题）如图，QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的面积为QUOTE22，QUOTE𝐴𝐷AD为QUOTE𝐵𝐶BC边上的中线，点QUOTE𝐴A，QUOTE𝐶1C1，QUOTE𝐶2C2，QUOTE𝐶3C3是线段QUOTE𝐶𝐶4CC4的五等分点，点QUOTE𝐴A，QUOTE𝐷1D1，QUOTE𝐷2D2是线段QUOTE𝐷𝐷3DD3的四等分点，点QUOTE𝐴A是线段QUOTE𝐵𝐵1BB1的中点．（1）QUOTE鈻矨𝐶1𝐷1鈻矨C1（2）QUOTE的面积为．【答案】QUOTE11QUOTE77【分析】（1）根据三角形中线的性质得QUOTE，证明QUOTE，根据全等三角形的性质可得结论；（2）证明QUOTE，得QUOTE，推出QUOTE𝐶1C1、QUOTE𝐷1D1、QUOTE𝐵1B1三点共线，得QUOTE，继而得出QUOTE，QUOTE，证明QUOTE，得QUOTE，推出QUOTE，最后代入QUOTE即可．【详解】解：（1）连接QUOTE𝐵1𝐷1B1D1、QUOTE𝐵1𝐷2B1D2、QUOTE𝐵1𝐶2B1C2、QUOTE𝐵1𝐶3B∵QUOTE的面积为QUOTE22，QUOTE𝐴𝐷AD为QUOTE𝐵𝐶BC边上的中线，∴QUOTE，∵点QUOTE𝐴A，QUOTE𝐶1C1，QUOTE𝐶2C2，QUOTE𝐶3C3是线段QUOTE𝐶𝐶4CC4的五等分点，∴QUOTE𝐴𝐶=𝐴𝐶1=𝐶1𝐶∵点QUOTE𝐴A，QUOTE𝐷1D1，QUOTE𝐷2D2是线段QUOTE𝐷𝐷3DD3的四等分点，∴QUOTE𝐴𝐷=𝐴𝐷1=𝐷1𝐷∵点QUOTE𝐴A是线段QUOTE𝐵𝐵1BB1的中点，∴QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐵1=12𝐵在QUOTE和QUOTE中，QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∴QUOTE的面积为QUOTE11，故答案为：QUOTE11；（2）在QUOTE和QUOTE中，QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，QUOTE，∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE𝐶1C1、QUOTE𝐷1D1、QUOTE𝐵1B1三点共线，∴QUOTE，∵QUOTE𝐴𝐶1=𝐶1𝐶∴QUOTE，∵QUOTE𝐴𝐷1=𝐷1𝐷2=𝐷2𝐷3A∴QUOTE，在QUOTE和QUOTE中，∵QUOTE𝐴𝐶3𝐴𝐶=3=𝐴𝐷3𝐴𝐷AC3AC=3=∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE，∵QUOTE𝐴𝐶1=𝐶1𝐶∴QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE的面积为QUOTE77，故答案为：QUOTE77．【点睛】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等分点的意义，三角形的面积．掌握三角形中线的性质是解题的关键．15．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图，QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC是正三角形，点A在第一象限，点QUOTE𝐵0,0B0,0、QUOTE𝐶1,0C1,0．将线段QUOTE𝐶𝐴CA绕点C按顺时针方向旋转QUOTE120掳120掳至QUOTE𝐶𝑃1CP1；将线段QUOTE𝐵𝑃1BP1绕点B按顺时针方向旋转QUOTE120掳120掳至QUOTE𝐵𝑃2BP2；将线段QUOTE𝐴𝑃2AP2绕点A按顺时针方向旋转QUOTE120掳120掳至QUOTE𝐴𝑃3AP3；将线段QUOTE𝐶𝑃3CP3绕点C按顺时针方向旋转QUOTE120掳120掳至QUOTE𝐶𝑃4CP4；……以此类推，则点QUOTE𝑃99P99的坐标是．

【答案】QUOTE−49,503−49,503【分析】首先画出图形，然后得到旋转3次为一循环，然后求出点QUOTE𝑃99P99在射线QUOTE𝐶𝐴CA的延长线上，点QUOTE𝑃100P100在x轴的正半轴上，然后利用旋转的性质得到QUOTE𝐶𝑃99=100CP99=100，最后利用勾股定理和含QUOTE角直角三角形的性质求解即可．【详解】如图所示，

由图象可得，点QUOTE𝑃1P1，QUOTE𝑃4P4在x轴的正半轴上，∴．旋转3次为一个循环，∵QUOTE99梅3=3399梅3=33∴点QUOTE𝑃99P99在射线QUOTE𝐶𝐴CA的延长线上，∴点QUOTE𝑃100P100在x轴的正半轴上，∵QUOTE𝐶1,0C1,0，QUOTE是正三角形，∴由旋转的性质可得，QUOTE𝐴𝐶=𝐶𝑃1=1AC=CP∴QUOTE𝐵𝑃1=𝑂𝐶+𝐶𝑃1=2∴QUOTE𝑃12,0P12,0∴QUOTE𝐵𝑃2=𝐵𝑃1=2∴QUOTE𝐴𝑃3=𝐴𝑃2=𝑂∴QUOTE𝐶𝑃4=𝐶𝑃3=𝐶𝐴+𝐴∴QUOTE𝐵𝑃4=𝐵𝐶+𝐶𝑃4=5∴QUOTE𝑃45,0P45,0∴同理可得，QUOTE𝑃78,0P78,0，QUOTE𝑃1011,0P10∴QUOTE𝑃100101,0P100101,0∴QUOTE𝐵𝑃100=101BP∴QUOTE𝐶𝑃100=101−1=100CP∴由旋转的性质可得，QUOTE𝐶𝑃99=100CP∴如图所示，过点QUOTE𝑃99P99作QUOTE轴于点E，

∵QUOTE，∴QUOTE，∴QUOTE𝐸𝐶=12𝑃99𝐶=50∴QUOTE𝐸𝑂=𝐸𝐶−𝑂𝐶=49EO=EC−OC=49，QUOTE𝑃99𝐸=𝑃99𝐶2−𝐸𝐶2∴点QUOTE𝑃99P99的坐标是QUOTE−49,503−49,503．故答案为：QUOTE−49,503−49,503．【点睛】本题考查了坐标与图形变化-旋转，勾股定理，等边三角形的性质．正确确定每次旋转后点与旋转中心的距离长度是关键．16．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC中，将QUOTE𝐴𝐵AB绕点A顺时针旋转QUOTE伪伪至QUOTE𝐴𝐵'AB'，将QUOTE𝐴𝐶AC绕点A逆时针旋转QUOTE尾尾至QUOTE，得到QUOTE鈻矨𝐵'𝐶'鈻矨B'C'，使QUOTE，我们称QUOTE鈻矨𝐵'𝐶'鈻矨B'C'是QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的“旋补三角形”，QUOTE鈻矨𝐵'𝐶'鈻矨B'C'的中线QUOTE𝐴𝐷AD叫做QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有．①QUOTE鈻矨𝐵𝐶鈻矨BC与QUOTE鈻矨𝐵'𝐶'鈻矨B'C②QUOTE𝐵𝐶=2𝐴𝐷BC=2AD；③若QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，连接QUOTE𝐵𝐵'BB'和QUOTE𝐶𝐶'CC'，则QUOTE；④若QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC，QUOTE𝐴𝐵=4AB=4，QUOTE𝐵𝐶=6BC=6，则QUOTE𝐵'𝐶'=10B'C'=10．【答案】①②③【分析】延长QUOTE𝐵'𝐴B'A，并截取QUOTE𝐴𝐸=𝐴𝐵AE=AB，连接QUOTE𝐶'𝐸C'E，证明QUOTE，得出QUOTE𝐵𝐶=𝐶'𝐸BC=C'E，QUOTE，根据QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐵'AB=AB'，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐸AB=AE，得出QUOTE𝐴𝐸=𝐴𝐵'AE=AB'，证明QUOTE，得出QUOTE，即可判断①正确；根据三角形中位线性质得出QUOTE𝐴𝐷=12𝐶'𝐸AD=12C'E，根据QUOTE𝐵𝐶=𝐶'𝐸BC=C'E，得出QUOTE𝐵𝐶=2𝐴𝐷BC=2AD，判断②正确；根据QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐶AB=AC时，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐵'=𝐴𝐶'=𝐴𝐶AB=AB'=AC'=AC，得出QUOTE，QUOTE，QUOTE，QUOTE鈭燗𝐵𝐶=鈭燗𝐶𝐵鈭燗BC=鈭燗CB，根据四边形内角和得出QUOTE，求出QUOTE，判断③正确；根据②可知，QUOTE𝐴𝐷=12𝐵𝐶=3AD=12BC=3，根据勾股定理得出QUOTE𝐵'𝐷=𝐴𝐵'2−𝐴𝐷2=42−32=7B'D=【详解】解：延长QUOTE𝐵'𝐴B'A，并截取QUOTE𝐴𝐸=𝐴𝐵AE=AB，连接QUOTE𝐶'𝐸C'E，如图所示：∵QUOTE，∴QUOTE伪+尾=360掳−180掳=180掳伪+尾=360掳−180掳=180掳，∵QUOTE伪+鈭燘𝐴𝐸=180掳伪+鈭燘AE=180掳，∴QUOTE鈭燘𝐴𝐸=尾鈭燘AE=尾，∴QUOTE，∴QUOTE，根据旋转可知，QUOTE𝐴𝐶=𝐴𝐶'AC=AC'，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐵'AB=AB∵QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐸AB=AE，∴QUOTE，∴QUOTE𝐵𝐶=𝐶'𝐸BC=C'E，QUOTE，∵QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐵'AB=AB'，QUOTE𝐴𝐵=𝐴𝐸AB=AE，∴QUOTE𝐴𝐸=𝐴𝐵'AE=AB'∴QUOTE，∴QUOTE，即QUOTE与QUOTE面积相同，故①正确；∵QUOTE𝐴𝐸=𝐴𝐵'AE=AB'，QUOTE𝐵'𝐷=𝐶'𝐷∴QUOTE𝐴𝐷AD是QUOTE的中位线，∴QUOTE𝐴𝐷=12𝐶'