《高等数学 》课件-第4章

4.1不定积分的概念4.2不定积分的换元积分法4.3不定积分分部积分法第4章不定积分

4.1不定积分的概念

4.1.1原函数

有许多实际问题要求我们解决微分法的逆运算，就是要由某函数的已知导数去求该函数.

例如，已知自由落体任意时刻t的运动速度为v(t)=gt,求该落体的运动规律(设运动开始时，物体在原点).这个问题就是要从关系式s′(t)=gt还原出函数s(t).反向用导数公式可知：s(t)=

gt2,这就是所求的运动规律.一般地，如果已知F′(x)=f(x)，如何求F(x)?为此，引入下述定义.

定义4.1设f(x)是定义在某区间的已知函数，若存在函数F(x),使得

F′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx

则称F(x)为f(x)的一个原函数.

比如,因为(lnx)′=

,故lnx是的一个原函数，但是要注意原函数不是唯一的，如lnx+1也是的一个原函数；再如,x2是2x的一个原函数，但是，由于(x2+1)′=(x2+2)′=(x2-)′=…=2x,因此x2+1、x2+2、x2-都是2x的原函数.可见,2x的原函数也不是唯一的.

从以上这些例子可知：一个已知函数如果有一个原函数存在，那么它就有无限多个原函数.现在要问，任何函数的原函数是否都是这样？下面的定理回答了这个问题.定理4.1若F(x)是f(x)的一个原函数，则F(x)+C是f(x)的全部原函数，其中C为任意常数.

证明由于F′(x)=f(x),又[F(x)+C]′=F′(x)=f(x),因此函数族F(x)+C中的每一个都是f(x)的原函数.

另一方面，设G(x)是f(x)的任一个原函数，即G′(x)=f(x),则可证明F(x)与G(x)之间只相差一个常数，即G(x)=F(x)+C.事实上，因为[G(x)-F(x)]′=G′(x)-F′(x)=f(x)-f(x)=0,

所以G(x)-F(x)=C,即G(x)=F(x)+C,这就是说f(x)的任一个原函数G(x)均可表示成F(x)+C的形式.

这样就证明了f(x)的全体原函数刚好组成函数族F(x)+C.4.1.2不定积分

定义4.2如果F(x)为f(x)的一个原函数，则把函数f(x)的全体原函数F(x)+C叫做f(x)的不定积分，记为

其中,F′(x)=f(x)；x称为积分变量；f(x)称为被积函数；f(x)dx称为被积表达式；C称为积分常数；“∫”称为积分号.注求∫f(x)dx

时，切记要“+C”，否则求出的只是一个原函数，而不是不定积分.通常我们把一个原函数F(x)的图像称为f(x)的一条积分曲线，其方程为y=F(x).因此，不定积分∫f(x)d(x)在几何上就表示全体积分曲线所组成的曲线族，它们的方程是y=F(x)+C.在几何上，我们规定：如果两条曲线在横坐标相同点处具有相同的切线斜率，则称这两条曲线平行.这样，不定积分在几何上就表示一族彼此平行的曲线，如图4-1所示.图4-1例4-1求下列不定积分：

在实用上，往往需要从全体原函数中求出一个满足已给条件的确定解，即要确定出常数C的具体数值，如下例.例4-2设一曲线的任一点切线斜率为该点横坐标的6倍，又该曲线过点(1,0),求该曲线方程.

解设所求曲线方程为y=f(x),按题意有=6x,故

因为曲线过点(1,0),将x=1时，y=0代入上式得0=3+C,

即C=-3,于是所求曲线方程为y=3x2-2.例4-3设某物体以速度v=12t2作直线运动，且当t=0时s=2,求运动规律s=s(t).

解按题意有s′(t)=12t2,即s(t)=∫12t2dt=4t3+C；再将条件t=0时s=2代入上式,得C=2,故所求运动规律为s=4t3+2.

由积分定义可知，积分运算与微分运算之间有如下的互逆关系:4.1.3不定积分的基本积分公式

由于求不定积分是求导数的逆运算，因此由导数公式可以相应地得出下列积分公式：4.1.4不定积分的性质

性质4.1被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即

性质4.2两个函数代数和的积分等于各函数积分的代数和，即

性质4.2对有限多个函数的和也是成立的.它表明：和的积分等于积分的和.以上两个公式很容易证明，只要验证右端的导数等于左端的被积函数，并且右端确含一个任意常数C.顺便指出，以后我们计算不定积分时，就可用这个方法检验积分结果是否正确.

利用不定积分的性质和基本积分公式，就可以求一些简单函数的不定积分.实训4.1

3.已知函数f(x)的导数f′(x)=3-2x,且f(1)=4,求f(x).

4.一曲线过点(1,2)，且曲线上任意一点处的切线的斜率都等于该点横坐标的平方，求该曲线方程.

5.一物体以速度v=3t2+4t(m/s)作直线运动，当t=1s时，物体经过的路径s=3m,求物体的运动方程.

4.2不定积分的换元积分法

利用基本积分公式及性质只能求出一些简单的积分.对于比较复杂的积分，我们总是设法把它变形，使其成为能利用基本积分公式的形式,再求出其积分.本节将介绍两类换元积分法.

4.2.1第一换元积分法(凑微分法)

先分析下面的积分.例4-9求∫e100xdx.

解被积函数e100x是复合函数，不能直接套用∫exdx的公式.我们尝试把原积分作下列变形后再计算:

直接验证得知，计算方法正确.例4-9解法的特点是引入新变量u=φ(x),从而把原积分化为关于u的一个简单的积分，再套用基本积分公式求解.现在的问题是，在公式

中，将x换成了u=φ(x)后,得到的公式

是否还成立？回答是肯定的，我们有下述定理：定理4.2如果∫f(x)dx=F(x)+C,则

其中u=φ(x)是x的任一个可微函数.

证明因为∫f(x)dx=F(x)+C,所以dF(x)=f(x)dx.根据微分形式不变性，则有dF(u)=f(u)du.其中u=φ(x)是x的可微函数，由此得定理4.2非常重要，它表明：在基本积分公式中，自变量换成任一可微函数u=φ(x)后公式仍成立.这就大大扩充了基本积分公式的使用范围.应用这一结论，上述例题引用的方法可一般化为下列计算程序：

这种先“凑”微分式，再作变量置换的方法，叫做第一换元积分法，也称凑微分法.例4-10求∫(3x+7)5dx.当运算熟练后，可以不将u写出来，直接用定理计算即可.运用凑微分法的难点在于原题并未指明应该把哪一部分凑成dφ(x),这需要解题经验.如果记熟下列一些微分式，那么在利用凑微分法计算一些不定积分时会大有帮助的.在以上公式中,a≠0.下面再利用凑微分法计算一些不定积分：

例4-14求下列积分：4.2.2第二换元积分法

第一换元积分法是选择新的积分变量为u=φ(x),但对有些被积函数则需要作另一种方式的换元，即令x=φ(t),把t作为新积分变量，才能积分出结果，即

.这种方法叫第二换元法.

使用第二换元法的关键是恰当地选择变换函数x=φ(t).对于x=φ(t),要求其单调可导,φ′(t)≠0,且其反函数t=φ-1(x)存在.下面通过一些例子来说明.例4-15求.

解为了消去根式，可令x=t2(t>0),则dx=2tdt,于是有从例4-15可以看出，被积函数中含有被开方因式为一次式的根式时,令,可以消去根号，从而求得积分.下面重点讨论被积函数含有被开方因式为二次式根式的情况.例4-16求(a>0).

解为了消去被积函数中的根式，使两个量的平方差表示成另外一个量的平方，联想有关的三角函数平方公式sin2t+cos2t=1,因此可作三角变换.令

那么于是

为把t回代为x的函数，可根据sint=作辅助直角三角形(参见图4-2),得,所以一般地说，当被积函数含有

(1)

,可作代换x=asint；

(2)

,可作代换x=atant；

(3)

,可作代换x=sect.

通常称以上代换为三角代换.它是第二换元法的重要组成部分，但在具体解题时，还要具体问题具体分析，例如

就不必用三角代换，而用凑微分法求解更为方便.实训4.2

1.用第一类换元积分法求下列不定积分.

2.用第二类换元积分法求下列不定积分.

4.3不定积分分部积分法

当被积函数是两种不同类型函数的乘积(如∫x2exdx、∫xsinxdx等)时，往往需要用下面所讲的分部积分法来求解.分部积分法是与两个函数乘积的微分公式相对应的，也是一种基本积分法则，公式推导如下.

设函数u=u(x),v=v(x)具有连续导数，根据乘积微分公式有

d(uv)=udv+vdu移项得

udv=d(uv)-vdu

两边积分得

该公式称为分部积分公式.它可以将求∫udv的积分问题转化为求∫vdu的积分，当后面这个积分较容易求解时，分部积分公式就起到了化难为易的作用.例4-17求∫xcosxdx.

解设u=x,dv=cosxdx=d(sinx),于是du=dx,v=sinx,代入分部积分公式有

注本题若设u=cosx,dv=xdx,则有du=-sinxdx及,代入分部积分公式后，得到新得到积分∫x2sinxdx反而比原积分更难求，说明这样设u、dv是不合适的.由此可见，运用好分部积分法的关键是恰当地选择好u和dv,一般要考虑如下两点：

(1)v要容易求得(可用凑微分法求出)；

(2)∫vdu要比∫udv容易积分.当熟悉分部积分法后,u、dv及v、du可心算完成，不必具体写出。例4-19表明，有时要多次使用分部积分法才能求出结果.下面例题又是一种情况，经两次分部积分后，出现了“循环现象”，这时所求积分是通过解方程而求得的.

注: