人教版初中数学七年级下册同步讲与练专题6.2 立方根（原卷版）

专题6.2立方根目标导航目标导航1．了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根．考点精讲考点精讲考点1：求一个数的立方根典例：（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）已知，求的立方根．方法或规律点拨本题考查了算术平方根及完全平方式的非负性，有理数的乘方，立方根的概念，属于基础题，熟练掌握非负性与相关运算法则是解题关键．巩固练习1．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）下列说法不正确的是（

）A．25的平方根是 B．是81的一个平方根C．4的算术平方根是 D．的立方根是2．（2022秋·重庆万州·八年级重庆市万州新田中学校考期中）已知代数式与是同类项，那么的值为（

）A． B．1 C． D．03．（2023春·河南周口·七年级校联考阶段练习）的立方根为（

）A． B． C．2 D．44．（2023秋·河北唐山·八年级统考期末）下列等式成立的是（

）A． B． C． D．5．（2023秋·重庆九龙坡·七年级重庆实验外国语学校校考期末）下列说法不正确的是（

）A．的平方根是 B．是的一个平方根C．的算术平方根是0.4 D．的立方根是6．（2023秋·四川内江·八年级统考期末）下列各式中运算正确的是（

）A． B． C． D．7．（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）的立方根是（

）A． B． C． D．没有意义8．（2022春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）已知一个正方体的体积扩大为原来的n倍，它的棱长变为原来的（

）A．倍 B．倍 C．3n倍 D．n3倍9．（2022秋·山东青岛·七年级统考期末）下列计算，错误的是（

）A． B．C． D．10．（2022秋·山东枣庄·八年级滕州市西岗镇西岗中学校考期末）下列说法中，正确的个数是（

）的立方根是；的算术平方根是；的立方根是；的平方根是．A． B． C． D．11．（2020秋·四川广元·七年级校考期中）若，则_____．12．（2022秋·浙江温州·七年级统考期中）己知a是绝对值最小的数，则______．13．（2022秋·甘肃天水·八年级校考阶段练习）的立方根是__________．14．（2022春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）的立方根是______．考点2：平方根和立方根的综合应用典例：（2022秋·江苏·八年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）已知的立方根是4，的算术平方根是5，c是9的算术平方根，(1)求a，b，c的值(2)求的平方根．方法或规律点拨本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数的平方是，叫做的平方根；算术平方根：一个非负数的平方是，叫做的算术平方根；立方根：一个数的立方是，叫做的立方根，是解题的关键．巩固练习1．（2022春·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知的立方根为，则的算术平方根是(

)A． B． C． D．2．（2022秋·浙江金华·七年级统考期中）已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（

）A． B．C． D．3．（2022秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考期末）若是的算术平方根，是的立方根，则的值为__________．4．（2022秋·山东威海·七年级校考阶段练习）如果a是100的算术平方根，b是125的立方根，的平方根是_____．5．（2022秋·湖南永州·八年级校考期中）已知的算术平方根是6，的立方根是5，则的平方根为___________．6．（2022秋·吉林长春·八年级长春市第二实验中学校考期末）已知的平方根是，的立方根是，求的平方根7．（2021秋·陕西汉中·八年级统考期中）一个正数的算术平方根为，它的平方根为，求这个正数的立方根．8．（2022秋·陕西西安·八年级统考期中）已知的立方根是，的算术平方根是，求的值．9．（2022秋·山东枣庄·八年级校考阶段练习）己知的平方根为，的立方根为2，求的算术平方根．10．（2022秋·广东佛山·八年级大沥中学校考阶段练习）已知2的平方等于，是27的立方根，表示3的平方根．(1)求，，的值；(2)求多项式：．11．（2022秋·江苏苏州·八年级校考阶段练习）已知4是的算术平方根，的立方根为．(1)求和的值；(2)求的平方根．12．（2022秋·江苏无锡·八年级无锡市天一实验学校校考期中）（1）已知的算术平方根是2，的立方根是2，求a、b的值；（2）已知一个正数x的平方根分别是和，求x的值．13．（2022·全国·七年级专题练习）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根的部分内容：平方根立方根定义一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一般地，如果一个数x的立方等于a，即，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方根是0；负数没有平方根．正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数．【类比探索】（1）探索定义：填写下表11681x类比平方根和立方根，给四次方根下定义：______．（2）探究性质：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的四次方根是______；④______（填“有”或“没有”）四次方根．类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：______；【拓展应用】（1）______；（2）______；（3）比较大小：______．考点3：利用立方根的性质解方程典例：（2022春·贵州遵义·七年级校考阶段练习）解方程：(1)(2)方法或规律点拨本题考查利用平方根和立方根的定义解方程，掌握相关定义是解题的关键．巩固练习1．（2022秋·山西运城·八年级校考阶段练习）求未知数x的值：．2．（2022秋·江苏·八年级专题练习）求下列各式中x的值：(1)；(2)．3．（2022秋·福建三明·八年级统考期中）求值(1)(2)4．（2022·全国·七年级专题练习）解方程：(1)(2)5．（2022秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）求下列各式中的x．(1)(2)6．（2023秋·辽宁阜新·八年级校考阶段练习）解方程：(1)；(2)．7．（2023秋·陕西西安·八年级西安益新中学校考阶段练习）解方程：(1)(2)(3)8．（2022春·福建莆田·七年级校考期中）解下列方程(1)．(2)．9．（2022春·湖北武汉·七年级武汉市武珞路中学校考阶段练习）解方程：(1)(2)考点4：立方根的实际应用典例：某地气象资料表明，当地雷雨持续的时间t（h）可以用公式来估计，其中d（km）是雷雨区域的直径．（1）如果雷雨区域的直径为6km，那么这场雷雨大约能持续多长时间？（结果精确到0.1h）（2）如果一场雷雨持续了1h，那么这场雷雨区域的直径大约是多少？（结果精确到0.01km）方法或规律点拨本题主要考查了算术平方根，立方根的应用，熟练掌握算术平方根的性质是解题的关键．巩固练习1．（2022秋·吉林长春·八年级吉林大学附属中学校考阶段练习）一个正方体的体积是，则它的棱长为（）A． B． C． D．2．（2021秋·海南省直辖县级单位·八年级校考期中）一个正方体的体积是，则它的表面积是（

）A．96 B．64 C．32 D．163．（2022春·安徽六安·七年级统考期中）如果一个正方体的体积变为原来的64倍，那么它的棱长增加为原来的多少倍?（

）A．3 B．4 C．6 D．84．（2022秋·全国·八年级专题练习）随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（

）A．50 B．60 C．70 D．405．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期中）正方体的体积是正方体的体积的倍，那么正方体的棱长是正方体的棱长的_____倍．6．（2022秋·全国·七年级专题练习）底面积为，高为19cm的圆柱形容器内有若干水，水位高度为，现将一个边长为6cm的立方体铁块水平放入容器底部，立方体完全沉没入水中（如图甲）．再将一个边长为acm的立方体铁块水平放在第一个立方体上面，若第二个立方体只有一半没入水中（如图乙）．此时水位高度为，若，则___________cm．7．（2022春·山东德州·七年级统考期中）现有两个大小不等的正方体茶叶罐，大正方体茶叶罐的体积为，小正方体茶叶罐的体积为，将其叠放在一起放在地面上（如图），则这两个茶叶罐的最高点到地面的距离是________．8．（2022秋·安徽宿州·八年级统考期中）“魔方”（如图）是一种立方体形状的益智元具，它由三层完全相同的小立方块组成，如果“魔方”的体积为cm3，那么组成它的每个小立方块的棱长为多少？9．（2021秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）在一个长、宽、高分别为8，4，2的长方体容器中装满水，将容器中的水全部倒入一个正方体容器中，恰好倒满（两容器的厚度忽略不计），求此正方体容器的棱长．10．（2022秋·陕西咸阳·八年级统考期中）李叔叔将8个正方体魔方，放入到一个容积为的正方体纸箱中，恰好填满．求这个魔方的棱长．11．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·七年级统考期中）王老师为班级图书角购买了四本同一型号的字典，这种字典的长与宽相等．班长将这4本字典放入一个容积为512的正方体礼盒里，恰好填满．求这一本字典的厚度．12．（2022秋·江苏·八年级专题练习）据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：(1)已知，且x为整数．∵，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是______；划去10648后面的三位648得10，∵，∴x的十位数字一定是______；∴______．(2)，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．13．（2023·全国·九年级专题练习）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤：①首先进行了估算：因为，，所以是两位数；②其次观察了立方数：；猜想的个位数字是7；③接着将往前移动3位小数点后约为50，因为，，所以的十位数字应为3，于是猜想，验证得：的立方根是；④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立．请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：(1)=；(2)若，则；(3)已知，且与互为相反数，求的值．能力提升能力提升一、单选题（每题3分）1．（2022秋·浙江丽水·七年级统考期末）下列运算正确的是（）A． B． C． D．2．（2021春·云南昆明·七年级校考期中）下列计算中正确的是（

）．A． B． C． D．3．（2022秋·河南南阳·八年级统考期中）下列说法不正确的是（

）A．225的平方根是 B．的立方根是C．0的算术平方根是0 D．125的立方根是4．（2022秋·辽宁沈阳·八年级统考期中）小明利用计算器得到下表中的数据：88.599.5106472.258190.25100512614.125729857.3751000那么在（

）A．9～9.5之间 B．9.5～10之间 C．90～95之间 D．95～100之间5．（2022秋·浙江宁波·七年级浙江省鄞州区宋诏桥中学校考期中）一个长、宽，高分别为50、8、20的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，则锻造成的立方体铁块的棱长是（

）A．20 B．200 C．40 D．6．（2022秋·辽宁沈阳·九年级校考阶段练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果，那么x叫a的n次方根，其中，且n是正整数．例如：因为，所以±3叫81的四次方根，记作：，因为，所以叫的五次方根，记作：，下列说法不正确的是（）A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根C． D．二、填空题（每题3分）7．（2022秋·福建泉州·八年级校考期末）已知与互为相反数，则________．8．（2022秋·江苏·八年级期中）如果，则__．9．（2023春·广东江门·七年级统考期末）若，，那么________．10．（2021秋·浙江湖州·七年级统考期中）定义新运算：对任意实数a、b，都有，例如，，那么=________．11．