弹性力学 课件 第10章 能量原理和变分法

弹性力学配套教材：马宏伟、张伟伟主编《弹性力学》，高等教育出版社，2024.12能量原理和变分法Theenergyprincipleandthemethodofvariation弹性体的应变能和应变余能01虚功原理与最小势能原理01位移变分法01平面问题的位移变分法01最小余能原理01应力变分法01平面问题的应力变分法01弹性体的形变势能01Elasticspotentialenergyofthedeformablebody基本概念01材料在单向拉伸作用下的能量上式称为应变能密度。若以应力为自变量，可求应变余能密度，如若材料为线弹性材料时，有：若弹性体只在两个互相垂直方向有剪切应力，且切应变时，则应变能为

每单位体积内具有的形变势能为:02基本概念材料在三向应力状态下的应变能根据能量守恒，叠加各情况后，得应变能密度一般情况下，弹性体受力并不均匀，应变能密度也不均匀，为坐标得函数，所以，弹性体所储备的应变能为利用物理方程转变为应变分量来表示，得基本概念02材料在三向应力状态下的应变能02基本概念02材料在三向应力状态下的应变能02

利用几何方程，把应变能用位移表示：基本概念02材料在三向应力状态下的应变余能02应变余能密度

在应力-应变关系为线性时同样是考虑应变余能密度为位置坐标的函数，则整个弹性体的应变余能为考虑物理方程，将所有的应变均用应力表示，得应变余能密度的表达式整个弹性体的应变余能表达式基本概念02微分关系依据应变能与应力、应变的积分关系，可得：对于余能，类似可得：虚功原理与最小势能原理02Virtualworkprincipleandminimumpotentialenergyprinciple02虚功原理01位移：外力：体力面力将上式进行归项后，得设有一弹性体在一定的外力作用下处于平衡状态，并发生虚位移：外力在虚位移上做功为虚功，设无能量损失，全部转换为应变能，有——此即为位移变分方程

或者

拉格朗日变分方程对于弹性体而言，虚位移

、

、

不是常数，而是位置的函数，因此位移变分方程是以位移函数为自变量的泛函。02变分方程的意义02如图所示的简支梁，梁在一定的载荷下挠曲线方程如图中实线所示（简便起见，只考虑其y方向位移），位移设为

。假定位移产生改变，变为

，位移变分为位移变分方程简化为

相当于当自变量函数(挠曲线)改变时应变能的变化量，这很像函数的微分关系。微分和变分的对比“微分”的概念移植到泛函中来，仍以图示的简支梁为例，将泛函中自变量函数（挠曲线函数）的“增量”记为，称其为位移变分；应变能函数的增量为，称其为应变能的变分。02虚位移原理03微分、积分、变分运算可交换次序

将应变能视为应变的变分（相当于求多元函数的全导数）：代入

(10-8)———虚位移原理，也称为虚功原理或虚功方程。方程左边为应力在虚应变上所做的虚功。虚位移原理表示：在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功就等于应力在与该虚位移相应的虚应变上所做的虚功。由于外力的大小和方向可以当作保持不变，体力和面力分量可作为常数写到变分算子内，有——弹性体的总势能02虚位移原理03在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能的变分成为零。最小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移中间，实际存在的一组位移应使总势能成为极值。如果考虑二阶变分，则得到对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。又由于弹性力学的解具有唯一性，总势能的极小值就是最小值。因此，上述原理称为最小势能原理。02位移变分方程03微分、积分、变分运算可交换次序将应变能视为应变的变分（相当于求多元函数的全导数）：

(10-10)

按照几何方程，写出应变分量的变分为式(10-10)的右边共有9项，现在来对每一项进行分部积分，以第一项为例，有式(10-10)右边的9项都做分部积分后，共得18项

(10-11)02位移变分方程03将式(10-11)代入(10-7),并使用高斯积分定理，有(10-11)(10-7)代入高斯积分定理:若P、Q、R为三个函数，它们的体积积分与面积分满足关系：当面力已知位移变分法03Displacementvariationmethod设某弹性力学问题的位移分量具有如下表达形式：位移分量的变分可以写为代入位移变分方程:应变能的变分为把

视为“公因式”合并归项后，有因系数不全为0由于

之间相互独立，因此上述求导运算后，各式只含有对应系数的一次项，可以求得全部系数。这一方法被称为里茨法。位移变分方程:设下述位移满足位移边界条件和应力边界条件其变分形式为代入伽辽金变分方程因系数不全为0考虑物理方程、几何方程，得到用位移分量表示各式也只含有对应系数的一次项，可以求得全部系数。这一方法被称为伽辽金法。平面问题的位移变分法04Displacementvariationmethodforplaneprobelems02平面问题的位移变分方程01位移表示的应变能方程（10-4）平面应变问题，w=0设出位移表达式代入里茨法伽辽金法02例题102设有宽度为a而高度b为的薄板，左边及下边受连杆支承，右边及上边分别受有均布压力

及

，不计体力，试求薄板的位移?解：设位移分量为满足边界条件

，

。应力边界条件未知采用里茨法求解。简便起见，位移只取一个系数代入应变能表达式代入体力为0，且m=102例题102设有宽度为a而高度b为的薄板，左边及下边受连杆支承，右边及上边分别受有均布压力

及

，不计体力，试求薄板的位移?续：代入导出求解，得因此，有获得位移解后，可通过几何方程求得应变，再利用物理方程获得应力，得到弹性力学的全部解。02例题203设有宽度为2a而高度为b的矩形薄板，左右两边及下边均被固定，而上边的位移给定为

，

，不计体力，求薄板的位移和应力。解：取m=1，设位移分量为满足全部的位移边界条件，应用伽辽金法：求各阶导数，为：代入伽辽金方程，求得常数为：02例题203设有宽度为2a而高度为b的矩形薄板，左右两边及下边均被固定，而上边的位移给定为

，

，不计体力，求薄板的位移和应力。续：位移解为当板为正方形时，且

，上述解为

应用几何方程及物理方程,可由得到的位移分量求得应力分量：

最小余能原理05PrincipleofMinimumComplementaryEnergy分量设一弹性体，在外力作用下处于平衡状态

命：为实际存在的应力分量，并满足平衡方程和应力边界条件设体力与应力边界条件不变，应力分量发生微小改变：

即：

（a）

（b）（c）应力变分满足无体力平衡微分方程应力变分也满足无面力时的边界条件在给定位移的边界上，应力变分会引起面力的变分分量将应变余能看作为应力分量的函数高斯积分定理（10-8）（2-15）考虑式(a)(b)(c)，上述面积分在边界上为0，则——应力变分方程，也称为卡斯蒂利亚诺变分方程如果在某一部分边界上，面力是给定的，则该部分边界上的面力不能有变分，于是，而式(10-22)右边的相应积分项成为零；如果在某一部分边界上,给定的位移等于零，则式(10-22)右边的相应积分项也成为零。因此，应力变分方程(10-21)右边的积分，只须在这样的边界上进行：面力没有给定，而给定的位移又不等于零。（10-22）分量虚应力原理微分、积分、变分运算可交换次序

(10-6)将应变能视为应变的变分（相当于求多元函数的全导数）：代入

(10-22)

(10-23)——虚应力原理从应力变分方程(10-22)出发，还可以推出最小余能原理。

(10-22)方括号内的表达式代表弹性体的总余能。当总余能取极值时，应力为真实应力。可以证明，该极值为极小值，即——最小余能原理应力变分法06StressVariationalMethod设定应力分量的表达式，使其满足平衡微分方程和应力边界条件。取应力分量的表达式如下：(10-25)是互不依赖的m个系数；是满足微分方程和应力边界条件的设定函数；是满足没有体力和面力作用时的平衡微分方程和应力边界条件设定函数。如果在弹性体的每一部分边界上，不是面力被给定，便是位移等于零。则由(10-22)得(10-26)如果在某一部分边界上位移是给定的，并不等于零。则应用(10-22)，即(b)(a)这里，

是已知的，积分只包括该已知位移边界，

与应力的变分间满足如下关系将(b)代入(a)，计算(a)右边的积分，可得(c)其中是常数。另一方面，由于(d)将式(c)、(d)代入式(a)，得到(e)这将仍然是

的一次方程，而且总共有m个，仍然可以用来求解系数

，从而由表达式(10-25)求得应力。平面问题的应力变分法07StressVariationalMethodforplanproblem02平面问题的应力变分法01在平面问题中，设体力为常数，设应力函数为

，则应力分量可写为(10-27)(10-28)设应力函数的表达式为在平面应力问题中，有，而且不随坐标z变化，应变余能表达式可简化为对于平面应变问题，做如下代换

，

，得

(10-29)考虑的弹性体是单连体，体力为常量，而且问题是应力边界问题，则应力分量应当与弹性常数无关，有将式(a)代入，得用应力函数表达的应变余能。在应力边界中，面力变分为0，则(a)将式(10-30)代入，即得(10-31)02例题01考虑矩形薄板或长柱，体力不计，在两对边上受有按抛物线分布的拉力，其最大集度为q，如图所示，求其应力解。解：其边界条件为选用式(10-27)作为应力函数，根据边界条件令为：可见，其满足应力边界条件为使

对应的应力满足无面力时的边界条件，设：关于x,y轴对称，只有二次项简便起见，只取第一项：式(10-31)变为：02例题01考虑矩形薄板或长柱，体力不计，在两对边上受有按抛物线分布的拉力，其最大集度为q，如图所示，求其应力解。代入续：将应力函数带入，得对于正方形的薄板或正方形截面的长柱，有：再求应力分量，有：在薄板或长柱的中心

，得02例题01考虑矩形薄板或长柱，体力不计，在两对边上受有按抛物线分布的拉力，其最大集度为q，如图所示，求其应力解。续：为了求得较精确的应力数值，取三个系数，代入(10-31)（分别求