人教A版2019必修第一册高一数学同步教学题型讲义-第1讲 集合的概念4种题型总结【含答案】

人教A版2019必修第一册高一数学同步教学题型讲义-第1讲集合的概念4种题型总结【考点分析】考点一：元素与集合的概念①元素：一般地，我们把要研究对象统称为元素．②集合：我们把所要研究的对象放在一起的总体叫做集合．③两个集合相等：是指构成两个集合的元素是一样的．考点二：集合中元素的三个特征给定一个集合，它的元素必须是确定的、互不相同的，它的三个特征是确定性、无序性、互异性考点三：元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A“a属于A”不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A“a不属于A”考点四：常间数集及其表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN∗或ZQR【题型目录】题型一：集合中元素的确定性题型二：集合中元素互异性题型三：元素与集合的关系题型四：集合中元素的个数【典型例题】题型一：集合中元素的确定性【例1】（2024·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（文））下列各组对象中不能形成集合的是（

）A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生【例2】（2024·全国·高一专题练习）下列选项能组成集合的是（

）A．著名的运动健儿 B．英文26个字母 C．非常接近0的数 D．勇敢的人【题型专练】1.下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2020-2023学年度笫一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数相差很小的全体实数2．（2024·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）下列所给的对象能组成集合的是（

）A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花3．（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（

）A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师4．（2024·江苏·高一）下面各组对象中不能形成集合的是（

）A．所有的直角三角形 B．一次函数C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数5.下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（） A．组 B．组 C．组 D．组题型二：集合中元素互异性【例1】下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合． A．1 B．2 C．3 D．4【例2】已知集合中的元素为，若，则__________.【题型专练】1.已知集合是由三个元素组成，若，则实数的值为__________.2.已知集合中的元素为，若，则实数的值为_____________.3.已知集合中的元素为，若，则实数的值为（） A．1或 B．1 C． D．或0题型三：元素与集合的关系【例1】下列关系中，正确的个数为（） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3【例2】集合中的元素满足，则集合中的元素为______________．【例3】（2024·全国·高一专题练习）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【题型专练】1.下列元素与集合的关系表示正确的是（） ①； ②； ③； ④． A．①② B．②③ C．①③ D．③④2.下列关系中，正确的个数为（） ①；②；③；④；⑤. A．1 B．2 C．3 D．43.若集合中的元素满足，且，则下列各式正确的是（） A．，且 B．，且 C．且 D．，且4.给出下列关系： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．45.（2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列关系中正确的个数是（

）①，②，

③，

④A． B． C． D．题型四：集合中元素的个数【例1】（2024·全国·高一专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【例2】设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A(a≠1，且a≠0)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．【题型专练】1.非空集合具有下列性质：①若，则；②若，则，下列判断一定成立的是（）（1）；（2）；（3）若，则；（4）若，则. A．（1）（3） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（2）（3）（4）2、设数集由实数构成，且满足：若（且），则．（1）若，则中至少还有几个元素？（2）集合是否为双元素集合？请说明理由．（3）若中元素个数不超过，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合中的元素．参考答案与详细解析【考点分析】考点一：元素与集合的概念①元素：一般地，我们把要研究对象统称为元素．②集合：我们把所要研究的对象放在一起的总体叫做集合．③两个集合相等：是指构成两个集合的元素是一样的．考点二：集合中元素的三个特征给定一个集合，它的元素必须是确定的、互不相同的，它的三个特征是确定性、无序性、互异性考点三：元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果a是集合A中的元素，就说a属于集合Aa∈A“a属于A”不属于如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合Aa∉A“a不属于A”考点四：常间数集及其表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法NN∗或ZQR【题型目录】题型一：集合中元素的确定性题型二：集合中元素互异性题型三：元素与集合的关系题型四：集合中元素的个数【典型例题】题型一：集合中元素的确定性【例1】（2024·陕西·西北农林科技大学附中高二期末（文））下列各组对象中不能形成集合的是（

）A．高一数学课本中较难的题 B．高二（2）班全体学生家长C．高三年级开设的所有课程 D．高一（12）班个子高于1.7m的学生【答案】A【解析】【分析】根据集合的三要素确定性，互异性和无序性逐个判断即可；【详解】对A，高一数学课本中较难的题不具有确定性，不能形成集合；对BCD，各组对象均满足确定性，互异性和无序性，能形成集合故选：A【例2】（2024·全国·高一专题练习）下列选项能组成集合的是（

）A．著名的运动健儿 B．英文26个字母 C．非常接近0的数 D．勇敢的人【答案】B【解析】【分析】根据集合的定义判断即可；【详解】解：著名的运动健儿，元素不确定，不能组成集合；英文26个字母，满足集合元素的特征，所以能组成集合；非常接近0的数，元素不确定，不能组成集合；勇敢的人，元素不确定，不能组成集合.故选：B．【题型专练】1.下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2020-2023学年度笫一学期全体高一学生 C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数相差很小的全体实数【答案】B【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B2．（2024·黑龙江·鸡西市第四中学高二期中）下列所给的对象能组成集合的是（

）A．“金砖国家”成员国 B．接近1的数C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花【答案】A【解析】【分析】利用集合元素的确定性对选项逐一分析，由此判断出正确选项.【详解】对于A，“金砖国家”成员国即巴西，俄罗斯，印度，中国，南非，能组成集合，故A正确；对于B，C，D三个选项来说，研究对象无法确定，所以不能组成集合.故选：A.3．（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（

）A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【答案】B【解析】【分析】由集合中元素的性质可直接得到结果.【详解】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.故选：B.4．（2024·江苏·高一）下面各组对象中不能形成集合的是（

）A．所有的直角三角形 B．一次函数C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数【答案】C【解析】【分析】根据集合的元素具有确定性的性质，可判断答案.【详解】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，故选：C5.下列各组对象：①接近于的数的全体；②比较小的正整数全体；③平面上到点的距离等于的点的全体；④正三角形的全体；⑤的近似值的全体.其中能构成集合的组数有（） A．组 B．组 C．组 D．组【答案】A【详解】①“接近于的数的全体”的对象不确定，不能构成集合；②“比较小的正整数全体”的对象不确定，不能构成集合；③“平面上到点的距离等于1的点的全体”的对象是确定的，能构成集合；④“正三角形的全体”的对象是确定的，能构成集合；⑤“的近似值的全体的对象”不确定，不能构成集合；故③④正确.故选：A.题型二：集合中元素互异性【例1】下列判断正确的个数为（）（1）所有的等腰三角形构成一个集合；（2）倒数等于它自身的实数构成一个集合；（3）质数的全体构成一个集合；（4）由2，3，4，3，6，2构成含有6个元素的集合． A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】在（1）中，所有的等腰三角形构成一个集合，故（1）正确；在（2）中，若，则a2＝1，∴a＝±1，构成的集合为{1，﹣1}，故（2）正确；在（3）中，质数的全体构成一个集合，任何一个质数都在此集合中，不是质数的都不在，故（3）正确；在（4）中，集合中的元素具有互异性，构成的集合为{2，3，4，6}，含4个元素，故（4）错误．故选：C【例2】已知集合中的元素为，若，则__________.【答案】或；【详解】由，，若，，，此时，符合题意；若，则，，当时，，不符题意，当时，，符合题意，综上可得：或.故答案为：1或2.【题型专练】1.已知集合是由三个元素组成，若，则实数的值为__________.【答案】或【详解】因为，则或或，当时，，，符合题意；当时，，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，或（舍）当时，，符合题意；综上所述：或，故答案为：或2.已知集合中的元素为，若，则实数的值为_____________.【答案】或【详解】依题意，当时，，，符合题意.当时，，，不满足互异性，错误.当，（舍去）或，时，，符合题意.综上所述，实数的值为或.故答案为：或3.已知集合中的元素为，若，则实数的值为（） A．1或 B．1 C． D．或0【答案】C【详解】当时，得，此时，不满集合中元素的互异性，不合题意；当时，得，若，则，不满集合中元素的互异性，不合题意；若，则，满足.故选：C题型三：元素与集合的关系【例1】下列关系中，正确的个数为（） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3【答案】D【详解】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确；在②中，，故②正确；在③中，，故③错误；在④中，，故④错误；在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.故选：D.【例2】集合中的元素满足，则集合中的元素为______________．答案：0,1,2解析∵eq\f(6,3－x)∈N，∴3－x＝1或2或3或6，即x＝2或1或0或－3.又x∈N，故x＝0或1或2.即集合A中的元素为0,1,2.【例3】（2024·全国·高一专题练习）已知，，为非零实数，代数式的值所组成的集合是，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】分别对，，的符号进行讨论，计算出集合的所有元素，再进行判断.【详解】根据题意，分4种情况讨论；①、全部为负数时，则也为负数，则；②、中有一个为负数时，则为负数，则；③、中有两个为负数时，则为正数，则；④、全部为正数时，则也正数，则；则；分析选项可得符合．故选：A.【题型专练】1.下列元素与集合的关系表示正确的是（） ①； ②； ③； ④． A．①② B．②③ C．①③ D．③④【答案】B【详解】为正整数集，所以，故①不正确；表示整数集，所以，故②正确；表示有理数集，则，，故③正确，④不正确；故选：B2.下列关系中，正确的个数为（） ①；②；③；④；⑤. A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】0是自然数，故，①正确；是无理数，故，②错误；无理数，故，③错误；是整数，故，④正确；是实数，故，⑤错误.故正确个数是2个.故选：B.3.若集合中的元素满足，且，则下列各式正确的是（） A．，且 B．，且 C．且 D．，且【答案】D【详解】因为，，所以，.故选：D4.给出下列关系： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】根据元素与集合的关系：①12∈R，正确；②2∈Q，正确；③|﹣3|=3∈N，正确；④|-3|=3∈Z，正确；⑤0∉N，错误，故正确的个数为4．故选：D．5.（2023·湖南·衡阳市田家炳实验中学高一阶段练习）下列关系中正确的个数是（

）①，②，

③，

④A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】不是整数，是实数，不是正整数，是无理数【详解】①错误②正确③错误④正确故选：B题型四：集合中元素的个数【例1】（2024·全国·高一专题练习）已知A是由0，m，m2﹣3m+2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为（）A．2 B．3 C．0或3 D．0，2，3均可【答案】B【解析】【分析】由题意可知m＝2或m2﹣3m+2＝2，求出m再检验即可．【详解】∵2∈A，∴m＝2或m2﹣3m+2＝2．当m＝2时，m2﹣3m+2＝4﹣6+2＝0，不合题意，舍去；当m2﹣3m+2＝2时，m＝0或m＝3，但m＝0不合题意，舍去．综上可知，m＝3．故选：B．【例2】设集合A中的元素均为实数，且满足条件：若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A(a≠1，且a≠0)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A.又因为2∈A，所以eq\f(1,1－2)＝－1∈A.因为－1∈A，所以eq\f(1,1－－1)＝eq\f(1,2)∈A.因为eq\f(1,2)∈A，所以eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.所以A中另