2024-2025学年重庆市两江新区高二上册9月月考数学质量检测试题合集2套（含解析）

2024-2025学年重庆市两江新区高二上学期9月月考数学质量检测试题（一）一、单选题（本大题共8小题）1．已知向量，，若，则实数的值为（

）A．1 B．3 C． D．2．已知复数（是虚数单位），则共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（

）A． B． C． D．4．已知一组数据：121，123，124，125，125，126，127，128，129，130．则这组数据的第25百分位数是（

）A．123 B．124 C．125 D．1265．若，，，，为空间直线，，为平面，则下列说法错误的是（

）A．，，则B．，，，则C．，，，则D．，是异面直线，则，在内的射影为两条相交直线6．如图所示，在棱长为2的正方体中，E为的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（

）

A． B． C． D．7．如图，一架高空侦察飞机以的速度在海拔的高空沿水平方向飞行，在点处测得某山顶的俯角为，经过后在点处测得该山顶的俯角为，若点A，B，M在同一个铅垂平面内，则该山顶的海拔高度约为（

）

A． B． C． D．8．如图，在中，，E为线段AD上的动点，且，则的最小值为（

）

A．8 B．12 C．32 D．16二、多选题（本大题共3小题）9．经过简单随机抽样获得的样本数据为，则下列说法正确的是（

）A．若数据的方差，则所有数据圴相同B．若数据的均值为3，则数据的均值为6C．数据的极差不小于数据的极差D．若数据的众数为78，则可以说总体中的众数为7810．若向量满足，，则（

）A． B．与的夹角为C． D．在上的投影向量为11．中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，垂直于底面，，底面扇环所对的圆心角为，弧的长度是弧长度的3倍，，则下列说法正确的是（

）A．弧长度为 B．曲池的体积为C．曲池的表面积为 D．三棱锥的体积为5三、填空题（本大题共3小题）12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班50人，3班50人，4班40人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取40人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是．13．如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为．14．如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为.四、解答题（本大题共5小题）15．已知复数满足，的虚部是2．(1)求复数；(2)设，，在复平面上的对应点分别为，，，若点位于第一象限，求的面积．16．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，△PAD为等边三角形，∠ABC=120°，点E，F分别是线段PA，AD的中点．(1)求证：平面EBD；(2)若AB=2，求四棱锥P-DFBC的体积．17．为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求，某市政府积极鼓励居民节约用水.计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x(吨)，一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年200位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，1)，[1，2)，…，[8，9)分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图,其中0.4a=b.（1）求直方图中a,b的值，并由频率分布直方图估计该市居民用水的平均数(每组数据用该组区间中点值作为代表)；（2）设该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于2吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由.18．的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角A；（2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围.19．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为．如图，在直三棱柱中，点A的曲率为，N，M分别为AB，的中点，且．(1)证明：平面．(2)证明：平面平面．(3)若，求二面角的正切值．答案1．【正确答案】B【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解.【详解】因为，，，所以，则.故选：B.2．【正确答案】D【分析】先化复数代数形式，再求共轭复数，最后根据复数几何意义确定选项.【详解】，对应点为,在第四象限，选D.本题考查共轭复数定义以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.3．【正确答案】A【分析】利用斜二测画法得到原图矩形中，为正方形，从而求出面积.【详解】平行四边形，由斜二测画法得，在原图矩形中，，为正方形，故该图形的面积为．故选：A.4．【正确答案】B【分析】把数据按从小到大的顺序排列,可计算出这组数据的第25百分位数是第3项即可.【详解】数据从小到大排列是：121，123，124，125，125，126，127，128，129，130．共10个数据，，所以这组数据的第25百分位数是第3项，即124.故选：B.5．【正确答案】D【分析】根据线线、线面、面面垂直的性质和判定定理可以判定ABC都正确，考虑到异面直线在同一平面内的射影不同情况，可知D错误.【详解】由于两平行线与任意直线所成的角都相等可知A正确；由平面垂直的性质和面面垂直的判定定理可知B正确；由平面平行的性质和线面垂直的性质可得C正确；由于两异面直线在同一平面内的射影可能是平行直线，相交直线，一条直线和直线外的一点，故D错误，综上不正确的是D，故选：D.6．【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，，进而求出线线角的向量公式即可求出结果.【详解】如图，以D为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则.所以，又所以.

故选：C.7．【正确答案】B【分析】在中，由正弦定理求出，再由可求出结果.【详解】依题意得，，在中，米，，由正弦定理得，得米，又所以该山顶的海拔高度为米.故选：B.8．【正确答案】C【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常数代换技巧求解即可.【详解】因为，所以，因为，所以，因为三点共线，所以，，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是32.故选：C9．【正确答案】AC【分析】根据数据的平均数，方差，极差及众数的性质逐项进行检验即可判断.【详解】对于A，数据的方差时，说明所有的数据都相等，故选项A正确；对于B，数据，的平均数为，数据的平均数为，故选项B错误；对于C，设数据的极差为当不是时，数据的极差为当为时，的极差小于故选项C正确；对于D，样本数据具有随机性，所以样本的众数不一定是总体的众数，故选项D错误，故选.10．【正确答案】BC【分析】根据数量积的运算律求出，即可判断A、B、C，求出，即可判断D.【详解】对于A：因为，，所以，所以，故A错误；对于B：设与的夹角为，则，又，所以，故B正确；对于C：因为，所以，故C正确；对于D：因为，且，所以在上的投影向量为，故D错误；故选：BC11．【正确答案】ACD【分析】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，根据弧的长度是弧长度的倍及求出、，再根据体积、表面积公式计算可得.【详解】设弧所在圆的半径为，弧所在圆的半径为，因为弧的长度是弧长度的倍，，即，，，，所以弧的长度为，故A正确；曲池的体积为，故B错误；曲池的表面积为，故C正确；三棱锥的体积为，故D正确．故选：ACD．12．【正确答案】10【分析】根据分层抽样原则直接计算即可【详解】由题意，从高一年级200人中抽取40人访谈，按照年级分层，则高一2班应该抽人.故10.13．【正确答案】【分析】根据题意画出该几何体的轴截面，如图，设是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，求出球的半径，从而可求出，进而可求得圆锥的侧面积.【详解】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，由题意可知，解得，由于圆柱的高为2，，，，母线，∴圆锥的侧面积为．故14．【正确答案】【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使在方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得的取值范围.【详解】如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系.因，而表示在方向上的投影向量的模，由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点，则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小.易得，则的最大值为6，最小值为，故.故答案为.15．【正确答案】(1)或(2)【分析】（1）设，结合条件求即可得z；（2）结合（1）结论，利用复数的四则运算即可得的对应坐标，进而求它们构成的的面积；【详解】（1），则，由题意得，且，解得或，所以或．（2）因为位于第一象限，所以，，，所以，，，直线，所以且到的距离为1；∴.所以．16．【正确答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）连接，连，证明，再利用线面平行的判定推理作答.（2）证明平面，再利用锥体的体积公式求解作答.【详解】（1）在四棱锥P-ABCD中，连接，连，如图，因四边形是菱形，则O是AC的中点，而E是PA的中点，则，又平面，平面，所以平面.（2）在正中，F是线段AD的中点，则，而平面平面，平面平面，平面，因此，平面，且，在菱形中，，则，是正三角形，，，显然四边形是直角梯形，其面积为，所以四棱锥的体积.17．【正确答案】（1）a=0.15，b=0.06；4.07（2）35.2万；（3）x=5.8【分析】（1）由频率之和为1以及0.4a=b列方程组求得a,b的值，并由频率分布直方图中间值作为代表，计算出平均数；（2）计算不低于2吨人数对应的频率，求出对应的人数；（3）由频率分布直方图计算频率，可判断5＜x＜6，再根据频率列出方程，求出x的值.【详解】（1）由频率分布直方图可得0.04+0.08+a+0.20+0.26+a+b+0.04+0.02=1，又0.4a=b，则a=0.15，b=0.06，该市居民用水的平均数估计为：x=0.5×0.04+1.5×0.08+2.5×0.15+3.5×0.20+4.5×0.26+5.5×0.15+6.5×0.06+7.5×0.04+8.5×0.02≈4.07；（2）由频率分布直方图可得，月均用水量不超过2吨的频率为：0.04+0.08=0.12，则月均用水量不低于2吨的频率为：1−0.12=0.88，所以全市40万居民中月均用水量不低于2吨的人数为：40×0.88=35.2（万）；（3）由频率分布直方图知月均用水量不超过6吨的频率为：0.88，月均用水量不超过5吨的频率为0.73，则85%的居民每月的用水量不超过的标准x（吨），5＜x＜6，所以0.73+0.15x−5=0.85，解得x=5.8即标准为5.8吨.18．【正确答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析.【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得.（2）若选①，使用正弦定理以及辅助角公式可得，根据的范围可得结果；选②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果.【详解】（1）因为，所以，得，所以，因为，所以.（2）分三种情况求解：选择①，因为，由正弦定理得，即的周长，因为，所以，即周长的取值范围是.选择②,因为，由正弦定理得即的周长，因为，所以，所以，即周长的取值范围是(6,+∞).选择③.因为，得，由余弦定理得，即的周长，因为，当且仅当时等号成立，所以.即周长的取值范围是.本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，熟练掌握公式，边角互化化繁为简，考查分析问题的能力，属中档题.19．【正确答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)．【分析】（1）由题意可得，根据线面垂直的性质可得，结合线面垂直的判定定理即可证明；（2）如图，易证，由（1）得平面，结合面面垂直的判定定理即可证明；（3）如图，根据线面垂直的判定定理可得平面，则，易证，则∠AHF为二面角的平面角的补角．结合等面积法求得FH，即可求解.【详解】（1）在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，则，，所以点A的曲率为，所以．因为，所以△ABC为正三角形．因为N为AB的中点，所以．又平面ABC，平面ABC，所以，因为，平面，所以平面．（2）取的中点D，连接DM，DN．因为N为AB的中点，所以且．又且，所以且，所以四边形CNDM为平行四边形，则．由（1）知平面，则平面．又平面，所以平面平面．（3）取BC的中点F，连接AF，则．因为平面ABC，平面ABC，所以，因为，平面，所以平面．又平面，所以，过F作的垂线，垂足为H，连接AH，则，又平面，所以平面，又平面，，所以∠AHF为二面角的平面角的补角．设，，则，，．由等面积法可得，则，则，故二面角的正切值为．【方法总结】学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落脚点仍然是线面、面面垂直的判定定理与性质和求二面角.2024-2025学年重庆市两江新区高二上学期9月月考数学质量检测试题（二）一、单选题（本大题共8小题）1．（

）A． B． C． D．2．关于百分位数，下列选项错误的是（

）A．一组数按照从小到大排列后为：，，…，，计算得：，则这组数的80%分位数是B．一组数据的百分位数可能是这组数据中的数，也可能不是这组数据中的数C．一组数据的某些百分位数可能是同一个数D．第50百分位数就是中位数3．已知正方体中，点E为的中点，若，（x，）则x，y的值分别为（

）A．1，1 B．1， C．， D．，14．已知直线的方向向量是，平面的法向量是，则与的位置关系是（

）A． B．C．与相交但不垂直 D．或5．某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（

）A． B． C． D．6．将边长为的正方形（及其内部）绕旋转一周形成圆柱，如图，，，其中与在平面的同侧，则异面直线与所成角的大小是（

）A． B． C． D．7．正三棱锥的侧面都是直角三角形，分别是的中点，则与平面所成角的正弦值为（

）A． B． C． D．8．在四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面.已知，E为线段上一个动点，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3小题）9．关于空间向量，以下说法正确的是（

）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点，有，则四点共面C．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D．若，则是钝角10．对于概率的基本性质，下列选项正确的是（

）A．如果事件A与事件B互斥，那么B．如果事件A与事件B互为对立事件，那么C．如果，则D．11．在棱长为的正方体中，已知为线段的中点，点和点分别满足，，其中，则下列说法正确的是（

）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，四棱锥的外接球的表面积是C．的最小值为D．存在唯一的实数对，使得平面三、填空题（本大题共3小题）12．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，则其和为5的概率是_______．13．已知空间向量，，，则向量与的夹角为．14．在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=(0<<2)，则点G到平面D1EF的距离为.四、解答题（本大题共5小题）15．在空间直角坐标系中，，，，，点满足.(1)求点的坐标（用表示）；(2)若，求的值．16．一次数学考试有4道填空题，共20分，每道题完全答对得5分，否则得0分．在试卷命题时，设计第一道题使考生都能完全答对，后三道题能得出正确答案的概率分别为、、，且每题答对与否相互独立．（1）当时，求考生填空题得满分的概率；（2）若考生填空题得10分与得15分的概率相等，求的值．17．某电视台为宣传安徽，随机对安徽15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“皖江城市带有哪几个城市？”统计结果如图表所示：组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的频率第1组[15，25）a0.5第2组[25，35）18x第3组[35，45）b0.9第4组[45，55）90.36第5组[55，65]3y(1)分别求出a，b，x，y的值；(2)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组人数18．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点，(1)求异面直线与的夹角；(2)若，求平面与平面所成的二面角的夹角的正弦值19．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，沿EF将四边形EFCD折起，使二面角的大小为60°，点M在线段AB上.(1)若M为AB的中点，且直线MF与直线EA的交点为O，求OA的长，并证明直线平面EMC；(2)是否存在点M，使得直线DE与平面EMC所成的角为60°；若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由.

答案1．【正确答案】D【分析】利用向量的运算法则求解.【详解】解：，，，，故选：D2．【正确答案】A【详解】由百分位数的定义可知，若，则这组数的80%分位数是，故A错误；由百分位数的定义可知，对分位数，若不为整数时，则分位数是这组数据中的数，若为整数时，则分位数是相邻两个数据的平均值，故可能不是这组数据中的数，故B正确；当一组数据的分位数，分位数，满足是整数部分相同的非整数时，它们对应百分位数是同一个数，故C正确；由百分位数的意义可知第50百分位数就是中位数，故D正确.故选：A3．【正确答案】C【详解】,所以.故选：C.4．【正确答案】D【分析】判断与的位置关系，进而可得出直线与的位置关系.【详解】，，或.故选：D.本题考查利用空间向量法判断线面位置关系，属于基础题.5．【正确答案】A【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：乙甲123456123456共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有，共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.故选A.6．【正确答案】C【详解】如图所示，建立空间直角坐标系.，，，，，，设异面直线与所成角为，，，异面直线与所成角的大小是.故选：C.7．【正确答案】C【详解】因为正三棱锥的侧面都是直角三角形，所以可以以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，设，因为分别是的中点，所以，，设平面的法向量为m=x,y,z则有，所以与平面所成角的正弦值为：，故选：C

8．【正确答案】B【分析】由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系，，则的最小值问题转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点的距离之和的最小值的问题，即转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点的距离之和的最小值的问题，由图可知当M，P，N三点共线时，到两定点的距离之和最小，从而可得答案【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则.∵E为线段上一个动点，∴设，则，，故问题转化为求的最小值问题，即转化为求平面直角坐标系中的一个动点到两定点的距离之和的最小值的问题，如图所示.由此可知，当M，P，N三点共线时，，故选：B.此题考查空间中两线段和最小问题，转化为平面问题解决，考查空间向量的应用，属于中档题9．【正确答案】ABC【详解】对于A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；对于B，因为且，所以P，A，B，C四点共面，B正确；对于C，因为是空间中的一组基底，所以不共面且都不为，假设共面，则，即，则，与其为基底矛盾，所以不共面，所以也是空间的一组基底，C正确；对于D，若，则是钝角或是，D错误；故选：ABC10．【正确答案】BD【详解】对于A，事件A与事件B互斥，则，而可以为1，A错误；对于B，事件A与事件B互为对立事件，则，B正确；对于C，，则，C错误；对于D，，D正确.故选：BD11．【正确答案】ABD【详解】对于A，当时，为中点，又为中点，，平面，平面，平面，则当在线段上移动时，其到平面的距离不变，三棱锥的体积为定值，A正确；对于B，当时，取交点，连接，则四棱锥为正四棱锥，平面，设四棱锥的外接球的球心为，半径为，则在直线上，，，，即，解得：，四棱锥的外接球的表面积，B正确；对于C，将问题转化为在平面内求解的最小值，作关于线段的对称点，过作，交于，如下图所示，，（当且仅当与重合时取等号），，，，，即的最小值为，C错误；对于D，以为坐标原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，若平面，则，，解得：（舍）或，存在唯一的实数对，使得平面，D正确.故选：ABD.12．【正确答案】0.2【详解】两数之和等于5有(1,4)和(2,3)两种情况，总的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等，所以P＝210＝0.213．【正确答案】/【详解】解：依题意，所以，所以，由于，所以向量与的夹角为.故.14．【正确答案】【详解】由题意得A1B1∥EF，A1B1⊄平面D1EF，EF⊂平面D1EF，所以A1B1∥平面D1EF，则点G到平面D1EF的距离等于点A1到