2025届高考数学专项复习：几何体的内接球与外接球阿氏球等17类题型（解析版）

几何体的外接球与内接球，阿氏球等17类题型

、裁点题型解读（目录）,

【题型1】球的截面问题

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

【题型3】直棱柱和圆柱外接球模型

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

【题型5】直棱锥外接球模型（一条侧棱垂直底面）

【题型6】球心在高上（圆锥形）

【题型7】圆台，棱台外接球模型

【题型8】棱锥外接球之切瓜模型（一个面垂直外接圆直径）

【题型9】两个外心+中垂线确定球心

【题型10】外接球之共斜边拼接模型

【题型11】外接球之二面角模型

【题型12］内切球之棱锥，圆锥模型

【题型13］内切球之圆台，棱台模型

【题型14】多球相切问题

【题型15】棱切球问题

【题型16】构造球解决空间中动点构成的直角问题

【题型17】阿氏球问题

0I题型归类比

【题型。球的趣面问题

基础知识

球体的相关计算关键是找出球心到相关平面的距离，再结合勾股定理计算求值

半圆绕其直径所在直线旋转一周，如图记作：球。

形成方式

大圆：经过球心的截面圆

球相关概念小圆：不经过球心的截面圆半径।

小圆

结构性质两点间的球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长

球的小圆的圆心与球心连线垂直小圆面

L（2020•全国2卷TH）已知△ABC是面积为笄的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O

的表面积为16兀,则O到平面ABC的距离为（）

A.V3B.C.1D.孚

【答案】。

【分析】根据球。的表面积和△ABC的面积可求得球。的半径五和△48。外接圆半径，，由球的性质可知

所求距离d—产.

设球O的半径为凡则4击2=16兀,解得：R=2.

设△ABC外接圆半径为r，边长为a,

•.•△ABC是面积为当工的等边三角形，

・••**空=罕,解得：0=3,.”=年义/^^=界/苧=®

球心O到平面ABC的距离d=VR2-r2=V4^3=l.

2.（24—25高二上•贵州遵义•阶段练习）已知C,。四点都在球。的球面上，且A,。三点所在

平面经过球心，AB=4四，乙4CB=卷，则点。到平面ABC的距离的最大值为，球O的表面

积为.

【答案】464兀

【分析】利用正弦定理求得△ABC外接圆半径，结合题意可得球的半径，再利用球的截面性质与球的表面积

公式即可得解.

【详解】在△AB。中，AB=4同，ZACB^~.

O

根据正弦定理=/7T=1。=2r（r为△ABC外接圆半径），

smAsm±>smC

这里a=AB=4V3,C=Z.ACB=二，所以2r=A&=4V=g,解得了=4.

3sinCsing

因为A、B、。三点所在平面经过球心O,所以球O的半径R=r=4.

因为A、8、。三点所在平面经过球心O,

当垂直于平面ABC时，点。到平面ABC的距离最大，这个最大值就是球的半径R,

所以点。到平面ABC的距离的最大值为4.

则球的表面积为S=4兀不=4兀x42=64兀.

3.（23—24高三下.广东江门•阶段练习）已知正四面体A—BCD的内切球的表面积为36兀，过该四面体

的一条棱以及球心的平面截正四面体A-BCD,则所得截面的面积为

【答案】54嚣

【分析】由内切球的表面积求出内切球的半径，过点A作平面BCD,连接■并延长交CD于点E,

且点E为CD中点、,连接AE,记内切球球心为O,过。作OF_LAE,设正四面体边长为a,然后结合正四面

体的性质可求出a,从而可求出截面的面积.

【详解】解：由内切球的表面积5表=4兀A2=36兀,得内切球半径R=3

如图，过点A作AH±平面BCD,则点H为等边ABCD的中心

连接并延长交CD于点E,且点E为。D中点，连接AE,

记内切球球心为O,过O作OR_LAE,设正四面体边长为Q,

则BE=AE=^-a,BH=去BE=4a,HE=冬a,

所以AH=VAE2-HE2=」当出一条出=坐明

V4363

又因为OH=OF=3,所以49=^0—3,

O

由△.一△但，得黑=黑，即£。一3

=—,解得a=6A/6

2-a

因为△ABE过棱AB和球心O,所以△4BE即为所求截面

且S“BE=^BE・AH=]xx=^-a2=54A/2.

4.已知△ABC是面积为丁的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为28兀，则

点O到平面ABC的距离为.

【答案】2

【分析】设球。的半径为R,由球的表面积解出凡设△ABC外接圆半径为r,边长为a,解出r,由勾股定理

求解d即可.

【详解】设球O的半径为R,则4兀¥=28元，解得R=V7.

设△ABC外接圆半径为了,边长为a,

因为△ABC是面积为当工的等边三角形，

所以｝&2*4=竽，解得0=3,

由—二27，所以『二V3,

F

所以球心O到平面ABC的距离d=彳=，』=2.

5.已知过球面上A,B,。三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且AB=BC=1,AC=心,则球的

表面积是.

【答案】粤

O

［分析】根据给定条件，利用正弦定理求出△ABC的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即

得答案.

AC尺1

【详解】在△ABC中,AB=BC=1,4。=则cosABAC二洋,sinABAC=5,

A.B22

由正弦定理得△ABC外接圆半径r=《x.士，「=1,设球半径为R,

2smZBAG

6.(2024.辽宁丹东.一榭已知球O的直径为AB,C,D为球面上的两点，点河在4B上，且AM=3MB,

AB±平面MCD,若^MCD是边长为V3的等边三角形,则球心O到平面BCD的距离为.

【答案】片段

J.O

【分析】根据球的截面性质，可得球的半径为2,将球心。到平面BCD的距离转化为为初到平面BCD的距

离的2倍,进而根据等体积变换可得.

【详解】因为4M'=31©,AB为球O的直径，所以

故球心O到平面BCD的距离即为朋■到平面BCD的距离的2倍，

如图

设球的半径为R,由题意可知OD=2OM=R,

由OD?=CM2+MD?,MD=四，可得QD=2OM=2,故BM=1

如图，

由题意平面MCD,

则BC=BD=VBM2+CM2=V12+(V3)2=2,

BE_LCD,且BE=VBD2-DE2=

设初到平面BCD的距离为d,则由VB.MCD=%_BCD可得，

4xMCxMDxsin^-xBM=^-xCDxBExd,

OZiOOZi

得x[xV3xV3xx1=[xJxV3xxd,得d=3A,

O2JZDZ41O

则球心o到平面BCD的距离为当T

io

【题型2】可以补成长方体的外接球模型

基础知识

一、长方体外接球:长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半.

二、补成长方体

(1)若三棱锥中有三条棱互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如下图所示.

.

注:《九章算术》中的三棱锥均可补为长方体

7.我国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，现有一

“阳马”如图所示，上4,平面4BCD,I%=5,AB=3,BC=4,则该“阳马”外接球的表面积为

()

A125岳500兀

B.50兀C.1007U

33

【解答】解:把四棱锥P—ABCD放置在长方体中，

则长方体的外接球即为四棱锥的外接球，

♦.•04=5,AB=3,BC=4,长方体的对角线长为/52+42+32=52,

则长方体的外接球的半径R=等，

该“阳马”外接球的表面积为S=4应?2=4nx(立，)2=5071.

8.在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖席是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角

△ABC中，AD为斜边上的高，AB=3,力。=4,现将AABD沿AD翻折成△48，。,使得四面体

AB'CD为一个鳖膈，则该鳖膈外接球的表面积为

【答案】16兀

【分析】找出鳖臆外接球的球心，并得出外接球的半径，结合球的表面积公式即可求解.

【详解】由题设，△mco,△ABC都是直角三角形，只需me_L平面AB'D即可,

所以鳖月需外接球的球心在过CD中点且垂直于平面ACD的直线上，

而在直角三角形AGD中，AC的中点到点4c，。的距离都相等，

所以24cl的中点是外接球的球心，所以7?=2,S—4兀不=16元.

9.如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,斤分别是AB,8。的中点，将AAED,/\BEF,/\DCF分别

沿DE,班，。斤折起，使得AB。三点重合于点4，若三棱锥H—EFD的所有顶点均在球O的球面

上，则球O的体积为（）

A.春兀B.当至兀C.V67rD.仝萼兀

243

【答案】。

【分析】根据题意，把三棱锥D-A'EF可补成一个长方体，利用长方体的对角线长求得外接球的半径R=

乎，结合球的体积公式，即可求解.

【详解】根据题意，可得4。_LAE,AD±AF,AE_LHF,且4E=1,HF=1,4。=2,

所以三棱锥D-4EF可补成一个长方体，则三棱锥D-4EF的外接球即为长方体的外接球,如图所示,

设长方体的外接球的半径为凡可得2R=Vl2+l2+22=正，所以灭=争，

故选：C.

10.在四面体ABCD中，若AC=BD=2,AD=则四面体ABCD的外接球的

表面积为（）

A.2nB.4兀C.6兀D.8兀

【答案】。

【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，

所以可在其每个面补上一个以，3,2,、后为三边的三角形作为底面，且以分别c,y,Z长、两两垂直的侧棱

的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x,y,z的长方体，并且d+峭=3,22+z2=5,靖+z2=4,则

有（2R）2=/+峭+z2=6（五为球的半径），得2&2=3,

所以球的表面积为S—4兀&=67r.

11.（24-25高三上•江苏泰州•期中）在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖腌是指四个面都是直角三角

形的四面体.在直角AABC中，AD为斜边上的高，AB=1,AC=V3,现将△48。沿AD翻折

成使得四面体AECD为一个鳖膈,则该鳖麝外接球的表面积为（）

兀

兀13

B.5C.37r~T~

【答案】。

【分析】先求出各个边长，翻折后，使得B'D±B'C,由勾股定理得B'C=V2,此时B'C2+=2+1=3

=4。2,由勾股定理逆定理得39，00,故满足四面体48,3）为一个鳖月需，取入。中点G,连接®G,

DG,得到GA=GC=GD=故点G即为该鳖臆外接球的球心，半径为空，从而求出外接球表面积.

【详解】因为直角中，AD为斜边BC上的高，AB=1,AC=V3,

所以BC=«^=2,AD=0=空,

BCy2

BD^VAB2-AD2^^-,CD^y/AC2-AD2^~

如图，翻折后，使得B'D，BC,由=V2,

此时5'。2+3,4=2+1=3=4。2,

由勾股定理逆定理得

结合A。_LB'D,人。_10故满足四面体人3'。0为一个鳖月需，

取AC中点G,连接B'G,DG,

因为A。_LCD,B'A±AC,故GA=GC=GD=GB，=*C=乎,

故点G即为该鳖臆外接球的球心，半径为乎，

故该鳖月需外接球的表面积为为4元（艰丫=3兀.

12.将边长为2V3的正方形纸片折成一个三棱锥，使三棱锥的四个面刚好可以组成该正方形纸片，若三棱

锥的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为

【答案】18兀

【分析】作出三棱锥的直观图，将三棱锥补成长方体，可计算出该三棱锥的外接球的半径，结合球体的表面

积公式可求得结果.

【详解】在边长为的正方形ABCD中，设E、F分别为48、3。的中点，

△AED、△EBF、△FCD分别沿DE、EF、FD折起，

使4B、。三点重合于点4,满足题意，如下图所示：

翻折前AB_LAD,BE_LBF,GD_LCF,

翻折后，则有AD_LA'E,AD±A'F,AE±A'F,

将三棱锥D-A'EF补成长方体AEMF-DPNQ,

其中=4。=2血，

设三棱锥D-AEF的外接球的半径为A,则2_R=^A'E2+A'F2+AD2=V(V3)2+(V3)2+(2V3)2=372,

R=当2,故该三棱锥的外接球的表面积为S=4兀五2=18兀.

13.(2024.广东揭阳.高二校联考期中)在三棱锥S—ABC中，SA=8C=5,SB=AC=,SC=AB

=岛,则该三棱锥的外接球表面积是()

A.50兀B.1007tC.150兀D.200兀

【答案】A

【解析】因为SA—BC—5,SB—AC—V41,SC—AB—V34,

所以可以将三棱锥S—ABC如图放置于一个长方体中，如图所示：

设长方体的长、宽、高分别为a、6、c,

fa2+b2=41

则有(Q2+C2=25,整理得。2+匕2+。2=50,

[b2+c2=34•••

则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，

所以有a2+〃+c2=50=（22?）2=7?=^^,

所以所求的球体表面积为：S—471五2=4x兀x）=507r.

【题型3】直检柱和国柱外接球模型

基础知识1

汉堡模型（直横柱的外接球、II柱的外接球）

如图1,图2,图3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心。的位置，Oi是A4BC的外心，则001_1平面48。；

第二步：算出小圆Q的半径AOi—r,OOi--^-AA1—■九（441=拉也是圆柱的高）;

第三步：勾股定理：042=014+0[020E=（,）2+产=R=J1+（.了，解出R

14.已知正三棱柱ABC-A8G所有棱长都为6,则此三棱柱外接球的表面积为（）

A.487rB.60兀C.647rD.84兀

【答案】。

[解析】如图，。为棱的中点，G为正△ABO的中心，。为外接球的球心

根据直棱柱外接球的性质可知OG〃AAr,OG==3,

外接球半径_R=O。，

•.•正△4B。的边长为6,贝ICG=2V3

R2=OC2=OG2+CG2=32+（2V3）2=21

外接球的表面积S=4兀刑=847r.

故选：D

10

15.设直三棱柱ABC-的所有顶点都在一个表面积是40兀的球面上，且AB=AC=AAltZBAC

=120°,则此直三棱柱的表面积是（）

A.16+8V3B.8+12V3C.8+1673D.16+1273

【答案】。

【解析】设AB=AC=AAi=2小，因为ABAC=120°,所以NACB=30°.

于是一2m。=2r（r是△ABC外接圆的半径），r=2m.

sin30

又球心到平面ABC的距离等于侧棱长44的一半，

所以球的半径为y/（2m）2+m2=V5m.

所以球的表面积为4兀・（，§m）2=40兀，解得772=，^.

因此AB=AC=AAX-2V2yBC—2A/6.

于是直三棱柱的表面积是

2x2V2x2V2+2V6x272+2x}x2^/2x2V2sinl20°=16+12V3.

16.（24-25高三上•安徽亳州•开学考试）已知圆柱的底面直径为2,它的两个底面的圆周都在同一个体积

为斗啰乃的球面上，该圆柱的侧面积为（）

O

A.8兀B.6兀C.5兀D.4兀

【答案】A

【分析】利用球的体积公式求出球的半径，结合圆柱半径可得圆柱的高，然后可解.

【详解】球的体积为小乃不=当逐兀，可得其半径A=

OO

圆柱的底面直径为2,半径为丁=1,在轴截面中，可知圆柱的高为h=2A//?2—T2=4,

所以圆柱的侧面积为2nrh=87r.

故选：A.

17.在三棱锥P-ABC中，E4，面ABC,△48。为等边三角形，且E4=="，则三棱锥P-ABC

的外接球的表面积为.

【答案】7兀

【解析】因为是直三棱锥，底面是正三角形，所以可以将图补形成为正三棱柱，如图所示,

此三棱锥外接球，即为以△4BC为底面以■B4为高的正三棱柱的外接球,

设球心为。，作00,_L平面ABC,则O'为4ABC的外接圆圆心，连接40,AO,则00==平

设/\ABC的外接圆半径为r,三棱锥P—ABC外接球半径为R,

由正弦定理，得27-=[^=9=2,所以r=l,

smoOV3_

2

Rt/\OO'A中，04+。。,2=，所以+12=/?2,解得^=亨

所以S=4TLR2=7兀.

18.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O,球。的表面积为8兀，则该圆柱的体积为（）

A.^兀B.KC.2兀D.

【答案】。

【分析】设外接球的半径为R,圆柱底面圆的半径为T,由球。的表面积为8兀，得R=2，根据轴截面为正方

形列方程解得r=1,代圆柱的体积公式得解.

【详解】设外接球的半径为R,圆柱底面圆的半径为r,因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高九=27,

由球O的表面积S=4兀7?2=8兀，得/?=V2，又&=Jt）+r2=r,得r=1,所以圆柱的体积V=兀产.

2r=2兀r3=2兀

【题型4】正四面体的内切球和外接球结论

基础知识

在棱长为Q的正四面体中

设正四面体ZRCD的的棱长为0,则有

1、正四面体的高为h=~^-a

2、正四面体外接球半径为丑=卓（1

3、正四面体内切球半径为T=^^a

4、正四面体体积V=彳?。3

19.（2024•湖北宜昌•宜昌市夷陵中学校考模拟预测）已知正四面体ABC©的表面积为2四，且4B,C,

D四点都在球O的球面上,则球O的体积为.

【答案】乎兀

【解析】正四面体各面都是全等的等边三角形，设正四面体的棱长为a,

所以该正四面体的表面积为S=4XyxaxJex?-瞪所以a=J^,

又正方体的面对角线可构成正四面体，

若正四面体棱长为方，可得正方体的棱长为1,

所以正方体的外接球即为该正四面体的外接球,所以外接球的直径为半径为,

所以球。的体积为斗兀.

20.（24-25高三上•广东•开学考试）外接球半径为逐的正四面体的体积为（）

A.g户B.24C.32D.4872

O

【答案】A

【分析】设出正四面体棱长，通过作辅助线表示出四面体的高，解直角三角形表示外接球半径，由已知外接

球半径为娓可得棱长，再由三棱锥体积公式可得.

【详解】如图，设正四面体P-ABC的下底面中心为G,连接PG,则PG_L平面ABC,

连接力G并延长，交于。，设此正四面体的棱长为①，则人。=乎立，

13

2

AG=^-AD=争,PG=力，即四面体的高无

o

A8设四面体外接球的球心为0,连接AO,外接球半径为民

则R2=(三,『+(李，-五)2,化简得兄=乎应由兄=痴，

得力=4,即正四面体棱长为4,

所以正四面体的体积Vp-ABC=X42-义4=16产.

J4OO

21.正四面体的外接球与内切球的半径比为()

A.1:1B.2:1C.3:1D.4:1

【答案】。

【分析】设正四面体S—ABC的外接球球心为。，Oi为△ABC的中心，设棱长为a(a>0),即可求出外接球

的半径£,利用等体积法求出内切球的半径r,即可得解.

【详解】如图，设正四面体S—ABC的外接球球心为O,Oi为△ABC的中心，则SOi_L平面ABC,

外接球半径为A=4。=SO,内切球半径为r,设棱长为a(a>0),

在△ABC中，由正弦定理得」一=2491,所以AOi=^a,

sinf3

所以SO、=y/S^-AOl=浮a,由五2=A。：+oo：=AOI+(SOj-12)2,

即_R2=(^^1Q)+—解得_R=负值舍去)；

小笑妹和小步到1/1Q圻以3匕_丽^XjS^ABCxSOlSO】V6

由寺体积法传到匕=表/，所以丁=----=------左---------=一1=三歹。，

力D表3AABC412

所以尼安==3:1.

412

故选：C.

22.已知正三棱锥A-BCD,各棱长均为V3，则其外接球的体积为（）

【答案】。

（分析】抓住正三棱锥的特征,底面是正三角形，边长为冲，则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外

接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，构造直角三角形，从而即可求出外接球的半径为了,进而

可求出外接球的体积.

【详解】由A—BCD是正三棱锥，底面是正三角形，边长为，

则高线的投影在底面正三角形的重心上，则外接球的球心在高线上，且到各个顶点的距离相等，

如图，取CD的中点，连接,过人作AE_L平面BCD，且垂足为E,则BE=2EF,

由AB=BC=CD=AD=BD=V3,

则在放△BCF中，有BF=J（⑹2_（乎『=_1,A

93

所以=?x旨=1,

则在Rt/\ABE中，有4E=12=鼻,/

设外接球的半径为r,----

则加2+（4E—『）2=/，即了+（四—度）2=/，解得

故外接球的体积为V=《兀/3=5兀x（更2）=9*兀.

33V4/8

23.正四面体P-ABC中，其侧面积与底面积之差为2V3,则该正四面体外接球的体积为.

【答案】娓R

【解析】设正四面体P—ABC的边长为a,则该正四面体每个面的面积为空a2,

正四面体P一AB。的侧面积与底面积之差为至乎a?—乎a?=^a2=2/S,解得a=2.

如下图所示：

过点P作PD_L平面ABC,垂足为点。,连接AD,可知外接球球心。在PD上，

设球。的半径为凡4ABC的外接圆半径为AD=—J=可&,PD=NPN—AU=,

2sin6033

由图可知，002+人。2=04,即（2^一靖+4=R2,解得R=乎.

24.一个正四面体的棱长为2,则它的外接球与内切球体积之比为（）

A.3:1B.V3：lC.9:1D.27:1

【答案】。

【分析】作出辅助线，求出外接球和内切球的半径，从而得到体积之比.

【详解】正四面体P—ABC中，取BC中点。，连接AD,则ADYBC,

过点P作PE_LAD于点E,

则PE_L平面ABC,外接球球心。在PE上,连接OA,则=OP=_R,

因为正四面体的棱长为2,所以BD=GD=1,AD=y/AB2-BD2=V3,

则AE^^-AD^--PE=^PA2-AE2=j4-^-=^Y~,

oo

OE=PE-PO=^~-R,

o

22

由勾股定理得OE?+AE^AO,即（等1-RJ+（警1『=兄2,

解得R=乎,

设内切球球心为Oi,则Oi在PE上，过点Q作QH_LPD于点H,则O[E=OiH=r,

故POi=^^-八PD=瓜,DE=^-AD=^r

OOO

PCCH义⑥

因为△POiH~APDE,所以帚=焉，即1，

1UH/LJ7oVJ

~3~

解得「=坐，

0

故它的外接球与内切球半径之比为R：r=理:坐=3:1,体积之比为27:1.

26

【题型5】直横律外接球模型（一条侧横垂直底面）

基础知识

题设:如图，P4，平面ABC,求外接球半径.（一条侧棱垂直底面）

16

70

解题步骤：

第一步：将XABC画在小圆面上，4为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD,连接PD,则PD必

过球心。；

第二步：Oi为的外心，所以00」平面ABC,算出小圆Q的半径QD=r（三角形的外接圆

直径算法：利用正弦定理，得士=-^―=-=2r）,OOi=；

smAsmBsmC2

第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径:①（2R）2=Q42+防）2=27?=V^42+（2r）2;

@R2=r2+OOl^R=y/r2+OOl.

25.已知三棱锥尸—ABC的底面ABC为直角三角形，且NACB=看.若R4，平面48。,且AB=3,

PA=4,三棱锥P-ABC的所有顶点均在球O的球面上，记球O的体积和表面积分别为V,S,则普

=（）

A—B.-cD

120-ff

【答案】B

【分析】依题意△48。外接圆的直径为斜边48=3,设三棱锥P—ABC外接球的半径为五,则（22?）2=

AB?+可，求出外接球的半径，再根据球的体积、表面积公式计算可得.

【详解】因为△AB。为直角三角形且AACB=半，则_AC_LBC,

又四_L平面ABC,平面ABCMPA_LAB,PA_LBC,

而R4nAC=A,PA,ACd平面PAC,于是BC_L平面PAC,又PCu平面PAC,

因此PC_LBC,取PB中点Q,

连接COr,AO,,则O/=OF=OXB=OQ,

从而点Oi即为球O的球心O,

设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,

则（2R）2=AB2+H12,即4A2=32+42=25,所以72=停,

S4兀1一3—6.

17

26.已知三棱锥P-ABC的底面ABC为直角三角形，且4ACB=1■.若A4，平面48。,且AB=3,

PA=4,三棱锥P-ABC的所有顶点均在球O的球面上,记球O的体积和表面积分别为V,S,则(

=()

【答案】B

【分析】依题意4ABC外接圆的直径为斜边48=3,设三棱锥P-ABC外接球的半径为五，则(27?)2=

AB?+旌,求出外接球的半径,再根据球的体积、表面积公式计算可得.

【详解】因为△ABC为直角三角形且ZACB=',则AC_LBC,

又RA_L平面ABC,AB,BCu平面ABC,则PA±AB,PA±BC,

而Q4nAe=AE4,力。U平面_R4C,于是BC_L平面R4C,

又PCU平面R4C,

因此PC_LBC,取PB中点Oi,

连接CQ,AOr,则OiA=OiP=OiB=OQ,

从而点即为球O的球心O,

设三棱锥p-ABC外接球的半径为R,

则(2灭)2=482+可，即4不=32+42=25,所以&=

S4兀序—3—6.

27.已知S,A,B,。是球。表面上的不同点，SAL平面ABC,ABVBC,AB=1,口。=方，若球O的

表面积为4兀，则SA=()

A.夸B.1C.V2D.V3

【答案】B

【分析】根据四面体S—ABC的性质可构造长方体模型求得外接球半径即可得SA=1.

【详解】如下图所示：

、、.B

O＞：\

I'-.

由SA_L平面ABC可知SA±AB,SA±BC,又AB±BC,

所以四面体S—ABC的外接球半径等于以长宽高分别为SA,三边长的长方体的外接球半径,

设外接球半径为R,

由球O的表面积为4元，可得47tA2=4冗，即五=1；

又AB=1,V2,42?2=AB~+BC1+SA2,

所以SA=L

28.2023年高考全国乙卷数学（文）716

已知点S,ABC均在半径为2的球面上，是边长为3的等边三角形，SA±平面ABC,则SA

【答案】2

【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.

【详解】如图，将三棱锥S一ABC转化为正三棱柱SMN-ABC,

设△ABC的外接圆圆心为5,半径为r,

则加=能尝而=*=21可得片存

2

设三棱锥S—ABC的外接球球心为O,连接04,001,则。4=2,。。1=^-SA,

因为04=00：+0/2,即4=3+解得SA=2.

故答案为：2.

29.已知三棱锥S-4BC所在顶点都在球O的球面上，且SC,平面4BC,若SC=48=AC=2,

NBAC=120°,则球O的体积为（）

A20后B口32兀C20兀n32后

A，3-亍°F

3

【答案】A

【分析】求出△ABC外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径作答.

【详解】在△ABC中，AB=AC=2,120°,由余弦定理得BC=V22+22-2x2x2cosl20°=,

令AABC外接圆圆心O,则OOi，平面ABC,且OC=。=2,

r2sinl20

而SC_L平面ABC,因此SC〃OOi,取SC中点D,连接。D,有OD_LSC,

又OQu平面ABC,即有SC_LOQ,OD〃QC,于是四边形CDOO,为平行四边形，

则OD=OQ=2,球o的半径R=Yoiy+cri1=瓜,体积为/=萼充=萼X（VK）3=20产.

OOO

【题型6】珠心在商上（圄锋形）

基础知识

如图5—1至5—8这七个图形，P的射影是AAB。的外心o三棱锥P—ABC的

三条侧棱相等。三棱锥P-ABC的底面^ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点.

20

|«5-6ms-7阳y

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取^ABC的外心O1,则P,O,O1三点共线；

第二步：先算出小圆Oi的半径AQ=r,再算出棱锥的高POi=%（也是圆锥的高）;

第三步：勾股定理：04=0/2+0]02nA2=（九一五产+/，解出打=以.

2h

方法二:小圆直径参与构造大圆，用正弦定理求大圆直径得球的直径.

【注意】:若是巳知外接球半径R和小国半径r求国雄的高，则有2个解

30.（2024•浙江台州•高二校联考期末）已知圆锥的底面半径为1,母线长为2,则该圆锥的外接球的体积为

【答案]哆之兀

【解析】由题设，圆锥体的高为九=V22-l2=V3,

若外接球的半径为r,贝I（四一丁）2+1=r2,可得丁=2弋,

O

所以圆锥的外接球的体积为曰兀"=吗』兀.

O//

31.已知三棱锥P—ABC的各侧棱长均为24,且AB^3,BC=V3,AC=2V3,则三棱锥P-48。的外

接球的表面积为.

【答案】16兀

【解析】如图：

过P点作平面ABC的垂线，垂足为M■，则^PMAAPMB,^PMC都是直角三角形,

又RA=PB,；.APMA=4PMB,同理可得4PMA会APMC,：.MA=MB=MC,

所以河点是△