2025届高考数学一轮复习专项训练：空间向量与立体几何（含解析）

2025届高考数学一轮复习专题训练空间向量与立体几何

本试卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡规定的位置上。

答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦

2.擦干净后，再选涂其它答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.如图①，在RtZVLBC中，AB=2BC=6,NABC=90。，E,R分别为AB,AC上的

点，EF//BC,

AE=2EB.如图②，将△AEF沿板折起，当四棱锥A-3CFE的体积最大时，点E到平

面ACT的距离为（）

2.若向量2=(1,—1,2),石=(2,1,—3),则忸+,=()

A.不B.2&C.3D.3夜

3.如图，在棱长为1的正方体A3CD—4gG2中,为的中点，。为4用上任意一点,E,F为CD

上两个动点，且跖的长为定值，则点。到平面PE尸的距离（）

A.等于B.和EF的长度有关

5

C.等于正D.和点。的位置有关

3

4.在四棱锥P—ABCD中，丽=（4,一2,3）,莅=（T,1,0），Q=（-6,2,—8），则该四棱锥的高为

（）

A.4B.3C.2D.1

5.若｛a/,c｝构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）

^-b+c'C'b—cb,a+b,a-b

a+b'a-b^）a+b,a+b+c,c

6.在正方体ABCD-AgG2中，平面a经过点BQ,平面夕经过点A,',当平面a,/3分别截

正方体所得截面面积最大时，平面a与平面/3的夹角的余弦值为（）

A.立B.在C.lD.1

3323

7.如图，在正四棱台ABCD-A^B^D,中,2A3=34片,4。与的交点为“•设

谡=商，4成=风雨=3则下列向量中与衣而相等的向量是（）

13-

A-----a+—b+—cB.——a+—5+cCa——b+cD-----a-\—b+c

323343464

8.已知向量Z=(2,—1,3)，B=(—1,4,—2)，)=(1,3,可，若Z，方，"共面，则2=()

A.4B,2C.3D.l

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0

分.

9.已知向量初=(2,—1,1)，为=(<2,—2)分别为两个不同的平面a,(3的法向量，1=(1,0,—2)

为直线/的方向向量，且/二，，则()

A.all/3B.I///3C.Z±aD.tzl/7

10.已知向量£=(—1,2,0),S=(-2,4,0),则下列正确的是()

A.allb

B.a-Lb

C.W=2同

D.Z在B方向上的投影向量为(—1,2,0)

ii.已知｛£,瓦斗构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是()

A.a+2c,〃+2石，b-c

B.〃+2^,a-b,b-c

C.a-b,a+c,b-c

D.a+b,a+b+c,b+c

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知直线/经过点A(2,3,且向量为=(1,0,-1)所在直线与动直线I垂直，则点P(4,3,2)到I所

在平面的距离为.

13.直三棱柱ABC—A与G中，A3=A。=A4，AB,AC，。是5片中点，则AQ与C。所成角的余

弦值为.

14.在长方体ABC。—中，A\=AB=y[3>AO=1，点尸为线段与。上一点(不在端

点处)，当时，△尸£)4的面积为.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA±底面ABCD,底面ABCD是直角梯

形,NADC=90°，AD〃6C，，AC，AB=AC=6刀点在上，且钻=2ED•

P

(1)求证:平面上钻平面附C;

(2)若直线PC与平面PAB所成的角为45。,求二面角A-PE-B的余弦值.

16.如图，在三棱锥尸—A3C中，ZVLBC是边长为2的等边三角形，FA=FC=^,直线3户与

平面ABC所成的角为30。.

(1)证明：阱，平面

⑵求与平面厂所成角的正弦值.

17.已知直四棱柱ABCD-A.B.C.D,中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD,

=3AB=6AD=6DC,M在侧棱。口上，且

(1)求证：CM〃平面A与5A.

(2)求二面角M—5。—£的余弦值.

18.如图，在四棱锥p—ABCO中，侧面八底面ABC。，侧棱PA=P£)=&，底面ABCD

为直角梯形，其中BtV/AD,ABLAD，AD=2A3=25C=2，。为A£)中点•

⑴证明：尸平面ABCD；

(2)求直线8£)与平面所成角的正弦值；

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，PD±平面ABCD,底面ABCD为直角梯

^,PD^CD^AD=2AB,AB//CD,ADA.CD.

(1)在棱上是否存在点E,使得AE〃平面?若存在，请指出点E的位置，并证明;若不存在，请说

明理由.

(2)求平面PBC与平面PAB的夹角的大小.

参考答案

1.答案：B

解析：将△AEF沿历折起，四棱雉A-5CEE的体积最大时，

此时AE，平面BCRE,根据题意可知EF=2.

以E为原点,EB,EF,EA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

因此A(0,0,4),E(0,0,0),F(0,2,0),C(2,3,0)

所以恁=(2,3,—4),AE=(0,0,-4)

AF=(0,2,-4)

设平面ACF的法向量为n=(x,y,z),

AF*n=0

所以

AC«n=O

2y-4z=0,

所以

2%+3y—4z=0,

令z=l,那么”=(—1,2,1)

设平面ACF的法向量为为=(x,y,z),

AF*n=0

所以

AC»n=0

2y-4z=0,

所以

2%+3y—42=0,

令z=l,那么”=(—1,2,1),

那么点E到平面Q的距离为心题喘276

r

故选:B

2.答案：D

解析：•.■向量方=(1,—1,2),^=(2,1,-3)

25+&=（4,-1,1）

2a+Z?|=J16+1+1=3A/2

故选：D

3.答案：A

解析：取4G中点G,连接尸6，。6，£）。，则756〃。。，所以点。到平面/1£歹的距离即点0到平面

PGCD的距离，与EF的长度无关,B错.

又4用//平面PGCD，所以点A到平面PGCD的距离即点。到平面PGCD的距离，即点Q到平面

PEF的距离，与点。的位置无关,D错.

如图,以点。为原点，建立空间直角坐标系，则c（o,1,0）,。（0,o,0）,aa,0」），P|,o,i］，

.•.沅=(0,1,0)，西=(1,0,1)，丽=(g,0」]，

r-.f1

设3=(x,y,z)是平面PGCD的法向量，则由五岁=°'得5"+z="

[n-DC=0,0

令z=1，则x=-2,y=0,所以方=（—2,0,1）是平面PGCD的一个法向量.

设点。到平面PEF的距离为4则d=,A对,C错.

故选:A.

4.答案：C

解析：设平面ABCO的一个法向量力=(x,y,z)，

l•AB=4%-2y+3z=0人口口_

则＜____,遭y=12,则％=3,z=4,即〃=(3,12,4),

n-AD=-4x+y=0

所以该四棱锥的高人="川=1—6义5+12*2—8义41=2.

\n\732+122+42

故选：C.

5.答案：C

解析：A.B+-=21+(5—乙)，所以5+忑，小5_忑是共面向量，故人错误；

B.B=g(1+5)—5),所以石,a+B,a-6是共面向量，故B错误；

c.不存在实数,4，使己+石=几(方一/?)+〃},所以&+B，商_友，"不是共面向量，故c正确;

D.乙+6=(乙+6+^)-不,所以0+6，1+3+不,*是共面向量，故D错误.

故选:c

6.答案：C

解析：如图:因为正方体中过体对角线的截面面积最大，

所以题目转化为求平面BDD&1与平面ABCQi夹角的余弦值，

以D点为坐标原点，建立空间直角坐标系。-孙z,

设正方体棱长为1,平面a与平面p的夹角为0,

因为DD］，平面ABCD，ACu平面ABCD，所以1AC,

且AC_LBD,BDCDDI=D，BD，DDlu平面BDD^,

所以AC1.平面BDD由洞理与。J,平面ABC.D,,

所以衣为平面BDD[B]的一个法向量，就为平面ABC}DX的一个法向量,

A(l,0,0),C(0,l,0)，4(l,l,l),

I前•配1=1=1

AC=(-1,1,O)-^C=(―1,0,—1)，则COSe=

AC\-\RC\=42X42=2

故选:c.

7.答案：D

___,______________kkk»2__►__►__►i__»3___►

解析：B,M^BtB+BM=BiAi+AiA+AB+-BD=--AB+AiA+AB+-(-AB+-A]Dl)

」万+孤济

32(2J64

故选:D

8.答案：D

解析：因为Z，方，2共面，所以存在两个实数机、〃，使得工=〃石+〃方，

2m—n=1（m=l

即（1,3,2）=m（2,-l,3）+«（-l,4,—2）,即\-m+4n=3，解得L=1.

3m-277=22=1

故选:D

9.答案：AB

解析：因为沅=（2,—1,1），为=（T,2,—2）

所以为二一2诩，所以1〃/7,A正确，D错误;

因为。•而=0,且/Z尸，所以/〃p，B正确;

因为。•加=0,所以〃/a或者/ua,C错误

故选：AB

10.答案：ACD

解析：ABC选项，由题意得B=2Q,

故且同=2同，AC正确,B错误;

——/7•Ah

D选项，a在匕方向上的投影向量为d但守，2⑼…

故选：ACD

11.答案：BCD

解析：A选项：令1+25=%(M+25)+y(5—个)，

%=1r

x=l

则＜2%+y=0,解得〈,

。=一2

〔-＞=29

即G+21,a+2b,B—0共面，故A选项不符合题意；

B选项：^.a+lb=x{a-b^+y{b-c^,

x=l

则＜—X+y=2,此方程组无解，

-y=0

即M+2B,a-b,B—1不共面，故B选项符合题意；

x=l

c选项：设值一石=%(万+个)+丁(5—1),贝！1＜丁二一1,

x-y=0

此方程组无解，即商-5,a+c,B-乙不共面，故C选项符合题意；

D选项：设己+5=x[^a+b+c^+y{b+,

x=l

则＜%+)=1,

x+y=0

此方程组无解，a+b,a+b+c,B+亍不共面，故D选项符合题意；

故选：BCD.

12.答案

2

解析：A5=(—2,0,—1),

\PA-n\2)x1+0+(-l)x1J2

由点到平面的距离公式d=。"='=*.

恸/+02+(_Q2V22

故答案为:1.

2

13.答案：@或上垃

66

解析：设AB—AC=AA]=>0）,

以A为坐标原点,A5,AC，441所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系A-孙z,

则A（0,0,0）,C（0,”,0）,G（。以，

A£二（0,。,。），CD=（〃，_〃,—-

---►—►/、aa1

AC,,CD=0x〃+ax（—a）+ax——------，

1v722

AAO2+a2+a2=6a,|cD=Ja2/\2（3a

|C1|=/+（-。）+切=y

设直线AG与c。所成角为e，

“2

则有禧•函一万6

AG||CD及ax3^6

故AG与CD所成角的余弦值为YZ.

6

ZA

二一1

Xy

故答案为:也.

6

14.答案：B

2

解析：根据题意可知，以G为坐标原点，分别以G2，C4，CC为尤，y,Z轴，建立空间直角坐标

系，如图所示,

B

因为G(0,0,0)，Di也0,0),C(0,0,A/3)-四(0,1,0)，

设方=mCB^=帆(0,1,-A/3)，

则QP=QC+mCB^=(0,0,V3)+m(0,l,-V3)=(0,m,V3-6帆)，

D^P=QP-=(0,m,6—舟i)—(G,0,0)=(—g,m,g—石篦)

则布•即=(0,m,y/3-6”)•(—G,m,73-0ni)

=m2+—y/3m)~=4m2—6m+3=1,

因为0(根＜1，解得机=!，故此时点P为线段耳C的中点，

2

则S4pg=|'忸1斗|。必=3*1乂6=岑.

故答案为：且

2

15.答案：(1)证明见解析

⑵-

6

解析：(1)证明:•.•24,平面ABCDACu平面

•••AB，AC，AB=A，PA,A5U平面B4B，.・.ACd_平面，

ACu平面PAC^平面PAB±平面PAC-

⑵；AB=AC=6，且AB，AC，；.BC=60，ZACB=45。

ADHBC，:.ZDAC=ZACB=45°，

­.•ZADC=90°，.♦.△ADC为等腰直角三角形，

AD=DC=3V2，取BC中点G,连接AG,

s.AGLBC^AGLAD^

由（1）可得B4，AG，B4，A£）

以A为坐标原点5AG为x轴5A。为y轴,AP为z轴建立如图所示的坐标系

由（1）可得C4,平面PAB，

.•.NAPC为直线PC与平面mg所成角，即NAPC=45°

设平面PBE的法向量为访=（a,4c）

EP=（0,—20,6）,方=（3A/2,-572,0）

n_LEPftJ_EB1

-2-J^b+6c=0,._/I—\

・••{「r-，令6=3，则0=后，a=5，・.・河=5,3,j2

3亿-506=0''

•.・无轴_L平面/^4石,.•.平面/^4石的法向量身=（1,0,0）,

设Q为二面角A—/＞石_§的平面角，且o为锐角，

,5_5

..COSU——n~r-―/——•

\m\\n\J25+9+26

16.答案：（1）证明见解析

4百

⑵〒

解析：（1）取AC的中点E,连接石/，EB,

过点尸作FGL座，垂足为点G,

因为ZVIBC是等边三角形，FA=FC,则AC±EF,

且BECEF=E,BE,EFu平面BEF,

可得AC，平面5即，

由FGu平面5防，所以AC_LFG,

且ACnEB=E,AC,£Bu平面ABC,

所以FGJ_平面ABC,

可知NFB石为直线3尸与平面ABC所成的角，则NEBE=30°,

则AE」AC=1,BE=6,EF7AF2—AE2=必

22

在ABEF中，EF2=BE'+BF2-2BE-BFcosZFBE,

即3=3+BE?—2周/cos300,解得BF=2.

42

因为产2=钻2,

CF2+BF2=BC2,

所以AFL5尸，CF±BF.

因为A/nCE=/，AF,C/u平面ACN,

所以政，平面ACF.

(2)以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(1,0,0),C(-l,0,0),B(0,s/3,0),F0,—,

(44,

可得通=1—1,3屈=，,走,口,丽=(1,6,0),

〔44)〔4以、)

设平面BCF的法向量为n=(羽y,z),

n-CF=x+y+—z=0

则《4-4,

iiCB=x+y/3y=0

令X=-6,则y=1,Z=G

可得力二卜百,1,6),

--n-AF4石

可得cosn,AF=

同|叫7

设A方与平面5c厂所成的角为eo〈e4、

4百

则sin0=|cos而,AF|=----

7

4J3

所以AR与平面BCb所成角的正弦值为"已

7

17.答案：（1）证明见解析

7779

(2)

79

解析：（1）证明：由直四棱柱ABC。—A4CR知

:44u平面4耳氏4,仁平面A[B]R4,

DDJ/平面4月84.

•/AB//CD,/3<=平面4片24,CD仁平面A4瓦I,

.,.CD〃平面445A.

又。20。。=。，DD],CDu平面。DCC，

平面AB\BAH平面DDgC.

又。以u平面。2c0,

.,.&W〃平面A与瓦L

(2)设CD—1.

则BC=1,AB=2,Cq=3.

如图，过点。作CEJ_AB于点E由等腰梯形ABC。知=

2

:.CE=^BC2-BE2=—.

2

易知CE,CD,CG两两垂直—

以C为坐标原点，以CE,CD,CG所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标

系，

(61)

则C(0,0,0),C,(0,0,3),M(0,l,2),耳^-,--,3

I22J

__*―.(y/31).

:.CCX=(0,0,3),CBi=—,--,3,CM=(0,1,2).

(22)

设平面4G。的法向量为帆=(%，x，zj,

fo[3Z]=0,

则1.HP<J31

m-CBt=0,—X1--yl+3zi=0.

、乙乙

令王=1,则％=,z-0,

tn=(l,-\/3,0).

设平面C旦M的法向量为〃=（X2，%，Z2），

%+2z2=0,

-CM=0,

则《即住

n-CBX—0,%一]%+3Z2=0.

令％2=8g，贝！J%=6，z2=-3f

/.n=(84,6,-3).

设二面角M—qc—G的平面角为e，

mn873+673_7779

贝Icos0=|cos（/w,〃〉|=

\m\\n\2x7237—79'

二面角M-B.C-G的余弦值为德9.

18.答案：（1）证明过程见答案;

⑵

5

解析：（1）因为以=立），。为AD中点，所以PO_LAD，

因为侧面上底面ABCD，平面PA£>n底面A3CD=A。，

POA.AD>POu平面QA。