2025届高考数学平面向量重难点题型（解析版）

向量《率JUL嗯忙工(17卖410)

近5年考情(2020—2024)

考题统计考点分析考点要求

2024年/卷第3题，5分平面向量数量积的运算、化简、证明及

数量积的应用问题，如证明垂直、距离

2024年甲卷(理)第9题，5分(1)向量的有关概念

等是每年必考的内容，单独命题时，一

2023年/卷第3题，5分(2)向量的线性运算和向量

般以选择、填空形式出现.交汇命题

2023年〃卷第13题，5分共线定理及其推论

时，向量一般与解析几何、三角函数、

(3)投影向量

2023年乙卷(理)第12题，5分平面几何等相结合考查，而此时向量

(4)平面向量的坐标表示及

2022年北京卷第10题，5分作为工具出现.向量的应用是跨学科

坐标运算

知识的一个交汇点，务必引起重视.

(5)平面向量的数量积及其

预测命题时考查平面向量数量积的几

2020年新高考/卷，第7题,5分几何意义

何意义及坐标运算，同时与三角函数

及解析几何相结合的解答题也是热点

K目录H：-：♦■■1一：：］.♦

题型一向量的概念辨析易得题梳理....................................................2

题型二向量的垂直与共线............................................................4

题型三向量的夹角与模长计算........................................................6

题型四投影向量....................................................................8

题型五用其他向量表示已知向量.....................................................10

题型六平面向量共畿定理...........................................................13

题型七平面向量共线定理的推论.....................................................15

题型八极化恒等式求数量积.........................................................22

题型九投影法求救量积.............................................................30

题型十拆分向量求数量积...........................................................34

题型十一建立坐标系解决向式问题...................................................38

题型十二三角形四心的识别.........................................................47

题型十三向量的四心运算...........................................................54

题型十四答和线问题...............................................................62

题型十五通过平面向量共嶷定理的推论求最值.........................................71

题型十六弁器定理.................................................................78

题型十七向量中的隐国问题.........................................................86

•M

Q（热点题型）O

题型一向量的概念辨析易错题梳理

9基域知识

1、零向量的方向是任意的，注意0与0的含义与书写区别.

2、平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

3、共线向量与相等向量关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一■定是相等向量.

4、若两向量共线，则两向量所在的直线有平行和重合两种可能

5、零向量是影响向量平行或共线判断的“幽灵”，要特别注意

6、向量相等具有传递性，即若a=b,b=c,则Q=而向量的平行不具有传递性，即若Q〃匕〃c,未必有

a//co因为零向量平行于任意向量，当b=0时,Q,C可以是任意向量，所以Q与c不一定平行。但若6W0,则

必有Q〃b,b〃C=Q〃C

L（多选）下列结论中正确的是（）

A.若同=忖,则a=b

B.若日|=落贝!

C.若是不共线的四点，则“存=皮”是“四边形4BCD为平行四边形”的充要条件

D.“Z=A的充要条件是“同=帆且日〃户

【答案】BC

【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可.

【详解】对于4,两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同；

对于由平面向量相等可得B正确；

对于。，若4B。。是不共线的四点，则当金=反时，|AB|=|。。|且AB〃,故四边形ABCD为

平行四边形；

当四边形ABCD为平行四边形时，MB|=|DC|且AB〃DC,故且入友历同向，故覆=方方，故。正确；

对于D,当4〃4且方向相反时，即使同=吼，也不能得到看=k,故D错误;

故选：BC

2.有下列结论：

①表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同；•M

②若立片立则游击不是共线向量；

③若\AB\=|方同，则四边形ABCD是平行四边形；

④若庆=方，元=4,则右=右；

⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.

其中，错误的个数是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】由向量的定义、有关性质逐项判定可得答案.

【详解】对于①，表示两个相等向量的有向线段，若它们的起点相同，则终点也相同，①正确；

对于②，若4#日也有可能不长度不等，但方向相同或相反，即共线，②错误；

对于③，若同=|反则泰，反不一定相等，所以四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误;

对于④，若前=行，方=总则碗=5,④正确；

对于⑤，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示，⑤错误.

综上，错误的是②③⑤，共3个.

故选：B.

3.下列命题中，正确的个数是（）

①单位向量都相等;②模相等的两个平行向量是相等向量；

③若4,日满足国>|用，且W与一同向，则司>1

④若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；

⑤若云〃。力/力则4〃才

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【分析】根据平面向量的基本概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

【详解】单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故①错误；

模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故②错误；

向量有方向，不能比较大小，故③错误；

向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点与终点不一定相同，故④错误；

当广=6时，可满足日〃及卜〃乙但H与才不一定平行,故⑤错误；

综上，正确的个数是0

4.（多选）下列叙述中错误的是（）

A.若4=人则34>21B.若4〃厂,则日与天的方向相同或相反

—>

C.若日〃H〃落则汗〃不D.对任一非零向量落是一个单位向量

同

【答案】ABC

【分析】对于4,根据向量的概念判断，对于BCD,举例判断.

【详解】因为是既有大小又有方向的量，所以向量不能比较大小，故A错误;

由于零向量与任意向量共线，且零向量的方向是任意的，故B错误；

对于C,若占为零向量，则工与才可能不是共线向量，故。错误；

对于。，对任一非零向量乙—表示与日同向的单位向量，故。正确.

同

故选：4BC

题型二向量的垂直与共线

9蠹硒知识

(1)向量共线定理:如果a=/ib且bW0,则aIIb;反之Q〃匕且bW0,贝V一存在唯一一个实数4,使a=Ab.

⑵两个向量日，击的夹角为锐角•日＞0且4,1不共线；

两个向量4,1的夹角为钝角Q&•日＜0且云，日不共线.

(3)a_La,6=0

⑷若云=(6,y),则＞万=(/lx,初)

向量共线运算：已知a—(劣1,%),广=(22,%),则向量6(6#：0)共线的充要条件是为曲一©Ui=0

5.向量4=(1,3),b=(3%—1,%+1),c=(5,7),若(a+b)//(a+c)，且匹=ma+nb，则馆十九的值为

()

A.2B.C.3D.J

【答案】。

【分析】先利用平面向量加减法的坐标运算和向量共线的坐标表示求出力=1,再利用向量的坐标表示得到

关于M、口的方程组进行求解.

【详解】由题意，得日+广=(3宏，%+4),a+c—(6,10),

因为(a+b)//(a+c)，所以307=6++24,解得x=l,

则c=ma+nb=(m,3m)+(2n,2n)=(m+2n,3m+2n)=(5,7),

解得

即，故771+71=3.

3m+2n=7[n—2

6.已知向量4=(1,1),(―1,1),1=(4,2),若1=石+/"、〃eR,则)+〃=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】。

【分析】由题意，根据平面向量加法的坐标表示，可列方程，可得答案.

•••

【详解】由匹=求+必则(4⑵=4(1,1)+〃(—1,1),即二:;j，解得｛：：!_1，

故/I+〃=2,

故选：D

7.设向量日=(cosa;,V2sinx),&=(1,—V2)，其中xG[0,兀].

(1)若(4-矶〃九求实数力的值；

(2)已知c=(m,-1)且不_L日，若f(%)=4•落求/(力)的值域.

【答案】⑴普;(2)[-2,V2].

【分析】(1)根据给定条件结合向量的坐标运算，向量共线的坐标表示计算得解.

(2)由向量垂直的坐标表示求出3,再借助数量积建立函数关系求解作答.

【详解】⑴因向量日=(cosrr,V2siriT),6=(1,—V2)，则a—b—(cos/—l,A/2sinx+V2),

又(4—W〃U,则有(一(cosi—1)—(V2sinTd-A/2)X1=0,即V2sinrc+V2cosx=0,于是得tana;=

-1,

而/e[0,7r],解得x=,

所以实数，的值是年.

4

(2)因为'=(m,—1)且3_L唬则m+V2=0,即nz=—V2，有3=(—V2,—1),

/(a7)=a•c=—V2cosa;—V2sinx=—2sin(/+十)，因nG[0,兀],贝I⑦+十E[十，"|■兀],sin(/+£)E

[—^^,1],即/(劣)6[―2,V2]，所以/(力)的值域[—2,，^].

8.(多选)已知向量日=(1,V3),b=(cosa,sina),则下列结论正确的是()

A.若4〃b,则tana=V3

B.若日_L日，则tana=—

C.若C与广的夹角为酒■，则\a-b\=3

O

D.若4与日方向相反，则日在日上的投影向量的坐标是乎)

【答案】46。

【分析】利用向量共线的坐标表示判断4;利用垂直的坐标表示判断3利用数量积的运算律求解判断C;求

出投影向量的坐标判断。.

【详解】向量a—(1,A/3),b—(cosa,sina),

对于4由日〃广，得sin<7=A/3COS(7,因此tana=V3,A正确；

对于_B,由日_L广，得Vasina+cosa=0,因此tana，B正确；

o

对于。，日与日的夹角为《■，同=2,|力=1,4•广=2xlx1~=l,

因此技一4=y/a2-\-b，2—2a-b=V3,C错误；

对于O,4与丁方向相反，则，在日上的投影向量为二4=-4日=(-《，一空)，0正确.

国22V22)

故选：ABD

题型三向量的夹角与模长计算

S基础知识

a-(江+矶

五与b夹角公式：cos。=—汗与4+广夹角公式：cos。

同w同忖+色

模长公式:a-a=|a|『或|a|=y/a-a=y/~^,\a+b\=J（江+矶2

注意：涉及\ma±nb\这类条件时一般要进行平方

9.已知向量同=3,同=2,、与「的夹角为卷，则忱—3同=()

O

A.6B.3V6C.3D.3V2

【答案】A

【分析】由数量积公式结合,_3间=J(2W_3/得出答案.

【详解】解:因为向量同=3,吼=2,1与〉的夹角为卷,

所以4・b=3x2xcos卷=3

O

所以12日一3冏=V(2a—3b)2=y/4a2—12a-b+962=V4x9—12x3+9x4=6

10.已知向量4,b满足|a|=1,|ft|=3,a—b=(2,V6),则国+间=

【答案】

【解析】|a|=1,|?|=3,a—?=(2,V6)可得.一炉=彦+62—2a-&=22+(V6)2=10=>a,0,

故|3a+6|=/9浮+庐+64・J=V9+9=3A/2

11.已知向量4=(l,2)£=(4,k),若4与叶垂直，则4与4+广夹角的余弦值为()

【答案】A

【解析】因为日与日垂直，故日•日=1X4+2fc=0,解得k=—2,则b=(4,—2),

4+日二(5,0),设方与4+声夹角为。，则cos。="，+乌=5---=.故选：A.

\a\-\a^b\V12+22X55

12.设向量4=(T,-4),6=(1,—力)，向量Z与帅勺夹角为锐角，则力的范围为,

【答案】力＞0且力W2

【分析】根据已知可得小自＞0,且点S■不共线，求解即可.•••

【详解】向量a=(x,—4),6=(1,—x)，由二〃广得，/X(―/)—1X(—4)=0,所以力=±2.

一.h

由已知得，0V(4,b)vg,所以cos(a,b)=>0,即日・b>0,且由b不共线.

2同同

则4•日=/x1+(—4)•(—力)=5/>0,所以/>0.

又由日不共线，则xW±2.所以力的取值范围为力>0且1W2.

故答案为：力>0且力W2.

13.向量4=(2,t),b=(―L3),若4,广的夹角为钝角，则t的范围是

【答案】土<弓且t大―6

【解析】若4,广的夹角为钝角，则且不反向共线，视，=一2+3±<0,得力V。.

O

向量4=(2,力)，自=(—1,3)共线时，2x3=—力,得力=-6.此时a——2b.

9

所以方■且土W—6.

o

14.已知乙；为单位向量，且阿一5间=7,则日与日一声的夹角为()

R2K

A'匹3BcD.萼

-T-i0

【答案】。

【分析】设工与"日夹角为仇利用国一5时=7求出4屯在利用夹角公式计算即可.

【详解】因为心方为单位向量,

由（3a—5b|=7,

所以（34—5^=49=9彦一304Z+25庐=49,

即9—30a。25=49=>41-，设日与日一日夹角为仇

<2)==等，又匹°扪，所以夕=看

J」2x(T)+l26

15.(2024・高三・上海奉贤•期中)已知平面向量4,1的夹角为『若同=1,归一间，则\b\的值为

【答案］3方

【解析】由|2a—b|=V10两边平方得(2a—10,4a2—4a-b+^=4—4x1x|间,cosJ+|^2=10,

时一2四.同一6=0,(同一3嚣)®|+四)=0,解得吼=3声

16.已知周，£表示两个夹角为冷的单位向量，O为平面上的一个固定点，P为这个平面上任意一点，当

方=力信+,最时，定义3,切为点P的斜坐标.设点Q的斜坐标为(2,1),则\OQ\=.

【答案】77

【详解】由题知OQ=2翦+苞，又言，最表示两个夹角为弓的单位向量，

O

所以\OQ\=NOQ・OQ=J(2/+£y=信4卜2+4前・芭+£2=,4+4><cos~1_+1=V7

17.(2024•江西宜春•三模)已知a,日均为非零向量，若\2a-b\=\b\=2\a\，则名与日的夹角为

【答案】誉

【解析】由|24-山=矶可得|2"弹=|汜即4同2一4工［+廊=间*,解得同2,

a-blai2

因为同=2同，所以cos伍冉1

\a\\b\2同22

又因为0W〈区p《乃，所以@今二三

O

故答案为：卷.

O

题型四投影向量

s基础知识

向量日在日上的技彩向量：鲁一h-b=\a\-COS61•上~,其中7ZT是与日同方向的单位向量

W

向量日在日上的投影向量模长：若

18.已知Z3是夹角为120°的两个单位向量，若向量4+需在向量4上的投影向量为2落则久=()

c2V3_n2V3

A.-2B.2c-一~FD-I-

【答案】4

->

(a+/lb),a(a+zlfe)-a

【详解】日+需在向量4上的投影向量为—a=2a=>2.

o\12a\12

2

=>值+硝•a=|a|+/l|a|,同cosl20a=1—y/l=2=>A——2.

19.(2024.福建泉州.模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点P在直线/+2夕+1=0上.若向量4=

(1,2),则OP在日上的投影向量为()

A.L_2B.L1C.

~5'~~5~5'~55

【答案】A

【解析】由题可设P(—2%一11)，则OP=(-2t-l,t),

所以历(-2t-l,t)-(l,2)=—1,又同=〃12+22=0,

故OP在日上的投影向量为

OFlcos〈赤㈤合=1函OP-aaOP-a1__2_

I西网同r,--5

20.已知向量4=(—2,2),■=(1,1),则日一日在日方向上的投影向量为,

【答案】(一1,—1)

【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.

【详解】日=(―2,2),&=(l,l)=>a—b=(—3,1),

故答案为：(一1,一1)

21.已知点人(一1,。。。。。°。。2)、。(一2,。。。。-1)、。⑶。。。。4),则向量存在

方方向上的投影向量的模长为

30B3VIK32n3用

u.-----—

【答案】A

【解析】布=(2,1),丽=(5,5),则向量近在向量而方向上的射影为

.".f—

—cABCD(2.1)(5,5)2x54-1x53J2

(：O4+5，W22

22.已知同=2,4与式的夹角为冬，3是与广同向的单位向量，则4在广方向上的投影向量为()

O

A.1B.—1C.eD.—e

【答案】。

【解析】4在日方向上的投影向量为冏cos伍冉-3=2cos等竟=一3,故选：。

23.已知忖=3,3是与日方向相同的单位向量.若向量方在于方向上的投影向量是43,则。广=.

【答案】12

【分析】先求得立在4方向上的投影，再乘以与；方向相同的单位向量3,即得到投影向量，利用向量的数量

积运算即可得到。日的值.

【详解】设日与，的夹角为仇则日在，方向上的投影为同cos/

所以向量昂在日方向上的投影向量为3•郎os0=43,故同cos(9=4,

故日了=同•Mcos。=忖•同cos。=3x4=12.

24.若向量4=(①⑵,1=(2,3),'=(2,—4),且4〃落则日在日上的投影向量为()

812

B.C.(8,12)

135l3D-

【答案】A

【解析】由题意知向量日=(2,2)了=(2,3),匹=(2,—4),

因为4〃匹,所以一4/—4=0,得2=—1,所以a—(—1,2),|a|—V5,

又。=(2,3)，所以彳=(右，左),85伍了)=帝-2+6_4

75x713—V65

25.(2024.黑龙江哈尔滨.模拟预测)已知向量43满足忖=2,厂=(3,0),口一同=可,则向量其在向量1

方向上的投影向量为()

A.(y,0)B.g,0)C.令，0)D.(1,0)

【答案】。

【解析］因为同=2,吼=3,根一同=AM,

所以|a—fc|'2=<F—24+庐=22—24+32=10,得4=日,

所以向量旨在向量S■方向上的投影向量为笔不(3,

题型五用其他向量表示已知向量

S基M知识

(1)基本思珞:利用向量的假性运算对已知向量进行拆分,逐渐精化为只有基底向量的形式

(2)坐标表示;待定系数法

(3)常见模型补充:向量中的定比分点恒♦式(爪型图)

在△ABC中，。是BC上的点，如果萼=21,则而=mAC+—^AB

CDnm+nm+n

26.在△4BC中，点。满足超=3屈，则（）

A.CD=^-CA+^-CBB.CD=^CA+^-CB

44oo

C.CD=^-CA+^-CBD.CD=^-CA+^CB

44oo

【答案】A

【分析】根据题意画出△ABC并确定点。的位置，即可以向量el,屈为基底表示出CD.

【详解】根据题意如下图所示：

根据向量加法法则可知（5方=64+力，又力=3品，所以力=jAB

即包=次+与京=为+与（屈—刀）=占咒+3怎，

441744

可得方=二可十3怎.故选：A

44

27.若向量4=（2,1）,b=（—1,2）,2=（0号）,则3可用向量落日表示为（）

A.+bB.——bC.-|-a+-^-6D.^-a—

【答案】A

［分析］根据向量基本定理，设才=多4+yb,代入计算得到方程组，解出即可.

【详解】设c=xa,+yb,即=a;（2,1）+y（—1⑵=（^2x—y,x+2y'）,

2x—y—0，解得卜二当，则匹=［日+日

则有

x+2y=^ly=i2

28.如图所示的A4BC中，点L＞、E分别在边8。、AD上，且8O=OC.ED=2AB,则向量与=（）

A.~AB+^-ACB.^AB+^-ACC.^AB+^ACD.^AB+^-AC

33666633

【答案】B

【解析】•••NB=Z5+阮，刀=怒+况，

又•••BD=DC,.•.助=-血.•.由5=］（加+同，•••

叉；ED=2AE,.•.AE=《AD,.•.麓=《益=4毋+±二.故选：B.

3366

29.已知△4BC的边BC的中点为。，点E在△4BC所在平面内，且说=2差一属，若m无+"及5=

AB，则772+?2=()

A.7B.6C.3D.2

【答案】4

【解析】因为反5=2房一国，所以巨4+]■后方=2月及

因为丽=方方+谖所以与N+十反5=2屈=2(反?+函，

所以2无=_戢__|■反=―泰—|■(由5—确=｝晶—■花

所以4屈+3市？=加，

因为mCE+nAC=AB,所以m=4,n=3,故m+n=7.故选：A.

30.如图所示，点。在线段RD上，且BC=3CD,则初=()

A.3AC-2ABB.4AC-3ABC.^-AC--ABD.^AC-^-AB

oooo

【答案】。

【分析】根据平面向量的基本定理求解即可.

【详解】因为BC=3CE>,所以司=:反5,

因为力=方方+况=+f■阮=衣+/(万一西，

所以之=N苕—二%反即国5=三回苕—豆故选：c.

4433

31.如图，在△ABC中，俞=是8N的中点，若M=+方，则小+九=()

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算求得AP=yAB+jAC,由此求得小,九,进而求得m+n.

12

【详解】因为P是BN的中点，所以丽=-1-W.

所以谶=存+丽=毋+:丽=毋+;（俞一晟）=春年+春俞=春年+；丞?，所以m,=

/乙乙乙乙生

\-,九=十，所以m+n=-|".

32.已知在△ABC中，N是边4B的中点，且4屈=反5,设4W■与CN交于点P.记9=落/=立

⑴用落广表示向量询，CN；

⑵若2同=|小,且京，戏,求伍内的余弦值.

【答案】⑴疝=引+?法,CN^^-a-b

（2）cos伍,弓二J

【分析】（1）根据平面向量的基底与三角形法则即可用a,1表示向量3法，CN-,

（2）由赤，毋得由，岳。。，代入向量数量积公式即可求得〈肩办的余弦值.

【详解】（1）^^AC-AB=b-a

AM=AB+BM=AB+^-BC=a+^-（b-a）=^-a+~^

44v744

CN=CA+AN=-ACH~AB=Ja,-b

⑵•.•N,P,C三点共线，.­.由苏，旗得函，旗。，

0=CN•AB0°=（4'_；）.4,即/同2=隹

.'./M=|a||fe|cos^a,&^=2同2cos力,

COS（鼠K）=!，,@0的余弦值为十.

题型六平面向量共线定理

s基M知识

平面向量共线定理:三点4,B,。共线丞?共线（功能：证明三点共线）

33.已知向量AB=（2,1）,BC=（7,m）,CD=（3,—1），若48,。三点共线，则m=

【答案】6

【分析】根据给定条件，求出由，再利用共线向量的坐标表示计算作答.

【详解】因瑟=（7,m），无=（3,—1）,则助=瑟+济=（10,m-1）,

又AB—（2,1）,且。三点共线，即AB〃BD,因此2（m—1）—1x10=0,解得？n=6,

所以m=6.

故答案为：6

34.已知AB=3©+最）,CB=£—&CD=2前+最，则下列结论中成立的是（）

A.三点共线B.三点共线C.，。三点共线D.。，口，。三点共线

【答案】。

【分析】根据平面向量的线性运算可得N3=2①,从而可求解.

【详解】解：AC=AB—CB=3（苴+最）—（苞一/）=4司+21=2CD,

所以4,。，。三点共线.

故选C.

35.如图，在O4BCD中，点河为AB的中点，点N在上，3BN=BD.

求证：M,N,。三点共线.

【详解】设司=区苏=兀

则CM=l.^+b,CN=b+^-BD=b+^-{a-b）=-^-a+^-b,

/OOOO

---»R—►

所以CM=*CN,

又因为近，国有公共起点。，所以。三点共线.

36.已知AW=4+5认JVP=—2（4—4。，PQ=3（4—。,则（）

A.M,N,P三点、共线B.M,N,Q三点共线

C.河，P,Q三点共线D.N,P,Q三点共线

【答案】B

（解析】NP=一24+8b,PQ^3（a-fe）,

：.NQ=NP+PQ=—2a+8b+3（a—b'）=a+5b,

•：MN^a+5b,：.MN^NQ,

由平面向量共线定理可知，说与汨为共线向量，

又♦.•谢与而有公共点N,Q三点共线，故选：B.

37.已知不共线的向量4工,且存=4+2及/=—54+6求也=74—2讥则一定共线的三点是（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】利用向量的共线定理——判断即可.

【详解】对A,AD=AB+BC+CD=3a+6^,

所以说=3金，则AB,。三点共线，A正确；

^B,AC=AB+BC=-4a+8^,

则不存在任何/ICR,使得彳苕=AAB，所以AB,C不共线,B错误；

对。，阮=云+况=24+4员

则不存在任何〃CR,使得M=nBC，所以B,C,。不共线，。错误;

对。,AC=AB+BC=-4a+8^,

则不存在任何teA,使得包=tAC，所以AC,。不共线，D错误

38.如图，在△ABC中，司=2方百，巅=反5.

⑴用N立历表示怒，魂；

⑵若点河满足画？=-，存+1■芯,证明：三点共线.

【答案】⑴^^=-2毋+3曲屋二-2毋+1■万万

（2）证明见解析

【分析】（1）利用向量的线性运算和基本定理求解即可.

（2）利用三点共线的判定证明即可.

【详解】⑴因为包=2品，麓=/，

AC^AB+BC^AB+3BD

—AB+—_AB）——2_AB+3AD,

BE=BA+AE=-AB+^AC

=-AB+-j-（BC-BA）=-^AB+^-BC

=-yAB+yx3BD=-yAB+yx3（AD-AB）

=-2AB+1-AD.

（2）由AM=--AB+^AC,

可得无法=-^■毋+*x2AE=-yAB+1-AE,

所以2用法=—毋+3麓，废一毋=2（0一廉），即彘=2面卷

所以6,三点共线.

题型七平面向量共线定理的推论•M

核心•技巧

平面向量共线定理的推论一一系数和为1:

已知PC=APA+[iPB

/<*

r)

①若4+〃=1,则_A、_B、。三点共线；

②若则4、B、。三点共线，则4+〃=1.

证明

证明①：由c+"=l=>A,_B,。三点共线.

由力+g=1得：PC-xPA+yPB-xPA+(1—x)PB=>PC—PB-x(PA—PB)nBC-xBA.

即正，曲共线，故43。三点共线.

(2)由A,B,。三点共线=>/+g=1.

由。三点共线得反5,国共线，即存在实数4使得团=4巨1

故BP+PC=A(BP+PA)=>PC=APA+(1—A)PB.即2==1—4,则有2+g=1.

39.在△ABC中，N是入。上的一点，且病=!觉，。是BN上的一点，设NA=成存+白兄苕,则实

OJ-1

数m的值为.

/

ANC

【答案】亮

【分析】根据给定条件，利用基底向量Z邑N苕表示出席,再借助平面向量基本定理列式计算作答.

•••

【详解】在△ABC中，由俞=jNC得：俞=；前,因为P是BN上的一点，则有而=ABN,AeR,

即谶一毋=4(俞一岳)，叁=(1-/1)京+4而=(1-/1)巅+彳於，

—>—>9—►—>—>(m=l—AQ

又4P=7nA8+=4。，且AB,力C不共线，于是得L_2，解得馆=白，

115五11

所以实数小的值为三.

40.(深圳二模)已知△OAB中，(5^=况，OD=2DB,AD与BC相交于点河，而=奴51+'如，则有

序数对(x，n)=()

【答案】。

【分析】根据平面向量共线定理得到N而=九而，。而瓦利用64、。豆分别表示出面，再根据平面

向量基本定理得到方程组，解得入〃，再代入计算可得.

【详解】依题意力、河、。三点共线，故而=力国5,

=OA+A(jOB-OA)=^-OB+(l-^)OA,

又。、m、B三点共线，故(5法=瓦

则OM^OC+CM^OC+^CB^dC+u{OB-dC)

L

=(^-1I)OC+UOB=^OA+U6B,

/宁=1—4p=4

2

所以9.，解得;，

所以0河=春0石+十04,又0河=力04+005所以《

24?/

所以有序数对(x,y)=

41.在AABC中，已知助=2DC，无=/,BE与AD交于点O.若历=xCB+yCA(x,yEA),则2

+y=-

【答案】言

5

17

【分析】根据向量线性运算的几何表示可得己5=3xCD+yCA,CO=xCB+2yCE，然后利用共线向量的

推论即得.

【详解】因为京5=2皮，CE^EA,

所以无=3①，况=2万，又戊5=奴宓+式请，

所以%=3水无5+贝园+2伏起，又BE与AD交于点O,

3/+g=l

所以

,x+2y=l

所以2=4,沙=~|■，即c+g=普，

555

故答案为：

5

42.已知点G为△ABC的重心，D,E分别为AB,A