2025高考数学专项复习讲义：等式与不等式性质（含糖水不等式）（原卷版+解析）

第04讲等式与不等式性质（含糖水不等式）

（6类核心考点精讲精练）

【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质

2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系

3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围

4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题

核心考点考点4由不等式性质证明不等式

考点5糖水不等式及其应用

考点6多选题踪合

知识讲解

1.等式的性质

性质1如果a=b,那么；

性质2如果a=b,b=c,那么；

性质3如果。=〃，那么；

性质4如果a=b,那么；

性质5如果a=〃，cwO,那么；

2.比较两个实数大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有:

a-b>Oo：

a—b=0；

a—b<0o

另外，若b>0,贝U有@>1=。>人；—=!<^>a=b；a<b.

bbb

3.不等式的基本性质：

（1）对称性：.

（2）传递性：.

（3）可加性：.

（4）可积性：①;②.

（5）同向可加性：;异向可减性：.

（6）同向正数可乘性;异向异号可乘性：;异向正数可除性：.

（7）乘方法则：（weN+，”22）.

（8）开方法则：（»eN+,w>2）.

（9）倒数法则：;.

4.糖水不等式及其变形

bb+mb-maa+〃zaam

若实数a,b,c,满足a>b>0,m>0,贝lj—，a_____a—m，（b—m>0）；b____b+m；b_____b-m>

aa+m

（6—相>0）（用不等号填空）.

5.对数型糖水不等式及其变形

（1）设neN+,且n>\,则有log„+1n<log,!+2（H+l）

(2)设a>b>l,m>0,则有\ogab<loga+m(b+m)

（3）上式的倒数形式：设a>b>l,m>0,则有log〉a>logb+力（。+m）

考点一、由不等式性质判断式子大小关系

典睡砰

1.（2024•上海杨浦・二模）已知实数。，b,c,d满足：a>b>0>c>d,则下列不等式一定正确的是（）

A.a+d>Z?+cB.ad>bcC.a+c>b+dD.ac>bd

2.（2024•广东广州•模拟预测）下列命题为真命题的是（）

A-Lh

A.若则---->—B.若c>d,贝!—c

a+ca

C.若a<bv0,则〃D.若贝lj―^->—

a-ba

1.（2024•全国•模拟预测）已知彳>九则下列不等式正确的是（

X

A.l-x<l-yB.x2>y2C.|—1>1D.%z>yz

y

2.（2024•北京丰台•二模）若a,beR,且a”,则（）

11

A♦—；~_-B.a?b>ab

ci+1b+1

a+b

C.a2>ab>b1D.a>---->b7

考点二、由不等式关系，求解不等式范围

典例引领

47rit—

1.（2023局二•全国•专题练习）已知兀<二十/<与~,—71<a—/3<——,求2a—6的取值范围为.

2.（2024•河北石家庄•二模）若实数％,y,zN0,且x+y+z=4,2x—y+z=5,贝|A/=4x+3y+5z的取值范

围是•

1.（2024高三・全国•专题练习）已知12<a<60,15<6<36,则。-人的取值范围是______,/的取值范围

b

是.

2.（23-24高三•安徽•阶段练习）己知14彳->42,2<x+y<4,则3x-y的最小值_________.

3.（2024•浙江•模拟预测）已知正数a,b,c满足/+°2=16,加+c?=25,贝4左=Y+片的取值范围为

考点三、作差法或作商法比较式子大小关系

典例引领

1.（2024高三・全国•专题练习）已知实数。，满足求证：a3-b3>a2b-ab2.

2.（上海浦东新•阶段练习）设a>6>0,比较之匕与纥1的大小

a2+b2a+b

/h2

1.（2024高三・全国•专题练习）已知。力为正实数.求证：—+—>^+Z?.

ba

।.a+b

2.右a>5>。，求证：俄甘>（ab齐•

考点四、由不等式性质证明不等式

典例引领

1.（2023高三・全国•专题练习）证明命题："若在△ABC中a、b、c分别为角AB、C所对的边长，则

ab

---<----+----

1+(71+Q1+Z?

/、、门,八八、十E〃a+m

1.(1)设m>0,证明：—<-----；

bb+m

xyz

(2)设%>0,y>。，z>o,证明：1<不+不+二<2.

考点五、糖水不等式及其应用

典例引领

1.（23-24高三上•河南•阶段练习）已知6克糖水中含有。克糖（6>。>0）,再添加加（加>0）克糖（假设全部

溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（）

mma+ma

A.bm>amB.b-\-m>a+mC.一>一D.---->—

abb+mb

2.（2023・四川凉山・一模）。克糖水中含有b克糖，糖的质量与糖水的质量比为b2，这个质量比决定了糖水

a

的甜度，如果再添加"?克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为^h—+m>-h（a>b>Q,m>0）.

a+ma

若h=log32,x2=log1510,x3=log4520,则

A.xx<x2<x3B.xl<x3<x2

C.x3<xr<x2D.x3<x2<x1

1.（2023•湖南长沙•长郡中学校考二模）已知实数a,》,。满足0<a<b<c,则下列说法正确的是（）

c—ab—aaa+c

11

C•\>77\D.ab+c1>ac+be

a(c-a)byc-a)

2.（23-24高三•福建龙岩•阶段练习）若。克不饱和糖水中含有b克糖，则糖的质量分数为b2，这个质量分数

a

决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式

9hb+'m（a>b>0,机>0）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断log?2与log/。的大小:

aa+m

生u1cIn2In2+ln5In101.„心口…嗔

例如1°氏2=百<国指=病=108.°'试比较1。-3logs4的大小（填或">"或"="）

考点六、多选题综合

典例引领

1.（2024•湖南长沙•二模）设〃，b,c,d为实数,且a>Z?>0>c>d,则下列不等式正确的有（）

cd

A.c2<cdB.a—c<b—dC.ac<bdD.---->0

ab

2.（2024,广西•二模）已知实数〃，b,。满足且〃+/?+c=0,则下列结论中正确的是（）

A.a+b>0B.ac>bc

11(i)(6-c)</

C.----->------D.

a-bb-c

1.（2024•福建龙岩•一模）下列命题正确的是（）

A.若a<bv0,贝IJ/AQQ/

B.若a<Z?<0,贝（lac2Vbe之

C.若0<avZ?<c,贝九£〉，

ab

D.若0<avb,则2QH—>21ab

2

2.（2024•江西•模拟预测）已知a<Z?<0<c<d,则下列不等式一定正确的是（）

aa

A.a+b<c+dB.ac<bcC.cib<cdD.一<一

cd

3.(2024・安徽淮北•一模)已知〃，b,ceR,下列命题为真命题的是()

A.若a>b>c,贝Ua+Z?>cB.若a>b>M，则a?>。?》/

C.若a<b<c<0,贝！D.若a>b>c>0,则———

abaa+c

IN.好题冲关

一、单选题

1.（2024・河南•模拟预测）〃a>5>0,」>（是及T的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023•吉林长春•一模）若a,b,CGR,^a>b,则下列不等式一定成立的是（）

A.ac>bcB.ac2>be2

C.（b-a）c2<0D.{a-b）c2>0

3.（23-24高三上・江苏扬州•阶段练习）设。，b,。为实数，且a>6>0,则下列不等式正确的是（）

“0orba11

A.ac2>bc2B.—>—C.a2>ab>b2D.—>—

abab

4.（2023・山东•模拟预测）对于实数。，b,c,下列结论中正确的是（）

A.若a>b,则a/〉"/B.若则

ab

C.若avZ?vO,则一<—D.若—则abvO

baab

5.（23-24高三上•北京房山•期末）已知。，匕为非零实数，且，则下列结论正确的是（）

11ba11

A.a2>b2B.—>-C.->-D.7>-z-

abababab

6.（2023•广东•二模）若Q=+-7=,b=y/5-----7=,c=V2+则（）

2V22V3

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>b>aD.b>c>a

二、多选题

7.（2023,湖南张家界•二模）下列命题正确的是（）

A.若a>b,贝!B.若1>同，则/，加

C.若a>b,则a3>63D.若阿>/?,贝U/〉/

三、填空题

8.（2023高三•全国•课后作业）已知0Wa+6<l,2«a-b<3,则b的取值范围是.

9.（2023高三・全国•专题练习）若l<a<3,-4v/?<2,则2。+期的取值范围是.

10.（23-24高三上•海南海口•开学考试）已知-lv%v4,2<yv3,则3x+2y的取值范围是.

一、单选题

1.（2024・山东聊城•三模）"〃+b<—2,且必>1〃是且bv-T的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2024•山东滨州•二模）下列命题中，真命题的是（）

A.若a>b,贝!B.若a>b,则

C.若etc?Nbe2,贝!］。泊D.若。+26=2,贝12。+4,之4

3.（2022陕西铜川三模）已知。,6为正实数，则《<1"是衅〈察"的（）

bbb+1

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

ab❶

4.（2024•福建福州•模拟预测）设。，6wR,贝广必<0"是"时+词=°”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.（2024•安徽淮北•二模）已知a,6eR,下列命题正确的是（）

A.若"=1,贝!Ja+622

B.若!<1,贝！］a>Z>

ab

C.若a>b,则ln（a-b）>0

D.若a>6>0,则a^—>b-\—

ba

6.（2024•北京•三模）已知尤,yeR,且x>y,贝I］（）

A.-<0B.tanx-tanv>0

xy

7.（2024•四川成都•模拟预测）已知“，6为实数，则使得"a>b>0”成立的一个必要不充分条件为（）

A.—>—B.ln（a+1）>ln（fe+1）

ab

C.a3>b3>0D.

8.（2024高三下•全国・专题练习）记max｛占,电,不｝表示属,超,当这3个数中最大的数.已知。，b,c都是正

ri2bc】

实数，M=maxa,一+工,不，则M的最小值为（）

［acb\

A.V3B.V2C.373D.3亚

二、多选题

9.（2024・辽宁•模拟预测）若4力>0,则使"a>6"成立的一个充分条件可以是（)

A-B.|a-2|>|Z7-2|

C.a2b+b>a+ab2D.ln("+1)>ln仅。+1)

10.(2024•安徽合肥•三模)已知实数。力满足Ovavbvl,则()

bb-1

A.一<---B.a+b7>ub

aa-\

ba

C.a<bD.2a_2〃<[og』〃_k)g]

22

一、单选题

1.（四川考真题）若a>〃>0,cvd<0,贝lj—*定有

abababab

A.—>—B.—<—C.—>-D.—<-

cdcddcdc

2.（浙江•高考真题）设%b是实数，则〃，+10〃是〃而>0〃的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.（广东•高考真题）选a,b三R,若a-网>0,则下列不等式中正确的是（）

A.b-a>0B.a3+b3<0C.a2-b2<0D.b+a>0

4.（上海・高考真题）已知为非零实数，且〃<5,则下列命题成立的是

11ba

A.a2<b2B.ab2<a2b°，ab2a2bD.—<—

ab

5.（北京・高考真题）已知。，b,c,d均为实数，有下列命题:

cd

(1)右而>0,bc-ad>0,则---->0；

ab

cd

(2)右ab>0,------>0,贝

ab

cd

(3)^bc—ad>0,------>0,则〃Z?>0,

ab

其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

6.（北京・高考真题）设a,b,c,dsR,且，则下列结论正确的是（）

ac

A.a+c>Z7+dB.a-c>b—dC.ac>bdD.

db

7.（全国•高考真题）若0<c<l,则

cccc

A.a<bB.ab<baC.a\ogbc<b\ogacD.logflc<logbc

8.(重庆•高考真题)若ab,c>0,SLa1+lab+2ac+^bc=12,贝Ua+〃+c的最小值是.

A.273B.3C.2D.6

二、多选题

9.（上海・高考真题）如果。<0,6>0,那么下列不等式不正确的是（）

A.-<TB.yj—a<-Jb

ab

c.a2<b2D.同>同

三、填空题

10.（辽宁・高考真题）已知-!<x+y<4且2<x-y<3,贝|z=2x-3y的取值范围是（答案用区间

表

第04讲等式与不等式性质（含糖水不等式）

（6类核心考点精讲精练）

【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质

2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系

3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围

4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题

核心考点考点4由不等式性质证明不等式

考点5糖水不等式及其应用

考点6多选题踪合

知识讲解

6.等式的性质

性质1如果。=〃，那么；

性质2如果a=b,b=c,那么；

性质3如果。=匕，那么；

性质4如果a=b,那么；

性质5如果。=人，CH。，那么;

【答案】b=aa=ca+c=b+cac=bc

7.比较两个实数大小

两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：

a—b>0<=>；

a—b=O<^>；

a-b<0o

另外，若b>0,贝lj有=f=lo〃=b；

bbb

【答案】a>ba-ba<b

8.不等式的基本性质：

(10)对称性：_______.

(11)传递性：

(12)可加性：________.

(13)可积性：①；②.

(14)同向可加性：；异向可减性：.

(15)同向正数可乘性;异向异号可乘性：;异向正数可除性：.

(16)乘方法则：(«GN+,«>2).

(17)开方法则：(〃eN+，”22).

(18)倒数法则：;.

［答案］a>bob<aa>bb>cOa>ca>boa+c>b+ca>b,c>Gnac>bc

a>b,c<0=>ac<bca>b,c>d=>a+c>b+da>b,c<d^>a—c>b—d

ab

a>b>0,c>d>0^ac>bda>b>0,c<d<0^ac<bda>b>0,0<c<d—

cd

a>b>0=>an>bna>b>0n标>\［ba>b>0^>—<—a<b<0^>—>—

abab

9.糖水不等式及其变形

bb+mb—ma-aa—m

若实数a,b,c,满足a>b>。，机>0,则一，a〃一机，3—机>0)；Z?____b+m^b_____b—m，

aa+m

3—加>0)(用不等号填空).

【答案】<>><

10.对数型糖水不等式及其变形

⑴设7£乂，且"1,则有logn+1n<logn+2(n+l)

(2)设a>b>l,m>Q,则有logflZ?<logfl+/M(Z?+m)

(3)上式的倒数形式：设a>b>l,m>0,则有\ogha>\ogh+m(a+m)

考点一、由不等式性质判断式子大小关系

典例引领

1.（2024•上海杨浦•二模）已知实数。，b,c,"满足：a>b>O>c>d,则下列不等式一定正确的是（）

A.a+d>b+cB.ad>beC.a+ob+dD.aobd

【答案】C

【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.

【详解】对于ABD,取a=21=l,c=-2,d=—4,满足a>b>O>c>d,

显然a+d=-2<-l=6+c,ad=-?><-2=bc,ac=-4=bd,ABD错误；

对于C,a>b>O>c>d,则o+c>6+d,C正确.

故选：C

2.（2024•广东广州•模拟预测）下列命题为真命题的是（）

Z?+ch

A.若a>b,则---->—B.若c>d,则a——c

a+ca

C.若avZ?<0,贝（J/vab〈人2D.若a>b,则一^->—

a-ba

【答案】B

【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.

h+ch

【详解】对于A,可以取a=2,b=l,c=-l,此时—所以A错误.

a+ca

对于B：团c>d,团一d>—c,因为所以a-d>b-c,故B正确；

对于C：取。=一2,b=-l时，贝!J〃2=4,ab=2,b1=1,则/，。人〉〃，故c错误；

对于D：当々=1,时，」=二！，—=1,则」7<,，故D错误；

a-b2aa-ba

故选：B.

1.（2024•全国•模拟预测）已知了〉〉，则下列不等式正确的是（）

x

A.l-x<l-yB.x2>y2C.HI>1D.xz>yz

y

【答案】A

【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.

x>y,:.-x<-y,:.-x+l<-y+l,即故选项A正确；

x-11

当x=-l,y=-2时，满足了>>,但炉=1,〉2=4,此时％2<,2,|—1=|—1=—<1,故选项B,C错误;

y-',

当z<0时，由x>>可得xz<yz,故选项D错误.

故选:A.

2.（2024•北京丰台•二模）若且〃>匕，则（）

A.—z—-<—z--B.c^b>ab2

ci+1b+1

_a+b7

922

C.a>ab>bD.Q〉一-—>b

2

【答案】D

【分析】举反例即可求解ABC,根据不等式的性质即可求解D.

【详解】由于。>6,取。=1,a2b=ab2=l,无法得到a2b>ab2,

a+1b+12a+1b+1

故AB错误，

取a=0,6=_2，则片=0,〃。=0/2=4,无法得到标C错误,

由于a>Z?,贝+所以">b,

2

故选：D

考点二、由不等式关系，求解不等式范围

典例引领

4冗71

1.（2023rWj二,全国,专题练习）已知兀<二十,<与~,—K<cc-/3<——,求2a-夕的取值范围为.

【答案】卜山

13

【分析】先利用待定系数法得到2a-〃=：（a+£）+；（a-£）,再利用不等式的性质即可得解.

［详解］设21_尸=光（々+尸）+,（夕_尸）=（1+,）2+（%_,）回%）£1<,

［x+y=2X~2

则i，解得；，

\x-y=-l3

Iy二一2

所以2a_/=5（。+/）+万（a_£）,

4冗7T

因为兀<二+/<—,-7i<a-/3<--,

所以弓<〈（2+夕）<?，,

22V7322V72

TT

所以一兀<2a—/?<—.

则2a-夕的取值范围为1-兀*J.

故答案为：,私

2.(2024•河北石家庄•二模)若实数x,y,zN0,且x+y+z=4,2x-y+z=5,贝(|M=4x+3y+5z的取值范

围是■

【答案】[15,19]

O7747

【分析】先得至1]》=3—胃,>=1一：，并根据尤,得至IJ0VZ43,从而求出M=(+15e[15,19].

2zz

【详解】因为x+y=4-z,2x-y=5-z,故尤=3-手，y=1-

2z

3——>0

3

z

由羽y,zN0得<1-耳20,解得0<z<3,

z>0

故M=4x+3y+5z=4(3一彳1+3(1一讣52=；+15«15,19].

故答案为：[15,19]

1.(2024高三•全国・专题练习)已知12<“<60,15<6<36,则的取值范围是______,3的取值范围

b

是.

【答案】(-24,45)

【分析】根据不等式的性质即可求解.

【详解】因为15Vb<36,所以一36〈一人<一15.

又12<”60,

所以12—36<ci—b<60—15,

所以—24<6Z—Z?<45,

即a-b的取值范围是(-24,45).

11112a60

因为77<7<77所以=<7<77

36b1536b15

即1〈幺<4,

3b

所以"的取值范围是［；，4

答案：（一24,45）,（：,4

2.（23-24高三•安徽,阶段练习）已知lVx-yV2,2<x+y<4,则3x-y的最小值

【答案】4

【分析】利用不等式的性质求解.

【详解】设3%—y=m(x—y)+n(x+y)=(jn+n)x+(—m+ri)y,

根+〃=3m=2

所以,,解得

—m+n=—ln=l

所以2V2(尤一y)V4,2Vx+yV4,

所以4<2(x-y)+x+y<8,

BP4<3x-y<8,

所以3x-y的最小值为4,

3

x=—

2(x-y)=2/时取得最小值,

当x+y=2'即

『5

故答案为：4.

3.（2024•浙江•模拟预测）已知正数a,b,c满足“2+02=16,/=25，则A=/+/的取值范围为

【答案】9<左<41

【分析】

根据不等式的性质即可求解.

【详解】

・正数b、c满足/+C2=16,b2+c2=25,

.-.c2=16-a2,片>o所以。<02<16

同理：有<?=25-62得至1」0<。2<25,所以0<c?<16

两式相加：a2+b2+2c2=41

即a2+b2=41-2c2

又一16<-c2<0,BP-32<-2c2<0

.-.9<41-2c2<41

即9(左<41.

故答案为：9<k<41

考点三、作差法或作商法比较式子大小关系

典例I眄

1.（2024高三・全国•专题练习）已知实数。，满足a>。，求证：a3-b3>a2b-ab2.

【答案】证明见解析

【分析】利用作差法比较大小即可证明.

［详解］a3—段—^a2b—ab2^=a3+加—（^b3+a2b^=a^a2+b2^—b^a2+6）

因为〃>匕，所以3-/?）（。2+82）>0,

所以一〃3>a2b一曲2

2.（上海浦东新•阶段练习）设a>8>0,比较与伫|的大小

a-+ba+b

a〜—b~a—b

【答案】———T>-------

a+ba+6

【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.

【详解】a>b>0^a+b>0,a—b>0f

.a2~b2(a+b)(a-叭a-屋

."z----y--------z-----z>U,------?U,

a+ba+ba+b

八：2

.cr+b-_(a+bY2ab

222

-a-b-a+ba^+b

a+b

〃2_b?ci_b

\------>----.

a2+b2a+b

/h2

1.（2024高三•全国•专题练习）已知。方为正实数.求证：—+—>4z+/7.

ba

【答案】证明见解析

【分析】根据题意，化简得到《+Q-（a+b）=丝二学士0,结合不等式的性质，即可得证.

baab

■、斗々刀.、T门口rrn^/1\—Q2b—a/Cl^（Cl—Z?）—（Cl—Z?）（U.—（Cl+Z?）

【详解】证明：因为一+---（a+b）=------------------------=----------------------------------------。,

baababab

又因为a>0,6>0,所以（"-»-（"+））2o,当且仅当。=6时等号成立，

ab

所以---1--->a+b.

ba

、a+b

2.若a>b>。，求证：废肥〉（Rj）/.

【答案】证明见解析

【分析】作商法证明不等式.

【详解】证明：Sa>b>0,

0—>1,且a-b>0.

b

a-b

,一,aabb（aXT

团作商得：-（㈤--T亏㈤>L

a+b

考点四、由不等式性质证明不等式

出—典例引领

1.（2023高三・全国•专题练习）证明命题：〃若在△回（7中a、b、c分别为角A、B、。所对的边长，则

cab„

-----<------+------”

1+c1+a\+b

【答案】证明见解析

c+^a+b—c)a+baa

【分析】由作差法证明二<______________________________________________|______再__由___

1+cl+c+(a+Z?-c)1+a+Z?1+a+Z?1+a+Z?

aaabb、十mcab

------<----,-------<----证明----<----+----.

l+a+〃1+a1+a+b1+Z?1+c1+a〃1+Z?

cc+mc(d+根)-d(c+/n)m(c—d)

【详解】证明：取l+c=d,〃+"—c=M,

dd+md^d+m)d^d+m)

因为d>c>。,机所以小<0,即£<£±3

dd+m

cc+(a+b-c\a+baa

所以」+—+»----------1----------

1+Q+Z71+tz+Z?

aabbaaab

又因为---------<----------------<------故----------1----------<-------1------,

1+Q+Z?1+a1+Q+Z?1+Z?1+a+b1+a+b1+a1+b

g、icab

所以江<二+币.

a/7+m

1.(1)设b>a>0,m>0,证明：

bb+m

xz

(2)设％>0,y>0,z>0,证明：1