2025高考数学专项训练：基本不等式及其应用 【含答案】

2025高考数学考二轮热点专题1-1基本不等式及其应用-专项训

练

近4年考情(2020-2024)

考题统计考点分析考点要求

2020年天津卷：第14题，基本不等式及其应用是是鬲

考的热点，主要考查利用基

5分

本不等式求最值、求参数的

2021年乙卷：第8题，5

取值范围等，常与函数结合(1)了解基本不等式的推

分

命题，题型以选择题、填空导过程

2022年1卷：第12题，5题为主，也可作为工具出现(2)会用基本不等式解决

分在解答题中，应适当关注利最值问题

用基本不等式大小判断、求(3)理解基本不等式在实

最值和求取值范围的问题；际问题中的应用

2023年1卷：第22题，12

同时要注意基本不等式在立

分

体几何、平面解析几何等内

容中的运用.

题型总览1热点题型解生(目录)

\模块一：核心题型•举一反三

【题型1］基本不等式的直接使用.................................................2

【题型2】常规凑配法求最值....................................................3

【题型3】“1”的妙用(1):乘“1"法........................................4

【题型4】"1”的妙用(2):"1”的代换.......................................5

【题型5］二次比一次型.........................................................6

【题型6】分离常数型...........................................................6

【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题......................................7

【题型8］利用对勾函数.........................................................8

【题型9】判断不等式是否能成立...............................................9

【题型10】换元法(整体思想)................................................10

【题型11］基本不等式的实际应用问题..........................................12

【题型12】与a+b、平方和、融有关问题的最值(和，积，平方和互相转化)...14

【题型131基本不等式恒成立与能成立问题.....................................15

\模块二：学有余力拓展提升

【题型141消元法.............................................................16

【题型151因式分解型.........................................................17

【题型16】同除型（构造齐次式）..............................................18

【题型17】万能法........................................................19

【题型18】三角换元法（利用三角函数）........................................19

【题型19］基本不等式与其他知识交汇的最值问题..............................20

【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）............................21

【题型21】多次运用基本不等式................................................21

模块一1核心题型.举一反三

【题型11基本不等式的直接使用

基础知识

如果力那么一2,当且仅当”时，等号成立.其中，2叫

作°涉的算术平均数，J而叫作W的几何平均数.即正数""的算术平均数不小于

它们的几何平均数.

常用不等式：若a,beR,则/+匕匕？"，当且仅当4=匕时取等号;

a+b>4ab

基本不等式：若a，beR+,则可（或a+b2ab）,当且仅当。二%时取等

_弓_

1.若〃b>Ot且a+4〃=l,贝IJ/+16/的最小值是

25

—I—

2.若^=1°,则*，的最小值为

【巩固练习1】若y>°,”丁，则孙的最小值为

【巩固练习2】已知x>。，y>°,且x+2y=l,贝lj2'+4>的最小值是

【题型2】常规凑配法求最值

基础知识

配凑法：加上一个数或减去一个数使和(积)为定值，然后利用基本不等式求解.

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

常见的配凑法求最值模型

mx+—>2y/mn(jn>0,n>0)x=J—

(1)模型一：x,当且仅当V机时等号成立；

mxH——--=m(x—G)H——-——I-ma>2-Jmn+ma(m>0,〃>0)

⑵模型二：x-ax-a

f(%)—jy-|____

3.若x>2则'厂尤+2的最小值为.

4.已知a>2,贝lj2aH——的最小值是()

a—2

A.6B.8C.10D.12

4

f(x)—3x+2H-------

【巩固练习1】函数X+1(无>。)的最小值为

13

--------1--------

【巩固练习2】已知正数”，人满足。+36=4,则a+1b+1的最小值为

3f+3।f

【巩固练习3】已知/>0,则%+1的最小值为.

【题型3]"1"的妙用（1）:乘“1”法

基础知识

方法总结：乘“1”法就是指凑出1,利用乘“1”后值不变这个性质，使不等式通过

变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值.

abab

----1--------1----

主要解决形如“已知x+片立为常数），求xy的最值”的问题，先将》了转化为

dt,再用基本不等式求最值

注意：验证取得条件.

12

----1----

5.（2023.广东广雅中学校考）若正实数a,6满足。+处=1,则。人的最小值是

6.（2024•江苏南通二模）设尤>。，则>的最小值为（）

33rr

―/——卜<2

A.2B,2^2C,2D,3

【巩固练习1】已知x>0，y>°且x+2y=呼，贝产+2y的最小值是.

92

----1----

【巩固练习2】若且无+2>=5,则x>的最小值为

121

cx+2y=--+—

【巩固练习3】已知x>°,且2,则*y的最小值为

【题型4】“1”的妙用（2）:“1”的代换

基础知识

方法总结：通过常数“1”的代换，把求解目标化为可以使用基本不等式求最值的式

子，达到解题目的.

1a

--1--

7.已知b>。,a+b=l,则〃刀的最小值为.

21

—I---

8.已知实数乙>>°满足》+户1,则x盯的最小值为（）

A.6B.4+2及C.4+26D,8

1a

—I—

【巩固练习1】若。>0,b>0、且a+46=l,贝［Ja6有最小是

1±Z+1

【巩固练习2】正实数一,满足x+〉=l,则xV的最小值是（）

_11

A.3+20B.2+2A/2C.5D,2

y2+x

【巩固练习3】（2024•安徽•三模）已知工〉。，”。，且2x+y”则町的最小值为

（）

A.4B.40c.40+1D.2A/2+1

【题型5］二次比一次型

基础知识

----<—苴----(tz>0,c>0)i~

2

ax+for+cax+b+—2Jac+bx=j£

基本模型:%,当且仅当V。时等号成

立

9■已知%>0,则次萨的最小值为()

A.5B.3C.-5D.一5或3

%2+%+3/_\

y=----------(%>2)

10.函数.X-2的最小值为

%2+x+4

y-

【巩固练习1】已知x>T,则函数.x+1的最小值是.

孙

【巩固练习2】已知正数羽/满足无+2y=3,则无+8〉的最大值为.

【巩固练习3】已知X,"为正实数，且％+y=l,则裳生的最小值为()

A.24B.25C.6+4V2D.6近-3

【题型6】分离常数型

基础知识

方法总结：对于分子分母中含有相同单一字母时，可以考虑分离常数

y=X+=X+-+i=X+—+2>4

例1：.XXXX(x>0)

y=2尤+上二=2（1）+为+71r2（x+l）+2+71T

例2:x-1

Y-jy-|----------------

11.若X>1,则函数XT的最小值为（）

A.4B.5C,7D,9

x+2y+27

2x+y=3,贝x+2+>的最小值为（）

【巩固练习1】已知》>-2,y>0

A.4B,6C.8D.10

..2x?+3x+8

/r（x）=2

【巩固练习2】函数x+x+4在xeR上的值域是

【题型7】与指数对数结合的基本不等式问题

方法总结：结合指数对数的计算公式变形得出积为定值或和为定值的形式，再利用基

本不等式求解

12.（多选）已知1。"=2,102〃=5则下列结论正确的是（）

71

ab<—

Aa+2Z?=lB.8

2

Cab>lg2D.a>b

13.（2020・山东•高考真题）（多选）已知a>0,b>0,且a+Z?=l,贝IJ（）

a2+b2>->-

A.2B.2

Qlog2a+log2b>-2D+\[b<

【巩固练习1】（2023广东广雅中学校考）若正实数a,6满足。+%=1,则于+型的最

小值是______

【巩固练习2】已知实数刘丁满足x+3>=2,贝旷=3'+27，'+1的最小值是.

【巩固练习3】（多选）已知3、=4〉=12,则实数，,满足（）

A.%>，B1+”4

111

cxy2Dxy>4

【题型8】利用对勾函数

基础知识

当无法取等时需要结合对勾函数图像，利用单调性来得出最值

4

XH-----

14.当尤22时，2的最小值为.

15.已知函数/（x）=|lgx|.若0<"匕,且/（a）=FS）,则。+4。的取值范围是（）

A（4,+oo）B4,+oo）©（5,+°°）D叵+⑼

5

【巩固练习1】函数y=x+x+1（xN2）取得最小值时的X值为.

【巩固练习2]已知函数/3=归才+2,若实数a乃满足6＞。＞0,且/⑷=/（份,

则a+2b

的取值范围是.

【巩固练习3】若对任意”41'2】，侬2一（九+1卜一14°恒成立，求实数加的取值范围

【题型9】判断不等式是否能成立

基础知识

（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数,

定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.

（2）连续使用不等式要注意取得一致.

16.（多选）下列函数中，最小值为2的是（)

y=—+—+1y=yjx2+4+

A.4xB.

1

L-L(0<x<l)

y=12-x+,2+x

c.2X1-xD.

【巩固练习1】下列不等式证明过程正确的是（）

ba、Jba.

-+->2J——=2

A若7则ab\ab

B.若x>0,y>0,则炮龙+lg”2jlg-gy

4臼十-4

XH—

C.若x<0,贝IJX

D.若x<0,则2'+2T>2万？^=2

【巩固练习2】（多选）下列命题中，真命题的是（）

A.VxeR,者B有炉7"-1

_4_

B,土«1，+°°）,使得尤+二一

C.任意非零实数都有"b

,、J尤2+1+/4

D.若"⑵网，则在+1的最小值为4

【巩固练习3】（多选）下面结论正确的是（）

x<-2x+—^—

A.若2,则2x7的最大值是-I

：国+5

B.函数J后的最小值是2

・别）的值域是

xe

c.函数.尤（

D.x＞。，、＞。且无+尸2,贝［jy+1尤的最小值是3

【题型101换元法（整体思想）

基础知识

对于两个分式的最值问题可以考虑整体法或换元法配凑

整体配凑法原理是把目标当作一个整体，然后利用基本不等式求最值.

单分母换元：当2个分母的和为定值，可以把其中一个分母进行换元

双分母换元：当2个分母均为字母加减常数时，可以把2个分母都换元

0<«<l

17.（单分母换元）已知2,则2a1-2a的最小值是______

A.6B.8C.4D.9

a4b

------1------

18.（双分母换元）已知正数少6满足。+6=2,贝lja+l6+1的最大值是（）

9n7

--C-

A2B4D3

匕

—I---16-x-

19.已知z,9为正实数，则x2x+y的最小值为（）

A.6B.5C,4D,3

19

—I----

【巩固练习1】已知4+b+c=l,其中a,b,O0,贝Ijab+c的最小值

为.

121

----1----=—

【巩固练习2】已知实数且”+1b-23,则2a+b的最小值

是•

4a+b

【巩固练习3】若〃>。，b>0,c>0a+b+c=2贝c的最小值

为.

11

,------1-----

【巩固练习4】若正实数满足。+6=1,则。+262a+b最小值为

228

—I----------1-----------------

【巩固练习5】已知生b,c均为正实数，"+ac=4,贝［Jab+c6的最小值

是■

【题型111基本不等式的实际应用问题

基础知识。

不等式的应用题常以函数为背景，多是解决现实生活、生产中的优化问题，在解

题中主要涉及不等式的解法、基本不等式求最值，构建数学模型是关键，重点培养数

学建模、数学运算素养.

调和平均数W几何平均数W算术平均数W平方平均数：

若a,beR+,则°石（当且仅当时取“=”）

20.数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种方式.现有如图所示图

形，在等腰直角三角形中，点。为斜边的中点，点。为斜边ZI6上异于

顶点的一个动点，设AD=,BD=b,用该图形能证明的不等式为（）

(Q>0,b>0)2ab<\[ab(a>0,b>0)

A.2B.a+b

a+bI"+/2/x

丁气〉

c.S°R0)Da2+b2>2\[ab^a>0,b>0)

21.小李从甲地到乙地的平均速度为J从乙地到甲地的平均速度为他往

返甲乙两地的平均速度为匕则（）

a+b

v=------

A.2Bv=4ab

r~ra+b

7ab<v<------

C.2Db<v<'jab

【巩固练习1】原油作为“工业血液”、“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工

产业甚至世界经济.小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现

小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，

则下列说法正确的是（）

A.第一种方案更划算

B.第二种方案更划算

C两种方案一样

D.无法确定

【巩固练习2】《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方

数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实

现证明，因此这种方法也被称之为“无字证明”.如图所示，是半圆O的直径，点

C是上一点（不同于4B,O）,点D在半圆。上，且CDL4B,CELOD于点

E,设〃C=a,BC=b,则该图形可以完成的“无字证明”为（）

A.V<——(«>0,b>0)

+2

B.—~2-<--—(a>0,b>0,a片垃

C.V(a>0,6>0)

D.——<V<—-2—(〃>0,b>0,a手垃

【巩固练习3】（多选）给出下面四个结论，其中不正确的是（）

A.两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降,

每次购买这种物品所花的钱数一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种

物品的数量一定.则若〃次（"22）购买同一物品，用第一种策略比较经济

8.若二次函数式2）=24&!+42-1（。#0）在区间（-1,1）内恰有一个零点，则由零点存

在定理知，实数。的取值范围是（-Lo）U（o,W）

824

C.已知函数/N）=|lg乱若且人〃）=/6）,则36+2〃的取值范围是

[2>/6,+OO）

D.设矩形的周长为24,把沿ZC向△ZDC折叠，Z2折过去后

交DC于点P,设月B=z,则△月DP的面积是关于z的函数且最大值为108-70拒

【题型12]与a+b.平方和、ab有关问题的最值（和，积，平方和互相转

化）

基础知识

利用基本不等式变形求解

（a+Z?）2a2+b2

ab<----—<----

常用不等式链：42（主要用于和积转换）

22.(2024•辽宁葫芦岛•二模)若a＞。，。＞。二"+。+»=3,贝"+2b的最小值是

()

V2

A.2B.1

3A/2

C.2D.2

23.（2024・重庆渝中•模拟预测）（多选）已知实数为'满足无心-2一2孙=1,则

Ax+2y<lBX+2y>—2

Cx2+4y2<2Dx2+4y2>1

【巩固练习1】已知实数J分茜足/+4/-必=1,则。2+4/的最大值为

3

…八a+b7-ab7=—

【巩固练习2】（多选题）（2024•高三,海南•期末）已知。＞。力＞。，且4,

则（）

19

0<tzZ?<—ab>—

Aa-\-b>3B.4或4

(a-l)2+(fe-l)2<i1J+34-4

C.2D.ab3或ab

【巩固练习3】（多选题）已知正数x，＞满足1+-+丁=9,则（）

A.孙0Bx?+J26

Cx+y<2>/3Dx+y>6

【题型131基本不等式恒成立与能成立问题

基础知识

YxeM,使得/0）一。，等价于/⑺加…"，YxwM,使得/（X）”。，等价于

/⑺2a

BxeMf使得f（x）..a,等价于了。）1T1ax..a,3xeMf使得了（戏，。,等价于

/(X)1nin”

__1____1—_2

24.已知x>0，y>0,且x+2y3,若x+y>疗+3"恒成立，则实数机的取值范围

是（）

A.（T6）B.（-3,。）C.I/）D.（1⑶

-L+l=2

【巩固练习1】已知x>°，y>°,且x+2y7,若无+2+、>〃广+5〃1恒成立，则实数

机的取值范围是（）

A.（T7）B.（-2,7）c.（T,2）D.（—7,2）

【巩固练习2】已知x>。，且》+”=孙，若不等式恒成立，贝|j的取

值范围是（）

A.（-刃向B.（F」6]c.（-8,8]口,（一°°⑼

【巩固练习3】若两个正实数苍y满足"+2'=个，且存在这样的工'使不等式

2x+y（苏+8加有解，则实数加的取值范围是（）

A.㈠⑼B.fl）

C（-<»,-9）u（l,+oo）D（y,-l）U（9,+℃）

【巩固练习4】若存在x«l，3],使不等式M_2«x+a+2M。成立，则a的取值范围

为.

模块二1学有余力•拓展提升

【题型141消元法

基础知识

消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变

量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

25.已知x〉0,y>0,xy+2x-y-10,贝+y的最小值为

【巩固练习1】若a>0,b>0,ab=2,则的最小值为

0^+1-----------

【巩固练习2】（2024•浙江嘉兴,二模）若正数久,y满足好一2xy+2=0,则％+y的最

小值是（）

A.V6B.当C.2V2D.2

【巩固练习3】（2024•重庆•模拟预测）（多选）已知%>°广>°,且工+丫+个-3=0,则

（）

A."的取值范围是1I⑼

B.x+y的取值范围是［2,3）

C.'+4y的最小值是3

D.*+2》的最小值是40-3Ex+4y>3

【题型151因式分解型

基础知识

含有利+勿+"肛这类结构的式子，可以考虑因式分解配凑成（公+1）（"+1）的

结构，再结合整体思想来求最值

26.（重庆巴蜀中学校考）已知"0,且町+尤-2y=4,则2x+y的最小值是

2x+y+2xy=—_

【巩固练习1】设x,y为正实数，若■'4,则2x+y的最小值是（）

A.4B.3C.2D.1

x2y

--------1---------

【巩固练习2】若彳＞。，、＞。且％+丁=孙，则x-i＞T的最小值为

【巩固练习3】（2024•江苏南京三模）若实数无》满足2V+盯-V=l,贝|j

x-2y

5尤2-2孙+2丁的最大值为

【题型16】同除型（构造齐次式）

基础知识

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运

用基本不等式进行求解.

xy

27.设正实数X、）、z满足4--3个+/一z=O,则丁的最大值为

A.0B,2C,1D,3

【巩固练习1］已知正实数工，？满足5/+4g-炉=1,12/+8g的最小值为

1--

【巩固练习2】已知x>。，V>°,x3+y3=x-y,则y2的最小值是（）

A.2B.2+百C.&+2D.20+2

【题型171万能法

求啥设啥，利用一元二次方程有实数根时ANO.

28.（2024.湖南衡阳.模拟预测）已知实数％兀满足Y+孙+3寸=3,贝产+'的最大

值为（

3VTT6VTT一+1■+3

A.11B,丁C.3D.3

【巩固练习1】若正数。，b,c满足/+/+/_"一历=1,贝卜的最大值是.

【巩固练习2】（重庆巴蜀中学校考）已知实数J'满足=1,则的最

小值为_______

24

【巩固练习3】已知正实数2、？满足x+—+3y+—=10则即的取值范围是

【题型18］三角换元法（利用三角函数）

出现平方和结构（ma2+心形式，引入三角函数表示“和8

29.若x,y满足£+V=L则缶的最大值为

30.（多选题）若x,"满足*+V+孙=1,则（）.

工<2也

A.3

x2+y2<-尤2+y2w2

C.2D.一3

X22-

-r+y=1万一、，

【巩固练习1］若x,"满足4,则V2x+y的最大值为

【巩固练习2】已知实数元》满足/一2q+2y2=l,则f-2y的最大值为.

【题型191基本不等式与其他知识交汇的最值问题

基础知识

利用基本不等式求最值往往交汇考查，多涉及数列、三角、向量、解析几何、立体几

何等问题中有关最值的求法.

片+匚1

31.（2024•宁夏银川•二模）已知43,0）,8（-3,0）,。是椭圆2516上的任意一点，

贝『尸川"尸8|的最大值为

32.（2024.江西.模拟预测）已知圆&T>+（'T）2=l关于直线

b1+2〃

办+办-1=0（“>0,6>0）对称，则ab的最小值为（）

A.3B.3+2&C,2D.2+2收

【巩固练习1】（2024苏锡常镇二模）已知随机变量4~阳1。2）,且

14

PC京0）=PCa）,则［+力zn<%<G）的最小值为

9

A.9B.-C.4D.6

2

［巩固练习2］若直线依-外+2=0（a>0,6>0）被圆_?+「+以-451=0,所截得的弦

23

—I—

长为6,则。方的最小值为.

【巩固练习3】已知过抛物线丁=4尤的焦点/的直线交抛物线于4（%，%）,W/，为）两

点,贝1+4网的最小值为（）

A.4B.8C.9D.12

【题型20】含有根式的配凑（根式平方和为定值型）

基础知识

对于以2+外2="，求:Jl+y2最大值

可以设C=J1+J,配好系数后的/与/可以凑出定值

2_____

33.已知羽y为正实数，且％2+］=1,求的最大值

2

【巩固练习1］若z>0,j>0,且2丁2+《=8,则H6+2成的最大值为

【巩固练习2】已知生b是正实数，且2d+3〃=10,求川2+廿的最大值.

【题型21】多次运用基本不等式

基础知识

多次运用不等式求最值，取到最值时要注意的是每次取等的条件是否一致.

34.已知正实数a,b,满足。+/?2/+今贝IJa+b的最小值为（）

A.5B.IC,5V2D.苧

8ab2+a16

j-------1----

【巩固练习1】对任意的正实数a，6，c,满足6+c=l,则bea+1的最小值

为.

5-8孙

【巩固练习2】已知正实数X、人z满足Y+V+Z2=1,则z的最小值是（）

A.6B,5C.4D.

参考答案与详细解析

模块一X核心题型•举一反三

【题型1】基本不等式的直接使用

基础知识

L,a+ba+b

n,nyjab<--------

如果那么2,当且仅当。=匕时，等号成立.其中，2叫

作°方的算术平均数，而叫作的几何平均数.即正数的算术平均数不小于

它们的几何平均数.

常用不等式：若a，bwR,则当且仅当4=6时取等号；

基本不等式：若a,beR+,则2（或。+心2而），当且仅当。=匕时取等

1.若a〉0,b>0,且a+4b=1,贝产2+16好的最小值是

1

【答案】2

［详解］/+16加22x4",贝”2（4+16/”4+1662+2x4"=（4+46）2,

9?（Q+4〃）211

a+16b>---------=—a=4b=—

所以22,当且仅当2时，等号成立，

所以"+16/有最小值万

25

—I—

2.若尤>0,y>0,孙=10,则尤丁的最小值为.

【答案】2

25c的〜

【简析】x>Y孙

【巩固练习1】若*y，则孙的最小值为

4

【答案】25

14rrrr44

-+-=10>2—=>5>—=>25>—^xy>—

【简析】％yN孙w孙25

【巩固练习2】已知x>。，且x+2y=l,则2，+4,的最小值是

【答案】2夜

［详解］由于厅>0,4>>0,所以2,+4,22jF7=2jF7=20,当且仅当天

时等号成立

【题型2】常规凑配法求最值

基础知识

配凑法：加上一个数或减去一个数使和（积）为定值，然后利用基本不等式求解.

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

常见的配凑法求最值模型

mx+—>2y[mn(m>0,n>0)元=J—

⑴模型一：元,当且仅当V机时等号成立;

mxH——--=m(x—a)-\——-——卜ma>2ylmn+ma(m>0,n>0)

(2)模型二：x~ax-a,当且仅当

时等号成立

f(%)=x----

3.若工>-2,贝|Jvx+2的最小值为.

【答案】0

x+2>0,--->0

【解析】由%2,得%+2,

f(x)=x-\——--=x+2d——---2>2.(x+2)x---2=0

所以x+2x+2Vx+1

x+2=---

当且仅当冗+2即时等号成立.

4.已知a>2,贝［|2aH—三的最小值是()

CL—Z

A.6B.8C.10D.12

【解题思路】利用基本不等式性质求解即可.

【解答过程】因为a>2,所以a-2>0

所以2a+—=2(a-2)+—+4>2V16+4=12,

a—2a—2

当且仅当2(a-2)=』-,即a=4时，等号成立.

pa—2

所以2a+三的最小值为12.