2025高考数学专项复习讲义：幂函数与二次函数（学生版+解析）

第02讲募函数与二次函数

（6类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第1题,5分解三次不等式交集的概念及计算

2023年新I卷，第1题,5分二次函数图象解不等式集合间的基本运算

二次函数单调区间求参数值函数的单调性求参数值

2023年新I卷，第4题,5分

或范围判断指数型复合函数的单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握募函数的基本

性质，难度中等偏下

1j_

【备考策略】1.掌握塞函数的定义及一般形式，掌握丁=匕、=/,丁=/,丁=犷1=—,>=产=6的图象

X

和性质

2.理解并掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）

3.理解并掌握累函数丁=X“，a=w0）的单调性和奇偶性

P

4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式

【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考

知识点1嘉函数的图象

知识点2幕函数的单调性

______________知识点3-函数的奇偶性

核心知识点知识点4二次函数的图象与性质

知识点5二次函数的单调性与最值

知识点6解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式

考点1幕函数的图象

考点2幕函数的单调性与奇偶性

考点3利用黑函数单调性进行大小比较

核心考点考点4幕函数的综合应用

考点5解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式

考点6二次函数的综合应用

知识讲解

1.幕函数

(1)幕函数的定义及一般形式

形如丁=丁(夕6夫)的函数称为暴函数，其中x是自变量，a为常数

(2)募函数的图象和性质

①幕函数的单调性

apz>0时，/(X府第一象限单调递增

—"[aVO时，/(x庵第一象限单调递减

②塞函数的奇偶性

a为偶数,/（x）为偶函数

a为整数<

a为奇数，八只为奇函数

P为偶数时，/（%）为非奇非偶函数

a为分数,设0=工9为奇数，/（%）为奇函数

p为奇数时《

Pa为偶数，〃竹为偶函数

2.一元二次方程:

ax2+bx+c=0(aw0)

①方程有两个实数根^A=b2-4ac>0

A>0

②方程有同号两根o<C八

=—>0

a

A>0

③方程有异号两根o<C八

玉％2=一<0

a

hc

④韦达定理及应用：%］+々=---,再入2=一

aa

VA_y]b2-4ac

a\a\

d+%2=（玉+%2）（k一%%2+%；）=（玉+九2）［（石+%2）2—3王马］

3.二次函数

①一般式：y=ax2+bx+c=a（x+-）2+—―（aw0）,对称轴是x=--—,

2a4a2a

e上目/b^ac-b2

顶点是（一丁,一-——x）；

2a4a

②顶点式：y=〃（%+加产+%（〃。0）,对称轴是尤=一切,顶点是（一机，女）；

③交点式：y=〃（％-再）（%-%）（〃。。），其中（和0），（x2,0）是抛物线与％轴的交点

4.二次函数的性质

①函数y=ar+bx+c（aw0）的图象关于直线x=---对称。

2a

bb

②a>0时，在对称轴（%=----）左侧，y值随犬值的增大而减少；在对称轴（%=-----）右侧；y

2a2a

h4CLC——Z?2

的值随工值的增大而增大。当%=-二时，y取得最小值

2a4a

6b

③。＜0时，在对称轴（x=——）左侧，y值随尤值的增大而增大；在对称轴（x=——）右侧；y

2a2a

h4ac—h~

的值随X值的增大而减少。当x=-2时，y取得最大值

2a4a

5.解一元二次不等式

“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系

判别式

A>0A=0A<0

A=/72—4ac

一元二次方程有两个相等实根

有两个不等实根

ax2+bx+c-0（«*0）b无实数根

/，（设项〈九2）—----

的根2a

二次函数

y=ax2+bx+c（a＞0）工

的图象X1vvX2V

♦+Z?%+c>0(〃>0)卜--m

{x|x<x1gJcr>x2}R

的解集

ax2+/?%+c<0(〃>0)

{RX,<X<X2}00

的解集

6.解分式不等式

①。o/（x）g（x）＜。〉oO/(x)g(x)〉0

f(x)g{x)<G7(%)^(%)>o

③卷I了6。④twI人力。

7.解单绝对值不等式

同>a(a>0)=>x<-a^x>6z,|x|<a[a>O)^-a<x<a

考点一、塞函数的图象

典例引领

1.（23-24高三•阶段练习）已知幕函数Ax）的图象过点（16,4）,则函数Ax）的图象是（）

2.（2023高三•山西运城・学业考试）如图的曲线是募函数^=尤"在第一象限内的图象已知〃分别取土2,±3四

个值，与曲线G、C2、C3、C4相应的〃依次为（）

3.（23-24高三•阶段练习）函数"%）=以2+2%+1与g（x）=/在同一直角坐标系中的图象不可能为（）

1.（23-24高三•阶段练习）已知基函数的图象经过点尸（8,4）,则该事函数的大致图象是（）

2.（23-24高三•阶段练习）（多选）现有4个哥函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（）

1c

A.P=3,m=2,q=3,n=-3

B.P=4,m=3q=L,^=—2

f3

1c

C.P=2,m=3,q=—,n=-3

2

11c1

D.m=—,q=-2,n=—

P=5'34

3.（22-23高三•全国•对口高考）给定一组函数解析式:

(Dy=X%；^2)y=尤3；(3)y=尤2；④y—x3•,(5)y=尤2；⑥y=尤3；⑦y—.

A.⑥③④②⑦①⑤B.⑥④②③⑦①⑤

C.⑥④③②⑦①⑤D.⑥④③②⑦⑤①

考点二、塞函数的单调性与奇偶性

典例引领

L（上海•高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间（0,+8）上单调递减的函数为（）

--7B.y=x-1C.y=x2

A.y=xD.y=x3

2.（2023•全国•专题练习）如图所示是函数一：5、KN*且互质）的图如则（）

B.m是偶数，〃是奇数，且%<1

n

C.机是偶数，〃是奇数，且生>1D.m,”是偶数，且‘>1

nn

3.（23-24高二下•浙江•期中）幕函数y=Z）的图象关于y轴对称，且在（0,+“）上是减函数，则

机的值是（）

A.1B.2C.3D.4

3

1.（1993•全国，身考真题）函数y=x=在［-1,1］上是

A.增函数且是奇函数B.增函数且是偶函数

c.减函数且是奇函数D.减函数且是偶函数

2.（2024•全国,模拟预测）（多选）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（）

A.f(x)=-3x5B.〃力=2工

1

c./(.«)=-D・f(%)=-2x^

X

3.（2024广东广州・模拟预测）若幕函数〃%）=（加一加一1）/7在（0,+8）上单调递增，则实数机的值为（）

A.2B.1C.-1D.-2

考点三、利用塞函数单调性进行大小比较

典例引领

232

（安徽•高考真题）设（，，（『

1.a=|1b=C]c=|则a,b,c的大小关系是（

A.a>c>bB.a>b>c

C.c>a>bD.b>c>a

231

2.（2023•广东广州二模）已知〃=3§,8=2%c=4』，则（）

A.c<a<bB.b<c<a

C.b<a<cD.c<b<a

22

1.（2024•福建三明•三模）若a=（_|J,b=（_；j,c=bg2；,则（）

A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>c>a

]_£3

2.设q===则”也c的大小关系是（）

A.c<a<bB.c<b<a

C.a<c<bD.b<c<a

考点四、寨函数的综合应用

典例引领

1.（2024•吉林•模拟预测）请写出一个幕函数〃幻满足以下条件：①定义域为[0,+S）；②/（x）为增函数;

③对任意的%e[0,+s）,则/（幻=.

2.（2023・全国•模拟预测）已知x,yeR,满足"一丁3+x=g,（2y+丁g+2y=-|,贝拉+2y=（

A.-1B.0C.1D.2

1.（2024•云南曲靖•一模）如图，在第一象限内，矩形ABCD的三个顶点A3,C分别在函数

y=log由尤,>=尤3,>=的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2,则。点的

坐标是.

2.(2024•全国•模拟预测)写出满足下列条件①②③的一个函数：/(%)=.

①/(x)的定义域为R；②xeR,f(—x)=—f(.^)；③0＜七〈尤2,都有—＜1，＜工.

1^2；f(x2)x2

考点五、解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式

典例引领

1.(2024・上海,高考真题)已知xeR,则不等式/一2》-3<0的解集为.

2.(全国•高考真题)不等式上|>。的解集是()

尤+3

A.(-3,2)B.(2,+«5)

C.(^»,-3)U(2,-H»)D.(-oo,-2)u(3,+oo)

3.(2024•全国高考真题)已知集合&=卜-5<三<5},8={-3,-1,0,2,3},则&03=()

A.{—1,0}B.{2,3}C.{-3,—1,0)D.{—1,0,2}

1.(2024•福建福州•一模)已知集合A=1x|泊401,3={尤|丁-3尤<0},则()

A.{x\x<2^x>3]B.{x|-2<x<31

C.(^|0<x<2}D.{x|xW—2或123}

2.(2024•全国•一模)已知集合”={%£Z|log2|x|<1},N=„_%wo},则McN=()

A.{-1,1}B.{-1,0,1}

C.{-2,-1,1}D.{-2,-1,0,1}

3.(23-24高三上•河南南阳•阶段练习)不等式(J—2x—3)(丁+4%+4)<0的解集是()

A.{%|尤<-1或x>3}B.{%[-1<兄<2或2Vx<3}

C.{x|-l<x<3}D.{x|-2<x<3}

考点六、二次函数的综合应用

典例引领

1.（2023•全国•高考真题）设函数/（》）=2工（…）在区间（0,1）上单调递减，则。的取值范围是（）

A.(Y»,-2]B.[-2,0)

C.(0,2]D.[2,+co)

2.（2024•全国•模拟预测）若函数/(X)=--(〃L2)x+1|在上单调，则实数机的取值范围为（

252)

919

在

UB2U工

A._2-2-_2-

__

1919

C.-51U3,-D.--,2U3,—

3.（2024•广东揭阳•二模）已知函数/（耳=-/+依+1在（2,6）上不单调，贝心的取值范围为（）

A.(2,6)B.(T»,2]U[6,+OO)

C.(4,12)D.(-CO,4]U[12,-KO)

x2-lax,x>l

4.（2024•陕西渭南•二模）已知函数/（幻=%是R上的增函数，则实数。的取值范围是（)

一X—1,%<1

[2

4

A.B.(0,-]C.(0,1)D.(0,1]

2

5.（2024•四川成都二模）已知函数外力=2,+2，+"的值域为M.若（1,+e）UM,则实数。的取值范围是（)

A.B.-00,1]C.(1,+co)D.[1,+(»)

1.（2024・辽宁•一模）若函数〃x）=3,+a在区间（1,4）内单调递减，贝的取值范围是（）

A.（-应4]B,[4,16]C.（16,+oo）D.[16,+8）

2.（2024・山东•二模）已知函数/（耳=2£一如+1在区间[T,y）上单调递增，则”1）的取值范围是（）.

A.[7,+co）B.（7,+co）

C.D.（ro,7）

3.（2024・河南信阳•模拟预测）若函数m_2）x+l|在-上单调，则实数加的值可以为（）

15

A.—1B.C.-D.3

22

4.（23-24高三下•福建•开学考试）已知函数〃x）=卜a[：）[l'尤<"的值域为R,则实数a的取值范围

\x-2a\-2,x>a

为.

5.（2024・河南•模拟预测）已知函数〃对=,-6犬+7］在［1,向（机>1）上的最大值为A,在闻2〃-1］上的最

大值为B,若AN23,则实数机的取值范围是.

IN.好题冲关

、单选题

1.（2024・山东日照•二模）已知暴函数的图象过点（2,4）,则函数的解析式为（）

y=x2

A.y=2'B.c.y=log2xD.y=sinx

2.（2024・山东日照•二模）已知则〃〃是〃/>/〃的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.（2024•北京朝阳•一模）已知aeR,则是"函数〃x）=（l-a）V在R上单调递增”的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024•辽宁•模拟预测）若则下列说法正确的是（）

A.a1>b2B.lg(tz-Z?)>0C.a5*>b5D.a3>\b3

5.（2024・广西•二模）下列函数中，在（0,2）上单调递增的是（）

A./(x)=Vx-lB./(x)=x2-2x

C.=g

D-"x)=x4

6.（2024•全国•模拟预测）已知集合加=卜|五<2},N={X*-8X-20<0},则A/CN=

A.1x|-2<x<10|B.1x|0<x<8}C.2<x<101D.1x|-2<x<8}

7.（2023•江苏徐州•模拟预测）已知函数/（X）=/——1的单调递增区间是［L+8），则实数a的值是（

A.—3B.3C.-1D.1

x2+x,-2<x<0/、

8.（2024•北京西城•一模）已知函数/（%）=<厂，若〃元）存在最小值，贝!J。的最大值为（)

-y/x9Q<x<c

111

A.—B.—C.一D

1684-I

入3_ix<［

9.（2024•新疆喀什•二模）已知函数/（x）='，满足F（a—1）<7（3-。），则实数a的取值范围是（)

inx,x_J.

A.(—8,2)B.(2,+oo)C.(-8,0)D.(0,+a?)

二、填空题

10.（2023•广东珠海•模拟预测）已知函数/（力=尤2+〃觊—2龙+1在区间[2,+⑹上是增函数，则实数机的取

值范围是.

一、单选题

1.（2023•四川成都•模拟预测）幕函数“%）=（疗-3〃L3）V在区间（0,+8）上单调递减，则下列说法正确的

是（）

A.根=4B.”尤）是减函数

C.是奇函数D.〃x）是偶函数

2.（2024・广东•一模）己知集合4=若。，&ceA且互不相等，则使得指数函数、=优，

对数函数y=log〃x,幕函数y=x。中至少有两个函数在（0,+8）上单调递增的有序数对（a,6,c）的个数是（）

A.16B.24C.32D.48

3.（23-24高三上•广东深圳•期末）已知实数利"满足（m+1）3+："=（〃-1）3+”=0,则一二（）

m

A.-1B.1C.-2D.2

二、填空题

4.（2024•北京延庆•一模）已知函数/（x）=xa（0<a<l）在区间（-1,0）上单调递减，则。的一个取值为.

5.（2024・陕西安康•模拟预测）已知命题P：函数/（M=工-川+9在区间（。,+◎上单调递增，命题4：m<a,

若p是q的充分不必要条件，贝心的取值范围是.

1

6.（22-23高一上•全国•课后作业）已知事函数=若-2a）,则。的取值范围

是.

）

7.（2022高三・全国•专题练习）不等式（炉-1『”+铲22+2/_14（）的解集为：.

8.（23-24高一上•江苏盐城,期末）关于尤的不等式/-2X+1W0在（0,2]上有解，则实数。的取值范围

是.

9.（2024高三・全国•专题练习）已知函数〃尤）=|4-依-"a,beR,若对任意的毛w[0,4],使得/'（七””,

求实数M的取值范围是.

10.（23-24高三下•江苏南京・强基计划）已知函数/（X）=办2+灰+。仅>.）,对于VXER,/（%）之0恒成立，

b-a

求的最大值是.

a+b+c

一、单选题

1.（2024・天津•高考真题）设a,6eR,则是"3"=3〃”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.（2023,天津,图考真题）设a=LOW，8=1.0俨6,，=O.605,则a,dc的大小关系为（)

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<b<aD.c<a<b

c=log1,则(

3.（2022•天津•高考真题）已知Q=207,2)

A.a>c>bB.b>c>aC.a>b>cD.c>a>b

1

4.（全国•高考真题）函数y=卡的图象是

5.（山东•高考真题）关于函数y=—f+2x,以下表达错误的选项是（）

A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线x=l

C.函数的单调递减区间是［-1,内）D.函数图象过点（2,0）

6.（全国•高考真题）函数y=V+bx+c（xe［O,+s））是单调函数的充要条件是（）

A.b>0B.b<0C.b>0D.b<0

7.（全国•高考真题）若函数/（力=-/+2依与江月=号在区间［1,2］上都是减函数，则。的取值范围（

A.(-1,O)U(O,1)B.(-1,O)U(O,1]C.(0,1)D.(0,1]

二、填空题

8.（上海・高考真题）若则满足f（x）＜0的X取值范围是.

第02讲然函数与二次函数

（6类核心考点精讲精练）

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

2024年新I卷，第1题,5分解三次不等式交集的概念及计算

2023年新I卷，第1题,5分二次函数图象解不等式集合间的基本运算

二次函数单调区间求参数值函数的单调性求参数值

2023年新I卷，第4题,5分

或范围判断指数型复合函数的单调性

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幕函数的基本

性质，难度中等偏下

1X

【备考策略】1.掌握幕函数的定义及一般形式，掌握y=x,y=/,y=/,y==—,y=x，=«的图象

x

和性质

2.理解并掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）

3.理解并掌握幕函数y=-[=幺（々w0）的单调性和奇偶性

P

4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式

【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考

知识点1嘉函数的图象

知识点2幕函数的单调性

______________知识点3-函数的奇偶性

核心知识点知识点4二次函数的图象与性质

知识点5二次函数的单调性与最值

知识点6解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式

考点1幕函数的图象

考点2幕函数的单调性与奇偶性

考点3利用黑函数单调性进行大小比较

核心考点考点4幕函数的综合应用

考点5解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式

考点6二次函数的综合应用

知识讲解

8.塞函数

(3)幕函数的定义及一般形式

形如丁=丁(£6r)的函数称为暴函数，其中x是自变量，a为常数

(4)塞函数的图象和性质

①基函数的单调性

a>0时，/(用鹿第一象限单调递增

aVO时，用E第一象限单调递减

②塞函数的奇偶性

a为偶数,/（x）为偶函数

a为整数<

a为奇数，八只为奇函数

P为偶数时，/（%）为非奇非偶函数

a为分数,设0=工9为奇数，/（%）为奇函数

p为奇数时《

Pa为偶数，〃竹为偶函数

9.一元二次方程:

ax2+bx+c=0(aw0)

①方程有两个实数根^A=b2-4ac>0

A>0

②方程有同号两根o<C八

=—>0

a

A>0

③方程有异号两根o<C八

玉％2=一<0

a

hc

④韦达定理及应用：%］+々=---,再入2=一

aa

VA_y]b2-4ac

a\a\

d+%2=（玉+%2）（k一%%2+%；）=（玉+九2）［（石+%2）2—3王马］

10.二次函数

①一般式：y=ax2+bx+c=a（x+—）2+——（aw0）,对称轴是x=---,

2a4a2a

e上曰/bd—砥

顶点是（一丁,一-——）；

2a4a

②顶点式：y=a（x+m）2+k（^^0）,对称轴是％=-加,顶点是（一机，女）；

③交点式：y=〃（％-再）（%-%）（〃。。），其中（和0），（x2,0）是抛物线与％轴的交点

11.二次函数的性质

①函数y^ax~+bx+c{a^0）的图象关于直线x=-----对称。

2a

bb

②a>0时，在对称轴（%=----）左侧，y值随犬值的增大而减少；在对称轴（%=-----）右侧；y

2a2a

h4cic——Z?2

的值随工值的增大而增大。当%=-二时，y取得最小值

2a4a

6b

③。<0时，在对称轴（x=——）左侧，y值随尤值的增大而增大；在对称轴（x=——）右侧；y

2a2a

的值随X值的增大而减少。当x=-2h时，y取得最大值4<2C—h

2a4a

12.解一元二次不等式

“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系

判别式

A>0A=0A<0

A=/72—4ac

一元二次方程有两个相等实根

有两个不等实根

ax2+bx+c-0（«*0）b无实数根

/，（设项〈九2）—------

的根2a

二次函数

y=ax2+bx+c（a>0）

X1X2

的图象vvu|X1=X2%

VX

♦+Z?%+c>0(〃>0){x|x<xgJcr>x}卜--m

12R

的解集

ax2+/?%+c<0(〃>0)

{RX,<X<X2}00

的解集

13.解分式不等式

①。o/（x）g（x）<。〉0o/(x)g(x)〉0

③卷f(x)g{x)<G7(%)^(%)>o

I了6。④twI人力。

14.解单绝对值不等式

>a[a>0)=>x<-a^x>a,|x|<a(a>O)=i>—a<x<a

考点一、塞函数的图象

典例引领

1.（23-24高三•阶段练习）已知幕函数/（尤）的图象过点（16,4）,则函数的图象是（）

【分析】

根据幕函数经过的点得表达式，进而根据幕函数的性质即可结合选项求解.

【详解】

设幕函数的解析式为/(x)=x\

由幕函数y=的图象过点(16,4),.14=16。，解得&=

==其定义域为［o,+°°),且是增函数,

当o<x<i时，其图象在直线y=x的上方，故c满足题意.

故选：c

2.(2023高三•山西运城•学业考试)如图的曲线是塞函数y=x”在第一象限内的图象.已知〃分别取±2,±g四

个值，与曲线C-CACSC相应的〃依次为()

c1c1

B.2,—2,——

22

1cc1c11c

C.一不一2,2,—D.-2,--,-,2

22