2025高考数学：导数必考经典压轴解答题汇编（含解析）

导撤检老强舞密“修拳皴汇"

----------------------°(KES°----------------------

命题城................................................................................1

知识机.................................................................................1

举一反三................................................................................4

【慝型1函数的切假问题】.................................................................4

【题型2（含参）图数的单调性问题】........................................................6

【典型3函数的极值与就值问题】...........................................................8

【慝型4导数中隔数零点（方程根）同慝】...................................................10

【题型5导数中不等式的证明】...........................................................12

【题型6利用导数研究不等式恒成立问题】.................................................14

【慝型7利用导数研究能成立问慝】.......................................................16

【题型8双变式问题】....................................................................18

【题型9导数中的极值点偏移问慝】.......................................................20

I：题型10导数与其他知识的绿合问题】....................................................22

【题型11导数新定义问慝】...............................................................24

课后提升...............................................................................27

（命题规律）

导数是高考数学的重要内容,是高考必考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看,在解答题中试题

的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、不等式恒

成立与存在性问题以及不等式的证明等内容,考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问题，解题时要灵

活求解.

其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压轴

题的热点方向.

【知识点1切线方悭的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数5=/3）在多=g处的导数，即曲线夕=/3）在点（&,/（g））处切线的斜率；

•••

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'M(x-g).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标T(gJ(g))(不出现为)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+/'(g)Q-Xo)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】

1.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

2.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：在(a,6)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.

(2)/(0为增(减)函数的充要条件是对任意的刀e(a,6)都有((尤))0(/(工)W0),且在(a,6)内的任一

非空子区间上，/侬)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知根点3函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数大①)极值的一般步骤：

(1)确定函数/(①)的定义域；

(2)求导数直3)；

(3)解方程/3)=0，求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验r(i)在—(c)=0的根g左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时,要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

(1)利用导数求函数/Q)在［a,b］上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值/(a),/(b)；

③将函数/Q)的各极值与/(a),/(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性

和

极值情况,画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点4导数的综合应用】

1.导数中的函数零点（方程根）问题

利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：

（1）利用导数研究函数/（⑼的最值，转化为/（⑼图象与非轴的交点问题,主要是应用分类讨论思想解

决.

（2）分离参变量，即由/（必）=0分离参变量，得a=gQ）,研究夕=o■与y=g（力）图象的交点问题.

2.导数中的不等式证明

（1）一般地，要证/3）>gQ）在区间（a,b）上成立，需构造辅助函数F（c）=/Q）—g（M，通过分析F

3）在端点处的函数值来证明不等式.若F（a）=0,只需证明尸（⑼在（a,b）上单调递增即可;若尸⑹

=0,只需证明F（x）在（a,b）上单调递减即可.

（2）在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

3.导数中的恒（能）成立问题

解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数，另一

端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题,即可解决问题.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意,据此进行求解即可.

4.导数中的双变量问题

破解双参数不等式的方法：

一是转化,即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【知识点5极值点偏移问题及其解题策略】

1.极值点偏移

极值点偏移的定义:对于函数y=/（⑼在区间（a,b）内只有一个极值点明，方程/（⑼的解分别为g、

22,且a<电<工2<b.

⑴若号也Wg,则称函数g=/（力在区间（◎,g）上极值点而偏移；

⑵若*1；电>g,则函数夕=/圆）在区间（/i,g）上极值点g左偏，简称极值点g左偏；

（3）若，1；电Vg,则函数g=f（x）在区间（xlfx2）上极值点g右偏，简称极值点g右偏.

2.极值点偏移问题的一般题设形式

(1)函数/(%)存在两个零点g,劣2且力1¥力2,求证：/i+g>2g(g为函数/(力)的极值点)；

(2)函数/(名)中存在0,电且为1W62,满足/(劣1)=/(力2)，求证：力1+22>2%()(20为函数/(为)的极值点);

(3)函数f3)存在两个零点为，电且电W◎，令四)二，求证：/'(g)>0；

(4)函数f(x)中存在g,g且gWg,满足f3J=f(*2)，令g=，求证：((g)>o.

3.极值点偏移问题的常见解法

(1)(对称化构造法)：构造辅助函数：

①对结论/1+g>2g型，构造函数斤(宓)=/㈤—/(2g—c).

②对结论为芯>嗡型,方法一是构造函数F(X)=f(x)-/(逋),通过研究F(T)的单调性获得不

X

等式;方法二是两边取对数，转化成lnxr+InN2>21ng,再把In^,Ing看成两变量即可.

(2)(比值代换法):通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t=也化为单变量的函数不等式,

力2

利用函数单调性证明.

------------------------------------O［举一反三)

【题型1函数的切线问题】

1.(2024•广东•二模)已知函数/(a?)=e"-1—ajlnrr.

(1)求曲线夕=/(⑼在点(1,/(1))处的切线方程;

⑵证明：/3)>o.

2.（2024・四川雅安•一模）已知函数/（乃二口士1,其中aER,

ex

（1）当a<0时，求/（比）的单调区间；

（2）当a=1时，过点（―l,m）可以作3条直线与曲线夕=/（2；）相切，求nz的取值范围.

3.（2024•湖北黄冈•一模）已知函数/（2）=2alnx+^-2：2—（a+3）rr,（aER）

（1）若曲线夕=/（力）在点（1,/（1））处的切线方程为/（1）=-a?+b,求a和b的值;

（2）讨论了（为的单调性.

4.（2024.广东惠州.模拟预测）已知函数/（0=,+工3>0）.

X

（1）当。=0时，求曲线g=/（c）在点（1,/（1））处的切线方程;

（2）设g（rc）=/'（/）•力2,求函数gQ）的极大值.

【题型2（含弁）函数的单调性问题】

5.（2024.浙江金华•一模）已知函数/（力）=-^-x2—a\nx+（1—Q）N,（a>0）.

（1）若Q=l,求/（为的单调区间；

（2）若/（乃>—g,求a的取值范围.

•M

6.(2024.上海静安.一模)设函数/(为=刀+4,4G(—8,0)U(0,+8).

X

(1)求函数"=/(/)的单调区间；

(2)求不等式/(切V2①的解集.

7.(2024•广东•模拟预测)已知函数/(①)=T3+y(a—3)T2—&2：+4.

(1)当a=6时，求/(立)的极值；

(2)讨论/(0的单调性.

8.（2024.贵州六盘水•模拟预测）已知函数/㈤=ex—ax+l（aC玲.

（1）求函数/3）的单调区间；

（2）若Vc>0,/Q）>〃+2,求实数a的取值范围.

【题型3函数的极值与最值问题】

9.（2024.云南大理•一模）已知函数/（①）=lnx+^-1.

⑴当a=1时，证明：/（x）>0；

（2）若函数/Q）有极小值，且/Q）的极小值小于a—a?,求a的取值范围.

•M

10.（2024・广东肇庆•一模）已知函数/Q）=萼+姐+!.

（1）当Q=0时，求/（C）的最大值；

（2）若/（力）存在极大值，求Q的取值范围.

11.（2024•陕西榆林•模拟预测）已知函数/（6）=Q/—ln（N+l）+1.

⑴当a=1时，求/Q）的最小值；

⑵求/（化）的极值；

（3）当Q&2时，证明：当一IV力V0时，/（X）＞ex.

12.（2024.河南.二模）已知函数/㈤=/+2（a—3）力+2加强（（^7?）在定义域内有两个极值点

（1）求实数a的取值范围；

（2）证明：/（21）+/（曲）>-10.

【题型4导数中函数零点（方程根）问题】

13.（2024.贵州黔南•一模）已知函数/Q）=ae，—很+l（aCR）.

（1）讨论函数/（⑼的单调性；

（2）若当a>0时，函数/（土）有两个不同的零点，求实数a的取值范围.

•••

14.（2024•山东烟台•三模）已知函数/（力）=x+aex（aER'）.

（1）讨论函数/Q）的单调性；

（2）当a=3时,若方程一—+坐二=m+l有三个不等的实根,求实数m的取值范围.

15.（2024・四川•一模）设/（力）=ex3~x—ax

（1）若a=0,求/（力）的单调区间.

（2）讨论了（0的零点数量.

16.(2024・甘肃白银•一模)已知函数/(c)=枪2—21n2—L

(1)若曲线夕=/(力)在C=2处的切线的斜率为3,求九

(2)已知/(2)恰有两个零点◎，电(21〈电).

①求力的取值范围；

②证明：出+生V2—21/.

力2t

【题型5导数中不等式的证明】

17.(2024.广东广州•模拟预测)已知函数/(力)=ex—kx2—x.

⑴若力=],求证：当力>0时，/(x)>1；

(2)若c=0是/(/)的极大值点，求k的取值范围.

18.(2024•四川•一模)已知函数/(/)=x\nx—ax2+1.

(1)若/Q)在(0,+oo)上单调递减,求a的取值范围;

(2)若aV0,证明：/3)>0.

19.(2024•山西•模拟预测)已知函数了+—t+

(1)若函数/Q)在定义域上单调递增，求a的取值范围；

/l.c6—2

(2)若a=0；求证:/(2)<.....—

xz

(3)设/1，62(/1〈劣2)是函数/(加)的两个极值点，求证：/(力1)一/(62)<一/2).

13

20.（2024.安徽安庆.三模）已知函数/（乃=（In㈤）2一缶+工）+2,记/㈤是/Q）的导函数.

（1）求r（D的值；

（2）求函数/（c）的单调区间；

（3）证明：当比＞1时，（立一1升6-工+0；111（1+2）］＞Ina?•ln（a;+l）.

【题型6利用导数研究不等式恒成立问题】

21.（2024•河南•模拟预测）已知函数/（①）=e"—2elnx+ax+lna（a＞0）.

⑴若a=l,证明：/（乃＞-|-x；

（2）若/（尤）＞2e+1恒成立,求实数a的取值范围.

22.(2024・福建•三模)函数/(力)=(1一为严一①一1,其中a为整数.

(1)当a=1时，求函数/(X)在c=1处的切线方程；

(2)当a；e(0,+oo)时,/Q)V0恒成立，求a的最大值.

23.(2024•浙江台州•一模)已知函数/㈤=炉+4/—5c.

(1)求函数y=4⑼的单调递减区间；

(2)若不等式且也—61ncWa(a;—1)2对任意［1,+8)恒成立，求实数a的取值范围.

X

24.(2024・四川德阳•模拟预测)已知函数/Q)=lmr+&

X

(1)若曲线y=/(⑼在点(1J(1))处的切线为①+沙+6=0,求实数6的值；

(2)已知函数gQ)=/(x)+与，且对于任意a;G(0,+oo),g(x)>0,求实数a的取值范围.

X2

【题型7利用导数研究能成立问题】

25.(2024•四川乐山・三模)已知函数/㈤=ax-\-ln%,gQ)=Q(十一n—1)+l—x

⑴讨论/Q)的单调性；

⑵令H(G=/(T)+gQ),若存在x0E(1,+8),使得HQ)<-一:人成立,求整数Q的最小值.

26.(2024.河南郑州•模拟预测)已知函数/㈤=xlnx—ax2,g(z)=ax2—ax+1,h{x}=/(C)+gQ).

(1)讨论:当Qg(—8,0]U"，+8)时，/(劣)的极值点的个数；

(2)当Q>1时，3xE(1,+8),使得无(力)<(e—l)a—3e+3,求实数Q的取值范围.

27.(2024.湖北.模拟预测)已知函数/⑸=Inc,gQ)一1其中。为常数.

(1)过原点作〃力)图象的切线Z,求直线I的方程；

(2)若m2e(0,+oo)，使/(力)<gQ)成立，求Q的最小值.

28.(2024.辽宁•模拟预测)已知函数/Q)=(CZT—l)ex+1+3(a^0).

(1)求/(力)的极值；

(2)设Q=1,若关于力的不等式—1》计1—%在区间［―1,+8)内有解，求b的取值范围.

【题型8双变量问题】

29.(2024•江苏盐城•模拟预测)已知函数/8)=三，其中a>0.

(1)若/(无)在(0,2］上单调递增,求a的取值范围；

(2)当a=1时，若61+电=4且0V力1V2,比较/(%)与f(g)的大小，并说明理由

2

30.(2024.河南商丘.模拟预测)已知函数/⑺的定义域为(0,+刈，其导函数尸(为=2刀+

2a(a67?)J(l)=l-2a.

(1)求曲线y=f(x)在点(1J(1))处的切线I的方程，并判断I是否经过一个定点；

⑵若m.,22,满足ovgv±2,且/'(21)=/'(④2)=0,求2/(电)—y(K2)的取值范围.

31.(2024♦四川成都•模拟预测)已知函数/(⑼=包些-m,xG(0,兀).

ex

(1)求函数/(⑼的单调区间；

(2)若gV力2,满足/(劣1)=/(力2)=0.

(i)求馆的取值范围；

(ii)证明：/1+gV兀.

••

32.（2024•安徽阜阳•一模）已知函数/（力）=31nx—ax.

⑴讨论/Q）的单调性.

⑵已知力1，/2是函数/（力）的两个零点（gVg）.

（i）求实数Q的取值范围.

（ii.e（0,/）,/（工）是/⑺的导函数.证明:r[而1+（1—“]<0.

【题型9导数中的极值点偏移问题】

33.（2024•江西•模拟预测）已知函数/侬）=土+色.

ex

（1）讨论/（⑼的单调性；

（2）若Wg,且/（g）=/（/2）=2,证明：0V?nVe,且g+力2V2.

34.（2024•云南•二模）已知常数a>0,函数/㈤=-^-x2—ax—2a21nx.

（1）若V%>0JQ）>—4出,求a的取值范围；

⑵若61、/2是/（力）的零点，且力1工/2,证明:61+力2>4。.

35.（2024•全国•模拟预测）已知函数/（/）=1—In/—£（QG_R）.

⑴求/Q）的单调区间；

⑵若/（力）有两个零点力1，%2,且力1<力2,求证：x1X2<e~a.

36.（2024•湖北武汉•三模）已知函数/（力）=ax+（a—l）lnx+—,aER.

x

（1）讨论函数/（力）的单调性；

（2）若关于力的方程/（力）=/e，-ln/+?有两个不相等的实数根g、3

（i）求实数Q的取值范围；

（ii）求证：贮+包〉且.

力2

【题型10导致与其他知织的综合问题】

37.（2024•江苏南通•三模）已知函数/（力）=（1+x）k-kx-l（fc>1）.

（1）若力>一1,求/（力）的最小值；

（2）设数列｛an｝前几项和S",若册=（1+专），求证：Sn—n>2—九；「.

38.(24-25高三上•河北沧州•阶段练习)已知函数/Q)=lnz的图象与函数g(c)的图象关于直线y=—工

+1对称.

⑴求函数g(0的解析式；

(2)证明：VxE(1,4-00),/(x)—g(力)>0；

2

⑶若圆M\x-I)?+靖=r(r>0)与曲线g=\f(x)\相交于4,8两点，证明：AAMB为锐角.

39.(2024.重庆.二模)已知函数/(力)=//、.

ln(2—rc)

(1)求/Q)的单调区间；

(2)当0V力V1时，/(力)>+a，求实数a的取值范围；

x—1

(3)已知数列｛an｝满足：Qi=^■，且斯=—+i).证明：一九4\.

o3,2nTtiZ

40.（2024・江苏•一模）已知Q>0,函数/（力）=arcsine+cosax—1,0<rr<^-.

（1）若a=2,证明：/（力）>0；

（2）若/（力）>0,求a的取值范围；

（3）设集合P=｛anan=Vcos-—nGN*],对于正整数?n,集合。巾=｛剑加〈/〈2恒｝,记PPl

k=l2fc（fc+l）J

。山中元素的个数为鼠,求数列｛%｝的通项公式.

【题型11导数新定义问题】

2

41.（2024•河南新乡•模拟预测）已知函数/（力）=a0+arx+a2x4----Fa逆％其中a0,ai,a2,…，时不全为0,

2n

并约定册+i=0,设既=（k+1）耿+i—耿,称gQ）=bQ+bi①+b2xH----\-bnx为/（名）的“伴生函数”.

（1）若于（x）=5x4+3d+3力+1,求g（力）；

（2）若/（0>0恒成立，且曲线g=ln/Q）Q>0）上任意一点处的切线斜率均不小于2,证明：当力>0

时，gQ）>/（x）；

（3）若劭=0,证明:对于任意的恒e（0,+8）,均存在te（0,馆），使得g（±）v八772）.

977TlT—11

42.(2024.四川成者B•模拟预测)定义运算：=rnq—g,已知函数/(⑼=,g(»=--

pqlax

1.

(1)若函数汽⑶的最大值为0,求实数a的值；

⑵证明：(l+^)(l+^)(l+^)-(l+^)<e-

(3)若函数4⑼=/(⑼+g(X)存在两个极值点如电,证明：3)一&+2<0.

X1—X2

43.(2024•湖南长沙•模拟预测)定义:如果函数/(*)在定义域内，存在极大值/(g)和极小值/(t2)且存在

一个常数上使/(g)—/(g)=k(g—g)成立，则称函数/(工)为极值可差比函数，常数k称为该函数

的极值差比系数.已知函数/Q)=c—十一almu.

(1)当a=^时，判断/(/)是否为极值可差比函数,并说明理由；

(2)是否存在a使/(①)的极值差比系数为2-a?若存在，求出a的值;若不存在，请说明理由；

(3)若卓■，求/(工)的极值差比系数的取值范围.

44.（2024.上海.模拟预测）已知函数g=/（/）,/E。，如果存在常数河，对任意满足gV/2V…〈N…V

为的实数"，…，g，其中如为2,•••,xn_19xnE。，都有不等式21（3一/（刈-1）|恒成立，则

i=2

称函数夕=/（力）心6。是“绝对差有界函数”

（1）函数/（C）=皿口）上是“绝对差有界函数”，求常数M的取值范围；

xe

（2）对于函数沙=/（力），力E[a,b],存在常数k,对任意的如力2G[a,b]，有:⑶）一/3）|&砒1一恒

成立，求证:函数g=/（为以G[a,b]为“绝对差有界函数”

（3）判断函数/（2）=2"'是不是"绝对差有界函数”？说明理由

、0,x=0

26

（课后提升）

一、解答题

45.（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知函数/（力）=/—In/—2.

（1）求曲线夕=/（力）在（e,e—3）处的切线方程；

（2）若Q>0,g（力）=ax2-2（ax+l）—/（2）,讨论函数g（%）的单调性.

46.（2024・湖北•一模）已知/（6）=（ax2+x+l）ex.

⑴当Q=1时,求曲线沙=/（6）在点（0,/（0））处的切线方程;

⑵若/（名）在区间（―3,—1）内存在极小值点，求Q的取值范围.

M

47.（2024•重庆・模拟预测）设aCR,已知函数/⑺=1强+加—a2+2.

（1）当函数/（比）在点（2,/（2））处的切线m与直线l-.3x-2y-l=0平行时,求切线m的方程；

（2）若函数/（力）的图象总是在纪轴的下方，求a的取值范围.

48.（2024•河南•模拟预测）已知函数/（a;）=x3+ax（^aER）的一个极值点为rr=1.

⑴求a的值；

（2）若过点（3,m）可作曲线夕=/（2）的三条不同的切线,求实数m的取值范围.

49.(2024•西藏拉萨•一模)已知函数/(6)=x2—{A+3)x-\-Alnx.

(1)若4=—3,求/(力)的单调区间；

(2)若fQ)既有极大值，又有极小值，求实数4的取值范围.

50.(2024•广东•模拟预测)已知函数/(2)=x—1—a\nx,aER.

⑴判断函数/(功的单调性；

(2)若/(力))0恒成立，求Q的值.

51.（2024.四川成都.二模）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入

2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装c千件并全部销售完，销售收入为RQ）万元，且RQ）=

(10.8—^x2^x,（0<T<10）

（注:年利润=年销售收入-年总成本）

108-曙，

（1）写出年利润W（万元）关于年产量W千件）的函数解析式；

（2）求公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大时的年产量.

52.（2024・江苏•二模）已知函数/（l）=-+alnx（a€R）.

x

（1）当a=0时,证明：f（x）>1;

（2）若/（⑼在区间（1,+oo）上有且只有一个极值点,求实数a的取值范围.

53.（2024•新疆•模拟预测）已知函数/（力）=（力—1）物匕

（1）当馆=1时，求/（力）的单调区间及最值；

（2）若不等式/（为）>砂一名在［1,+8）上恒成立,求实数7n的取值范围.

54.（2024.吉林长春.模拟预测）已知函数/⑸=?—］、（7>0）.

⑴证明：ov/Q）v。；

（2）证明：之方1丁VIn（九+1）V之=，九eN*.

M2F+1占卜

55.(2024・四川内江•一模)已知函数fQ)=a(x+a)—ln(x+l),aER.

(1)讨论函数/(为的单调性；

(2)若/(⑼>1恒成立，求实数a的取值范围.

56.(2024.河北邯郸.模拟预测)已知函数/⑺=(lnx+x)(e--

(1)当Q=1时，求"=/(力)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)若/(力)有两个不同的零点，求实数。的取值范围.

32

57.(2024・四川乐山•三模)已知函数/(2)=ax+Inx—ax2

(1)当a=l时，讨论/Q)的单调性；

(2)若存在&C(1,+8)，使得/(g)>0,求a的取值范围.

58.(2024.云南昆明•模拟预测)已知函数/(①)=史处.

xa

⑴当a=2时，求/Q)的单调区间；

(2)证明:若曲线g=/(不与直线"=士有且仅有两个交点，求a的取值范围.

az

33

59.（2024•吉林•模拟预测）已知函数/（c）=x（ex—a）—alnx,aER.

（1）当a=e时,求函数/（⑼的单调区间与极值；

⑵若函数/（⑼有2个不同的零点为，g,满足ge%>2ge%，求a的取值范围.

60.（2024•河南•三模）设函数/（切的导函数为广（口,广（为的导函数为「3）/3）的导函数为r"（>）.若

/"（g）=0,且/”（次）¥0,则（g,/（g））为曲线夕=/（，）的拐点.

（1）判断曲线是否有拐点,并说明理由；

（2）已知函数/⑸=谒一5/，若（掾,/（乌））为曲线y=/Q）的一个拐点，求/（①）的单调区间与

极值.

61.(2024•全国•模拟预测)已知函数，(2)=—x2+21na;,g(rc)=a(x2+2x).

(1)若曲线/(⑼在点(1,-1)处的切线与曲线g(c)有且只有一个公共点，求实数a的值.

(2)若方程gQ)-/(T)=1有两个不相等的实数根0,g,

①求实数a的取值范围；

②求证：Si+x2>2.

62.(2024.湖南郴州.模拟预测)已知函数/(0=2加112；+5〃一(&+2)2；,其中£1为常数.

(1)当a>0时,试讨论/(⑼的单调性；

(2)若函数/(c)有两个不相等的零点电，电，

⑴求a的取值范围；

(夜)证明：XI+X2>4.

63.（2024.全国.模拟预测）若函数/（/）在［a,b］上存在Ni,g（QVgVgVb），使得/（g）=―,

b—a

r（g）=吗-Na），则称/（力）是［Q,b］上的“双中值函数”，其中如电称为/（0在［Q,b］上的中值点.

（1）判断函数/Q）=炉—3d+1是否是［-1,3］上的“双中值函数”，并说明理由；

（2）已知函数=//2—Rn%—QN,存在7?2>n>0,使得/（771）=f（Tl），且/⑺是［几,?71］上的“双

中值函数”，如电是/（力）在［九,馆］上的中值点.

①求Q的取值范围；

②证明：0+/2>0+2.

导撤检老强舞密“修拳皴汇"

----------------------°(KES°----------------------

命题...............................................................................1

知识杭理...............................................................................1

率一反三...............................................................................3

【题型1函数的切线问题】...............................................................3

【题型2（含，）函数的单调性问题】......................................................6

【题型3函数的极值与最值问题】........................................................9

【题型4导数中函数掌点（方程根）问题】.................................................12

【题型5导数中不等式的证明】.........................................................17

【题型6利用导致研究不等式恒成立问题】...............................................21

【题型7利用导致研究能成立问题】.....................................................25

【题型8双变量问题】..................................................................28

【题型9导致中的极值点偏移问题】.....................................................31

【题型10导数与其他知识的综合问题】..................................................36

【题型11导数新定义问题】.............................................................41

课后提升..............................................................................46

导数是高考数学的重要内容，是高考必考的重点、热点内容.从近几年的高考情况来看，在解答题中试题

的难度较大，主要涉及导数的几何意义、函数的单调性问题、函数的极值和最值问题、函数零点问题、不等式恒

成立与存在性问题以及不等式的证明等内容,考查分类讨论、转化与化归等思想，属综合性问题，解题时要灵

活求解.

其中，对于不等式证明中极值点偏移、隐零点问题和不等式的放缩应用这三类问题是目前高考导数压轴

题的热点方向.

【知识点1切线力程的求法】

1.求曲线“在”某点的切线方程的解题策略：

①求出函数夕=/3）在c=g处的导数，即曲线夕=/（必）在点（3,/（g））处切线的斜率；

•••

②在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y=y0+f'M(x-g).

2.求曲线“过”某点的切线方程的解题通法：

①设出切点坐标T(gJ(g))(不出现为)；

②利用切点坐标写出切线方程：y=f(x0)+/'(g)Q-Xo)；

③将已知条件代入②中的切线方程求解.

【知识点2导数中函数单调性问题的解题策略】

1.含参函数的单调性的解题策略：

(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.

(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;若不能因

式分解，则需讨论判别式△的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内.

2.根据函数单调性求参数的一般思路：

(1)利用集合间的包含关系处理：在(a,6)上单调，则区间(a,b)是相应单调区间的子集.

(2)/(0为增(减)函数的充要条件是对任意的刀e(a,6)都有((尤))0(/(工)W0),且在(a,6)内的任一

非空子区间上，/侬)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略,否则会漏解.

(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题.

【知根点3函数的极值与最值问题的解题思路】

1.运用导数求函数大①)极值的一般步骤：

(1)确定函数/(①)的定义域；

(2)求导数直3)；

(3)解方程/3)=0，求出函数定义域内的所有根；

(4)列表检验r(i)在—(c)=0的根g左右两侧值的符号；

(5)求出极值.

2.根据函数极值求参数的一般思路：

已知函数极值，确定函数解析式中的参数时,要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方

程组，利用待定系数法求解.

3.利用导数求函数最值的解题策略：

(1)利用导数求函数/Q)在［a,b］上的最值的一般步骤：

①求函数在(a,b)内的极值；

②求函数在区间端点处的函数值/(a),/(b)；

③将函数/Q)的各极值与/(a),/(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：

求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性

和

极值情况,画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.

【知识点4导数的综合应用】

1.导数中的函数零点（方程根）问题

利用导数研究含参函数的零点（方程的根）主要有两种方法：

（1）利用导数研究函数/（⑼的最值，转化为/（⑼图象与非轴的交点问题,主要是应用分类讨论思想解

决.

（2）分离参变量，即由/（必）=0分离参变量，得a=gQ）,研究夕=o■与y=g（力）图象的交点问题.

2.导数中的不等式证明

（1）一般地，要证/3）>gQ）在区间（a,b）上成立，需构造辅助函数F（c）=/Q）—g（M，通过分析F

3）在端点处的函数值来证明不等式.若F（a）=0,只需证明尸（⑼在（a,b）上单调递增即可;若尸⑹

=0,只需证明F（x）在（a,b）上单调递减即可.

（2）在证明不等式中,若无法转化为一个函数的最值问题，可考虑转化为两个函数的最值问题.

3.导数中的恒（能）成立问题

解决不等式恒（能）成立问题有两种思路：

（1）分离参数法解决恒（能）成立问题，根据不等式的性质将参数分离出来,得到一个一端是参数，另一

端是变量表达式的不等式，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题,即可解决问题.

（2）分类讨论法解决恒（能）成立问题，将恒成立问题转化为最值问题，此类问题关键是对参数进行分

类讨论，在参数的每一段上求函数的最值，并判断是否满足题意,据此进行求解即可.

4.导数中的双变量问题

破解双参数不等式的方法：

一是转化,即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的

不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

【知识点5极值点偏移问题及其解题策略】

1.极值点偏移

极值点偏移的定义:对于函数y=/（⑼在区间（a,b）内只有一个极值点明，方程/（⑼的解分别为g、

22,且a<电<工2<b.

⑴若号也Wg,则称函数g=/（力在区间（◎,g）上极值点而偏移；

⑵若*1；电>g,则函数夕=/圆）在区间（/i,g）上极值点g左偏，简称极值点g左偏；

（3）若，1；电Vg,则函数g=f（x）在区间（xlfx2）上极值点g右偏，简称极值点g右偏.

2.极值点偏移问题的一般题设形式

（1）函数/（%）存在两个零点g,劣2且力1¥力2,求证：/i+g>2g（g为函数/（力）的极值点）；

（2）函数/（名）中存在0,电且为1W62,满足/（劣1）=/（力2），求证：力1+22>2%（）（20为函数/（为）的极值点）;

（3）函数f3）存在两个零点为，电且电W◎，令四）二，求证：/'（g）>0；

（4）函数f（x）中存在g,g且gWg,满足f3J=f（*2），令g=，求证：（（g）>o.

3.极值点偏移问题的常见解法

（1）（对称化构造法）：构造辅助函数：

①对结论/1+g>2g型，构造函数斤（宓）=/㈤—/（2g—c）.

②对结论为芯>嗡型,方法一是构造函数F（X）=f（x）-/（逋）,通过研究F（T）的单调性获得不

X

等式;方法二是两边取对数，转化成lnxr+InN2>21ng,再把In^,Ing看成两变量即可.

（2）（比值代换法）:通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换t=也化为单变量的函数不等式,

力2

利用函数单调性证明.

--------------------------------------------------------------O［举一反三）

【题型1函数的切线问题】

1.（2024•广东•二模）已知函数/（a?）=e"-1—ajlnrr.

⑴求曲线4=/（⑼在点（1,/⑴）处的切线方程；

⑵证明：/3）>o.

【解题思路】（1）求导，即可得直线斜率，进而可求解直线方程，

（2）对c分OVcVI和求导，即可根据单调性求解，或者将不等式变形为宜二〉叵，构造“0=

X2X

—,gQ）=巫，分别利用导数求解函数的单调性，求得最值求解.

X2X

【解答过程】（1）/（1）=e——Ini=1,

/'（力）=ex-1—（Ina;+1）,则fc=yz（l）=0,

曲线g=/3）在点（L/（l））处的切线方程为g=1.

（2）解法1:定义域为（0,+oo）.

①当0V/V1时，e^-1>e-1,xlnxV0,则e^-1>xlnx,即/（力）>0;

②当力>1时，（力）=e/T—（In力+1）=e^-1—Ina;-1.

设g{x）=（O）,g\x）=e/T—9,

由于g=e*T,g=--均在［1,+oo）上单调递增，故城（力）在［1,+8）上单调递增，。，⑴二0,

X

所以"（c）>0,

所以。3）在［1,+00）上单调递增，g⑴=O,g（0）>O,即r（±）>0,

所以/（,）在［1,+8）上单调递增，/⑴=1,则e“T-xlnx>1,

综上所述，/3)>o.

解法2:定义域为(0,+00).

要证f(力)>0,只需证呼―1>£cln力，只需证——>,

x2x

令从力=4，g㈤=皿，〃(/)=-S=2),

X2X力4炉

当力£(0,2),h/(x)<0,h(x)单调递减;

当/G(2,+00),h\x)>0,h(x)单调递增，

无3)>九⑵—，

--X—\nX1Ina

上)=^—

当l€(0,e),g\x)>0,g[x)单调递增;

当力G(6,+oo),g'[x)<0,g(x)单调递减，

5W<5(e)=—,

ee

综上所述，h{x}>4>—>gQ)，也就是‘二>—,即/(x)>0.

4