2025高考数学一轮复习：双曲线【含答案】

对点练61双曲线

【A级基础巩固】

?2

1.已知曲线C的方程为壬+占=1（左GR）,若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，

/v-I_1D/v

则实数上的取值范围是（）

A.T＜左＜5B.左＞5

C.R-1—1或5

2.双曲线2y2~x2=l的渐近线方程是（）

A.y=±5B.y=±2x

C.y=土乎xD.y=±^2x

3.经过点”（2小，2小）且与双曲线与一手=1有相同渐近线的双曲线方程是（）

X2JrrX2y2.

从18121此12181

22

y2xyx2

u

e-1812112181

4.（2024・大连调研）已知。为坐标原点，双曲线C：胃=1（。＞°，人＞0）的右焦

点为F点A（a,b）,^\OA\=\FA\,则双曲线C的离心率为（）

A.2B.小

5.（2024・湖南师大附中模拟）已知双曲线C：了一^=1团＞0）,以C的焦点为圆心,

3为半径的圆与C的渐近线相交，则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A（l,|）B.[l,胡）

c1|,咽D.（l,V13）

%2

6.（多选）（2024•烟台质检）已知双曲线C：y-y2=A（A＜0）,则（）

A.双曲线C的实轴长为定值B.双曲线C的焦点在y轴上

C.双曲线C的离心率为定值D.双曲线C的渐近线方程为y=±格

7.（多选）（2024•南京调研）已知双曲线C：m^+ny2=\,其焦点（0,10）到渐近线的

距离为6,则下列说法正确的是（）

A-m+H=100

4

B.双曲线C的渐近线方程为丁=土全

C.双曲线C的离心率为（

D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2

8.已知双曲线的两个焦点分别为E（—5,0）,场（5,0）,双曲线上一点P与

外的距离差的绝对值等于6,则双曲线的标准方程为..

9.（2024・武汉模拟）双曲线f—?=l的右焦点为E点P,Q在双曲线上，且关于

原点对称.若PFLQF,则XPQF的面积为.

10.（2024.福州模拟）双曲线C的渐近线方程为'=±芈才,一个焦点为"0,—市），

点、A（表,0）,点P为双曲线第一象限内的点，则当点尸的位置变化时，R周

长的最小值为.

H.已知双曲线旨一1=1的左、右焦点分别为A,F2.

⑴若点M在双曲线上，且加1・加2=0,求M点到x轴的距离；

（2）若双曲线C与已知双曲线有相同的焦点，且过点（36，2）,求双曲线C的方程.

X2V2

12.已知双曲线”一1=1（。＞0，。＞0）的右焦点为尺c，0）.

（1）若双曲线的一条渐近线方程为y=x且c=2,求双曲线的方程；

（2）以原点。为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A,过A

作圆的切线，斜率为一小,求双曲线的离心率.

【B级能力提升】

x2v2

13.(2023・新高考I卷)已知双曲线C：六一R=l(a>0">0)的左、右焦点分别为

外，点A在C上，点3在y轴上，F^ALF^B,&=一1所，则C的离心率为

14.双曲线C：最=1(。>0,6>0)的左顶点为A,右焦点为F动点3在C上,

当时,\AF\=\BF\.

(1)求C的离心率；

(2)若3在第一象限，证明：ZBFA=2ZBAF.

对点练61双曲线答案

1.C［若曲线C是焦点在y轴上的双曲线,

f^+l<0,

则解得/:<—1.]

〔5一左>0,

、也

2.C［依题意知，双曲线11的焦点在y轴上，实半轴长。=芋，虚半轴

2-

长6=1,

所以双曲线2y2—f=1的渐近线方程是

3.D［由题意知，可设所求的双曲线方程为

x2y2

y—5=犯关0),

点”(2小，2小)在双曲线方程上，

北…(25)°(2^5)2.

所以3-2=九解传7二一6,

故所求的双曲线方程是%喧=11

1Z10

4.A［由题知尸(c,0).

又A(a,b),\OA\=\FA\,所以a=；c,

所以双曲线C的离心率e=：=2.］

b

5.B［由题意可知双曲线的其中一条渐近线为即Z?x—2y=0,

又该圆的圆心为(c,0),

故圆心到渐近线的距离为虚、，

则由题意可得7：；+尸,即Z?2C2<9(&2+4),

又。2=°2一。2=，一4,则(02—4)°2<9°2,

解得c2<13,即c<V13,贝Ie=：=#^,

又e>l,故离心率的取值范围是[1,苧川

6.BCD[对于A,B,由曲线C：y-y2=A(A<0),

27

整理可得七一二"=1«<0),

所以曲线表示焦点在y轴上的双曲线，

且/=一九Z，2=-22(A<0),实轴长不是定值，

所以A错误，B正确；

对于C,离心率e=§=y1+%=小为定值,C正确；

对于D,渐近线的方程为y=±?;=±乎羽D正确.]

7.BCD[由双曲线C的焦点(0,10)到渐近线的距离为6,可得双曲线C的焦点

在y轴上，

22

设双曲线C的标准方程为条=l(a>0,b>0),

则双曲线C的半焦距c=10,b=6,

所以/=/—。2=]00—36=64,

得双曲线C的标准方程为温一5=1.

对于A,m=一表，〃=古，

所以5+[=—36+64=28,A错误；

对于B,双曲线C的渐近线方程为丁=±*=±尹，B正确；

对于C,双曲线C的离心率e=?=¥=曰,C正确；

对于D,双曲线C上的所有点中，上、下顶点到相应焦点的距离最小,

所以最小值为。一。=10—8=2,D正确.]

8,一得=1[设双曲线标准方程为

$—g=l(a>0,b>0),

由2c=10,2〃=6,得c=5,〃=3.

因此b2=c2—a2=16,

r2v2

・・・双曲线的标准方程为'一春=L]

9.4[由题意，得a=l,b=2,c=\[5.

设该双曲线的左焦点为人，连接PA,QF\,

因为PRLQR,P,。关于原点对称，

所以不妨设点P在第一象限，

则由双曲线的对称性可得四边形PFiQF为矩形，

所以归。1=此川=2小，|。网=|「四|.

由双曲线的定义可得|PA|—|Pf]=2,

所以1。用一1尸网=2.①

又万斤十|。川2=|PQ|2=2O,②

所以联立①②可得归八|。川=8,

所以△P0R的面积S=^PF\-\QF\=4.]

10.10[由已知得双曲线方程为:一日=1,

设双曲线的另一个焦点为少，

则|Pf]=|PP|+4,△出R的周长为

归川+|以|+|AW=|PP|+4+|必|+3,

当F,P,A三点共线时，|P严+|RL|有最小值,最小值为以用=3,

故的周长的最小值为10.]

11.解（1）不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为

".'MFI-MF2=0,：.MF\LMFI.

l^\MF\\=m,\MF2\=n,

由双曲线的定义知m—n=2a=8.①

在RtAFiMF2中，

由勾股定理得M+〃2=（2C）2=8O,②

由①②得机.“=8.

S/\MF\Fi=^mn=4=^X2c/i,

即M点到x轴的距离为平.

（2）设双曲线C的方程为

-X2_y2

=1(-4<2<16).

16—X4+2

•.•双曲线C过点(3啦，2),

.184

"16-A4+A-1)

解得A=4或％=—14(舍去)，

x2V2

，双曲线C的方程为F1Z■—五O=1.

12.解(1)因为双曲线的渐近线方程为

b

y=±-x,所以。=0,

所以02=/+62=2/=4,所以/=廿=2,

2

rV2

所以双曲线方程为5—5=1.

(2)设点A的坐标为(xo,jo),

所以直线A。的斜率满足当(一小)=—1,

A-1)

所以xo=#yo,①

依题意，圆的方程为炉+产;落

将①代入圆的方程得3角+京=",

即yo=；c,所以xo=坐c

所以点A的坐标为冬,2C1

3212

4C4C

代入双曲线方程得/—庐1,

31

即不凡？一不/2，=〃262,②

又因为a2+b2=c2,

所以将庐=/一层代入②式，整理得

3八C

4c4—2〃2c2+〃4=0,

42

所以3e—《+4=0,

即3e4-8e2+4=0,

所以(3e2—2)(百一2)=0,

因为e>l,所以e=®

所以双曲线的离心率为

13.乎［法一由题意可知人(一c,0),F2(C,0),

设A(xi,yi),B(0,yo),

所以方2A=(»—c,yi),FzB=(—c,yo).

—2f

因为局4=向?，

r2c5

X1—C=^C,X1=1C,

所以彳2gp|2

所以4阜,一|yo),

FiA=，一，FiB=(c,yo).

因为如款，而力，所以近1•户亩=0,

Q7

即*$8=0,解得济=4,2.

因为点A(jc,一|yo)在双曲线C上,

25c24y8

所以9屋9b21,

又y4=4，，所以诟T—亚5"=1，

25(4+尻)16(4+尻)及4

即诟—9P=1,化简得%=去

所以e2=l+*=|,所以离心率6=土宴

法二由法一得A仔c,一|yo),J§=4c2,

/4c2,4yo/4c2,16c22#c

='丁+于='于+丁=3>

由双曲线的定义可知|AB|一发刊=20

即噜—半=2a,即冬=a,

所以双曲线的离心率e=%方唔］

14.(1)解设双曲线的离心率为e,焦距为2c,