2025高考数学压轴专项题型训练：圆锥曲线中的长度问题（含答案及解析）

专题3圆锥曲线中的长度问题

一、考情分析

圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第2问,常见的

有焦半径、弦长、两点间距离、点到直线距离、三角形周长等，求解方法可以用两点间距离

公式、弦长公式、点到直线距离公式、函数求最值等.

二、解题秘籍

(一)利用两点间距离公式求线段长度

若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度.

【例1】(2022届山西省吕梁市高三上学期12月月考)在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆

222

C:=+多=1(。>6>0)的右准线为/：X=4(定义：椭圆C的右准线方程为x=2,其中

abc

C=da2—t>2)•点尸是右准线上的动点，过点p作椭圆c的两条切线,分别与y轴交于M,N两

点.当尸在x轴上时,1。尸

(1)求椭圆C的方程；

(2)求|A〃V|的最小值.

【解析】(1)由题意可知,当尸点坐标为(4,0)时,|OP1=11=4,

不妨设点M在点N上方，则M(0,2),N(0,-2),

1c

y=-x-2,

12

所以直线=2与椭圆。相切，将直线NP与椭圆方程联立,22

2%-1

二十”T

消去%整理得(4/+)尤2—+166—4。%2=0,

则A=64a4-4(4从+叫(16/-)=0,整理得.+/=m,

2

又幺=4,/52+02,解得片=4或/=16(舍去)，所以1=3,

C

22

即椭圆C的方程为工+匕=1；

43

(2)设尸(4/),切线方程为y=左(无-4)+，=辰一4左+/,

y=kx-4k+t,

将切线方程与椭圆联立2

—+—=1,

[43

2*4

消去又整理得(4左2+3)X+8k(t-4k)x+4(f-4左『-12=0,

贝ijA=64k2(t-4k)2-4(4fc2+3)[4。-—12]=0,

整理得12左2—8法+/一3=0,

设切线PM斜率为K，直线PN斜率为k2,

则M（0，〜4.）,N（OJ_4鱼），且勺+&='«他=彳/，

所以|MN|=4W—周=4,（%+自I-4.履,

1

将人+心=],柩2=K代入上式'整理得MN1=|#+9>4,

当t=0时,上述等号成立，即IMN|的最小值为4.

（二）利用y11+k2|西-三|求距离

设斜率为网存0）的直线/与圆锥曲线C相交于力⑺刈网血?）两点，则|"|=[1+的龙2—却.

其中求咫一对通常使用根与系数的关系，即作如下变形：咫一为|=J（X]+电）2-4%%,

22

【例2】（2022届陕西省安康市高三下学期联考）已知椭圆C』+方=1（a>6>1）长轴的顶点

与双曲线D:《-力■=：!实轴的顶点相同，且C的右焦点厂到。的渐近线的距离为叵.

4b'7

⑴求C与。的方程；

（2）若直线/的倾斜角是直线y=（0-2卜的倾斜角的2倍，且/经过点尸,/与C交于A、3两

点，与£）交于M、N两点，求U,

【解析】（1）由题意可得a?=4,则a=2.

b

因为。的渐近线方程为y=±1x,即法±2y=0,

b^-b1

椭圆c的右焦点为产（"工^o）,由题意可得二号,Qb>l,解得b=6,

故椭圆C的方程为•+回=1,双曲线。的方程为1-1=1.

4343

（2）设直线y=（君-2）尤的倾斜角为a,

,八2tana2（A/5-2）」

所以，直线/的斜率为人tan2a=匚能

所以直线/的方程为y=g(x-l),

联立<"5(1)得4/一2X一11=0,贝1」4=4+4x4xll>0,

3^2+4y2=12

111

设4(%，%)、3（芍,%）厕%+%=尸二；

3x2-4y2=12

联立1，、可得2d+2x-13=0A=4+4x2xl3>0.

y=«T）

设点〃(工,%)、四了4，%),则三+匕=-1,三龙4=一彳，

所以河［+出小+/4*=半，故居4岛二萼

(三)利用求距离

设斜率为秘邦)的直线/与圆锥曲线C相交于A(xi,yi)I(X2,y2)两点，则四|=注+颉一m

当消去x整理方程为关于y的一元二次方程常用此结论.其中求M—yil时通常使用根与系数

的关系，即作如下变形：\y2~yi\=J(M+%)2-4必当.

22

【例3】(2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考)已知椭圆c：j+2=1(。>6>0)的离

ab

心率e=叵;上顶点为A,右顶点为B,直线AB与圆O:/+y=1相切.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵设与圆。相切的直线/与椭圆相交于MN两点，。为弦肱V的中点,0为坐标原点.求

IOQMMNI的取值范围.

【解析】（1）由e=£=知Q=sj2b=42c,

a2

原点。到直线AB的距离为"=/"=赠=$=\电=

=A/3,

G+b?Y3bJ3

___-1

故椭圆C的标准方程为33一.

2

(2)左MN=0时：。(0,1),加(一1,1)3(1,1),或0(0,-1),"(一1,-1)小(1,一1),故|04|肱\仁2；

直线MN斜率不存在时,Q(1,O)M1」),N(1,-1),或2(-l,0),M(-l,l),7V(-l,-l).故

|(?e|-|w|=2；

直线MN斜率存在且不为0时：设直线/的方程为x=〃y+f(加70),

由直线/与圆炉+产=1相切，所以d=7^=l,即产=/+1,

+1

(22

尤+y-1

3|得)瘦

联立(1+2/+2y+/-3=0,

x=my+t,

设加（七,%）,阳%2，%）,

It

疗+2'

2gm2，6+3疗-2»

m2+2m2+2

22

m+lUm+4m21

故|OQ|・|肱V|=2・1=21+4/2“=21+

2m+4m+4一24；

m+2m+F+4

m

m2+3+422.m2•二■+4=8,当且仅当疗4

2，m=±^2时等号成立,

mVmm

2<21+------\——

244

阴+F+41

m7

综上：|。。|回|的取值范围是2卷.

（四）利用点到直线距离公式求垂线段的长

1.若已知定点尸,点。在动直线上，求|尸最小值，常利用点到直线距离公式;

2.若点尸在定直线上，点。为曲线上，求最小值，有时可转换为与定直线平行的切线的切点

到定直线的距离.

【例4】（2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试）设有椭圆方程

22

「二+当=l（a>b>0）,直线/：x+y-6=0,「下端点为A,左、右焦点分别为

ab

耳(-1,0)、鸟(1,O),M在/上.

⑴若a=&,AM中点在X轴上，求点”的坐标;

3

⑵直线I与y轴交于8,直线AM经过右焦点F2，且cosZBMA=二，求人；

⑶在椭圆r上存在一点P到/距离为d,使缶+d=4A/2，当。变化时，求d的最小值.

【解析】(1)因为左焦点E(T。),所以c=l,由题知"血,所以6=1,4(。,-1),

又因为AM中点在x轴上,所以点M的纵坐标为1,代入x+y-6=0中的x=5,

所以点M坐标为(5,1).

(2)

如图，设直线/与x轴交点为C,

3兀

因为直线/为工+y-6=0,所以直线/的倾斜角为邛，

4

cosNBMA=COS^ZMF2C+(cosNMF2c-sinNMF2C)①，

由题意知,|。4|=6,|。R|=1,|4词=7^71,所以在用A。6中，

1b

cosZAF2O=cos/MF2c=/sinZAF2O=sin/MF2c=/

一yjb2+1'yjb2+1'

所以COSBM4=^-一^==3,整理可得7〃一50万+7=0,解得匕=!或匕=7,

2扬+157

又因为c。s即以=乎•一^==j,所以方＜l,b=7舍去,b=:.

27^7157

y=—x+m

(3)设直线/平移后与椭圆相切的直线/'方程为＞=-％+和联立/2,

~r+一=1

"2b1

得(〃+廿卜2-2mtz2x+形2/_a2^2=Q

A=4/4一4.2+人2)(苏口2_〃2。2)=4a2b2(2/一病一1)=0,所以加=2/_1,

因为椭圆上存在点P到直线/的距离为d,"z+d=4后，即d=4友-缶

所以叵n<4后-缶<庄二小①,同时1<.<4，

V2A/2

又因为l<a<4,所以①式右侧肯定成立，左侧可以整理为6-亚—<8-2a,

解得上

22

因为d=4&-缶，所以当。取得最小值上池时,d有最大值，最大值为2及+6

2

（五）利用函数思想求距离最值

求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值，有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为

函数求最值.

22

【例5】已知椭圆C:]+方=l（a>6>0）的长轴长为4后点（"佝在C上.

（1）求C的方程；

（2）设C的上顶点为A,右顶点为8,直线/与A3平行，且与C交于M,N两点，而=木，点尸

为C的右焦点，求刊的最小值.

【解析】（1）因为C的长轴长为4豆，所以2a=46,即a=2若.

又点（6网在C上,所以9+怖=1,代入a=26解得〃=8,

22

故C的方程为上+匕=1.

128

（2）由（1）可知4,5的坐标分别为（0,20）,（26,0）,

直线A3的方程为伍+益-2#;0,

设/:后x+百>+加=0（加w-2后）,

联乂<128得4x2+2\/2mx+疗-24=0,

y/2x+y/3y+m=0

由A=8>—16（>—24）=384-8m2>0,得“<48,

设yj,N®，%）,。（%0,%）,因为而=品，所以。为MN的中点，

贝字，

因为A/ZX0++"z=0,所以%=—“利，

又尸的坐标为（2,0）,

所以|£>F|=]5一2）2+¥=夜改+4+皆=J号+应及+4

m=-竽时,仞川取得最小值，且最小值为强.

（六）利用圆锥曲线定义求长度

与圆锥曲线焦点弦或焦半径有关的长度计算可利用圆锥曲线定义求解.

【例6】（2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟）已知抛物线G:/=4x的焦点

22

与椭圆E:左+方=1（。>b>0）的右焦点F重合椭圆E的长轴长为4.

⑴求椭圆E的方程；

⑵过点F且斜率为k的直线/交椭圆E于A8两点，交抛物线G于两点,请问是否存在

2t

实常数心使西+画为定值？若存在，求出f的值；若不存在，说明理由.

【解析】⑴因为抛物线G:+=4x的焦点为（1,0）,

所以。=1,又〃=2,则"=々2一=3,

22

故椭圆E的方程为：—+^=1；

43

（2）设4（%,%）、矶%⑼、/（三，%）、NN，%）,

设直线/的方程为y=k（x-1）,与椭圆E的方程联立43

y=Z:（x—1）

得（3+4左2）%2一&k2%+4左2-12二0,

4V-12

•vIr_812

.•西+马一互花,占尤2

3+4公

.**|AB\=J1+左2•](再+入2『-4取2=12("0J),

y2=4x

设直线/的方程y=k(x-l),与抛物线G的方程联立

y=笈(％_1)'

得上2/一(2左2+4)元+左2=0,

23+4,%3%4=L

••x3+x4=

42+1

+%+2=-

2t_3+4〃永2_(8+3"+6

\AB\+\MN\~6[k2+1)+4[k2+1)~12(/+1)

212

要使画+而河为常数，则8+3'=6，解得，=-§，

2211

故存在使得由+画为定值1

【例7】(2023届江苏省南京市高三上学期测试)已知点B是圆心(》-1)2+〉2=16上的任意

一点，点/(-1,0)，线段的垂直平分线交BC于点P.

(1)求动点P的轨迹E的方程；

(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为4,4,。为直线x=4上的动点，且Q不在无轴上,。4与E

的另一个交点为M,Q42与E的另一个交点为N,证明：A的周长为定值.

【解析】(1)因为点P在8尸垂直平分线上,所以有PE=PB,

所以：P/+PC=PB+PC=BC=r=4,即尸产+PC为定值4>2,

所以轨迹E为椭圆，且。=2,c=l,所以从=3,

22

所以轨迹E的方程为：工+乙=1.

43

(2)由题知：A")，4(2,0),

设。(4，。，yj,N&,%)

则％%=(%=5

所以Q4方程为：y=；(x+2),QA2方程为：y=^x-2),

62

y=#+2)

(54-2?18?

联立方程：22，可以得出〃：

、27+产'27+/

——x+—y=1,

143

"2T-6-6t'

同理可以计算出点N坐标:

、3+产’3+产y

~~6t

当kMN存在，即rw%即fH±3时,kMN=

所以直线MN的方程为：＞+兽方=-犬

即：丫=-瑞龙+瑞=一为GT），所以直线过定点（1，°），

即过椭圆的右焦点工，所以△W0N的周长为4a=8.

当％不存在，即产=9,即，=±3时，

可以计算出再=%=1,周长也等于8.

所以△FMN的周长为定值8.

三、跟踪检测

22

1.（2023届北京市高三上学期入学定位考试）已知椭圆C：[+当=1（其中。＞6＞0）的

ab

离心率为*，左右焦点分别为F}（-1,0）,5（1,0）.

⑴求椭圆C的方程；

（2）过点可作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A,B两点，过原点作AB的垂线，垂足为D若

点。恰好是耳与A的中点,求线段AB的长度.

2.（2023届福建省部分名校高三上学期9月联考）已知两点M（0，-4）,N（0,4）,动点P在x轴

的投影为Q,且PMPN=3尸。2,记动点P的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程.

（2）过点F（2A/6,0）的直线与曲线C在丁轴右侧相交于A,B两点，线段AB的垂直平分线与x

轴相交于点”，试问当是否为定值？若是,求出该定值；若不是，请说明理由.

FH\

22

3.（2023届四川省巴中市高三上学期考试）已知椭圆C：1T+方=1（。＞6＞0）的左、右顶

点分别为A、B,点小山在椭圆C上,且直线上4的斜率与直线PB的斜率之积为

⑴求椭圆C的方程；

（2）若圆尤2+/=1的切线/与椭圆C交于P、Q两点，求卢Q|的最大值及此时直线/的斜率.

22

4.（2023届安徽省部分校高三上学期摸底考）已知。为坐标原点，椭圆C:二+匕=1过点

1612

M,N,P,记线段的中点为Q.

⑴若直线的斜率为3,求直线。。的斜率;

⑵若四边形OMPN为平行四边形，求IMN|的取值范围.

22

5.（2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考）已知双曲线C:，-£=l（a>0,b>0）的离

心率为后，点尸（3,-1）在双曲线C上.

⑴求双曲线C的方程；

⑵点A,B在双曲线C上，直线上4,PB与y轴分别相交于M,N两点，点Q在直线AB上,若坐标

原点。为线段的中点,PQ，4?,证明：存在定点R,使得|。因为定值.

22

6.（2023届北京市房山区高三上学期考试）已知椭圆C:J+「=l（a>b>0）的长轴的两个

ab

端点分别为A（—2,0）,8（2,0）离心率为等.

（1）求椭圆C的标准方程；

Q）M为椭圆C上除A,B外任意一点，直线AM交直线x=4于点N,点。为坐标原点，过点O且

与直线垂直的直线记为/,直线交y轴于点尸,交直线I于点、。，求证：黑^为定值.

7.（2022届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟）已知斜率为左的直线/与抛物线V=4x交于

两点,y轴上的点P使得△ABP是等边三角形.

（1）若Q0,证明：点P在y轴正半轴上；

（2）当I。尸I取到最大值时，求实数上的值.

22

8.（2022届上海市建平中学高三上学期考试）设实数ZH0,椭圆Z）：二+乙=1的右焦点为

62

£过F且斜率为k的直线交。于P、0两点,若线段PQ的中为N点O是坐标原点，直线ON

交直线x=3于点M.

（1）若点尸的横坐标为1,求点Q的横坐标；

（2）求证：MFLPQ.

（3）求谒\PQ的\最大值.

r2v2

9.（2022届江苏省南京高三上学期12月联考）已知椭圆C鼻+今=1（〃>人>0）的离心率

为巫，右顶点为A,过点33,1）的直线I与椭圆C交于不同的两点M,N,其中点M在第一象限

2

当点关于原点对称时，点M的横坐标为血.

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点N作x轴的垂线,与直线AM交于点P,Q为线段NP的中点，求直线AQ的斜率，并求

线段A。长度的最大值.

10.（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试）己知椭圆

C:）+/=1（°＞匕＞0）经过点M（0,3）,离心率为5.

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线/：'=履-1与椭圆C相交于48两点，求四•修|的最大值.

11.（2022届百校联盟高三上学期11月质监）在平面直角坐标系中，动点P（x,y）,满足

+y2—+/=4，记点P的轨迹为E.

（1）请说明E是什么曲线，并写出它的方程；

（2）设不过原点。且斜率为g的直线，与E交于不同的两点A,8,线段A3的中点为T,直线

OT与E交于两点C,请判断|酬•附与|比|・四|的关系，并证明你的结论.

22

12.（2022届河南省县级示范性高中高三上学期11月尖子生对抗赛）已知椭圆C：=+二=1

ab

（a〉b〉0）与过原点的直线相交于A,B两点,上顶点”（0,1）满足%•％=-；（其中女表

示直线的概率）.

（1）求椭圆C的标准方程；

⑵若与直线A3平行且过椭圆C的右焦点工的直线/交椭圆C于P,。两点,证明：粤为

r

定值.

22

13.（2022届江苏省泰州市高三上学期12月阶段性测试）已知椭圆c：^+春=1（。＞＞＞0）,

短轴长为2挺，离心率为手.过右焦点厂且不与坐标轴垂直的直线/交椭圆于A、3两点,A2

的中垂线交了轴于点Af,交直线x=2近于点N.

（1）求C的方程；

⑵求局\A的B\大小;

（3）证明：A、M、8、N四点共圆.

14.（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数〃?>0且加片1,椭圆「：J+y2=i,点尸是「上

m

的动点.

（1）若点尸的坐标为（2,0）,求r的焦点坐标；

（2）设7"=3,若定点A的坐标为（2,0），求|上4|的最大值与最小值；

（3）设根=g,若「上的另一动点。满足OP，。。（。为坐标原点），求证：。到直线尸。的

距离是定值.

15.（2022届重庆市巴蜀中学高三上学期月考）已知圆［：（尤+iy+y2=16，E（L0）,M为圆

片上的动点，若线段峥的垂直平分线交町于点P.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）已知7（1%）（%>°）为C上一点，过T作斜率互为相反数且不为。的两条直线7X,7B分

别交曲线C于A,兄求I蜴的取值范围.

专题3圆锥曲线中的长度问题

一、考情分析

圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第2问,常见的

有焦半径、弦长、两点间距离、点到直线距离、三角形周长等，求解方法可以用两点间距离

公式、弦长公式、点到直线距离公式、函数求最值等.

二、解题秘籍

(一)利用两点间距离公式求线段长度

若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度.

【例1】(2022届山西省吕梁市高三上学期12月月考)在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆

222

C:=+多=1(。>6>0)的右准线为/：X=4(定义：椭圆C的右准线方程为x=2,其中

abc

C=da2—t>2)•点尸是右准线上的动点，过点p作椭圆c的两条切线,分别与y轴交于M,N两

点.当尸在x轴上时,1。尸

(1)求椭圆C的方程；

(2)求|A〃V|的最小值.

【解析】(1)由题意可知,当尸点坐标为(4,0)时,|OP1=11=4,

不妨设点M在点N上方，则M(0,2),N(0,-2),

1c

y=-x-2,

12

所以直线=2与椭圆。相切，将直线NP与椭圆方程联立,22

2%-1

二十”T

消去%整理得(4/+)尤2—+166—4。%2=0,

则A=64a4-4(4从+叫(16/-)=0,整理得.+/=m,

2

又幺=4,/52+02,解得片=4或/=16(舍去)，所以1=3,

C

22

即椭圆C的方程为工+匕=1；

43

(2)设尸(4/),切线方程为y=左(无-4)+，=辰一4左+/,

y=kx-4k+t,

将切线方程与椭圆联立2

—+—=1,

[43

2*4

消去又整理得(4左2+3)X+8k(t-4k)x+4(f-4左『-12=0,

贝ijA=64k2(t-4k)2-4(4fc2+3)[4。-—12]=0,

整理得12左2—8法+/一3=0,

设切线PM斜率为K，直线PN斜率为k2,

则M（0，〜4.）,N（OJ_4鱼），且勺+&='«他=彳/，

所以|MN|=4W—周=4,（%+自I-4.履,

1

将人+心=],柩2=K代入上式'整理得MN1=|#+9>4,

当t=0时,上述等号成立，即IMN|的最小值为4.

（二）利用y11+k2|西-三|求距离

设斜率为网存0）的直线/与圆锥曲线C相交于力⑺刈网血?）两点，则|"|=[1+的龙2—却.

其中求咫一对通常使用根与系数的关系，即作如下变形：咫一为|=J（X]+电）2-4%%,

22

【例2】（2022届陕西省安康市高三下学期联考）已知椭圆C』+方=1（a>6>1）长轴的顶点

与双曲线D:《-力■=：!实轴的顶点相同，且C的右焦点厂到。的渐近线的距离为叵.

4b'7

⑴求C与。的方程；

（2）若直线/的倾斜角是直线y=（0-2卜的倾斜角的2倍，且/经过点尸,/与C交于A、3两

点，与£）交于M、N两点，求U,

【解析】（1）由题意可得a?=4,则a=2.

b

因为。的渐近线方程为y=±1x,即法±2y=0,

b^-b1

椭圆c的右焦点为产（"工^o）,由题意可得二号,Qb>l,解得b=6,

故椭圆C的方程为•+回=1,双曲线。的方程为1-1=1.

4343

（2）设直线y=（君-2）尤的倾斜角为a,

,八2tana2（A/5-2）」

所以，直线/的斜率为人tan2a=匚能

所以直线/的方程为y=g(x-l),

联立<"5(1)得4/一2X一11=0,贝1」4=4+4x4xll>0,

3^2+4y2=12

111

设4(%，%)、3（芍,%）厕%+%=尸二；

3x2-4y2=12

联立1，、可得2d+2x-13=0A=4+4x2xl3>0.

y=«T）

设点〃(工,%)、四了4，%),则三+匕=-1,三龙4=一彳，

所以河［+出小+/4*=半，故居4岛二萼

(三)利用求距离

设斜率为秘邦)的直线/与圆锥曲线C相交于A(xi,yi)I(X2,y2)两点，则四|=注+颉一m

当消去x整理方程为关于y的一元二次方程常用此结论.其中求M—yil时通常使用根与系数

的关系，即作如下变形：\y2~yi\=J(M+%)2-4必当.

22

【例3】(2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考)已知椭圆c：j+2=1(。>6>0)的离

ab

心率e=叵;上顶点为A,右顶点为B,直线AB与圆O:/+y=1相切.

2

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵设与圆。相切的直线/与椭圆相交于MN两点，。为弦肱V的中点,0为坐标原点.求

IOQMMNI的取值范围.

【解析】（1）由e=£=知Q=sj2b=42c,

a2

原点。到直线AB的距离为"=/"=赠=$=\电=

=A/3,

G+b?Y3bJ3

___-1

故椭圆C的标准方程为33一.

2

(2)左MN=0时：。(0,1),加(一1,1)3(1,1),或0(0,-1),"(一1,-1)小(1,一1),故|04|肱\仁2；

直线MN斜率不存在时,Q(1,O)M1」),N(1,-1),或2(-l,0),M(-l,l),7V(-l,-l).故

|(?e|-|w|=2；

直线MN斜率存在且不为0时：设直线/的方程为x=〃y+f(加70),

由直线/与圆炉+产=1相切，所以d=7^=l,即产=/+1,

+1

(22

尤+y-1

3|得)瘦

联立(1+2/+2y+/-3=0,

x=my+t,

设加（七,%）,阳%2，%）,

It

疗+2'

2gm2，6+3疗-2»

m2+2m2+2

22

m+lUm+4m21

故|OQ|・|肱V|=2・1=21+4/2“=21+

2m+4m+4一24；

m+2m+F+4

m

m2+3+422.m2•二■+4=8,当且仅当疗4

2，m=±^2时等号成立,

mVmm

2<21+------\——

244

阴+F+41

m7

综上：|。。|回|的取值范围是2卷.

（四）利用点到直线距离公式求垂线段的长

1.若已知定点尸,点。在动直线上，求|尸最小值，常利用点到直线距离公式;

2.若点尸在定直线上，点。为曲线上，求最小值，有时可转换为与定直线平行的切线的切点

到定直线的距离.

【例4】（2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试）设有椭圆方程

22

「二+当=l（a>b>0）,直线/：x+y-6=0,「下端点为A,左、右焦点分别为

ab

耳(-1,0)、鸟(1,O),M在/上.

⑴若a=&,AM中点在X轴上，求点”的坐标;

3

⑵直线I与y轴交于8,直线AM经过右焦点F2，且cosZBMA=二，求人；

⑶在椭圆r上存在一点P到/距离为d,使缶+d=4A/2，当。变化时，求d的最小值.

【解析】(1)因为左焦点E(T。),所以c=l,由题知"血,所以6=1,4(。,-1),

又因为AM中点在x轴上,所以点M的纵坐标为1,代入x+y-6=0中的x=5,

所以点M坐标为(5,1).

(2)

如图，设直线/与x轴交点为C,

3兀

因为直线/为x+y-6=0,所以直线/的倾斜角为?，

4

cosZBMA=cos[/MF2c+^=^(cos/MF2c-sinZMF2C)①,

由题意知,|。4|=6|。6|=1,恒阊=7^71所以在放工。工中，

1b

cosZAFO=cos/MF2c=「=sinZAFO=sin/MF2c=/

2+1，2+]，

J91-b31

所以cos5MA=一・^^==二,整理可得7/_50〃+7=0,解得匕==或匕=7,

257

J?1-b31

又因为35即以=3-丁==彳,所以〃<1/=7舍去,6=亍.

y=一尤+m

(3)设直线/平移后与椭圆相切的直线/'方程为y=-x+〃?,联立d2,

—+ZT=1

得(4+万2)x?-2ma2x+nra2-a2b2=0,

A=4疗/_4(/+k)(疗/_合⑹=4a2b2(2/一/一1)=0,所以疗=2/_1,

因为椭圆上存在点P到直线/的距离为小近〃+1=4四,即1=4&-缶

所以叵n<4后-缶<庄二小①,同时1<.<4，

V2A/2

又因为l<a<4,所以①式右侧肯定成立，左侧可以整理为6-亚—<8-2a,

解得上

22

因为d=4&-缶，所以当。取得最小值上池时,d有最大值，最大值为2及+6

2

（五）利用函数思想求距离最值

求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值，有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为

函数求最值.

22

【例5】已知椭圆C:]+方=l（a>6>0）的长轴长为4后点（"佝在C上.

（1）求C的方程；

（2）设C的上顶点为A,右顶点为8,直线/与A3平行，且与C交于M,N两点，而=木，点尸

为C的右焦点，求刊的最小值.

【解析】（1）因为C的长轴长为4豆，所以2a=46,即a=2若.

又点（6网在C上,所以9+怖=1,代入a=26解得〃=8,

22

故C的方程为上+匕=1.

128

（2）由（1）可知4,5的坐标分别为（0,20）,（26,0）,

直线A3的方程为伍+益-2#;0,

设/:后x+百>+加=0（加w-2后）,

联乂<128得4x2+2\/2mx+疗-24=0,

y/2x+y/3y+m=0

由A=8>—16（>—24）=384-8m2>0,得“<48,

设yj,N®，%）,。（%0,%）,因为而=品，所以。为MN的中点，

贝字，

因为A/ZX0++"z=0,所以%=—“利，

又尸的坐标为（2,0）,

所以|£>F|=]5一2）2+¥=夜改+4+皆=J号+应及+4

m=-竽时,仞川取得最小值，且最小值为强.

（六）利用圆锥曲线定义求长度

与圆锥曲线焦点弦或焦半径有关的长度计算可