2024年中考数学二轮题型突破专练：综合探究题（复习讲义）（学生版）

题型十一综合探究题(复习讲义)

【考点总结I典例分析】

®要点归纳

一、命题内容及趋势：

(1)从数量角度反映变化规律的函数类题型：

(2)以直角坐标系为载体的几何类题型：

(3)以“几何变换”为主体的几何类题型：

(4)以“存在型探索性问题”为主体的综合探究题：

(5)以“动点问题”为主的综合探究题：

二、需要注意的问题及建义：

(1)在复习中要更多关注“几何变换”，强化对图形变换的理解。

加强对图形的旋转、平移、对称多种变换的研究，对不同层次的学生进行分层拔高，使每一

个学生都有较大的提升空间。

(2)让学生参与数学思维活动，经历问题解决的整个过程。

复习中应多引导学生运用“运动的观点”来分析图形，要多引导学生学会阅读、审题、获取

信息，养成多角度、多侧面分析问题的习惯，逐步提高学生的数学能力。

(3)要特别重视“函数图像变换型”问题教学的研究。

通过开展“函数图像变化”的专题教学，树立函数图像间相互转换的思维，尽量减少学生对

函数“数形”认知的欠缺，比如，平时渗透抛物线的轴对称、旋转等知识点。当某个函数图

像经过变换出现多个函数图像时，要引导学生从图形间的相互联系中寻找切入点，排除识图

的干扰，对图像所蕴含的信息进行横向挖掘和纵向突破，将“有效探索”进行到底。此类试

题考查的思路是从知识转向能力，从传统应用转向信息构建，这就提醒我们课堂上重要的不

是讲解，而是点拨、引导、提升，一定要从重视知识积累转向问题探究的过程，关注学生自

主探究能力的培养。

（4）突出数学核心概念、思想、方法的考查。

中学数学核心概念、思想方法是数学知识的精髓，也势必会成为考查综合应用能力的重要载

体，这包括方程、不等式、函数，以及基本几何图形的性质、图形的变化、图形与坐标知识

之间横纵向的联系，也包括中学数学中常用的重要数学思想。如：函数与方程思想、数形结

合、分类讨论思想很化归与转换思想。而数学基本方法是数学的具体表现，具有模式化和可

操作性，常用的基本方法有配方法、换元法、待定系数法、归纳法和割补法。

。典例解析

1.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）在平行四边形ABCD中（顶点A,民C,。按逆时针方向排

⑴如图1,求边上的高的长.

⑵P是边AB上的一动点，点C,D同时绕点尸按逆时针方向旋转90°得点C',D'.

①如图2,当点C'落在射线C4上时，求成的长.

②当△AC'。'是直角三角形时，求3尸的长.

2.（2022•重庆市A卷）如图，在锐角AABC中，NA=60。，点D,E分别是边AB,AC上一动

点，连接BE交直线CD于点F.

(1)如图1,若AB>AC,且BD=CE,zBCD=zCBE,求NCFE的度数；

(2)如图2,若AB=AC,且BD=AE,在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60。得到线

段CM,连接MF,点N是MF的中点，连接CN,在点D,E运动过程中，猜想线段BF,CF,CNN

间存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)若AB=AC,且BD=AE,将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP,点H是

AP的中点，点K是线段PF上一点，将APHK沿直线HK翻折至APHK所在平面内得到AQHK,

连接PQ.在点D,E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK1PF时，请直接写出会的值.

图2备用图

3.(2023•甘肃武威・统考中考真题)【模型建立】

(1)如图1,AABC和ABDE都是等边三角形，点C关于AD的对称点P在8。边上.

①求证：AE=CD-,

②用等式写出线段AD,BD,的数量关系，并说明理由.

【模型应用】

(2)如图2,AABC是直角三角形，AB=AC,CDLBD,垂足为。，点C关于AO的对称

点尸在80边上.用等式写出线段A。，BD,DF的数量关系，并说明理由.

【模型迁移】

(3)在(2)的条件下，若AO=40，BD=3CD,求cosZAFB的值.

4.(2022•广东省深圳市)(1)发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将4AEB

沿BE翻折到ABEF处，延长EF交CD边于G点.求证：△BFG0△BCG；

(2)探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD=8,AB=6,将△AEB沿BE翻

折到ABEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H,且FH=CH,求AE的长.

(3)拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB=6,E为CD边上的三等分点，ND=60。,将△ADE沿

AE翻折得到AAFE,直线EF交BC于点P,求PC的长.

图①图②图③

5.(2023・湖北随州•统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：

给定不在同一条直线上的三个点A，B,C,求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位

置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里

拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法,请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”

中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处

填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点)

当“LBC的三个内角均小于120。时，

PA+PB+PC=PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当8,P,P',A在同一条直线上时，R4+PB+PC取最小值，如图2,最小

值为A3,此时的尸点为该三角形的“费马点”，ZAPC=ZBPC=ZAPB=(3)；

已知当AABC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若

ABAC>120°,则该三角形的“费马点”为④点.

(2汝口图4,在AABC中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,ZACB=30°,已知点尸

为AASC的“费马点”，求B4+M+PC的值；

(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知

AC=4km,2。=2后皿ZACB=60°.现欲建一中转站P沿直线向A,B,C三个村庄铺

设电缆，已知由中转站P到村庄A,8,C的铺设成本分别为a元/km,。元/km,元/km,

选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果用含a的式子表

示)

6.（2022•重庆市B卷）在△ABC中，ZBAC=90°,AB=AC=2应，D为BC的中点，E,F分

别为AC,AD上任意一点，连接EF,将线段EF绕点E顺时针旋转90。得到线段EG,连接FG,

AG.

（1）如图1,点E与点C重合，且GF的延长线过点B,若点P为FG的中点，连接PD,求PD的长;

（2）如图2,EF的延长线交AB于点M,点N在AC上,NAGN=NAEG且GN=MF,求证:AM+AF=

V2AE;

（3）如图3,F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE,H为直线BC上一动点，连接EH,

将ABEH沿EH翻折至AABC所在平面内，得到△B'EH,连接B'G,直接写出线段B'G的长度的

最小值.

7.（2023・湖南•统考中考真题）（1）［问题探究］

如图1,在正方形A3CD中，对角线AC、3D相交于点。.在线段上任取一点尸（端点

除外），连接尸”PB.

QA

图1

①求证：PD=PB;

②将线段OP绕点尸逆时针旋转，使点。落在网的延长线上的点。处.当点尸在线段A0

上的位置发生变化时，/DPQ的大小是否发生变化？请说明理由；

③探究A。与0P的数量关系，并说明理由.

(2)［迁移探究］

如图2,将正方形ABC。换成菱形且NABC=60。，其他条件不变.试探究AQ与CP

的数量关系，并说明理由.

图2

8.(2021•四川省达州市)某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线

段做了如下探究：

【观察与猜想】

(1)如图1,在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD上的两点，连接DE,CF,DE1CF,则

器的值为_______;

CF

(2)如图2,在矩形ABCD中，AD=7,CD=4,点E是AD上的一点，连接CE,BD,且CE1BD,

则黑的值为______;

HU

【类比探究】

(3)如图3,在四边形ABCD中，NA=NB=90。，点E为AB上一点，连接DE,过点C作DE的垂

线交ED的延长线于点G,交AD的延长线于点F,求证：DE-AB=CF-AD；

图3图4

【拓展延伸】

-1

(4)如图4,在RtAABD中，ZBAD=90°,AD=9,tanzADB=将△ABD沿BD翻折，点A落

在点C处得ACBD,点E,F分别在边AB,AD上，连接DE,CF,DE1CF.

①求言的值；

Lr

②连接BF,若AE=1,直接写出BF的长度.

9.(2023・湖南岳阳•统考中考真题)如图1,在ULBC中，=AC,点分别为边

的中点，连接

初步尝试：(1)与AC的数量关系是，与AC的位置关系是.

特例研讨：(2)如图2,ZBAC=90°,BC=4^/2,先将ABMN绕点8顺时针旋转a(a为

锐角)，得到△BEF,当点A,区尸在同一直线上时，AE与相交于点。，连接b.

A

AAA

B、CMMj

8、CB

FNN

图2备用图

（1）求/BC歹的度数；

（2）求CO的长.

深入探究：（3）若/A4c<90。，将ABMN绕点B顺时针旋转a,得到△班F,连接AE,CF.当

旋转角a满足0°<1<360。，点CE,尸在同一直线上时，利用所提供的备用图探究/应正与

NAB尸的数量关系，并说明理由.

10.（2021•山西中考真题）综合与实践，问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图①，在nABCD中，BE±AD，垂足为E,歹为CD的中点，连接所，BF,试

猜想所与5尸的数量关系，并加以证明；

独立思考：（1）请解答老师提出的问题；

实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将口ABCD沿着3尸（尸为CD的中点）所在

直线折叠，如图②，点。的对应点为C',连接。。并延长交A3于点G,请判断AG与BG

的数量关系，并加以证明;

问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将口ABCD沿过点3的直线折叠，如图③，点A的对

应点为4,使4BLCD于点折痕交A。于点"，连接A'4,交CD于点、N.该

小组提出一个问题：若此口ABCD的面积为20,边长A5=5,BC=2百，求图中阴影部

分（四边形BHM0）的面积.请你思考此问题，直接写出结果.

图③

11.（2023•湖北黄冈•统考中考真题）【问题呈现】

△G4B和ACDE都是直角三角形，ZACB=NDCE=90°,CB=mCA,CE=mCD,连接AD,

BE,探究AD,8E的位置关系.

(1)如图1,当m=1时，直接写出AD,即的位置关系：；

(2)如图2,当时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由.

【拓展应用】

⑶当m=&AB=46,0E=4时，将ACDE绕点C旋转，使A,E三点恰好在同一直线上,

求8E的长.

12.(2021•北京中考真题)在平面直角坐标系xQy中，的半径为1,对于点A和线段

BC,给出如下定义：若将线段5C绕点A旋转可以得到0。的弦B'C(3',。分别是民C

的对应点)，则称线段是。。的以点A为中心的“关联线段”.

(1)如图，点44，。1，5,。2，员,。3的横、纵坐标都是整数.在线段4G，82c2,四。3中,

。。的以点A为中心的“关联线段”是.

(2)是边长为1的等边三角形，点A(0,。，其中txO.若是0。的以点A为

中心的“关联线段”，求/的值;

(3)在AABC中，Afi=l,AC=2.若是。。的以点A为中心的“关联线段”，直接

写出OA的最小值和最大值，以及相应的长.

13.(2023・河北・统考中考真题)如图1和图2,平面上，四边形A3CO中,

A8=8,8C=2jrr,CZ>=12,ZM=6,NA=90。，点M在AO边上，且ZMf=2.将线段M4绕

点M顺时针旋转"°(。<«<180)到MA!,AA;MA的平分线MP所在直线交折线AB—BC于点

P,设点尸在该折线上运动的路径长为Mx>0),连接A7.

(2)如图2.连接80.

①求/CBD的度数，并直接写出当〃=180时，x的值；

②若点尸到30的距离为2,求tanNA'MP的值；

(3)当0<xV8时，请直填写出点A到直线AB的距离.(用含x的式子表示).

14.(2021•湖南中考真题)如图，在Rt/VLBC中，点P为斜边上一动点，将八4坪

沿直线AF折叠，使得点3的对应点为5',连接AB,CB',BB'，PB'.

(1)如图①，若证明：PB'=AB!.

(2)如图②，若=BP=3PC,求cosNB'AC的值.

pc

(3)如图③，若NAC3=30°,是否存在点尸,使得AB=CB'.若存在求此时一匕的