2024年新高考地区数学二模分类汇编：计数原理与概率统计（学生版）

专题10计数原理与概率统计-2024年新高考地区数学

二模分类服编•山东专用（学生版）

一、单选题

1.（2024.山东济南.二模）已知随机变量X，则P（X=2）=（

ABC

-1-I-1D-i

（2024・山东济南•二模）设A,B是一个随机试验中的两个事件，且P（A）=1,P（B）=1,P（AuB）=1,

2.

则P(3|Z)=()

AiBCD

,4-I-I-]

3.（23-24高三上•河北・期末）中国刺绣是我国民族传统工艺之一，始于宋代的双面绣更是传统工艺一绝,

它是在同一块底料上，在同一绣制过程中，绣出正反两面图案对称而色彩不一样的绣技.某中学为弘扬中

国传统文化开设了刺绣课，并要求为下图中三片花瓣图案做一幅双面绣作品，现有四种不同颜色绣线可选,

且双面绣每面三片花瓣相邻区域不能同色，则双面绣作品不同色彩设计方法有（）种

A.144B.264C.288D.432

4.（2024.山东•二模）若随机变量J〜且尸《>4）=02,则P（2<J<3）=（）

A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5

\8

1+；展开式中的系数为（）

5.（2024•山东•二模）(X-Yy-2

A.-840B.-420C.420D.840

6.（2024.山东潍坊.二模）已知随机变量X〜N（3,〃），且P（X"）=0.3,则P（X〉2）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

7.（2024•山东泰安•二模）已知随机变量X服从正态分布N（2,〃），且尸（1.5<x<2）=0.36,贝|P（x>2.5）

等于（）

A.0.14B.0.36C.0.72D.0.86

8.（2024•山东日照・二模）已知（x+a）5+2尤3+°2*2+P1尤+Po,若04=15,则。=（）

A.1B.2C.3D.4

9.（2024.山东临沂.二模）一组数据按从小到大的顺序排列为1,4,町12,14,21,若该组数据的中位数是极差

2

的巳，则该组数据的第45百分位数是（）

A.4B.6C.8D.12

10.（2024•山东临沂・二模）若有2名女生和4名男生至lj“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，

分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为（）

A.16B.20C.28D.40

H.（2024・山东聊城.二模）班主任从甲、乙、丙三位同学中安排四门不同学科的课代表，要求每门学科有

且只有一位课代表，每位同学至多担任两门学科的课代表，则不同的安排方案共有（）

A.60种B.54种C.48种D.36种

12.（2024•山东滨州.二模）已知随机事件A,B发生的概率分别为尸⑷=0.5,尸⑻=0.4,则下列说法正

确的是（）

A.若尸（AB）=0.9,则A,3相互独立

B.若A,8相互独立，则P（A|B）=0.6

C.若「（A|B）=0.5,则P（AB）=0.25

D.若31则P（@A）=0.8

13.（2024•山东滨州•二模）某单位安排5名同志在5月1日至5日值班，每天安排1人，每人值班1天.若

5名同志中的甲、乙安排在相邻两天，丙不安排在5月3日，则不同的安排方案共有（）

A.42种B.40种C.36种D.30种

14.（2024•山东荷泽•二模）在2024年高校自主招生考试中，高三某班的四名同学决定报考A,B,C三所高

校，则恰有两人报考同一高校的方法共有（）

A.9种B.36种C.38种D.45种

15.（23-24高二下.江苏南通•阶段练习）下列结论正确的是（）

A.已知一组样本数据看,马，…，x“（不＜迎），现有一组新的数据上产，连产弘广,

当五，则与原样本数据相比，新的数据平均数不变，方差变大

B.已知具有线性相关关系的变量x,y,其线性回归方程为9=Q3X7”,若样本点的中心为（〃?,2.8）,

试卷第2页，共11页

则实数机的值是4

C.50名学生在一模考试中的数学成绩X〜N（120Q2）,己知尸（X>140）=0.2,则X4100,140]的人

数为20人

D.已知随机变量X〜若E（3X+1）=6,贝lj“=5

二、多选题

16.（2024・山东济南•二模）某景点工作人员记录了国庆假期七天该景点接待的旅游团数量.已知这组数据均

为整数，中位数为18,唯一众数为20,极差为5,则（）

A.该组数据的第80百分位数是20

B.该组数据的平均数大于18

C.该组数据中最大数字为20

D.将该组数据从小到大排列，第二个数字是17

17.（2024•山东枣庄•模拟预测）已知两个变量y与无对应关系如下表：

X12345

y5m8910.5

若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为9=L25X+4.25,则（）

A.y与x正相关B.m=l

C.样本数据y的第60百分位数为8D.各组数据的残差和为0

18.（2024•山东日照•二模）同时投掷甲、乙两枚质地均匀的硬币，记“甲正面向上”为事件A,“乙正面向上”

为事件3,“甲、乙至少一枚正面向上”为事件C,则下列判断正确的是（）

2]

A.A与B相互独立B.A与3互斥C.P（B|C）=-D.P（C）--

19.（2024•山东滨州•二模）下列结论正确的是（）

A.若随机变量X,y满足y=2x+i,则。（y）=2D（x）+i

B.若随机变量X〜且尸（X<6）=0.84,则P（3<X<6）=0.34

C.若线性相关系数厂的绝对值越接近1,则两个变量的线性相关程度越强

D.按从小到大排序的两组数据：甲组：27,30,37,m,40,50；乙组：24,w,33,44,48,52,

若这两组数据的第30百分位数、第50百分位数都分别对应相等，则机+〃=70

三、填空题

7

20.(12-13高二下•浙江嘉兴•期中)在［2/一不J的展开式中常数项是.

21.(2024・山东济南•二模)现有A,B两组数据，其中A组有4个数据，平均数为2,方差为6,8组有6

个数据，平均数为7,方差为1.若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为.

22.(2024•山东枣庄.模拟预测)某人上楼梯，每步上1阶的概率为:，每步上2阶的概率为:，设该人从

44

第1阶台阶出发，到达第3阶台阶的概率为.

23.(2024•山东泰安•二模)已知甲，乙两位同学报名参加学校运动会，要从100米，200米，跳高，跳远

四个项目中各选两项，则甲，乙两位同学所选项目恰有1项相同的概率为.

24.(2024•山东临沂・二模)+»展开式中X2项的系数为.

25.(2024•山东临沂.二模)根据统计数据，某种植物感染病毒之后，其存活日数X满足：对于任意的“eN*，

X=〃+l的样本在X>”的样本里的数量占比与X=1的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于g,即

P(X=n+l|X>n)=P(X=l)=1,则尸(X>〃)=,设q=〃尸(X=〃)，｛%｝的前"项和为，则

S”=•

2

26.(2024・山东聊城•二模)甲、乙两选手进行围棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为乙获胜的概率

为g,采用三局两胜制，则在甲最终获胜的情况下，比赛进行了两局的概率为.

四、解答题

27.(2024•山东济南•二模)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球

2

权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为］,

乙发球时甲得分的概率为:，各球的比赛结果相互独立.在某局比赛双方打成10:10平后，甲先发球.

(1)求再打2球该局比赛结束的概率；

(2)两人又打了X个球该局比赛结束，求X的数学期望E(X)；

(3)若将规则改为“打成10:10平后，每球交换发球权，先连得两分者获胜”，求该局比赛甲获胜的概率.

28.(2024.山东济南.二模)随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要

应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，且向四个方向

移动的概率均为例如在1秒末，粒子会等可能地出现在(LO),(-1,0),(0,1),(0,-1)四点处.

(1)设粒子在第2秒末移动到点(x,y),记x+y的取值为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X)；

试卷第4页，共11页

(2)记第n秒末粒子回到原点的概率为Pn.

⑴已知£(C)2=C:求%P4以及所；

左=0

(ii)令b,=p°",记S“为数列也｝的前几项和，若对任意实数M>0,存在〃eN*,使得S.>M,则称粒

子是常返的.已知而叫“<"!心『屈仁:，证明：该粒子是常返的.

29.(2024•山东枣庄•模拟预测)在一个袋子中有若干红球和白球(除颜色外均相同)，袋中红球数占总球

数的比例为P.

(1)若有放回摸球，摸到红球时停止.在第2次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率;

(2)某同学不知道比例P,为估计P的值，设计了如下两种方案：

方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球5次停止.

方案二：从袋中进行有放回摸球5次.

分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计P的值更合理.

]_1£

X01

5432

P”P)5(1-p)4P(1-P)3P(l-p¥p(l-p)pp

X234

Y01

5757

P(I"5(l-p)4P10(1-p)3P210(1-p)2P35(1—p)p4p5

30.(2024•山东淄博•二模)汽车尾气排放超标是导致全球变暖、海平面上升的重要因素.我国近几年着重

强调可持续发展，加大新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展.某汽车制造企业对某

地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：

年份I20152016201720182019

年份代码工(x=t-2014)12345

销量y(万辆)1012172026

(1)计算销量>关于年份代码x的线性相关系数r,并判断是否可以认为y与％有较强的线性相关关系(若

|r|>0.75,则认为有较强的线性相关关系).若是，求出y关于x的线性回归方程：若不是，说明理由；

(2)为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况，该企业又随机调查了该

地区100位购车车主的购车情况，假设一位车主只购一辆车.男性车主中购置传统燃油汽车的有40名，

购置新能源汽车的有30名：女性车主中有一半购置新能源汽车.将频率视为概率，已知一位车主购得新

能源汽车，请问这位车主是女性的概率.

附：若（网,%）,（%,%），为样本点，

^（x,.-x）（y,.-y）^x^-rixy

相关系数公式：产I「1tl=I.1tl；y=bx+”为回归方程，则

、区（%-无/JS%（-V2）住才-欣2-JSX2-ny

V；=1vz=iVi=\Vz=i

n.

元）（%-歹）^x^-rixy

卜—i=l____________________i=l______________

n~n,a=y—bx-

力（％-元）2^xf-nx2

i=li=l

31.（2024•山东淄博・二模）定义：给定一个正整数机，把它叫做模.如果用加去除任意的两个整数〃与匕

所得的余数相同，我们就说。，人对模相同余，记作，=b（mod机）.如果余数不同，我们就说〃，b对模机

不同余，记作〃w8（mod加）.

设集合A={x\x=0（mod2）,%eN*},B={x|（log3x）=0（mod2）,x£N\x>l}.

（1）求；

2—

（2）①将集合A中的元素按从小到大顺序排列后构成数列{%J,并构造q=（1+一产,〃$N*,

4

n]

②将集合8中的元素按从小到大顺序排列后构成数列{5},并构c“=£1—pieN*.

i=l

请从①②中选择一个，若选择.

证明：数列{%}单调递增，且有界（即存在实数M,使得数列中所有的项都不超过V）.

注：若①②都作答，按第一个计分.

32.（2024・山东•二模）ChatGPT是AI技术驱动的自然语言处理工具，引领了人工智能的新一轮创新浪潮.

某数学兴趣小组为了解使用ChatGPT人群中年龄与是否喜欢该程序的关系，从某社区使用过该程序的人群

中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图.

试卷第6页，共11页

（1）根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的75%分位数：

（2）将年龄不超过（1）中75%分位数的居民视为青年居民，否则视为非青年居民.

（i）完成下列2x2列联表，并判断是否有95%的把握认为年龄与是否喜欢该程序有关联?

青年非青年合计

喜欢20

不喜欢60

合计200

（ii）按照等比例分层抽样的方式从样本中随机抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机抽取4名居民

做进一步调查，求这4名居民中至少有3人为青年居民的概率.

n^ad-bc^

参考公式：/=其中n=a-\-b-\-c+d.

(a+Z?)(c+d)(Q+c)(6+d)

参考数据:

尸（七"）

0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

33,（2024•山东潍坊•二模）某市2017年至2023年城镇居民人均可支配收入如下表，将其绘制成散点图（如

下图），发现城镇居民人均可支配收入y（单位：万元）与年份代号工具有线性相关关系.

年份2017201820192020202120222023

年份代号X1234567

人均可支配收入y3.653.894.084.304.654.905.12

(1)求y关于尤的线性回归方程9=云+&,并根据所求回归方程，预测2024年该市城镇居民人均可支配收

入；

(2)某分析员从2017年至2023年人均可支配收入中，任取3年的数据进行分析，记其中人均可支配收入超

过4.5万的年份个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

n

77»/一问_

参考数据及公式：=30.59,=129.36,b=^-------------,a=3-诙.

i=l

X0123

418121

P

35353535

34.(2024•山东潍坊•二模)数列｛%｝中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列称为｛4｝

的一阶差数列，记为｛谓)｝,依此类推，｛d?｝的一阶差数列称为｛%｝的二阶差数列，记为｛0£)｝,.…如果

一个数列｛〃“｝的p阶差数列,*｝是等比数列，则称数列｛%｝为p阶等比数列(P6N*).

⑴已知数列｛%｝满足4=1,。“+1=2”“+1.

(i)求，谱)，谱)；

(ii)证明：｛%｝是一阶等比数列；

(2)已知数列｛〃｝为二阶等比数列，其前5项分别为1，三，空，三，等，求力及满足/为整数的所有〃值.

35.(2024.山东泰安•二模)“绿水青山就是金山银山”是习近平总书记于2005年8月在浙江湖州安吉考察时

提出的科学论断.为提高学生环保意识，某校决定在高一，高二年级开展环保知识测试，已知高一，高二年

级每个学生通过测试的概率分别为:，j.

(1)从高二年级随机抽取6人参加测试，求通过测试的人数不多于4人的概率.

(2)若两个年级各选派部分学生参加测试，高二年级通过测试人数的标准差为令，则高一年级至少选派多

试卷第8页，共11页

少人参加测试，才能使其通过测试人数的均值不低于高二年级.

36.(2024.山东日照.二模)某公司为考核员工，采用某方案对员工进行业务技能测试，并统计分析测试成

绩以确定员工绩效等级.

(1)已知该公司甲部门有3名负责人，乙部门有4名负责人，该公司从甲、乙两部门中随机选取3名负责人

做测试分析，记负责人来自甲部门的人数为X,求X的最有可能的取值：

(2)该公司统计了七个部门测试的平均成绩x(满分100分)与绩效等级优秀率如下表所示：

X32415468748092

y0.280.340.440.580.660.740.94

根据数据绘制散点图，初步判断，选用、=加。作为回归方程.令z=lny,经计算得Z=-0.642,

7

j=i

7«0.02

Z±2-7元2

Z=1

(i)已知某部门测试的平均成绩为60分，估计其绩效等级优秀率;

(ii)根据统计分析，大致认为各部门测试平均成绩无〜其中〃近似为样本平均数元，人近似

为样本方差d.经计算5^20,求某个部门绩效等级优秀率不低于0.78的概率.

参考公式与数据：®ln0,15«-1.9,e12»3.32,ln5.2»1.66.

②线性回归方程9=良+6中，》二J号=1---------，a=y-bx.

£xf-rix2

i=l

③若随机变量X~N(〃,cr2),贝I]P(〃-cr<X<〃+cr)=0.6826,尸(，—2cr<X<〃+2cr)=0.9544,

尸(〃-3cr<X<〃+3cr)=0.9974.

37.(2024•山东临沂・二模)“赶大集”出圈彰显了传统民俗的独特魅力.为了解年轻人对“赶大集”的态度，随

机调查了200位年轻人，得到的统计数据如下面的不完整的2x2列联表所示(单位：人).

非常喜欢感觉一般合计

男性3t100

女性t

合计60

(1)求r的值，试根据小概率c=0.01的独立性检验，能否认为年轻人对“赶大集”的态度与性别有关；

(2)从样本中筛选出5名男性和3名女性共8人作为代表，这8名代表中有2名男性和2名女性非常喜欢“赶

大集”.现从这8名代表中任选3名男性和2名女性进一步交流,记X为这5人中非常喜欢“赶大集”的人数，

求X的分布列及数学期望E(X).

n(ad-be)”

参考公式：/=其中n-a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)伍+d)

a0.10.050.01

%2.7063.8416.635

38.(2024.山东聊城•二模)随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，

新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高

客户满意度，在其两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查(满分100分),

评分结果如下：

分公司A66,80,72,79,80,78,87,86,91,91.

分公司3：62,77,82,70,73,86,85,94,92,89.

(1)求抽取