2024年中考数学二轮题型突破专练：二次函数综合题（复习讲义）（学生版）

题型九二次函数综合题(复习讲义)

【考点总结I典例分析】

⑦要点归纳

二次函数的综合

1、函数存在性问题

解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，

设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结

合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题

意，则该点存在，否则该点不存在.

2、函数动点问题

(1)函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等

有关的二次函数综合题.

(2)解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动

时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题

小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案.

(3)解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多

少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合

题干中与动点有关的条件进行计算.

◎典例解析

1.(2023•浙江绍兴•统考中考真题)己知二次函数y=

(1)当b=4,c=3时，

①求该函数图象的顶点坐标.

②当—时，求》的取值范围.

⑵当尤vo时，y的最大值为2；当x>o时，>的最大值为3,求二次函数的表达式.

2.已知抛物线y=ax2-2x+l(a^0)的对称轴为直线x=l.

(1)求a的值；

(2)若点M(xi,yD,N(x2,y2)都在此抛物线上，且一1<再<0,1<%2<2.比较力

与y2的大小，并说明理由；

(3)设直线y=m(m>0)与抛物线y=a?_2x+l交于点A、B,与抛物线y=3(x-l)2交

于点C,D,求线段AB与线段CD的长度之比.

3.已知抛物线丁=/+加+。.

国①图②

⑴如图①，若抛物线图象与X轴交于点A(3,0),与y轴交点/0,-3).连接..

①求该抛物线所表示的二次函数表达式；

②若点尸是抛物线上一动点(与点A不重合)，过点尸作轴于点与线段A3交于

点、M.是否存在点P使得点M是线段PH的三等分点？若存在，请求出点尸的坐标；若不

存在，请说明理由.

(2)如图②，直线y=gx+”与V轴交于点C,同时与抛物线、=/+法+。交于点。(-3,0),

以线段8为边作菱形CDJ芯，使点尸落在x轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE没有交

点，求6的取值范围.

4.在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线y=—x'+bx+c经过点A(—1,0)和点B(0,3),

顶点为C,点D在其对称轴上，且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,

点C落在抛物线上的点P处.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求点P的坐标；

(3)将抛物线平移，使其顶点落在原点0,这时点P落在点E的位置,在y轴上是否存在点M,

使得MP+ME的值最小，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

5.(2023・湖南•统考中考真题)如图，二次函数》=/+6尤+。的图象与x轴交于A,5两点,

与，轴交于C点，其中3(1,0),C(0,3).

(1)求这个二次函数的表达式；

⑵在二次函数图象上是否存在点P,使得S“AC=£ABC?若存在，请求出尸点坐标；若不存

在，请说明理由；

(3)点。是对称轴/上一点，且点。的纵坐标为〃，当△QAC是锐角三角形时，求。的取值范

围.

6.抛物线y=—/+云+。与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且3(—l,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，3P与AC相交于点E,当

?£：5石=1:2时，求点P的坐标；

(3)如图2,点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点OC处，且

DD'=2CD,点M是平移后所得抛物线上位于OC左侧的一点，轴交直线于

正

点N,连结CN.当D'N+CN的值最小时，求的长.

7.已知二次函数y=X2+（加-2）%+zn-4,其中〃?>2.

(1)当该函数的图像经过原点0(0,0),求此时函数图像的顶点A的坐标；

(2)求证：二次函数y=/+(m-2)x+加-4的顶点在第三象限；

(3)如图，在(1)的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线y=-X-2上运

动，平移后所得函数的图像与丫轴的负半轴的交点为3,求AAC®面积的最大值.

8.二次函数,=以2+法+4(。片0)的图象经过点4-4,0),2(1,0),与y轴交于点C,点P

为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC,交于点Q,过点P作尸轴于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)连接BC,当NDPB=2NBCO时,求直线5P的表达式；

(3)请判断：言PQ是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由.

9.如图，抛物线y=(x+l)(x—a)(其中。＞1)与x轴交于A、B两点，交y轴于点C.

(1)直接写出N0C4的度数和线段AB的长(用a表示)；

(2)若点D为的外心，且△BCD与△ACO的周长之比为JI6：4,求此抛物线

的解析式；

(3)在(2)的前提下，试探究抛物线y=(x+l)(x-a)上是否存在一点P,使得

NC4P=NDB4?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图1,已知二次函数,=加+阮+c(a＞。)的图象与x轴交于点A(-1,O)、8(2,0),与

y轴交于点C,且tan/。4c=2.

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图2,过点C作CD〃x轴交二次函数图象于点D,P是二次函数图象上异于点D的一

个动点，连接PB、PC,若SAPBC=SABCD，求点P的坐标；

(3)如图3,若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接0P交BC于点Q.设点

P的横坐标为t,试用含t的代数式表示的值，并求的最大值.

11.如图，已知抛物线y=--x-2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x

轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象w”，图象w交y轴于点c.

(1)写出图象W位于线段A8上方部分对应的函数关系式；

⑵若直线y=-x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出6的值；

(3)P为x轴正半轴上一动点，过点尸作PM//y轴交直线于点/，交图象W于点N,是

否存在这样的点尸，使△OWN与AO3C相似？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

12.(2023・安徽•统考中考真题)在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线

y=axl+bx(a^0)经过点4(3,3),对称轴为直线尤=2.

⑴求“力的值；

(2)已知点民C在抛物线上，点B的横坐标为乙点C的横坐标为t+1.过点8作x轴的垂线

交直线于点。，过点C作x轴的垂线交直线Q4于点E.

(i)当0</<2时，求AOBD与A4CE的面积之和；

3

(ii)在抛物线对称轴右侧，是否存在点B,使得以为顶点的四边形的面积为:?

2

若存在，请求出点8的横坐标，的值；若不存在，请说明理由.

13.如图，已知抛物线,="2+笈+4(。H0)与*轴交于点八(1,0)和B,与y轴交于点

C,对称轴为x=2.

2

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行

线交抛物线于点Q,连接0Q.当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由.

(3)如图2,在(2)的条件下，D是0C的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E,且

/DQE=2Z0DQ.在y轴上是否存在点F,使得REF为等腰三角形？若存在，求点F

的坐标；若不存在，请说明理由.

14.(2023・四川凉山•统考中考真题)如图，已知抛物线与x轴交于4(1,0)和3(-5,0)两点,

与y轴交于点C.直线y=-3x+3过抛物线的顶点尸.

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若直线x=m(-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线2C交于点F.

①当所取得最大值时，求机的值和EF的最大值；

②当是等腰三角形时，求点E的坐标.

15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=/-2x-3与x轴相交于点A、B(点A在点B的

左侧)，与y轴相交于点C,连接AC,8c.

y

c

y=x-2x-3

(D求线段AC的长；(2)若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当=时，求点P的

坐标;

(3)若点M为该抛物线上的一个动点，当ABCM为直角三角形时，求点M的坐标.

16-(2・重庆•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=*与x

轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中8(3,0),C(0,-3).

(1)求该抛物线的表达式;

(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点尸作尸。，AC于点。，求尸。的最大值及此时

点尸的坐标;

(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物

线与y轴交于点歹，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点.写出所有使得以QF为腰的

△QE尸是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来.

17.在平面直角坐标系中，抛物线y=-/-4%+。与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),

与V轴交于点。，且点A的坐标为(-5,0).

（1）求点C的坐标；（2）如图1,若点P是第二象限内抛物线上一动点，求点P到直线AC距

离的最大值；（3）如图2,若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在

点M使以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐

标；若不存在，请说明理由.

18.（2023・四川泸州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线

y=办2+2x+c与坐标轴分别相交于点A,B,C（0,6）三点，其对称轴为x=2.

⑴求该抛物线的解析式；

⑵点F是该抛物线上位于第一象限的一个动点，直线AF分别与丫轴，直线交于点D,E.

①当CD=CE时，求8的长；

②若ACW,ACDE,的面积分别为I，S],S3,且满足5|+$3=2邑，求点尸的坐

标.

19.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为正方形，点A,3在％轴上，抛物线

丁=必+笈+。经过点6,£＞（T,5）两点，且与直线。C交于另一点E.

(1)求抛物线的解析式；

(2)/为抛物线对称轴上一点，。为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F，E，

3为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点厂的坐标；若不存在，请说明

理由；

(3)P为＞轴上一点，过点尸作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接ME，BP.探

究EM+MP+PB是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点M的坐标;若不存在，

请说明理由.

20.(2023・四川达州•统考中考真题)如图，抛物线y=渥+区+c过点A(-l,0),3(3,0),C(0,3).

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P是直线8C上方抛物线上一点，求出APBC的最大面积及此时点P的坐标；

(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以为边，点

B、C、M.N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说

明理由.

21.如图，在平面直角坐标系中，抛物线、=-/+法+。交X轴于点A和C。,。)，交y轴于

点3(0,3),抛物线的对称轴交X轴于点E,交抛物线于点尸.

（1）求抛物线的解析式；

（2）将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转得到线段。少，旋转角为1（0。<,<90。），连接

AE',BE',求的最小值.

（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N,使得以A,B,M,N为

顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；

22.（2023・湖南常德・统考中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于A（TO）,川5,0）两

点，与y轴交于点C，顶点为D.。为坐标原点，tanZACO=g.

⑴求二次函数的表达式；

⑵求四边形ACD8的面积；

（3）尸是抛物线上的一点，且在第一象限内，若ZACO=NPBC,求P点的坐标.

23.若二次函数y="2+桁+c的图象经过点A（-2,0）,B（0,-4）,其对称轴为直线x=l,与

x轴的另一交点为C.

⑴求二次函数的表达式；（2）若点M在直线48上，且在第四象限，过点M作MNLx轴于

点N.

①若点N在线段0C上，电MN=3NC,求点M的坐标；

②以MN为对角线作正方形MPNQ（点P在MN右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐

标.

24.如图1,已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A,

C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线＞=-*+法+。经过A,C两点，与x轴交

于另一个点D.

（1）①求点A,B,C的坐标；

②求b,c的值.

⑵若点P是边BC上的一个动点，连结AP,过点P作PMXAP,交y轴于点M（如图2所示）.当

点P在BC上运动时，点M也随之运动.设BP=m,CM=n,试用含m的代数式表示n,并求

出n的最大值.

25.（2023•内蒙古通辽•统考中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线

Q

丁=依2+§%+°（〃。0）与％轴交于点41,0）和点B,与y轴交于点。（0,-4）.

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)P是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合)，作轴，垂足为。，连接尸C.

①如图，若点尸在第三象限，且tan/CPD=2,求点P的坐标；

②直线PD交直线BC于点E,当点E关于直线PC的对称点£落在y轴上时，请直接写出

四边形PECE的周长.

26.如图是一块铁皮余料，将其放置在平面直角坐标系中，底部边缘在x轴上，且AB=8

dm,外轮廓线是抛物线的一部分，对称轴为丫轴，高度