2024年中考数学二轮题型突破专练：多边形证明（复习讲义）（三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形）（学生版）

题型四多边形证明

（三角形、平行四边形、矩形、正方形、菱形）

（复习讲义）

【考点总结I典例分析】

对边平行且相等

对角相等、邻的互补—性质

对角线互相平分-

TSW边平行且相等四边形1

两组对边平行的四边形-

碉稣有nx(n-3)-2

两组对边相等的四边形一

「正多边形一个顶点出发有n-2条对角线

对角线互相四边形J

多边形内角(n-2)180Fn

三个角是的四边形

90•多边形内角和

f角是90♦的平行四边形

多边形外角和360,

判定

对角线互相平分且相等的四边形」

iZ2i22iZl(SSS)

确蝇等的呻

-边角边（SAS）

四个角都是直角

三角形全等角角边（AAS）

对角线互相垂直且平分

性质J

角边角（ASA）

邻角互补且相等

直角边和斜边（HL）

对边平行且相等

四边形多边形证明三组对边成

对角线垂直平分

三角形相似两组对边成比例且夹角相等

对角线平分对角

两个内角相等

对边平行且相等

三角形

30•所辎

对角相等.邻角互补

斜边上的中我是斜边的T

四边相等的四边形

直角三角形

三角形斜边的高线等于直角边的乘积除以斜边

对角线垂直平分的四边形

亘角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）

对角线垂直的平行四边形

等边对等角

临边相等的平行四边形

等角对等边

临边相等的矩形

等腰三角形

有一个角是90•的稀

轴对称图形

对角线垂直平分相等的四边形

对角线垂直且相等的平4亍四边形—正方形

对角线垂直平分且相等

四条边都相等

四个角都相等且是90。

G要点归纳

考点01三角形全等及性质

一、三角形的基础知识

1.三角形的概念

由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形.

2.三角形的三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边.

推论：三角形的两边之差小于第三边.

（2-）三角形三边关系定理及推论的作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形；②当已知两边时，可确定第三边的范围；③证明线段

不等关系.

3.三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°.

推论：

①直角三角形的两个锐角互余；

②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

③三角形的•一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

4.三角形中的重要线段

（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三

角形的角平分线.

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线.

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简

称三角形的高）.

（4）连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边，且

等于第三边的一半.

二、全等三角形

5.三角形全等的判定定理：

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”

或“SAS”）；

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”

或“ASA”）；

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；

（4）对于特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：有

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）.

6.全等三角形的性质：

（1）全等三角形的对应边相等，对应角相等；

（2）全等三角形的周长相等，面积相等；

（3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等.

三、等腰三角形

7.等腰三角形的性质

定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）.

推论1:等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分线、底

边上的中线、底边上的高重合.

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。.

8.等腰三角形的判定

定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）.这

个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等.

推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形.

推论2：有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半.

四、等边三角形

（1）定义：三条边都相等的三角形是等边三角形.

（2）性质：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。.

（3）判定：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角等于60。的等腰三角形是等边

三角形.

五、直角三角形与勾股定理

9.直角三角形

定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.

性质：

（1）直角三角形•两锐角互余；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么•它所对的直角边等于斜边的一半；

（3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

判定：

（1）两个内角互余的三角形是直角三角形；

（2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

10.勾股定理及逆定理

（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2.

（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2,那么这个三角形

是直角三角形.

0典例解析

1.(2023•江苏苏州•统考中考真题)如图，在，A6C中，A8=AC,AD为ASC的角平分线.以

点A圆心，AD长为半径画弧，与AB,AC分别交于点E,尸，连接。瓦。厂.

(1)求证：VADE丝VADR；

(2)若/SAC=80。，求/瓦定的度数.

2.如图，AC和BD相交于点0,0A=0C,OB=OD.

(1)求证：NA=NC；

(2)求证：AB//CD.

3.(2023・云南・统考中考真题)如图，C是的中点，AB=ED,AC=EC.求证:

△ABCm4EDC.

AE

4.如图，点B,F,C,E在同一条直线上，BF=EC,AB=DE,/B=/E.求证：zA=zD.

5.（2023•福建・统考中考真题）如图，OA=OC,OB=OD,ZAOD=ZCOB.求证：AB=CD.

6.（2022•四川省宜宾市）已矢口：如图，点A、D、C、F在同一直线上，AB//DE,ZB=ZE,BC=EF.

求证：AD=CF.

BE

7.(2022•陕西省)如图，在AABC中，点D在边BC上，CD=AB,DE//AB,NDCE=ZA求证:

DE=BC.

8.(2022•浙江省杭州市)如图，在RtAACB中，ZACB=90°,点M为边AB的中点，点E在线段AM

上，EF1AC^,>^F,连接CM,CE.已知NA=50。，zACE=30°.

(1)求证：CE=CM.

(2)若AB=4,求线段FC的长.

9.（2023•山东临沂・统考中考真题）如图，ZA=90°,AB=AC,BD±AB,BC=AB+BD.

A

D

⑴写出AB与8。的数量关系

（2）延长BC到E,使CE=3C,延长DC到尸，使CF=DC,连接E尸.求证：EF±AB.

⑶在（2）的条件下，作/ACE的平分线，交AP于点H,求证：AH=FH.

10.（2021•浙江温州市•中考真题）如图，可是＜ABC的角平分线，在A3上取点。，使

DB=DE.

(1)求证：DE//BC.

(2)若NA=65。，ZAED=45°,求NEBC的度数.

11.（2021•福建中考真题）如图，在1.ABC中，D是边上的点，DE±AC,DF±AB,

垂足分别为E,F,且DE=DF,CE=BF.求证：ZB=ZC.

C要点in纳

考点02相似

六、相似三角形的判定及性质

11.定义

对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似

比.

12.性质

（1）相似三角形的对应角相等；

（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

13.判定

（1）有两角对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；

（3）三边对应成比例，两三角形相似；

（4）两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定（1）;

（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角［用判定（1）］或再找夹边成比例［用判定（2）］；

（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例.

七、相似多边形

14.定义

对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们

的相似比.

15.性质

（1）相似多边形的对应边成比例；

（2）相似多边形的对应角相等；

（3）相似多边形周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方.

八、位似图形

16.定义

如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一

条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比.

27.性质

（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k,那么位似图形对

应点的坐标的比等于k或-k；

（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比或相似比.

18.找位似中心的方法

将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是位似中

心.

19.画位似图形的步骤

（1）确定位似中心；

（2）确定原图形的关键点；

（3）确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；

（4）作出原图形中各关键点的对应点；

（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.

0典例解析

12.（2023・湖北鄂州•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ASC与位似,

AB、

原点O是位似中心,且丽若4（9,3）,则A点的坐标是

C金B

►

X

13.（2023・四川乐山•统考中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，£是线段A5上一点,

连结AC"E交于点R若管一则爰

14.（2021•云南中考真题）如图，在,一ABC中，点D,E分别是3cAe的中点，AD马BE

相交于点F,若BE=6,则3E的长是

15.(2023•内蒙古•统考中考真题)如图，在Rt^ABC中，ZACB=90°,AC=3,BC=1,ABC

4D

绕点A逆时针方向旋转90。，得到AAB'C.连接BE,交AC于点D,则—的值为

16.（2023・湖南•统考中考真题）在Rt^ABC中，ZBAC=90°,AD是斜边3c上的高.

⑴证明：△ABD^CBA；

(2)若AB=6,3c=10,求8。的长.

AE

则77的值.

AL

18.(2023・四川眉山•统考中考真题)如图，YABCD中，点E是AD的中点，连接CE并延

长交54的延长线于点E

(2)点G是线段AF上一点，满足/FCG=/FCD,CG交AD于点H,若AG=2,PG=6,求

G”的长.

⑤要点归纳

考点03多边形

十、多边形

20.多边形的相关概念

(1)定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

(2)对角线：从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了

(n-2)个三角形；n边形对角线条数为“(〃-3).

2

21.多边形的内角和、外角和

(1)内角和:n边形内角和公式为(n-2)J80。；

（2）外角和：任意多边形的外角和为360。.

22.正多边形

（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.

（2）正n边形的每个内角为（“一2）’80,每一个外角为位.

nn

（3）正n边形有n条对称轴.

（4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又

是中心对称图形.

G典例解析

19.（2023・湖南永州・统考中考真题）下列多边形中，内角和等于360。的是（）

20.（2021•湖南岳阳市•中考真题）下列命题是真命题的是（）

A,五边形的内角和是720°B.三角形的任意两边之和大于第三边

C.内错角相等D.三角形的重心是这个三角形的三条角平分

线的交点

21.（2023•安徽•统考中考真题）如图，正五边形AB3内接于C。，连接OC,OD,则

ZBAE-ZCOD^（）

22.（2021•四川自贡市•中考真题）如图，AC是正五边形ABCDE的对角线，NACD的度数是

)

23.（2021•四川资阳市•中考真题）下列命题正确的是（）

A.每个内角都相等的多边形是正多边形

B.对角线互相平分的四边形是平行四边形

C.过线段中点的直线是线段的垂直平分线

D.三角形的中位线将三角形的面积分成1:2两部分

24.（2023•重庆・统考中考真题）如图，在正五边形中，连接AC,则NA4c的度数

为.

25.（2021•浙江丽水市•中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和

为720。,则原多边形的边数是.

26.（2021•湖北黄冈市•中考真题）正五边形的一个内角是度.

27.（2021,陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为.

28.（2021•湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60。，则这个多边形的内角和

为.

学要点回纳

考点04平行四边形

十一、平行四边形的性质

23.平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用表示.

24.平行四边形的性质

(1)边：两组对边分别平行且相等.

(2)角：对角相等，邻角互补.

(3)对角线：互相平分.

(4)对称性：中心对称但不是轴对称.

25.注意：

利用平行四边形的性质解题时一些常用到的结论和方法：

(1)平行四边形相邻两边之和等于周长的一半.

(2)平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题.

(3)过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长.

26.平行四边形中的几个解题模型

(1)如图①，AE平分/BAD,则可利用平行线的性质结合等角对等边得到4ABE为等腰

三角形，即AB=BE.

(2)平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABDgACDB：

两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中AAOD咨△C0B,4A0Bma

COD；

根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心0的线段与对角线所组成的居于中心对

称位置的三角形全等，如图②△AOE附△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的

一半.

(3)如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得SABEC=SAABE+S

△CDE.

(4)如图④，根据平行四边形的面积的求法，可得AE•BC=AF•CD.

十二、平行四边形的判定

(1)方法一(定义法)：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

(2)方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.

(3)方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.

(4)方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形.

(5)方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

十三、矩形的性质与判定

27.矩形的性质：

（1）四个角都是直角；

（2）对角线相等且互相平分；

（3）面积=长义宽=2SAABD=4SAAOB.（如图）

28.矩形的判定:

（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；

（2）有三个角是直角；

（3）对角线相等的平行四边形.

十四、菱形的性质与判定

29.菱形的性质：

（1）四边相等；

（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；

（3）面积=底'高=对角线乘积的一半.

30.菱形的判定：

（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；

（2）对角线互相垂直的平行四边形；

（3）四条边都相等的四边形.

十五、正方形的性质与判定

31.正方形的性质：

（1）四条边都相等，四个角都是直角；

（2）对角线相等且互相垂直平分；

（3）面积=边长X边长=2SAABD=4SAAOB.

32.正方形的判定：

（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形;

（2）一组邻边相等的矩形；

（3）一个角是直角的菱形；

（4）对角线相等且互相垂直、平分.

十六、联系

（1）两组对边分别平行；

（2）相邻两边相等；

（3）有一个角是直角；

（4）有一个角是直角；

（5）相邻两边相等；

（6）有一个角是直角，相邻两边相等；

（7）四边相等

（8）有三个角都是直角.

十七、中点四边形

（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.

（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.

（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.

（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

典例解析

29.（2023・福建・统考中考真题）如图，在YABCD中，。为3。的中点，E尸过点。且分别

交