湖北省公安县第三中学2024-2025学年高一下学期开学考试数学试卷

公安三中2024级高一下学期开学考试数学试卷命题人：刘军一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．的值是（）A．B．C．D．3．函数的零点所在的区间是（）A．B．C．D．4．已知，，，则、、的大小关系为（）A．B．C．D．5．如图，在扇形中，，，则下列说法正确的个数是（）①；②的长等于；③扇形的周长为；④扇形的面积为.A．1个B．2个C3个D4个6．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．7．幂函数在区间上单调递增，且，则的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断8．已知函数，，的零点分别为，，，则（）A．B．C．D．1二、多选题（本题共3小题，每小题618分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得69．下列说法错误的有（）A．命题“”的否定是“”B．是的必要不充分条件C．的单调递减区间为D．函数且的图象恒过定点．10．下列结论中正确的是（）A．若角的终边过点，则B．若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C．若，，则D．对任意，恒成立．已知函数，则（）A．的定义域为B．在区间上单调递增C．的图象关于点对称D．三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共1512．计算：．13．已知，，则的值为.14．设函数，若关于的函数恰好有五个零点，则实数的取值范围是．四、解答题（本题共5小题，共7721513以在角，(1)求及的值；(2)求的值．1615分）已知幂函数是定义在R上的偶函数．(1)求函数的解析式；(2)当的值．1715分）已知函数．(1)若在区间上单调递减，求的取值范围．(2)求关于的不等式的解集．31817分）已知函数（且(1)求的定义域；(2)若当时，函数在有且只有一个零点，求实数的范围；(3)是否存在实数，使得当的定义域为时，值域为，若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．1917分）已知偶函数和奇函数的定义域均为，且．(1)求函数和的解析式；(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若在上的最小值为的值．4《公安三中2024级高一下学期开学考试（数学）试卷》参考答案题号12345678910答案ADCBDCABCDBD题号11答案BCD1．A【分析】先求，再结合交集的定义求结论.【详解】因为集合，所以，所以.故选：A.2．D【分析】由题意利用诱导公式求解即可.【详解】.故选：.3．C【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】因为函数在上单调递减，又，，，所以，所以函数有唯一零点，且在内.故选：C4．B【分析】由指对函数的单调性得到、、与0和1的大小关系即可得结论.∵∴，∵，即在定义域上单调递增，且，∴，5∵，即在定义域上单调递减，且，∴∴.故选：B.5．D【分析】根据题意，结合角度制与弧度制的互化，以及扇形的弧长与面积公式，逐项判定，即可求解.【详解】因为，根据角度制与弧度制的互化，可得，所以①正确；由扇形的弧长公式，可得的长度为，所以②正确所以扇形的周长为，所以③正确；由扇形的面积公式，可得扇形的面积为，所以④正确.故选：D.6．C在函数的单调性求解，即可得到结果.【详解】因为定义在R上的偶函数在上单调递减，则在上单调递增，所以不等式即，即，解得，所以实数的取值范围为．故选：C7．A【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可．【详解】由函数是幂函数，可得，解得或.当时，；当时，.因为函数在上是单调递增函数，故.又，所以，所以，则.6故选：A.8．B【分析】根据零点的定义及指数函数对数函数幂函数的性质直接判断.【详解】易知函数，，在定义域内都是增函数，又，即，可得；且中，令，即，，，的大小顺序为：，故选：B.9．CDA件的定义判断B，根据反比例函数的单调性判断C，根据指数函数的性质判断D.【详解】对于A，易知命题“”的否定是“”，故A正确；对于B，不能推出，充分性不成立，能推出，必要性成立，故是的必要不充分条件，故B正确；对于C，的单调减区间为，不能用并集符号，故C错误；对于D，由且可令，解得，又，故函数的图象恒过定点，故D不正确．故选：CD.10．BDA时，A错误；对于B，若是第二象限角，则为第一象限或第三象限角，故B正确；对于C，由两边取平方，，7可得，因，则，故，由可得，故C错误；对于D，因，则，故.故选：BD.．BCD【分析】首先求出函数的定义域判断A，根据对数型复合函数的单调性判断B，根据判断C，根据函数的对称性及单调性判断D.【详解】对于函数，则，解得且，所以函数的定义域为，故A错误；当时，，因为在上单调递增，且，又在定义域上单调递增，所以在区间上单调递增，故B正确；因为，所以的图象关于点对称，故C正确；因为，所以，又，所以，即，所以，所以，即，故D正确.故选：BCD812．1【分析】利用换底公式、对数的运算性质及指数幂的运算性质计算可得.【详解】．故答案为：1．13．【分析】由题意可得可得，，再根据，计算求得结果．【详解】由，，可得，，．.故答案为：.14．【分析】画出的图象，利用换元法，结合二次函数的知识来求得正确答案.【详解】作出函数的图象，如图，9令，则方程化为，则或若关于的函数恰好有五个零点，则方程和，分别有2和3个根，结合图象可知，有两个根，则此时.故答案为：．【点睛】方法点睛：对于复杂函数的零点问题，通过换元法将其转化为二次函数问题是一种常用方法.同时，结合函数图象来分析根的分布情况，能更直观地解决问题.15．(1)；；(2)1）根据正弦函数的定义可求的值，再根据定义可求；（2）利用诱导公式和弦切互化法可求三角函数式的值.1）因为点角的终边上，且，根据三角函数定义，则，解得或所以．（2）则，16．(1)(2)当时，函数的最大值为71）由幂函数的定义和函数的奇偶性，求出的值，得函数解析式；（2）求出函数的解析式，由定义域结合解析式，利用配方法求最值.1）根据题意可得，即，10所以，解得，又函数是定义在上的偶函数，所以，即函数的解析式为．（2）由（1）可知因，所以，当时，，函数的最大值为7．17．(1)(2)答案见解析．1）讨论当和时，函数在上单调递减的情况即可得出结论；（2和的情况下，再讨论，，，以及时的解集，从而得出结论.1）当时，的单调递减区间为，满足题意；当时，由在上单调递减可得，解得．综上，．（2），1）当时，由解得；2）当时，方程的两根为，当时，，解不等式得；当时，，解不等式得或；当时，，解不等式得或；当时，由得．综上，当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为；11当时，不等式解集为；当时，不等式解集为．18．(1)；(2)(3)存在，1）根据对数函数的真数大于0求解即可；（2）先判断函数的单调性，再利用单调性求出函数的值域即可得解；（3）假设存在，由复合函数单调性法则确定函数单调性，利用单调性计算值域，根据方程有两不等根建立不等式组求参数取值范围.1）由，得或．的定义域为；（2）令，因函数在上单调递减，则在上为增函数，又，在上为减函数；函数在有且只有一个零点，即在上有且只有一个解，函数在上的值域为，的范围是．（3的定义域为，由且，可得．又由（2）知在上为增函数，在上为减函数．则在上为减函数，得．即在上有两个互异实根，因，12即，有两个大于3的相异零点．则．结合，故存在这样的实数符合题意．19．(1)(2)(3)21案；（2）由题意得到，令，由基本不等式得，分和两种情况，参变分离，得到，变形后，由基本不等式得到，求出；（3），令，由单调性得到，故在上的最小值为和数单调性得到最小值，从而得到方程，求出.1）由题，，则有，又因为偶函数和奇函数，所以，所以联立，解得．（2）因为，由，可得，即，令，其中，当且仅当