高考备考资料之数学人教A版全国用课件第七章不等式71

§7.1

不等关系与不等式第七章

不等式基础知识

自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识自主学习1.两个实数比较大小的方法知识梳理>＝<>＝<性质性质内容特别提醒对称性a>b⇔_____⇔传递性a>b，b>c⇒_____⇒可加性a>b⇔_________⇔可乘性⇒______注意c的符号⇒______2.不等式的基本性质b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bc同向可加性⇒__________⇒同向同正可乘性⇒______⇒可乘方性a>b>0⇒_____(n∈N，n≥1)a，b同为正数可开方性a>b>0⇒________(n∈N，n≥2)a＋c>b＋dac>bdan>bn3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质<<><<(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.(

)(2)若

>1，则a>b.(

)(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.(

)(4)a>b>0，c>d>0⇒.(

)(5)若ab>0，则a>b⇔.(

)题组一思考辨析基础自测√××√12456√32.[P74T3]若a，b都是实数，则“

>0”是“a2－b2>0”的A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件题组二教材改编12456解析3⇒a>b⇒a2>b2，答案√12456答案解析3.[P75B组T1]若0<a<b，且a＋b＝1，则将a，b，

，2ab，a2＋b2从小到大排列为________________.3124563解析∵0<a<b且a＋b＝1，又2b－1>0，b－1<0，∴a2＋b2－b<0，∴a2＋b2<b，题组三易错自纠4.若a>b>0，c<d<0，则一定有

解析12456答案√3解析∵c<d<0，∴0<－d<－c，又0<b<a，∴－bd<－ac，即bd>ac，5.设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件12456答案√3解析若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝

.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件.故选A.解析解析12456答案3(－π，0)得－π<α－β<0.题型分类深度剖析1.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系是

A.c≥b>a

B.a>c≥bC.c>b>a

D.a>c>b题型一比较两个数(式)的大小自主演练解析答案√解析∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b.又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1，∴b>a，∴c≥b>a.A.a<b<c

B.c<b<aC.c<a<b

D.b<a<c解析答案√解析方法一易知a，b，c都是正数，所以b>c.即c<b<a.易知当x>e时，函数f(x)单调递减.因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即c<b<a.比较大小的常用方法(1)作差法一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.(2)作商法一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论.(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系.思维升华典例

(1)已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是

A.ab>ac

B.c(b－a)<0C.cb2<ab2

D.ac(a－c)>0解析题型二不等式的性质师生共研解析由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0.由b>c，得ab>ac一定成立.答案√(2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①

；②ac<bc；③logb(a－c)>loga(b－c).其中所有正确结论的序号是

A.①

B.①② C.②③

D.①②③解析构造函数y＝xc，∵c<0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是单调递减的，又a>b>1，∴ac<bc，②正确；∵a>b>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴logb(a－c)>loga(a－c)>loga(b－c)，③正确.答案√解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.思维升华其中正确的不等式是

A.①④

B.②③C.①③

D.②④解析答案√显然|a|＋b＝1－2＝－1<0，所以②错误；因为lna2＝ln(－1)2＝0，lnb2＝ln(－2)2＝ln4>0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.②中，因为b<a<0，所以－b>－a>0.故－b>|a|，即|a|＋b<0，故②错误；④中，因为b<a<0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2>a2>0，而y＝lnx在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以lnb2>lna2，故④错误.由以上分析，知①③正确.解析题型三不等式性质的应用多维探究命题点1应用性质判断不等式是否成立典例

已知a>b>0，给出下列四个不等式：答案√其中一定成立的不等式为

A.①②③

B.①②④C.①③④

D.②③④解析方法一由a>b>0可得a2>b2，①成立；由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立.故选A.方法二令a＝3，b＝2，可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，

命题点2求代数式的取值范围典例

已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________.答案(－4,2)解析解析∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2，∴－4<x－y<2.由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6，∴1<3x＋2y<18.(1,18)(1)判断不等式是否成立的方法①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明.②在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断.(2)求代数式的取值范围利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径.思维升华跟踪训练

(1)若a<b<0，则下列不等式一定成立的是

解析(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，∵a<b<0，∴|b|<|a|成立，故选C.解析答案√(2)已知－1<x<y<3，则x－y的取值范围是________.(－4,0)答案解析解析∵－1<x<3，－1<y<3，∴－3<－y<1，∴－4<x－y<4.又∵x<y，∴x－y<0，∴－4<x－y<0，故x－y的取值范围为(－4,0).典例

设f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是______.利用不等式变形求范围现场纠错纠错心得现场纠错错解展示错解展示：由此得4≤f(－2)＝4a－2b≤11.所以f(－2)的取值范围是[4,11].错误答案

[4,11]

现场纠错解析

方法一设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m，n为待定系数)，则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b.∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.∴f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1).又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，故5≤f(－2)≤10.当f(－2)＝4a－2b过点B(3,1)时，取得最大值4×3－2×1＝10，∴5≤f(－2)≤10.答案

[5,10]

纠错心得在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.课时作业1.(2018·济宁模拟)若a<0，ay>0，且x＋y>0，则x与y之间的不等关系是

A.x＝y

B.x>yC.x<y

D.x≥y基础保分练12345678910111213141516解析由a<0，ay>0，可知y<0，又由x＋y>0，可知x>0，所以x>y.解析答案√2.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是

A.f(x)＝g(x) B.f(x)>g(x)C.f(x)<g(x) D.随x值的变化而变化答案12345678910111213141516√解析f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，则f(x)>g(x).解析3.若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是

A.a－b>0 B.a3＋b3>0C.a2－b2<0 D.a＋b<0答案12345678910111213141516√解析由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，当b≥0时，a＋b<0成立，当b<0时，a＋b<0成立，∴a＋b<0成立.故选D.解析4.(2018·乐山调研)若6<a<10，

≤b≤2a，c＝a＋b，那么c的取值范围是

A.9≤c≤18 B.15<c<30C.9≤c≤30 D.9<c<30解析答案12345678910111213141516√5.设a，b∈R，则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件解析答案12345678910111213141516√解析由(a－b)·a2<0，可知a≠0且a<b，∴充分性成立；由a<b，可知a－b<0，当0＝a<b时，推不出(a－b)·a2<0，必要性不成立.解析答案12345678910111213141516√解析123456789101112131415167.有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c.在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是

A.ax＋by＋cz B.az＋by＋cx C.ay＋bz＋cx D.ay＋bx＋cz解析令x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3.A项：ax＋by＋cz＝1＋4＋9＝14；B项：az＋by＋cx＝3＋4＋3＝10；C项：ay＋bz＋cx＝2＋6＋3＝11；D项：ay＋bx＋cz＝2＋2＋9＝13.故选B.答案√123456789101112131415168.(2018·济南调研)若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是

解析解析取a＝2，b＝1，排除B与D；答案√9.已知a1≤a2，b1≥b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是_____________________.12345678910111213141516答案a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1解析解析a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，因为a1≤a2，b1≥b2，所以a1－a2≤0，b1－b2≥0，于是(a1－a2)(b1－b2)≤0，故a1b1＋a2b2≤a1b2＋a2b1.10.已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：解析12345678910111213141516答案①②③其中正确的命题是________.(填序号)12345678910111213141516∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确.12345678910111213141516解析答案z>y>x解析方法一

y2－x2＝2c(a－b)>0，∴y>x.同理，z>y，∴z>y>x.12.已知－1<x＋y<4,2<x－y<3，则3x＋2y的取值范围是__________.12345678910111213141516解析答案解析

设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，13.设实数x，y满足0<xy<4，且0<2x＋2y<4＋xy，则x，y的取值范围是

A.x>2且y>2B.x<2且y<2C.0<x<2且0<y<2D.x>2且0<y<2技能提升练123456789101112131415