重庆市南开中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题

2025年南开中学高2026届高二上期末考试数学试题卷一、单选题（本大题共8个小题，每小题只有一个选项正确，每小题5分，共40分）1．已知为等差数列的前项和，若，则（

）A．10 B．5 C． D．2．曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．3．已知为等比数列的前项和，若，则（

）A．17 B．2 C． D．174．已知椭圆的上，下顶点分别为，左顶点为，左焦点为，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．若函数在处取得极大值0，则在的值域为（

）A． B． C． D．6．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和．小明将杨辉三角每行两边的数改成了1，2，3……得到下图中的三角数阵，并将其命名为“南开三角”．假设第行的第二个数为，如．则（

）A．54 B．57 C．45 D．467．已知，则（

）A． B． C． D．8．已知双曲线的左，右焦点分别为，点，在双曲线右支上存在点，使得成等比数列，则双曲线离心率取值范围是（

）A． B． C． D．二、多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．若数列的前项和，则（

）A．数列是等差数列 B．C． D．有最小值10．已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线从右至左依次与抛物线，准线交于三点，在两点处的切线交于点，则以下说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．轴 D．11．已知函数，则下列正确的有（

）A．当时，函数在上单调B．对于任意的正实数，函数在不单调C．当时，函数在上有且仅有个零点D．对于任意的正实数，函数在必有极小值三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分）12．已知双曲线的两条渐近线与圆均相切，则两条渐近线的方程为．13．已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是．14．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则实数的取值范围是．四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，底面，且有，为等腰直角三角形．(1)证明：；(2)求二面角的平面角的余弦值．16．设为数列的前项和，且满足．(1)求数列的通项公式；(2)令，求数列的前项和．17．已知函数．(1)讨论函数的单调区间；(2)若有两个极值点，证明：．18．如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，双曲线以椭圆的焦点为顶点，且离心率为．(1)求双曲的标准方程；(2)过作斜率不为0的直线与双曲线交于不同两点，设直线的斜率分别为．①证明：为定值；②直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点，求的最大值．19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，已知直线，按如下方法构造点列（其中）：过抛物线上的点作轴的平行线，交直线于点，直线关于直线的对称直线交抛物线于点(1)求实数的值，并求直线的方程；(2)求数列的通项公式，并证明：对任意；(3)设数列的前项积为，若不等式对任意的恒成立，求实数的最小值．1．B【分析】利用等差数列的前项和公式和项的性质，易求得的值.【详解】由，可得.故选：B.2．A【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.【详解】由求导得，则，而，所以所求切线方程为.故选：A3．D【分析】应用等比数列的基本量运算求出得，再结合等比数列求和公式计算即可.【详解】等比数列设公比为，因为，所以，所以，计算得，所以.故选：D.4．C【分析】利用椭圆的性质，得，结合条件得到，即可求解.【详解】易知，则，又，则，得到，所以，解得或（舍），故选：C.5．C【分析】（1）求出导函数，利用极值点列方程求解即可；（2）利用导数，求函数的单调区间，即可求解.【详解】因为函数在处取得极大值0，所以，即，所以，，令，解得或，当变化时，在的变化情况如表所示，00极大值极小值极大值所以根据上图可知，在上的值域为，故选：C6．D【分析】结合数阵确定其为二阶等差数列即可求解；【详解】由“南开三角”可得：，，，，，，，，由以上累加可得：，所以，故选：D7．D【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨单调性进而比较大小即得.【详解】令函数，求导得，函数在上单调递减，，即当时，，则，，即，所以.故选：D8．B【分析】设，则得，由和可推得为关于的方程的两根，求得，（*），在中，利用余弦定理得，将（*）代入化简得，根据，可得，即，解不等式可得.【详解】如图，不妨设，由题意，，则，即①，又，即②，由①，②可知，可看成关于的方程的两根，则，故得，（*）.在中，因，运用余弦定理，由可得：，化简得：，将（*）代入整理得：，化简得：，即，由图可得，则有，即得：，也即，分解因式得：，即，因，解得.故选：B.【点睛】关键点点睛：选设未知数后，通过变形后求得，是关键，再利用余弦定理建立方程，结合图形得将其化成关于的齐次不等式，求解即得.9．ABC【分析】根据可计算数列的通项公式，逐项判断可确定正确答案.【详解】当时，，当时，，满足上式，∴.当时，，∴数列是以7为首项，为公差的等差数列，选项A正确.由得，，选项B正确.由得，，故，选项C正确.由得，时，，时，，∴有最大值，最大值为，选项D错误.故选：ABC.10．ACD【分析】联立直线方程与抛物线方程可得韦达定理进而根据中点关系可求解AB，求导，根据点斜式求解切线方程，进而联立两直线方程可得，即可求解C,结合基本不等式求解D.【详解】,设直线,联立与可得，设,，则对于A，若，则,因此是的中点，故，代入可得根据可得，化简可得，解得，由于，所以，A正确，B错误，由可得，求导可得，所以处的切线方程分别为，，联立两切线方程可得，因此,故点在抛物线的准线上，故轴，C正确，，由于，当且仅当时取等号，故，D正确，故选：ACD11．BCD【分析】对于A，对求导，得，从而有在区间上单调递增，且，，即可求解；对于B，对求导，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，可得在单调递增，再注意到时，，当时，，即可求解；对于C和D，利用选项B中的结果，结合函数单调性与零点间的关系及极值的定义，即可求解.【详解】对于选项A，当时，，则，∵在区间上均单调递增，∴易知在区间上单调递增，又，，所以，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故选项A错误，对于选项B，易知，，令，则，对于，因为，所以恒成立，所以在上恒成立，故在区间单调递增，故在区间单调递增，又时，，当时，，所以在区间上存在零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增，即函数在不单调，故选项B正确，对于选项C，由选项B知在区间单调递增，又，且，则，又时，，所以，，当时，，当时，，故在区间上单调递减，在区间上单调递增，又时，，，所以当时，函数在上有且仅有个零点，故选项C正确，对于选项D，由选项B知在区间单调递增，又，令，则，易知时，，时，，所以，即，又时，，所以，，当时，，当时，，所以是的极小值点，故选项D正确，故选：BCD.【点晴】方法点晴：利用导数研究函数的极值点：（1）对于可导函数，点是极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同；（2）若在内有极值点，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或单调减的函数没有极值点．12．【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求出关系即可.【详解】双曲线的渐近线方程为，圆的圆心，半径，依题意，，所以两条渐近线的方程为.故答案为：13．【分析】问题转化为在上有解，分离参数，通过求导分析函数的最小值可得实数的取值范围.【详解】∵，∴，由题意得，在上有解，即在上有解，∴，，设，则，设，则，∴在上为增函数，∵，∴当时，，，当时，，，∴在上为减函数，在上为增函数，∴，∴，故实数的取值范围是.故答案为：.14．【分析】根据数列通项与前项和的关系可得（），进而推导得（），算出首项可得数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列，从而得出再求解即可.【详解】由得（），两式相减得：（），所以（），两式相减得：（），所以，数列……是以2为公差的等差数列，数列……是以2为公差的等差数列，将代入及可得，将代入（）可得，且，要使得，恒成立，只需要即可，所以，解得：，即实数的取值范围是．故答案为：15．(1)证明见解析；(2)【分析】（1）设，表示各边长，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量可证明线线垂直.（2）求两平面法向量，利用空间向量计算二面角的余弦值.【详解】（1）由题意得，，设，则.以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，∴，，∴，∴.（2）由（1）得，，，，设平面的法向量为，则，取，则，故.设平面的法向量为，则，

取，则，故，∴，由图象可知二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角的余弦值为.16．(1)；(2)【分析】（1）利用与的关系求解即可；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）因为，所以当时，，所以，即，又由解得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，经检验时满足通项公式，所以.（2）由（1）可得，所以①，②，①②得，所以.17．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求出函数的导数，再按进行分类讨论，由导函数正负求出单调区间.（2）由（1）求出的范围，再结合韦达定理将用表示，进而构造函数，利用导数推理得证.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，方程中，，当时，恒成立，，在上单调递增；当时，由，解得，当或时，；当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，递减区间为.（2）由（1）知，有两个极值点，则，，令函数，求导得，令，求导得，函数在上单调递减，，函数在上单调递减，，所以.18．(1)；(2)①证明见解析；②【分析】（1）根据条件计算双曲线的，利用可求双曲线方程.（2）①联立直线与双曲线方程，借助韦达定理计算的值.②联立直线与椭圆方程，借助韦达定理表示弦长，进而计算两弦长乘积的最大值.【详解】（1）由题意得，.设双曲线的标准方程为，半焦距为，则，∴，故双曲线的标准方程为.（2）①当直线斜率存在时，设直线方程为，，由得，，∴，∴，当直线斜率不存在时，，.综上得，为定值，定值为.②由题意得，直线方程为，设，由得，，∴，∴，同理得，，∴，设，则，∴，∵，∴，∴，∴的最大值为，当且仅当取最大值.【点睛】关键点点睛：解决第（2）问的关键是联立直线与圆锥曲线方程，借助韦达定理表示直线斜率或弦长，由此计算结果.19．(1)，.(2)证明见解析(3)【分析】（1）直接代入，再根据直线对称即可得到答案；（2）当为奇数时，计算相关点坐标和直线斜率，化简得化简得，再通过取对数计算即可；（3）根据换元法得在时恒成立，再分离参数并利用导数即可得到最值.【详解】（1）当时，，解得，则，当时，，解得，则，则直线的