《均值不等式的应用案例1400字》

均值不等式的应用案例综述均值不等式在高中数学中是一个非常重要的公式,应用于各个领域,它也是教学的重点,如果把均值不等式应用好,那它将会把许多比较困难的问题变得简单,下面将从四个方面来研究均值不等式的应用。REF_Ref25372\r\h[18]1.1证明简单不等式问题在各类数学竞赛、试题以及不等式的进一步研究中，不等式的证明仍然需要在中加以重视，所以在教学时应当对不等式的证明加以重视。尽管有很多方法可以证明这一点，但是如果遇到一些更复杂的问题，则很难使用通用方法。这时，如果能够使用均值不等式或将其与一般证明方法相结合，这样来解决这类问题就比较容易。例1已知都为正数，且。求证：。证明：由已知：都为正数所以为正数，由均值不等式得：当且仅当时，等号成立。例2设都为正数，求证：。证明：由已知都为正数，可知即，同理可得：所以所以当且仅当时，等号成立。方法总结：在解决一些简单不等式时，使用均值不等式来证明是相当简便的。尽管也可以使用其他证明方法，但是如果遇到更复杂的问题，将不容易解决。解决这一类题时，如果能够应用均值不等式和一般证明方法相结合，就可以达到较好的效果。1.2均值不等式在比较两数（式）的大小的应用例1若，请比较与的大小关系。证明：由于，所以，所以当且仅当，即时等号成立。所以方法总结:在利用均值不等式比较两数(式)的大小时,首先要观察两个式子之间的关系，选择适当的方法。应用均值不等式时，根据需要可以把式子进行拆项或者配凑。均值不等式的解题方法：均值不等式成立满足的条件一是“正数”条件，即都是正数；二是“定值”条件，即和是定值或积是定值；三是“相等”条件，即时取等号。REF_Ref17916\r\h[19]也就是，在应用均值不等式时,一定要注意是否满足条件，若条件不满足时,则应拼凑出条件，即问题一端出现“和式”,另一端出现“积式”,便于运用均值不等式。1.3均值不等式求最值问题例1已知求的最小值。分析:本题虽然不能通过直接观察给出已知与结论之间的关系,但通过适当变形,使用待定系数法,将“”的两边同时加上,变形为两个分别含与的代数式的乘积,便可通过积为定值求等式求最小值。解：则当且仅当时，等号成立。即取得最大值，且最大值为。方法总结：均值不等式在求最值方面以及证明不等式方面都起着重要作用。它是高考的常考点。在不能应用均值不等式直接解决问题的情况下，有必要借助“添”、“配”、“凑”等变形方法来解决问题，使学生能够体会到均值不等式实际的应用条件。例2已知，，则的最大值为多少？解：因为，，所以当且仅当时等号成立。所以的最大值为。方法总结:均值不等式在各个方面得到了广泛的应用。如求最大值问题可以运用均值不等式解决。从该示例可以看出，当求乘积的最大值时，可以通过恒等变换使它们的总和恒定，然后可以进行计算得出结果。1.4解决实际生活问题在实际生活当中,有很多的问题都可以用到均值不等式来解决,比如求利润的最大值、投资造价费用的最小值、物体的面积体积的最值、广告投资的问题、土地有效利用的问题等等,在运用均值不等式时,首先要弄清楚己知量、确定目标变量,然后根据题意来建立构造目标函数,最后选取恰当的解题方法。REF_Ref25372\r\h[18]例1学校操场上有一堵墙和一个100米长的围栏，工作人员计划把他们围成一个类似的矩形，如何围起来可以使这个矩形的面积达到最大？解：设围墙的邻边长为米，围墙的对应边长为米，则最后围成的矩形场地的面积是:当，即米时，面积最大，且最大值为1