浙江省钱塘联盟2022-2023学年高一下学期期中数学联考试卷（含答案）

浙江省钱塘联盟2022-2023学年高一下学期期中数学联考试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，1．已知集合A={−2，−1，A．{−2，−1，C．{0，1，2．设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知圆锥的表面积为27π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为（）A．3 B．32 C．33 4．已知向量a、b满足|a|=1，|b|=2，向量a与b的夹角为π6A．34a B．3+14a 5．若a=34，b=4A．a>b>c B．b>c>a C．c>b>a D．b>a>c6．已知sinα−cosα=15，则A．2425 B．−2425 C．−7．龙洗是我国著名的文物之一，因盆内有龙纹故称龙洗，为古代皇官盥洗用具，其盆体可以近似看作一个圆台.现有一龙洗盆高15cm，盆口直径36cm，盆底直径18cm.现往盆内倒入水，当水深5cm时，盆内水的体积近似为（）A．1505π3cm3 B．1665π3c8．已知函数f(x)A．10 B．12 C．14 D．16二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．若z(1+i)=2i，其中i为虚数单位，则（）A．|z|=1 B．zC．z的共轭复数为1+i D．z的实部为110．△ABC的内角A，B，A．若A=60∘，B．若cosC．若a=3，D．若△ABC是锐角三角形，则sinA+sinB>cosA+cosB11．设a>0，b>0，且A．0<b<1 B．a+b>1C．a−2b的最小值为0 D．a+1b12．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形为面的多面体组成，目前发现了共有13个这种几何体，而截角四面体就是其中的一种，它是由一个正四面体分别沿每条棱的三等分点截去四个小正四面体而得，已知一截角四面体的棱长为2.下列说法正确的是（）A．每一个截角四面体共有18条棱，12个顶点B．该截角四面体的表面积为28C．该截角四面体的体积为15D．该截角四面体的外接球半径为22三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中O'A'=314．若直线a不平行平面α，则以下命题成立的是.①α内的所有直线都与a异面；②α内不存在与a平行的直线；③α内直线都与a相交；④直线a与平面α有公共点.15．多面体E−ABCD的各顶点在半径为2的球面上，ABCD是矩形，AB=3，AD=2，则多面体体积的最大值为16．如图，设△ABC中的角A，B，C所对的边是a，b，c，已知AB=1，AC=3，DC=3BD，AB|AB|⋅四、解答题：本题共6小题，共70分.17．已知向量a，b满足（1）若a//b，求向量（2）若(a+b)⊥b18．已知△ABC内角A，B，C对边分别为a（1）求A；（2）若b+c=6，△ABC的面积为3319．如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中AB=2，（1）证明：PE//平面BDF；（2）求三棱锥P−BDF的体积.20．已知O为坐标原点，向量OM=(2sin2x，（1）求f(x)单调递增区间；（2）在锐角三角形△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，21．在中国很多乡村，燃放烟花爆竹仍然是庆祝新年来临的一种方式，烟花爆竹带来的空气污染非常严重，可喷洒一定量的去污剂进行处理.据测算，每喷洒一个单位的去污剂，空气中释放的去污剂浓度y（单位：毫克/立方米）随着时间x（单位：天）变化的函数关系式近似为y=1+（1）若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？（2）若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒a(1≤a≤4)个单位的去污剂，要使接下来的3天能够持续有效去污，求a的最小值.22．已知函数f(x)=log3(（1）若k=2且方程f(x)−a+1=0有解，求实数a的取值范围；（2）若f(x)是偶函数，讨论函数g(x)=(

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】∵y=x，∴x≥0，∴A∩B={0，1，2}

【分析】重点考察y=2．【答案】D【解析】【解答】

如果两平面平行，那么平面中的所有直线有可能平行，也有可能异面，所以不充分

如果两直线平行，两个平面有可能平行，也有可能相交，所以也并不必要

【分析】需要根据平面与直线平行的性质与判定双向思考，从而得出答案3．【答案】A【解析】【解答】∵侧面展开为一个半圆，

∴S=πl22+πr24．【答案】C【解析】【解答】投影向量为a⇀cosθb5．【答案】B【解析】【解答】

∵a＜1，b＞1，c＜1

又∵4log43=3，434=236．【答案】A【解析】【解答】∵sinα-cosα=15，且sin2α+cos2α=1

两边同时平方得sin7．【答案】B【解析】【解答】盆底半径r=9，盆口R=18，总高度H=15，设水的高度h，水面半径x，如图所示

根据三角形相似性，x-99=515=13，∴x=12

则水的体积8．【答案】B【解析】【解答】

由题可知，fx=lgx-1lg1-x，图象如图，fx≥0，

令fx=t，则y=ft+m，则-m=ft，t≥0，

由图像可知，-m>0，此时最多有三个解t1，t2，t39．【答案】B,D【解析】【解答】z=2i1+i=2i1-i1+i1-i=1+i.

z=1+1=2，∴A错误

z210．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、若A=60∘，a=3，由正弦定理得2R=asinA=332=1，∴△ABC外接圆的半径R=1，A正确；

B、由正弦定理得b+c2c=sinB+sinC2sinC，又cos2A2=1+cosA2

∴cos2A2=b+c2c，有1+cosA2=sinB+sinC2sinC，即sinC+sinCcosA=sinA+C+sinC，化简得sinAcosC=0，在△ABC中sinA>0，∴cosC=011．【答案】A,C,D【解析】【解答】A、由b+12a=1得2a=11-b>0，解得0<b<1，A正确；

B、由b+12a=1得b=1-12a>0，解得a>12，

∴a+b=a+1-12a，∵y=x和y=-12x单调递增，∴a+1-12a>12+1-12×12=12，B错误；

C、a−2b=a-21-12．【答案】A,B,D【解析】【解答】A、由题意由知每截去一个角增加3条棱，2个顶点

∴截角四面体有6+3×4=18条棱，4+2×4=12个顶点，A正确

B、截角四面体表面积由4个边长为2的等边三角形和4个边长为2的正六边形构成，∴表面积S=4×34×22+4×6×34×22=283，B正确；

C、截角四面体体积由边长为6正四面体体积减去4个边长为2的正四面体体积构成，∴体积V=13×34×62×26+4×13×34×22×263=4633，C错误；

D、如图，

O1是下底面正六角形ABCDEF的中心，O13．【答案】6【解析】【解答】根据斜二测画法的特征得正三角形ABC高为23，∴正三角形ABC边长为4，

∴原三角形面积是12×23×4=43，∴三角形A'B'C'14．【答案】④【解析】【解答】∵直线a不平行平面α，∴直线a在平面α内或直线a与平面α相交，若直线a在平面α内则α内存在与a平行的直线，∴①②③错误，正确

故答案为：④

【分析】由题意得直线a在平面α内或直线a与平面α相交，进而判断.15．【答案】3【解析】【解答】∵AB=3，AD=2，∴对角线AC=13，∴底面ABCD所在的球切面直径为13

又∵球半径r=2，∴该球切面与球心的距离为d，则d=4-134=32

∴四面体的高h最大值为2+32，∴体积V的最大值为3216．【答案】67【解析】【解答】∵AB⇀AC⇀AB⇀AC⇀=12=COS∠BAC，∴∠BAC=π3，

由定比分点公式可知，AD⇀=34AB⇀+14AC⇀，设AB⇀=λAE⇀，AC⇀=μAF⇀

则有AG17．【答案】（1）解：∵a//b，b又|a∴a=(（2）解：(a+b即a⋅b+∴cos⟨a即向量a与向量b夹角的余弦值为−【解析】【分析】

第一问根据向量的共线定理与坐标运算，进而列式求解

第二问根据三角函数的坐标运算数量积的结果判断垂直，进而反推向量a与向量b的余弦值18．【答案】（1）解：化简得：sin整理得：sin由正弦定理可推得：b2∴cosA=b2（2）解：∵∴bc=6∵∴a=3【解析】【分析】(1)根据三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理，对已知条件进行化简整理，得出∠A的角度数值

（2）由三角形的面积公式得到bc的值，结合余弦定理，得出a的数值.19．【答案】（1）证明：连结B1E，因为正方体ABCD−A1B1C所以四边形BB所以B1D1∥BD，B1D1所以B1D1取BB1中点Q，连结因为E，F是AA所以QF∥BC，QF=BC，且BC∥AD，BC=AD，所以QF∥AD，且QF=AD，所以四边形AQFD为平行四边形，所以AQ∥DF，且AQ=DF，因为AE∥B1Q所以四边形AEB所以AQ∥EB1，且所以EB1∥DF，EB1⊄平面所以EB1∥平面BDF，EB1∩B1D所以平面B1D1E∥平面BDF，EP⊂平面B1（2）解：因为正方体ABCD−A所以点F到平面BB1D1D所以三棱锥F−BDP的高h=1所以V【解析】【分析】

(1)可以通过证明面面平行进而得到线面平行

(2)根据正方体的的体积特点，得出体积之间的数量关系，从而得出高和几何体的体积.20．【答案】（1）解：因为f(x)=OM所以f(x)=2si=2(3∴−π∴−∴−π∴f(x)的单调递增区间为[−（2）解：由（1）得f(A∴sin(A−∴A−π6=2kπ+π6即A=2kπ+π3或A=2kπ+π，∵A∈(∴A=π∵A+B+C=π，∴sin∴sinA+sinB+sinC===3∵0<C<∴π∴∴sin(C+π∴3故sinA+sinB+sinC∈(3【解析】【分析】(1)根据向量相乘的数量积公式得出函数f（x）的解析式

进而根据三角函数的恒等变换公式，整理成标准的三角函数解析方程，继而求得单调区间

（1）在第一问的解答基础上，得出∠A的大小，接下来根据三角恒等变换将原式化简成只有一个未知变量的三角函数，并通过三角函数的单调性以及∠C的取值范围得到函数的定义域与解析式

从而确定原式的值域..21．【答案】（1）解：释放的去污剂浓度为f(x)=4(1+当0<x≤4时，4(1+x8)≥4，解得x≥0当4<x≤10时，4(9x+2)≥4，解得x≤7故一次投放4个单位的去污剂，有效去污时间可达7天（2）解：设从第一次喷洒起，经x(6<x≤9)∴a≥169，当且仅当18x+2所以a的最小值为169【解析】【分析】(1)根据分段函数的特性，两段函数都要进行列式求解，并将解集进行合并整合；

(2)综合考虑去污剂的两次影响，在第九天去污剂的浓度最低，即若持续去污则要求第九天的浓度大于4，第九天的去污剂由两部分组成，第一次两个单位的去污剂，第二次a个单位的去污剂，从而得出关于a的函数解析式或不等式，进而列式求解。22．【答案】（1）解：因为方程f(x)−a+1=0有解，所以方程f(x)=a−1有解，即f(x)的值域与方程y=a−1的值域相同.f(x)=lo∵所以f(x)>0，即a−1>0，故a>1（2）解：因为f(x)是偶函数，所以f(−1)=f(1)，有log3(19