四川省安宁河联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题（含答案）

四川省安宁河联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知cosα=−23A．23 B．59 C．422．已知a,b为共线向量，且a=A．−3 B．3 C．10 D．33．已知sin(α−β)cosα−cos(α−βA．−7210 B．−210 4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c，已知A．215 B．265 C．55．已知向量非零向量a,b满足a⋅b=−3A．−6a B．−3a C．3a6．f(x)=Acos(A．向右平移π8个单位长度 B．向右平移πC．向左平移π4个单位长度 D．向左平移π7．筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为8m的筒车按逆时针方向做4min一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为43m，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位：①t=1min时，盛水筒P到水面的距离为4+43②t=43min与t=2③经过34min，盛水筒P共8次经过筒车最高点；④记与盛水筒P相邻的盛水筒为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为43A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④8．如图，在ΔABC中，∠BAC=π3,AD=3DB,P为A．92 B．7120 C．4615二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分．9．下列计算中正确的是()A．sinB．sinC．1−2D．1−10．已知函数f(A．函数解析式化简后为：fB．f(x)的对称轴为C．f(x)的对称中心为D．f(x)的单调递增区间为11．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH，其中OA=2，则下列结论正确的有()

A．OBB．OAC．OA在OB上的投影向量为2D．若点P为正八边形边上的一个动点，则AP⋅AB三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量a=(2,−3),13．在F(1,0)中，已知BA⋅BC=tanB14．已知sin(α+π7)=四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知|a|=2，|b|=6，且a与（1）求a⋅（2）求向量a−b与16．已知函数f(x)=3sinωxcosωx−（1）求f(（2）在ΔABC中，f(A)=−1，a=3,b=2c17．如图、在四边形ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点．（1）求证：EF=（2）若AB=2DC，|AB|=2|AD|=4，向量AB18．锐角C3的内角A,B,C（1）求角B的值；（2）若b=23,求19．某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改造．如图所示，矩形CDEF区域为停车场，其余部分建成绿地，已知扇形AOB的半径为2（百米），圆心角分别为π3，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大.一种方案是将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB（1）若按方案一来进行修建，求停车场面积的最大值；（2）修建停车场的一种方案是，将矩形一边的两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上（如图3所示）.比较两种方案，哪种方案更优？

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：因为cosα=−23故答案为：D.【分析】由余弦的二倍角公式直接求解即可.2．【答案】C【解析】【解答】解：因为向量a=(1,x),b=(故答案为：C.【分析】由题意，根据向量共线的坐标表示求出x，再根据向量的模长公式求解即可.3．【答案】D【解析】【解答】解：因为sin(α−β)cosα−cos(α−β)sinα=45，所以sin(则sin(β+故答案为：D．【分析】根据两角差的正弦公式化简求得sinβ=−454．【答案】D【解析】【解答】解：由csinC−acosC=−15，根据余弦定理可得：cos故答案为：D.【分析】由正弦定理化角为边得c25．【答案】B【解析】【解答】解：b在a方向上的投影向量为a⋅故答案为：B.【分析】根据投影向量公式直接求解即可.6．【答案】C【解析】【解答】解：由图象可得A=1，14T=π3−2×π12+φ=2kπ,k∈Z，|ϕ|A、g(x)=sin(2x−πB、g(x)=sin(2x−πC、g(x)=sin(D、将g(x)=sin(2x−π故答案为：C．【分析】先根据图象确定A的值，再根据三角函数结果的点求出求φ与ω的值，确定函数f(7．【答案】A【解析】【解答】解：以水车的轴心为原点，建立如图所示直角坐标系：

由题可知水车旋转一周的时间为4min，当P刚露出水面时，与y轴的夹角是30°，相邻盛水桶之间的夹角是45°，当P旋转t=1min时，旋转了360°4=90°，旋转到此时D点到水面的距离为43+8sin②当t=43min时，旋转了13周，即与y轴正半轴的夹角是180°−(当t=2min时，P旋转了180°，即C点，与y轴正半轴的夹角也是30°C点与E点到水面的距离相等，故以②正确；③经过34min，则水车转过了344=8.5个周期，所以盛水桶④设Q在P的上方，OP与y轴负方向的夹角为α，(0则OQ与y轴负方向的夹角为α+45°，相邻两筒到水面的距离差为：|4=|8[(1−2其中cosφ=2−2当α=φ时取最大值为82−2，故故答案为：A．【分析】以水车的轴心为原点，建立如图所示直角坐标系，分析其中的几何关系判断①②，利用周期判断③，求出距离差的表达式结合三角变换求最值判断④即可．8．【答案】B【解析】【解答】解：因为AD→=3又因为C、P、D三点共线，所以CP=kCD,又因为AP=xAC+35AB，所以(x−1)AC+35AB所以AP=−1故答案为：B.【分析】由题意，利用向量的线性运算以及三点共线的条件，结合平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律求解即可.9．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：A、sin15∘B、sin20°cos40°-cos160°C、1-2cosD、1-tan故答案为：ABC.【分析】根据三角函数的诱导公式及两角和的正弦公式，余弦的二倍角公式以及两角差的正切公式化简求值判断即可.10．【答案】A,D【解析】【解答】解：A、f(x)B、令2x−π3=π2+kπ，则C、令2x−π3=kπ，k∈ZD、令−π2+2kπ≤2x−则单调递增区间为[−故答案为：AD．【分析】利用三角恒等变换将函数解析式化简，再结合三角函数的图象和性质逐项判断即可．11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由图可知：正八边形每个边所对的角都是45°，中心到各顶点的距离为2；A、OB⋅B、∠AOC=90°，则以OA，OC为邻边的对角线长是|OA|的可得OA+C、OA在OB上的投影向量为OA⋅D、设AP,AB的夹角为θ，则AP⋅AB=|AB||AP|易知DC⊥AB，延长DC交AB延长线于Q，当P在线段DC上运动，投影最大，

易知△OAC为等腰直角三角形，且∠OAB=18则在Rt△CAQ中，AQ=ACcos在等腰三角形OAB中AB=2OAsin22=AC⋅OAsin故答案为：ABD．【分析】由图可知正八边形ABCDEFGH中，每个边所对的角都是45°，中心到各顶点的距离为2，再根据向量数量积的运算即可判断AB；根据投影向量和投影即可判断CD．12．【答案】4【解析】【解答】解：因为a⊥b，所以a·b=0故答案为：43【分析】由题意，根据向量垂直的坐标表示列式求解即可.13．【答案】3【解析】【解答】解：设△ABC中，角A,B,因为BA⋅BC=tanB，所以ac故△ABC的面积为acsin故答案为：32【分析】由向量数量积运算得到ac=2314．【答案】−【解析】【解答】解：因为sin所以sin(2α−故答案为：−5【分析】由题意，利用角的变换将所要求解的角转化为已知的角表示，再利用余弦的二倍角公式求解即可．15．【答案】（1）解：a⋅（2）解：设向量a−b与b的夹角为|a又因为(a→−【解析】【分析】（1）由题意，根据平面向量数量积的定义求解即可；（2）先求出向量a−16．【答案】（1）解：f(x)=32sin2ωx−1−cos2ωx2+12=32sin故f(x)（2）解：由题意知：因为f(A)=sin(2A+又因为A∈(0,π)，所以由余弦定理可得：cosA=b故S△ABC【解析】【分析】（1）由已知结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合正弦函数的周期可求ω=1求解即可；（2）由（1）的结论求出A，再结合余弦定理求b,17．【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，CD的中点，∴DF=−CF∵EF=EF=EB①+②得：2EF∴2EF（2）解：∵AB=2DC∴==1∵|AB|=2|AD|∴AB∴==1【解析】【分析】（1）由平面向量的线性运算计算证明即可；（2）由平面向量的线性运算得AG=18．【答案】（1）解：(2a−c2sin2sinAcos因为sinA≠0,所以2cosB=1，所以（2）解：在△ABC中，由正弦定理定理，可得asinA=csinC=bsinB=2332=4，

因为a=4sinA所以S=2【解析】【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式及内角和定理，结合特殊值的三角函数求解即可；（2）根据（1）的结论及正弦定理边角化，利用三角形的面积公式及两角差的正弦公式，再利用降幂公式及辅助角公式，结合锐角三角形的定义及三角函数的性质求解即可.19．【答案】（1）解：连接OE，设∠AOE=α，α∈(0,π由条件知DE=2sinα，OD=2cosα，在Rt△FOC中，FCOC=tan知CD=OD−OC=2cosS=4==4所以，当α=π6时，矩形面积的最大值为（2）解：如图，根据对称性转化