湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高一（下）期中数学试卷（含答案）

湖北省宜昌市部分省级示范高中2023-2024学年高一（下）期中数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四总分评分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题p：∀x∈R，x2A． ￢p：∀x∈R，x2−3x+a=0 B． C． ￢p：∃x∈R，x2−3x+a≠0 D．2．已知集合P={x∈N|x(x−3)≥0}，Q={2,4}，则A．{1} B．{2} C．{1,2} 3．“a>b>0”是“1aA．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列函数中最小正周期为π，且在区间(0,πA．y=sinx B．y=|sinx| C．y=cosx D．y=|cosx|5．已知a，b是两个不共线的平面向量，向量AB=λa+b，()A．λ+μ=2 B．λ−μ=1 C．λμ=−1 D．λμ=16．如图，在圆C中，C是圆心，点A，B在圆上，AB⋅A．只与圆C的半径有关B．只与弦AB的长度有关C．既与圆C的半径有关，又与弦AB的长度有关D．是与圆C的半径和弦AB的长度均无关的定值7．已知log189=a，18bA．−aa+b B．2−aab C．2a8．已知函数f(x)=2sin(ωx+π6)−1(ω>0)，若函数A．[π3，C．[8π21，二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9．已知幂函数f(x)的图象经过点(2,1A．函数f(x)为奇函数B．函数f(x)在定义域上为减函数C．函数f(x)的值域为RD．当x2>10．若x，y>0，且x+2y=1，则()A．xy≤18 B．x+2y≤211．如图，一个半径为3m的筒车，按逆时针方向匀速旋转1周.已知盛水筒P离水面的最大距离为5.2m，旋转一周需要60s.以P刚浮出水面时开始计算时间，P到水面的距离d(单位：m)(在水面下则d为负数)与时间t(单位：s)之间的关系为d=Asin(ωt+φ)+K(A>0,ω>0,−π2<φ<A．K=2.2B．ω=C．sinφ=D．P离水面的距离不小于3.7m的时长为20s三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在△ABC中，A=π6，AB=3，AC=4，则BC13．已知正三角形ABC的边长为2，点P在边BC上，则AP⋅BP的最大值为14．某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是△ABC内的一点，且存在x，y，z∈R，使得xOA+yOB+zOC=0，则S△AOB：S△AOC：S△COB=z：y：x.请以此结论回答：已知在△ABC中，∠A=π四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．已知f(α)=（1）化简f(α)；（2）若f(α)=2，求sin16．已知向量a，b满足：|a|=4，|b（1）求a与b的夹角θ；（2）求|a（3）若(a+b17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(2a+c)cosB+bcosC=0．（1）求角B的大小；（2）设M是AC的中点，且BM=142,a=218．已知函数f(x)=12cos（1）求常数m的值，并求函数f(x)取最大值时相应x的集合；（2）求函数f(x)的单调递增区间．19．已知函数f(x)=lo（1）当a=0时，求f(x)有意义时x的取值范围；（2）若f(x)在x>0时都有意义，求实数a的取值范围；（3）若关于x的方程f(x)=log2(2x+a−3)+1

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：命题p:∀x∈R,当a=2时，方程x2−3x+a=0，判别式Δ=9−4×2=1>0，所以方程有解，则故答案为：B.【分析】根据命题的否定以及命题的真假判断即可.2．【答案】D【解析】【解答】解：由x(x−3)≥0，解得x≥3或x≤0，则∁NP={1,2}，

因为集合故答案为：D.【分析】先解不等式，再根据补集定义求∁N3．【答案】A【解析】【解答由“a>b>0”可以推出“1a<1b”，但是由“1a<1b”推不出“4．【答案】B【解析】【解答】解：AC、函数y=sinx、y=cosx的最小正周期为T=2πB、函数y=|sinx|周期为T=π，且在D、函数y=|cosx|周期为T=π，且在故答案为：B.【分析】根据三角函数的周期性与单调性逐项分析判断即可.5．【答案】C【解析】【解答】解：因为AB//AC，所以设由AB=λa+可得λa+b=k(a故答案为：C．【分析】根据平面向量共线定理列式求解即可.6．【答案】B【解析】【解答】解：设AB与AC的夹角为θ，在△ABC中，cosθ=则AB→⋅AC→=|故答案为：B.【分析】根据向量的夹角公式，结合向量的数量积求解判断即可.7．【答案】C【解析】【解答】解：由log189=a，18b故log故答案为：C.【分析】根据指数、对数互化，结合换底公式求解即可.8．【答案】D【解析】【解答】令f(x)=2sin(ωx+π6)−1=0解得ωx+π6=2kπ+即x=2kπω(k∈Z)因为函数f(x)在[1，所以2kπω第一个不等式组解得ω>2kπω≤2kπ+第二个不等式组解得ω≤2kπ所以所求取值范围为[8π故答案为：D.

【分析】由题意得sin(ωx+π6)=12求解可得x=2kπω9．【答案】A,D【解析】【解答】解：设幂函数f(x)=xα，将点(2,12)代入解析式得12A、f(−x)=−1B、函数f(x)=1x在C、f(x)D、当x2>x1>0故答案为：AD.【分析】设幂函数f(x)=xα，根据已知条件求得解析式10．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、若x，y>0，1=x+2y⩾22xy⇒xy⩽1B、x+因为x+2y=1，所以xy≤18所以C、1x+2y=D、x+2y=1，则有(x+2y)2故x2+4y故答案为：ABD．【分析】根据题意，由基本不等式和不等式的性质逐项分析判断即可．11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A、由题意，A+K=5.2，−A+K=−0.B、筒车旋转一周需要60s，则函数的周期T=2πω=60C、由AB可知d=3sin(π30t+φ)+2.2(−π2D、由C的结论sinφ=−2.因为t∈[0,60]，所以π30t+φ∈[φ,令d=3sin(π30t+φ)+2.2≥3.7，得sin(π故答案为：ABD.【分析】由题意，求出A,K即可判断A；根据函数的周期求出ω即可判断B；根据t=0时，d=0，利用待定系数法即可求出12．【答案】2【解析】【解答】解：在△ABC中，因为A=π6，AB=3，AC=4由余弦定理可得：BC=3+16−2×4×3×32故答案为：221【分析】根据已知条件，利用余弦定理求出BC，再根据三角形的面积转化求解BC边上的高即可.13．【答案】2【解析】【解答】解：以BC为x轴，BC边上的高为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，如图所示：

则B(−1,0),C(1,0),则AP⋅BP =x(x+1)=x2+x=故答案为：2.【分析】建立平面直角坐标系，设点P(x,14．【答案】33【解析】【解答】解：因为O是△ABC的外心，

所以∠BOC=2∠BAC=π由结论可得S△BOC即12可得sinπ2⋅因为AO=λ所以(1−λ−μ)OA+λOB+μOC=0，所以λ故答案为：33【分析】由结论可得S△BOC⋅OA+S△AOC⋅OB+15．【答案】（1）解：f(α)=（2）解：由（1）易得tanα=2，所以si【解析】【分析】(1)根据诱导公式，奇变偶不变，符号看象限，化简即可.(2)根据同角三角函数关系，将分母“1”，转化为sin2α+cos16．【答案】（1）解：因为|a→|=4，|所以4a→2−8a所以cosθ=a→⋅b→（2）解：|（3）解：由(a+b即16+6(λ+1)+9λ=0，即λ=−22【解析】【分析】（1）由题意，利用向量的数量积运算求解即可；(2)利用向量的模的求法，求解即可；(3)由题意，根据向量的数量积为0，求解即可.17．【答案】（1）解：因为(2a+c)cosB+bcosC=0，所以由正弦定理边角互化得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，因为sinCcosB+sinBcosC=sin所以2sinAcosB+sinA=0，因为A∈(0,π)，sinA≠0，所以cosB=−1因为B∈(0,π)，所以B=（2）解：因为M是AC的中点，所以BM=所以BM2因为BM=142,a=22，所以72=14(8+所以S△ABC【解析】【分析】（1）由题意，利用据正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式得cosB=−（2）根据题意得BM=12(BC18．【答案】（1）解：f(x)=1=1=1当sin(2x+π6)=1时，函数所以1+m=32，即令2x+π6=2kπ+所以当函数f(x)取到最大值时x的集合为{x|x=kπ+π（2）解：由(1)得f(x)=sin所以令2kπ−π得kπ−π所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦、余弦的二倍角公式以及两角和的正弦公式化简，结合正弦函数的性质求出m及f(x)取最大值时相应x的集合即可；（2）由（1）可得f(x)=sin(2x+π19．【答案】（1）解：要使f(x)=log2(当a=0，即1x−3>0，解得所以x的取值范围为{x|0<x<1（2）解：f(x)在x>0时都有意义，即1x+ax+a−3>0在即ax2+(a−3)x+1>0即a>3x−1x2+x=令g(x)=3x−令t=1x>0因为t>0，所以(t+1)+4当且仅当t+1=4t+1，且t>0，即所以ℎ(t)=−(t+1)−4所以g(x)≤1，即g(x)最大值为1，所以a>1，即实数a的取值范围是(1,+∞