2024-2025学年河北省保定市唐县一中高一（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省保定市唐县一中高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={0,1,2}，B={x|1<x≤2}，则A∩B=(

)A.{2} B.{1,2} C.{0} D.{0,1,2}2.已知复数z在复平面内对应的点是(0,1)，则1+iz=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i3.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本.若样本中A型号的产品有30件，则样本容量n为(

)A.150 B.180 C.200 D.2504.已知l，m是不重合的两条直线，α，β是不重合的两个平面，则下列结论正确的是(

)A.若α∩β=l，m⊂α，m⊥l，则α⊥β

B.若l⊥m，m//α，则l⊥α

C.若α∩β=l，m⊂α，l//m，则m//β

D.若l⊂α，m⊂β，α//β，则l//m5.已知a1，a2，…，an是单位平面向量，若对任意的1≤i<j≤n(n∈N∗)，都有aA.3 B.4 C.5 D.66.已知△ABC的三个内角A、B、C满足sin2B=3sin2A−2sin2CA.2 B.1 C.12 D.7.如图，在三棱锥S−ABC中，SA=SC=AC=22，AB=BC=2，二面角S−AC−B的正切值是2，则三棱锥S−ABC外接球的表面积是(

)A.12π

B.4π

C.43π8.已知函数f(x)=e|x−2|,x>0−A.函数y=f(x)−x有两个零点

B.若函数y=f(x)−t有四个零点，则t∈[1,2]

C.若关于x的方程f(x)=t有四个不等实根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题正确的是(

)A.若事件A，B，C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立．

B.若事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立．

C.若事件A，B相互独立，则A−与B−也相互独立．

D.若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与A，10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是(

)A.若A>B，则cosA<cosB

B.若A=30°，b=5，a=2，则△ABC有两解

C.若cosAcosBcosC>0，则△ABC为锐角三角形

D.若a−c⋅cosB=a⋅cosC11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1A.若点P满足AP⊥B1C，则动点P的轨迹长度为42+4

B.当点P在棱DD1上时，AP+PC1的最小值为5

C.当直线AP与AB所成的角为45°时，点P的轨迹长度为π+42

D.当P在底面ABCD上运动，且满足PF//平面12.在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，平面上任一点P关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若OP=xe1+ye2(其中e1，e2分别为x，y轴方向相同的单位向量)，则P的坐标为(x,y)，若P关于斜坐标系13.已知函数f(x)=Asinωx(A>0,ω>0)的图象向右平移π4个单位长度后，所得函数在[5π4,9π14.在锐角△ABC中，sinA=255，它的面积为10，BC=4BD，E，F分别在|DE|，|AD−yAC|≥|DF|对任意四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知向量a=(2cosx,1)，b=(−cos(x+π3),12)，x∈[0,π2].

(1)若a//b，求x的值；16.(本小题12分)

已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a−ca+b=sinA−sinBsinC．

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圆的周长为417.(本小题12分)

某学校响应教育部门疫情期间“停课不停学”的号召，实施网络授课，为检验学生上网课的效果，高三学年进行了一次网络模拟考试.全学年共1500人，现从中抽取了100人的数学成绩，分成8组[70,80)、[80,90)、…、[140,150]绘制成频率分布直方图(如图所示).已知这100人中[110,120)分数段的人数比[100,110)分数段的人数多6人．

(1)根据频率分布直方图，求a，b的值，并估计抽取的100名同学数学成绩的中位数；

(2)现用分层抽样的方法从分数在[130,140)，[140,150]的两组同学中随机抽取6名同学，从这6名同学中再任选2名同学作为“网络课堂学习优秀代表”发言，求这2名同学的分数不在同一组内的概率．18.(本小题12分)

已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，点M在线段EF上．

(Ⅰ)若M为EF的中点，求证：AM//平面BDE；

(Ⅱ)求二面角A−DF−B的正切值；

(Ⅲ)证明：存在点M，使得AM⊥平面BDF，并求EMEF的值．19.(本小题12分)

对于z0，z1，z2∈C，记k=|z1−z0z2−z0|为z1，z2关于z0的“差比模”.若取遍|z0|=r(r>0)，记z1，z2关于|z0|=r的“差比模”的最大值为kmax，最小值为kmin，若kmax+kmin=2，则称z1，z2关于r的“差比模”是协调的．

(1)若z0=12+32i,z1=1,z参考答案1.A

2.B

3.A

4.C

5.C

6.C

7.A

8.D

9.BC

10.ACD

11.ACD

12.313.[514.−315.解：(1)由a/​/b，

则12×2cosx=1×[−cos(x+π3)]，

即sinx=3cosx，

即tanx=3，

又x∈[0,π2]，

则x=π3；

(2)f(x)=a⋅b=2cosx[−cos(x+π3)]+12=16.解：(1)根据a−ca+b=sinA−sinBsinC，可得a−ca+b=a−bc，化简得a2+c2−b2=ac，

由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=12，结合B∈(0,π)，可得B=π3．

(2)设△ABC外接圆的半径为R，则2πR=43π，解得R=23，外接圆直径为417.解：(1)依题意a+b=0.046，1000(b−a)=6，

解得a=0.020，b=0.026，

中位数为0.5−10(0.002+0.008+0.014+0.02)0.026≈112.31分．

(2)设“抽取的2名同学的分数不在同一组内”为事件A

由题意知，在分数为[130,140)的同学中抽取4人，分别用a1，a2，a3，a4表示，

在分数为[140,150]的同学中抽取2人，分别用b1，b2表示，

从这6名同学中抽取2人所有可能出现的结果有：(a1,a2)，(a1,a3)，(a1,a4)，(a1,b1)，

(a1,b2)，(a2,a3)，(a2,a4)，(18.解：(Ⅰ)证明：设AC∩BD=O，连结OE，

因为

正方形ABCD，所以O为AC中点，

又

矩形ACEF，M为EF的中点，

所以

EM/​/OA，且EM=OA，

所以OAME为平行四边形，

所以

AM/​/OE，

又

AM⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，

所以

AM/​/平面BDE；

(Ⅱ)以C为原点，分别以CD，CB，CE为x，y，z轴建立坐标系C−xyz，

则A(2,2,0)，B(0,2,0)，D(2,0,0)，F(2,2,1)，

则DB=(−2,2,0),DF=(0,2,1)，

设平面BDF的法向量为n=(x,y,z)，

由DB⋅n=0DF⋅n=0，得−2x+2y=02y+z=0，

则n=(1,1,−2)，

易知平面ADF的法向量m=AB=(−2,0,0)，

所以cos<n,m>=n⋅m|n|⋅|m|=−16=−66，

由图可知

二面角A−BF−D为锐角，记为θ，

所以cosθ=66，

即tanθ=sinθcosθ=19.解：(1)由题意得：k=|1−z0−1−z0|=|1−(12+32i)−1−(12+32i)|=|12−32i−32−32i|

=|1−3i−3−3i|=|(1−3i)(−3+3i)(−3−3i)(−3+3i)|=|43i12|=33，故z1，z2关于z0的“差比模”为33；

(2)不存在r<2，使得z1，z2关于r的“差比模”是协调的．理由如下：

先证明共轭复数有如下性质：若任意z1，z2∈C，则z1−±z2−=z1+z2−，z1−z2−=(z1z2)−．

证明：设z1=a+bi(a,b∈R)，