2024年高三数学重难点专项训练：圆锥曲线中定比点差法的应用十一大题型（原卷版）

重难点专题41圆锥曲线中定比点差法的应用十一大题型汇总

dnii

题型1定比点差法求坐标.............................................................1

题型2定比点差法求离心率...........................................................1

题型3定比点差法求直线（曲线）方程................................................3

题型4定比点差法求弦长.............................................................4

题型5定比点差法与定点问题.........................................................6

题型6定比点差法求定值问题.........................................................8

题型7定比点差法与定直线问题......................................................10

题型8定比点差法与求值问题........................................................13

题型9定比点差法求取值范围问题...................................................14

题型10定比点差法求；I问题.........................................................15

题型11调和定比分点...............................................................16

lOKDII

题型1定比点差法求坐标

岁型重点

定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势

【例题1]已知&,尸2分别是椭圆9+*=1的左右焦点，点a,B在椭圆上，且瓦1=5员后,

则点2的坐标是.

2

【变式1-1]1.（2018年高考浙江卷汜知点凡0,1）,椭圆亍+y2=m（m>1）上两点4

6满足万=2PB,则当m=时，点6横坐标的绝对值最大.

2

【变式1-1]2.（2022・全国•高三专题练习）设&心分别为椭圆三+*=1的左、右焦点，

点A、B在椭圆上，若瓦5=3序,则点A的坐标是.

题型2定比点差法求离心率

定比分点

若丽=XPB,则称点P为点力，B的4定比分点.若4>0,点P在线段4B上,此时称点P为内

分点；若4<0,点P在线段4B的延长线上，此时称点P为外分点.

APBABP

①点在线段AB上（4=霁e（0,1））②点在线段4B的延长线上（"鲁e（-8,-I））

PAB

③点在线段2B的反向延长线上（2=篝6（-1,0））

补充定义：当4=-1时，对应的定比分点可以认为是无穷远点.

【例题2]已知椭圆E:2=l（a>b〉0）内有一点M（2,l）,过M的两条直线4、％分别

与椭圆E交于4,C和B,。两点，且满足前=XMC,BM=AMD（其中2>。且4力1）,若2变

化时直线4B的斜率总为-J则椭圆E的离心率为（）

A1BV5-icV2DV3

2222

【变式2-1]1.已知椭圆《+《=l（a〉6>0）,过其左焦点F且斜率为旧的直线与椭圆交

于a,B两点，若力F=2FB,求椭圆的离心率.

【变式2-1]2.（2022•全国•高三专题练习）已知椭圆马+弓=l（a〉b〉0）,过椭圆的左

焦点F且斜率为8的直线I与椭圆交于A、B两点（A点在B点的上方），若有说=2FB,

求椭圆的离心率.

【变式2-1]3.（2020下河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习）已知椭圆厂，+5=

l（a>6>0）内有一定点P（l,l）,过点P的两条直线A,I分别与椭圆厂交于A、C和B、D

两点，且满足而=APC,BP=APD,若%变化时，直线CD的斜率总为-1则椭圆厂的离

4

心率为

A.更B.iC.-D.-

2225

【变式2-1]4.（2021上•全国•高三校联考阶段练习）已知椭圆9+《=l（a>6>0）,

点P（a,6）为椭圆外一点，斜率为-扣勺直线与椭圆交于4,B两点，过点P作直线P4,PB分别

交椭圆于C,。两点.当直线C。的斜率为-罡寸，此椭圆的离心率为

题型3定比点差法求直线（曲线）方程

X"-警]f占

f.丰•、、、

线段定比分点向量公式及坐标公式

已知而=XPB,设4（久】，％）,B（久2,y2）,则赤=吟磐，P（喑，暗）.

证明：证法一：设P（&，yo）,

•••AP=APB,.-.OP-OA=A（OB-OP）,.-.OP=，,P,密）.

证法二:设POo,y0）1贝IMP=（x0-%i,y0-7i），入BP=2（x0-x2,y0-y2），

利用对应坐标相等即可推出P（台等，号字）..-.OP=当羿.

【例题3]已知椭圆C:捺+5=l（a>b〉0）的左、右焦点分别为&,F2,焦距为2,过点心

作直线与椭圆C相交于a,B两点，且的周长为4鱼.

（1）求椭圆C的标准方程；（2）若|4B|=4\F2A\,求直线48的方程.

【变式3-1]1.（2022•山东济南•二模）已知椭圆C的焦点坐标为&（-1,0）和尸2（1，。），且

椭圆经过点G

⑴求椭圆C的方程；

⑵若T(l,l),椭圆C上四点M,N,P,Q满足祈=3而，而=3乔，求直线例/V的斜

率.

【变式3-1]2.(2021・重庆统考模拟预测)已知椭圆C:9+《=l(a>b〉0)的右焦点

为尸(1,0),点4,B是椭圆C上关于原点对称的两点，其中4点在第一象限内，射线曲,BF与

椭圆C的交点分别为M,N.

(1)若赤=FM,BF^2FN,求椭圆C的方程；

(2)若直线MN的斜率是直线A8的斜率的2倍，求椭圆C的方程.

题型4定比点差法求弦长

【例题4】已知斜率为|的直线与抛物线外=3久的交于4,B两点，与涮交于点P,若而=

3PB,求|4B|.

【变式4-1]1.(2022•上海徐汇・三模)已知椭圆M:g+g=l(a>b>0)焦距为2/，

过点(VI乎)，斜率为k的直线/与椭圆有两个不同的交点4B.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若k=1,|M|的最大值；

(3)设。(-2,0),直线P/与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为。.若

C、D和点Q(-：彳)共线，求实数k的值.

22—

【变式4-1】2.(2022•山西太原•三模)已知椭圆。++左=1(。>b>0)过点P(VX1),离

心率为e=

(1)求椭圆C的方程；

(2)当过点M(4,1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点A,B时，在线段AB上取点

N,满足前=-AMS,AN=%而求线段PN长的最小值.

22

【变式4-1】3.(2019浙江校联考二模)过点P(l,l)的直线/与椭圆?+与=佼于点4和

B且而=2而点Q满足而=-AQB若。为坐标原点则|OQ|的最小值为.

【变式4-1]4.(2021上•浙江绍兴•高二统考期末)已知椭圆C：?+《=l(a>6>0)的

离心率e=且经过点(1J)，点&尸2为椭圆C的左、右焦点.

(1)求椭圆C的方程.

(2)过点6分别作两条互相垂直的直线口"，且。与椭圆交于不同两点4与直线久=1交

于点P.若瓯=/高,且点Q满足砺=2证，求△PQ6面积的最小值.

【变式4-1]5.(2022・广东广州•统考二模)已知椭圆C：弓+^=l(a>b>0)的离心率为噂,

短轴长为4;

(1)求C的方程；

(2)过点P(-3,0)作两条相互垂直的直线上4和6,直线。与C相交于两个不同点A,B,在线

段上取点Q,满足黑=黑,直线％交y轴于点R,求仆PQR面积的最小值.

IQ/II产/I

【变式4-1]6.(2020下•广东深圳•高三统考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，P为直

线：x=-4上的动点，动点Q满足PQ110,且原点O在以PQ为直径的圆上.记动点Q的

轨迹为曲线C

(1)求曲线C的方程：

(2)过点E(2,0)的直线4与曲线C交于A,B两点，点D(异于A,B)在C上，直％1D,

8。分别与X轴交于点M,N,且而=3AM,求4BMN面积的最小值

【变式4-1】7.(2020•河北唐山•统考二模)已知力(久1，%)，8(—巧,—%)是椭圆T.^+y2=1

上的两点，且A点位于第一象限.过A作x轴的垂线，垂足为点C,点D满足羽=2CD,

延长8。交T于点E(%2,y2).

(1)设直线AB,8D的斜率分别为七，k2.

(i)求证：fci=4k2；

(ii)证明：△ABE是直角三角形；

(2)求AABE的面积的最大值.

题型5定比点差法与定点问题

2

【例题5]已知过点P(6,0)的直线与椭圆版+*=1交于A,B两点,C为点4关于x轴的对称

点，求证：直线BC过定点.

【变式5-1J1.已知椭圆E[+1=1斜率为1的直线I与椭圆交于A,B两点，点M(4,0),

直线AM与椭圆E交于点C,直线BM与椭圆E交于点D,求证：直线CD恒过定点.

【变式5-1]2.(2022・全国•高三专题练习)已知椭圆：+?=1,点P(4,0),过点P作椭

圆的割线PAB,C为B关于x轴的对称点.求证：直线AC恒过定点.

【变式5-1]3.已知椭圆过点(0,2),其长轴长、焦距和短轴长三者的平方依次成等差数列，

直线/与左轴的正半轴和y轴分别交于点，与椭圆r相交于两点MN,各点互不重合，且满足

PM=友丽，丽=42丽■

(1)求椭圆「的标准方程；

(2)若直线珀勺方程为y=—x+1,求；+/的值；

(3)若%+%=-3,试证明直线/恒过定点，并求此定点的坐标.

【变式5-1]4.(2021上•江西吉安・高三统考期末)已知椭圆C：?+《=l(a>6>0)的

焦距为2,离心率为T.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)直线/与x轴正半轴和y轴分别交于点Q,P,与椭圆分别交于点MN,各点均不重合且满

足两=XMQ,~PN=fiNQ.若2+〃=-4,证明：直线/恒过定点.

【变式5-1]5.(2021下・江苏•高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:

g+g=l(a>b>0)的离心率是|,焦点到相应准线的距离是3.

(2)已知48是椭圆C上关于原点对称的两点，4在x轴的上方，F(l,0),连接力F、BF并分

别延长交椭圆C于D、E两点，证明：直线OE过定点.

【变式5-1]6.(2021下安徽•高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，A,B分

22

别为椭圆C:^+*l(a>b>0)的右顶点和上顶点，△。48的面积为次,且椭圆C的离心

率为也

(1)求椭圆C的方程

(2)设斜率不为0的直线I经过椭圆C的右焦点F,且与椭圆C交于不同的两点M,N,

过M作直线x=4的垂线，垂足为Q.试问：直线QN是否过定点？若过定点，请求出定点

的坐标；若不过定点，请说明理由.

题型6定比点差法求定值问题

2

【例题6]已知过点Q(0,1)的直线与双曲线氤-必=1交于a,B两点，与x轴交于点p,若

PA=AAQ,PB=画,求证：2+〃为定值.

【变式6-1]1.(2022・全国•高三专题练习)已知椭圆C：9+9=1,F(l,0).过尸的直线交

椭圆于MN两点，交y轴于点Q(0,t),设丽=AiMF,QN=%而，求证：%+%为定值

【变式6-1】2.(2022・全国•高三专题练习)已知椭圆C:=+[=1,尸2为其左右焦点，

4D

P为椭圆c上一动点，直线尸F1交椭圆于点A，直线尸尸2椭圆交于点B，设两=同两=

liF^B,求证：A+〃为定值.

22

【变式6-113.(2022河北邯郸・二模)已知椭圆C：J+了=l(a>b>0)的左、右焦点分

别为6,4，过点6的直线।交椭圆于A,B两点，交y轴于点M,若I6F2I=2,△的

周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)筋=同，砒=时,试分析2+〃是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说

明理由.

【变式6-1]4.已知椭圆C:[+]=l(a>6>0)的离心率e=1，右焦点为F,点2(0,1)

在椭圆c上.

(1)求椭圆C的方程；

(2冠点F的直线交椭圆C于M,N两点，交直线久=2于点P,设两=AMF^N=(iNF,

求证：4+〃为定值.

【变式6-1]5.(2020・全国•高三校联考阶段练习)已知抛物线C:y2=轨的焦点为F,。为

坐标原点.过点F的直线[与抛物线C交于4,B两点.

(1)若直线I与圆。：/+V=捆切，求直线2的方程；

(2)若直线[与y轴的交点为。.且a=AAF,DB=fiBF,试探究：2+〃是否为定值?若

为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.

【变式6-1]6.(2022•全国•高三专题练习)已知椭圆「：5+A=l(a>b>0)的离心率为

|,半焦距为c(c>0),且a-c=1.经过椭圆的左焦点F,斜率为心(心*0)的直线与椭圆

交于A、B两点，0为坐标原点.

(1)求椭圆「的标准方程；

(2)当前=1时,求SNOB的值；

⑶设R(l,0)，延长AR,BR分别与椭圆交于C,D两点，直线CD的斜率为七，求证：费为

定值.

【变式6-1】7.(2021•湖北武汉统考二模)设抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F,过F

作直线I交抛物线E于A,B两点当I与x轴垂直时,△4。8面积为8,其中O为坐标原点.

(1)求抛物线E的标准方程；

(2)若I的斜率存在且为心点P(3,0),直线4P与E的另一交点为C,直线BP与E的另一交

点为D,设直线CD的斜率为B，证明：意为定值.

【变式6-1]8.(2022•宁夏石嘴山•石嘴山市第一中学校考三模)已知抛物线C：y2=2Px经

过点P(1,m)(m>0),焦点为F,PF=2,过点Q(0,1)的直线1与抛物线C有两个不同的

交点a,B,且直线P2交y轴于M,直线PB交y轴于N.

(1)求抛物线C的方程

(2)求直线珀勺斜率的取值范围；

⑶设。为原点，丽=2而，丽=〃而，求证：]+工为定值.

题型7定比点差法与定直线问题

【例题7](2022安徽省舒城中学三模)已知点M是圆C：(%-2)2+y2=r2(r>2)与x轴

负半轴的交点，过点M作圆C的弦MN,并使弦MN的中点恰好落在y轴上.

(1)求点N的轨迹E的方程；

(2)过点P(0,4)的动直线I与轨迹E交于A,B两点，在线段AB上取点D,满足号=XPB,

AD^XDB,证明：点D总在定直线上.

【变式7-1]1.已知椭圆+'=l(a>b>0)过点(而1),且离心率为当.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过右焦点尸且不与x轴重合的直线与椭圆交于M,N两点，已知。(3,0),过M且与y轴垂

直的直线与直线DN交于点P,求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程.

【变式7-1]2.(2019上•江西吉安・高三统考期末)已知椭圆G：摄+3=l(a>6>0)的

离心率为日,且经过点(-芋，日).

(I)求椭圆G的标准方程；

(口)已知抛物线。2的焦点与椭圆C1的右焦点重合，过点P(0,-2)的动直线与抛物线C2相交于

A,B两个不同的点，在线段AB上取点Q,满足|4P|'\QB\=\AQ\■\PB\,证明：点Q总

在定直线上.

【变式7-1]3.(2020•河北沧州・统考一模)已知椭圆C：《+《=l(a>b>0)经过点

(V3,l),离心率为彳.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点M(4,0)的直线交椭圆于4、B两点，若前=AMB,在线段4B上取点。，使而=

-ADB,求证：点。在定直线上.

【变式7-1]4.(2016•安徽合肥・统考一模)在平面直角坐标系xOy中，尸是抛物线C：/=

2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M,F,0三点的圆的圆心

为N，点N到抛物线C的准线的距离为生

(1)求抛物线C的方程；

(2)当过点P(4,l)的动直线/与抛物线C相交于不同点4B时，在线段48上取点Q，满足I而I・

\QB\=研画,证明：点Q总在某定直线上.

【变式7-1]5.(2020上•江苏南京・高三南京师大附中校考期中在平面直角坐标系xoy中，

已知椭圆C:?+《=l(a>b>0)的离心率为]以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的

三角形面积最大值为2百

(1)求a,b的值

(2)当过点P(6,0)的动直线1与椭圆C交于不同的点A,B时，在线段AB上取点Q,

使得|而||的|=|而||前|，问点Q是否总在某条定直线上?若是，求出该直线方程，若不

是，说明理由.

【变式7-1]6.(2022・全国•高三专题练习)设椭圆C：g+g=l(a>b>0)过点M(或,1),

离心率为?.

⑴求椭圆C的方程；

(2)当过点P(4,l)的动直线/与椭圆C相交于两不同点4,B时，在线段上取点Q,满足篙=

黑="证明：点Q的轨迹与灰关.

【变式7-1]7.(2021•广东肇庆•统考三模)设抛物线C：y2=2Px(p>0)的焦点为F,过点

P(0,4)的动直线I与抛物线C交于4,8两点，当尸在/上时，直线/的斜率为-2.

(1)求抛物线的方程；

(2)在线段4B上取点D,满足方=痂，而=痂，证明：点。总在定直线上.

【变式7-1]8.(2022•云南红河统考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点M是以原点。

为圆心，半径为a的圆上的一个动点.以原点。为圆心,半径为6(a>b>0)的圆与线段。M交

于点N,作MD1x轴于点。，作NQ1MD于点Q.

(1)令NM。。=a，若a=4,6=l,a=g,求点Q的坐标；

⑵若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；

⑶设(2)中的曲线C与x轴的正半轴交于点力，与y轴的正负半轴分别交于点a,B2，若点比

F分别满足版=-30E,4AF=3两，证明直线BiE和的交点K在曲线C上.

题型8定比点差法与求值问题

【例题8]已知椭圆C:《+《=l(a>b>0)过点M(2,0),离心率e=JA,B是椭圆C上

两点,且直线OA,OB的斜率之积为-|,O为坐标原点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若射线OA上的点P满足|P0|=3|。川，且PB与椭圆交于点Q,求篙的值.

【变式8-1]1.(2020上•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习)已知离心率为日的

椭圆《=l(a>6>0)的上顶点为。，右焦点为尸，点P(4,2)且|PF|=\DF\.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点P作直线/交椭圆C于48两点(A在P与B之间),与直线DF交于点Q.记成=左丽,

QA=小的,求乙-乙的值.

【变式8-1]2.已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:9+5=1(a>b>0)离心率为

日，其短轴长为2.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)如图，A为椭圆C的左顶点，P,Q为椭圆C上两动点，直线P0交AQ于E,直线

Q0交AP于D,直线0P与直线0Q的斜率分别为ki,k2,且kik2=-^,AD=WP.AE=

MEQ(A,M为非零实数),求入2+.2的值.

题型9定比点差法求取值范围问题

【例题9】(2022•全国•高三专题练习)已知椭圆蕃+?=1,过定点P(0,3)的直线与椭圆交

于两点A,B(可重合)，求制的取值范围.

【变式9-1]1.(2020上•江苏南京・高三南京市秦淮中学校考期末)已知斜率为k的直线/与

椭圆C：£+?=1交于4，8两点，线段4B的中点为M(l,m)(m>0),那么k的取值范围

是()

A.k<—[B,C.fc>jD,fc<-1,

【变式9-1]2.(2019・重庆•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知椭圆C：《+《=

l(a>6>0)的两个焦点为6/2，焦距为2/，直线/：y=x-1与椭圆C相交于4,B两点，

「(|,-[)为弦48的中点

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线/：y=依+爪与椭圆C相交于不同的两点M,N,Q(O,m),若OM+AON=3OQ

(。为坐标原点)，求血的取值范围.

【变式9-1]3.(2022・山东日照•校联考三模)已知椭圆C*+《=l(a>0,b>0)过点

D(1,日)离心率e=乎，左、右焦点分别为电尸2,P,Q是椭圆C上位于X轴上方的两点.

(1)若P&IIQF2,\PF1\+IQF2I=2,求直线Qa的方程；

⑵延长P6,PF2分别交椭圆C于点M,N,设丽=而，丽=nF^P,求加的最小值.

【变式9-1]4.(2017•河南安阳•校联考一模)已知椭圆+9=l(a>b>0)的两个焦

点分别为6,F2,过点&且与y轴垂直的直线交椭圆C于M,N两点，△MNF2的面积为次,

椭圆C的离心率为当.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)已知。为坐标原点，直线Z：y=依+爪与y轴交于点P,与椭圆。交于4,B两个不同的点，

若存在实数4,使得瓦？+WB^40P,求血的取值范围.

题型1。定比点差法求a问题

【例题10】(2022•全国•高三专题练习)过点M(l,0)的直线I交椭圆E:1+[=1于A、B

4Z

两点，若前=AMB,求力的取值范围.

【变式10-1】1.(2021•上海长宁统考二模)设&/2分别为椭圆r：J+必=1的左、右焦

点，点4B在椭圆厂上，且不是椭圆的顶点.若端+4可=6,且2>0，则实数4的值为

【变式10-112.(2021•上海浦东新•统考二模)已知椭圆C:f+y2=1的左右焦点分别

为见尸2，过点2(0,2)的直线/交椭圆C于不同的两点P,Q.

(1)若直线Z经过尸2，求46PQ的周长；

(2)若以线段PQ为直径的圆过点F2,求直线/的方程；

(3)若而=XAP,求实数4的取值范围.

【变式10-1】3.(2022•重庆南开中学模拟预测)已知a>6>0直线/过椭圆6吟+g=1

的右焦点尸且与椭圆G交于A6两点，/与双曲线金/-署=1的两条渐近线八％分别交

于M2两点.

(1)若|。/|=V3,且当rX轴时，AMCW的面积为|,求双曲线。2的方程；

⑵如图所示，若椭圆6的离心率e=中，？14且市=疝^>0),求实数加勺值.

题型11调和定比分点

1占

.云•、、、

1.定义：若宿=4而且前=-ANB,则称M,N调和分割4,B,根据定义，那么4,B也调

和分割M,N(其中M在线段4B内，称为内分点，N在线段4B外，称为外分点).

2.调和定比分点的性质

【性质1】在椭圆或双曲线m±《=l(a>0,b>0)中，设4,B为椭圆或双曲线上的两点.若

存在M,N调和分割4,B,即满足疝=XMB,AN=-ANB,则一定有号±*=1.

aaoz

证明：由已知点43，%)，802，、2)在椭圆或双曲线胃±真=l(a>0，匕>。)上，设

X1+AX2

X

M1+A

MOM,y),N(XN,y).首先前=AMS,则由定比分点坐标公式可得

MN以+狈

7M=1+A

X1-AX2

XN=

又前=-ANB则由定比分点坐标公式可得1-A

。1一拉2

VN=1-A

‘好Qi①

当4A±1时，持4(乙，%)，B(X,月)代入曲线，有

2触=i②

②X万得到鬟士警=万③

③和①作差整理可得：

(41+尢七)(01尢Q)I6+。)仇一以)=1,将前式代入整理得冷士智=1

a2(l+A)(l-A)-&2(1+A)(1-A)

【性质2］在抛物线y2=2p%中,设4,8为抛物线上的两点.若存在M,N调和分割48,即

满足4M=4MB,AN=一入NB,则一定有ypy。=p(xP+xQ).

证明：设401,为)，B(X2,y2),由前=4而，得M隹等，陪),

由府=-4而，得N代苧，喑)，

又［=蹩，①一②得：婷T2y?2=p(X1+X1--2T2久2)，

Uy2=2Xp%2⑵

2

即(yi+Ay2)(yi-Ay2)=p(xt+Ax2+%i-Ax2+尢G-Ax2一放i一可心)，

5+核)仇一及2)_P(%I+AX2)(1-A)pCxt-AxzXl+A).__LV、

(1+A)(1-A)一(1-A)(1+A)+(1-A)(1+A)，“VP%-Pl“P+飞)-

定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程.

3.定比点差转换定理:

在椭圆、双曲线或抛物线中，设4(与，%),B3,%)为椭圆或双曲线上的两点.若存在P,Q

两点，满足而=4万，而=一4砺，则一定有/_4+和二和’(重点中的重点！！！)

%2~I■.

‘巧+府2_

XPXQ+yp%=］今11+A-P'(x1+AX2=(1+2)%p，

证明2—2~%1-AX”=

ab21—A%2=(I+A)%Q

122，

_Xp+XQXp—XQ

x2=-；1■

22A

【例题11］已知椭圆C：9+?=1,过点P(4,1)的动直线/交椭圆C于a,B两点,在线段48

上取点<2满足|45||(2引=\AQ\\PB\,求证：点Q在某条定直线上.

【变式11-1】1.已知&、F2分别为椭圆G：《+盘=1Q>6>0)的上、下焦点，其中&也

是抛物线C2：/=4y的焦点，点M是G与。2在第二象限的交点，且IMF/=|.

(2)已知点P(l,3)和圆。：/+*=,过点P的动直线/与圆。相交于不同的两点48,

在线段48上取一点Q,满足：AP=-XPB，而=4诙，(4K。且2力±1).求证：点Q总在

某定直线上.

【变式11-1】2.在平面直角坐标系久Oy中，已知椭圆C：捺+'=l(a>6>0)的离心率

为|,以椭圆上的一点和长轴的两个端点为顶点的三角形面积最大值为2g.

(1)求a,6的值；

(2)当过点P(6,0)的动直线］与椭圆C交于不同的点A,B时，在线段48上取点Q，使得丽•

的+而•前=0,问点Q是否总在某条定直线上？若是，求出该直线方程，若不是，说明

理由.

2222

【变式11-1]3.椭圆Ci:1+《=l(a>b>0)的焦点A,F2是等轴双曲线。2：-1

的顶点，若椭圆G与双曲线Q的一个交点是P,△P&&的周长为4+2V2.

(1)求椭圆G的标准方程；

(2)点M是双曲线。2上任意不同于其顶点的动点，设直线MF1、的斜率分别为自,fc2，

求证心，B的乘积为定值；

(3)过点Q(-4,0)任作一动直线I交椭圆G与A,B两点，记而=4诙(2eR),若在直线

AB上取一点R，使得赤=(-4)而,试判断当直线I运动是，点R是否在某一定直线上运

动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.

【变式11-D4.在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到定点”1,0)的距离与到定直线X=3

的距离之比为日.

(1)求动点M的轨迹C的方程；

(2)已知P为定直线久=3上一点.

①过点F作FP的垂线交轨迹C于点G(G不在y轴上)，求证:直线PG与。G的斜率之积是定值；

②若点P的坐标为(3,3),过点P作动直线/交轨迹C于不同两点R、7,线段R7上的点“满足

霁=黑，求证：点H恒在一条定直线上.

【变式11-1】5.(2022•山东模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知动点C到定点F(l,0)

的距离与它到直线=4的距离之比为点

(1)求动点C的轨迹方程；

(2)点。为直线/上的动点，过点户的动直线6与动点C的轨迹相交于不同的/,6两点,

在线段48上取点Q,满足|4P|=A\PB\,\AQ\=X\QB\,求证：点Q总在一条动直线上且该

动直线恒过定点.

1.（2022云南红河•模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，点M是以原点。为圆心，半径为a

的圆上的一个动点以原点。为圆心，半径为b（a>b>0）的圆与线段。M交于点N作MD1x

轴于点。，作NQ1MD于点Q.

Q）令4MOD=a，若a=4,b=l,a=g,求点Q的坐标；

⑵若点Q的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；

⑶设（2）中的曲线C与x轴的正半轴交于点4，与y轴的正负半轴分别交于点a,B2，若点E、

F分别满足族=-3OE,4AF=3西，证明直线/£和的交点K在曲线C上.

2.（2022•湖北武汉统考三模）已知椭圆C：捻+5=l（a>6〉0）的短轴长为2企,离心

率为冬

⑴求椭圆C的方程；

（2）点P为直线％=4上的动点，过点P的动直线/与椭圆C相交于不同的4,B两点，在线段4B

上取点Q,满足|2P|•|Q8|=MQ|•|P8|,证明：点Q的轨迹过定点

3.（2022•吉林市教育学院模拟预测）已知抛物线=2Px（p>0）的焦点尸到其准线的

距离为4,椭圆。2：《+《=l（a>6〉0）经过抛物线G的焦点F.

（1）求抛物线Ci的方程及a；

（2）已知。为坐标原点，过点的直线/与椭圆。2相交于力，§两点，若前=mMB,

点/V满足标=-mNB,且|ON|最小值为点,求椭圆。2的离心率.

4.（2022•吉林•统考三模）已知抛物线G：V=2Px（p>0）的焦点F到其准线的距离为4,

椭圆+《=l（a>b〉0）经过抛物线G的焦点F.

（1）求抛物线6的方程及a;

（2）已知O为坐标原点，过点MQ1）的直线I与椭圆相交于A,B两点，若询=mMB,

点N满足前=-mNB,且|ON|最小值为点,求椭圆C2的离心率.

22

5.(2021・重庆九龙坡•重庆市育才中学校考二模)已知椭圆C曝+琶=l(a>b>0)的左

右焦点分别为6/2,长轴长为4&,A、B为椭圆上的两个动点，当A、B关于原点对称时,

(MF2|+|B&I)-SAABB的最大值为16vl

(1)求椭圆C的方程；

—>—>

(2)若存在实数%使得26=AAB,过点A作直线久=-4的垂线，垂足为N,直线