2024-2025学年重庆某中学九年级（上）月考数学试卷（12月份）

2024-2025学年重庆一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、

D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.

1.（4分）-2的倒数是（）

A.2B.AC.-AD.-2

22

2.（4分）如图，该几何体由6个大小相同的正方体组成，从左面看到的视图是（）

正面

4.（4分）若两个相似三角形的周长之比是1：4,那么这两个三角形的面积之比是（）

A.1：4B.1：2C.1：16D.1：8

5.（4分）一组数据：3、2、1、1、3、3,这组数据的中位数是（)

A.1B.2C.2.5D.3

6.（4分）估计6-小质的值应在（)

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

7.（4分）用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个

黑点，第④个图案有26个黑点……按此规律，第⑥个图案中黑点的个数为（）

①②③④

A.46B.50C.51D.57

8.（4分）如图，在矩形中，AB=4,BC=4&，分别以朋,长为半径画弧交于点E,则图

中阴影部分的面积为（）

A.8B.2ir+2C.1672-4KD.1672-8-4^

9.（4分）如图，在正方形4BC。中，点E为AB上的一点，且BE』AB=1，过点B作B尸，。E交。E延

4

长线于点F连接AF（）

D.7

2

10.（4分）已知两个非零实数a,b,按规则ab+2a+2b进行运算，运算的结果记为ci，称此为一次操作;

再从a,b,ci中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为C2；再从。，b,ci，C2中任选两个数,

按同样规则操作一次得到的数记为C3…依次进行下去，以下结论正确的个数为（）

①若a,b为方程7+x-3=0的两个根，则门=-7；

②右ct=b=c\9则ci--3；

③对于整数〃，b,若为奇数，在操作过程中〃一定为偶数;

④若要使得|cn|>2024成立，则〃至少为4.

A.1B.2C.3D.4

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.请将正确答案写在答题卡中对应的位置上.

H.（4分）计算：y+（上）—2=.

3

12.（4分）若一个正多边形的内角和为540度，则这个正多边形的中心角为度.

13.（4分）中国古代的数学著作丰富多样，对后世的数学发展产生了深远的影响.某中学拟从《周髀算经》,

《几何原本》，《测圆海镜》这4部名著中随机选择2部作为数学选修课的学习内容，恰好选中《几何原

本》和《测圆海镜》的概率为.

14.（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，AB=4,AOBC.

15.（4分）如图，四边形ABC。为平行四边形，线段43在x轴上y£（k卉0）的图象上，线段入。与丫

轴的正半轴相交于点E,且四边形CEAB的面积为10,则常数k的值为.

16.且关于y的分式方程工=i一？

y-22-y

则符合条件的所有整数a的积为

17.（4分）如图，△A2C内接于O。，点£是弧AC的中点，AD平分NBAC交线段BE于点D过点E

作EF//AC交BC的延长线于点F.若DE=3^，tan/ABD”^，贝。△ABE的面积

5

18.(8分)若一个五位数M=eabcd的百位数字和千位数字都不为。，且满足e=2a,3(a-b),则称该五

位数为“差倍数”.规定：F(M)=,ac+bd-G(M)=羡-嬴.例如：42152,2W0,且3X(2-1),所

以42152是“差倍数”,FC42152)=25+12=37,GC42152),G(N)=26,则N的最大值为；

若“差倍数"S=21000x+10y+z+98(1WXW4,0WyW9,2WzWll,x,y,z均为整数)，且2尸(S)+3G

(S),则满足条件的S的值的和为.

三、解答题：(本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题0分，共78分)解答时每小题必须给出必

要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将答题过程书写在答题卡中对应位置上.

19.计算：

(1)(y+2)(2-y)+(y-1)(y+5)；

2

x2«、.4x-4x+l

(2)(.-x+1)-

x-lx-l

20.在学习了特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了深入研究，他们发现了一种构造菱形

的方法.请你根据他们的想法和思路

(1)如图，在△ABC中，4D平分/BAC,射线。/交AC于点F.

(2)已知：在AABC中，平分NB4C,过点。作DE〃AC交A3于点E,射线DF交AC于点反求

证：四边形AEDE是菱形.

证明：\"ZCDF=ZB,

©.

\."：DE//AC,

四边形AEOE是.

平分NBAC,

：.ZCAD=ZBAD.

\."：DF//AB,

：.ZBAD=③.

：.ZCAD=ZFDA.

:.FD=®.

四边形AEL不是菱形.

进一步思考，当AABC是直角三角形，ZBAC=9Q°时⑤.

c

D

AEB

21.如图，O。是△ABC的外接圆，AB是O。的直径，交O。于点N,连接CP,ZPCA=ZCBA.

(1)求证：CP是OO的切线；

(2)若O。的半径为4,PN=6,求BC的长.

22.一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼

物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15

元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍.

(1)求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？

(2)实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了工，每个圆规的售价便宜了旦(m<15)

元，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加

了5m个，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了(300+5利)元，

求机的值.

23.如图，在正方形ABC。中，AB=6.点尸从点A出发，同时点。从点。出发，以速度lcm/s的速度沿

线段。C运动，P、。两点同时停止运动.设点P运动的时间为无(s),0<x<6i.

yA

13-一n—।------1—।------1—।------1—।------1—।------1—r-n

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

O12345678910111213x

(1)请直接写出”与尤的函数表达式,并注明自变量x的取值范围;

(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数yi的函数图象，并写出函数”的一条性质；

(3)结合函数图象，若函数”的图象与直线y2=-x+b有两个交点，则b的取值范围

是_______________________

24.为满足市民需求，我市在一小岛两侧开辟了两条跑步路线：①A-BfCfD,②A-E-D.经勘测,

点8在点C的西北方向6千米处，点。在点A的正东方向，点E在点A的南偏东15°方向，点E在

点。的西南方向.(参考数据：&g1.41，73^1.73-遍=2.45)

(1)求C,。之间的距离(结果保留整数)；

(2)时间原因，小黎决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明她应该选择路线①还是路线②

(结果保留整数)

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线＞=一+尿-2(aWO)经过点(3,6),与x轴交于A(点A在

点8的右侧)，且A点坐标为4(1,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PM//y轴交BC于点点”是y轴上的一点，

使得MC=MH

(3)将该抛物线沿射线CB方向平移叵个单位，点E是平移后抛物线的对称轴上一点，点

2

F(-2>/3,0),若点E关于直线CF的对称点E,恰好落在坐标轴上，请直接写出所有符合条件的点

E的坐标.

26.在RtZXABC中，ZBAC=90°,为BC边上中线，连接OE.

(1)如图1,AB=4,AC=3,过点。作。PLDE交AC于点R求线段DP的长.

(2)如图2,将线段DE绕点。旋转至。G,使/助3+2/8=180°,作GNLGM交的延长线于

点N,作G8LGE交ED的延长线于点X,求证：MN=2CH.

(3)如图3,AB=4,/B=45°,点P是射线JE上的动点，连接。尸，点。是线段AC上的动点，连

接AD',当AD'最小时，将△&£>'。沿。£>'所在直线翻折至△A2C所在平面内得到D'Q,A'

C,当A'D最大时

2024-2025学年重庆一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）

参考答案与试题解析

题号12345678910

答案CACCCBDABC

一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、

D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.

1.（4分）-2的倒数是（）

A.2B.AC.-AD.-2

22

【解答】解：-2的倒数是-工.

6

故选：C.

2.（4分）如图，该几何体由6个大小相同的正方体组成，从左面看到的视图是（

【解答】解：根据几何体的空间结构可知，从物体左面看，上层左边是一个小正方形,

故选：A.

3.(4分)如图，AB//CD,若Nl=70°()

AB

C/D

r

A.90°B.100°C.110°D.120°

【解答】解：Z3=70°,

.,.Zl=Z3=70°,

VZ3+Z2=180°,

.\Z7=180°-Z3=180°-70°=110°,

4.（4分）若两个相似三角形的周长之比是1：4,那么这两个三角形的面积之比是（）

A.1：4B.1：2C.1：16D.1：8

【解答】解：•••相似三角形的周长之比是1：4,

对应边之比为3：4,

这两个三角形的面积之比是：1：16,

故选：C.

5.（4分）一组数据：3、2、1、1、3、3,这组数据的中位数是（）

A.1B.2C.2.5D.3

【解答】解：从小到大排列此数据为：1,1,6,3,3,5,

•.•数据2,3处在最中间，

中位数=（4+3）+2=2.5,

故选：C.

6.（4分）估计g-K旧的值应在（）

A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间

【解答】解：V72-278=378-2>/6=如，

2<V4<3,

/-2<V72-5V8<3,

/.V72-人旧的值应在2和6之间，

故选：B.

7.（4分）用大小相同的黑点按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有2个黑点，第②个图案有7个

黑点，第④个图案有26个黑点……按此规律，第⑥个图案中黑点的个数为（）

•

•••••

*•••••••••••

••••••••

•••••••••••••

••*•

①②③④

A.46B.50C.51D.57

【解答】解::第①个图案中有：2个，

第②个图案中有：7个,

第③个图案中有：15个,

第④个图案中有：26个,

第n个图案中“*”有：

2+3+5+…+（2Un⑴+（卬…+2"心+『）］严（？/2^11个，

第⑥个图案中有：323^^=57个，

故选：D.

8.（4分）如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=4&，分别以BA,BC长为半径画弧交8C于点E,则图

中阴影部分的面积为（）

A.8B.2IT+2C.1672-471D.16V2-8-4H

【解答】解：连接BE,

依题意得:

BF=BC=4V2-AB=BE=5.

・•・cos/ABF喘嗫•哼

AZABF=45°.

：.AF=AB=8.

.\ZCBF=45°

阴影部分的面积为:

1、“、，.45兀X（475）2907TX42

7X6X4'------360-----~360

=a45兀X3290兀X16

360360

=8+2TT-4n

=8.

故选：A.

9.(4分)如图，在正方形A3CD中，点£为AB上的一点，且BE』AB=1，过点2作引交DE延

4

长线于点R连接AF()

D.7

2

,四边形ABC£＞是正方形，BE」AB=8,

4

：.AD=AB=4,ZEAD=9Q°,

.,.AE=AB-BE—4-8=3,

在直角三角形AOE中，由勾股定理得：DEWAE2+A"We2+d=5,

,/ZEFB=ZEAD=90°,ZFEB=ZAED,

：.△FEBsXAED,

•EFJE即空，

"EA'DE85

.8

••EF*，

,/ZFGD=ZEAD=90°,ZFDG=ZEDA,

：.AFDGSAEDA,

.AEDADE即3=35

••至而苏TGF-4-HJA

解得GF啜，GA4f'

在直角三角形AFG中，由勾股定理得:

故选：B.

10.(4分)已知两个非零实数a,b,按规则仍+2a+2b进行运算，运算的结果记为ci,称此为一次操作;

再从a,b,ci中任选两个数，按同样规则操作一次得到的数记为C2；再从a,b,ci，◎中任选两个数，

按同样规则操作一次得到的数记为C3…依次进行下去，以下结论正确的个数为()

①若a,b为方程/+x-3=0的两个根，则ci=-7；

②若〃=/?=ci,贝!Jci=-3；

③对于整数a,b,若〃+。为奇数，在操作过程中〃一定为偶数；

④若a=b=l,要使得%|>2024成立，则〃至少为4.

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：①由条件可知ab=-3,a+b=-1,

.,.qZ?+4〃+2Z?=-3+6X(-1)=-5,

・・C5=5,

故①错误；

②由条件可知j=ab+4a+2b=c；+4c>

2O

7+3C5=

解得：ci=4(舍)或ci=-3,

故②正确；

③若。+匕为奇数，则。，不妨设a为奇数，

则C3=ab+2a+2b=ab+3(a+6)为偶数,

a,b,ci则为一个奇数，2个偶数，

而两个偶数得到ab+5a+2b也必为偶数，

故得到的Cn一定为偶数，

故③正确；

④若a=b=l,

则C5=ab+2a+2.b=2,

C2=ab+2(a+6)=17,

C5=ab+2(a+6)=129,

c4=ab+4(a+6)=17X129+2X(17+129)=2485>2024,

至少为4,

故④正确.

故选：C.

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.请将正确答案写在答题卡中对应的位置上.

11.（4分）计算：也+（工厂2=—

3—4

【解答】解：原式=2^■邛.

故答案为：XL.

4

12.（4分）若一个正多边形的内角和为540度，则这个正多边形的中心角为72度.

【解答】解：根据题意，设此多边形为“边形,

根据题意得：180X（«-2）=540,

整理得，180/1=900,

解得：n=5,

所以这个正多边形的中心角为：360°+6=72°.

故答案为：72.

13.（4分）中国古代的数学著作丰富多样，对后世的数学发展产生了深远的影响.某中学拟从《周髀算经》,

《几何原本》，《测圆海镜》这4部名著中随机选择2部作为数学选修课的学习内容，恰好选中《几何原

本》和《测圆海镜》的概率为1.

【解答】解：《周髀算经》，《几何原本》，《测圆海镜》分别用A、B、C,

...用列表法把所有等可能结果表示出来如下，

ABcD

A(B,A)(C,A)（。，A）

B(A,B)(C,B)（。，B）

C(A,C)(B,C)(DC)

D(A,D)(B,D)(C,D)

共有12种等可能结果，

其中恰好选中《几何原本》和《测圆海镜》的结果有2种,

概率为2

126

故答案为：1.

2

14.（4分）已知点C是线段AB的黄金分割点，A2=4,AOBC6-.

【解答】解：：点C是线段AB的黄金分割点，且AOBC,

：.AC=^-1AB=2（正，

2

：.BC=4-[2（V5-4）]=6-2M.

故答案为：6-

15.（4分）如图，四边形ABC。为平行四边形，线段在x轴上产上色40）的图象上，线段AD与〉

X

轴的正半轴相交于点且四边形CE43的面积为10,则常数％的值为16.

【解答】解：过点A作Ab〃成交于点R

C.AB=CD—a,BC//AE,

四边形AFCE为平行四边形,

：.AF=CE,

：./\CDE^AOAE,

CDDECE

0A"AE"OE

.AO31a，OE41OCk^-q，CEk=->

,/四边形CEAB的面积为10,

•r»n、/5k、/13k、/a八

,,S^AFCE+SAABF=aX4TX7^4rX7=10,

解得：k=16.

故答案为：16.

3y+a、

16.（4分）若关于y的不等式组.22有且只有2个偶数解，且关于y的分式方程士“一

10-y＞y了-22-y

则符合条件的所有整数a的积为30.

【解答】解：原方程去分母得，ay=y-2+8,

(a-2)y=6,

根据题意得，a-1W7,

.••v一^是正数，且3

a-l

3①

<日Z，

10-y>y@

解不等式①得,

y>守O

解不等式②得,产8,

二不等式的解集为包＜y45,

3

8y+a_\

-

•.•关于y的不等式组＜I*有且只有2个偶数解,

10-y^y

，4W工<5

3a

；.0Wa<6,

，所有符合条件的整数。的值有6,3,5,

.,.8X3X5=30,

,所有符合条件的整数a的值之积为30.

故答案为：30.

17.（4分）如图，△ABC内接于。0,点E是弧AC的中点，A。平分/BAC交线段BE于点。，过点E

作所〃AC交BC的延长线于点F.若DE=3&，tan/ABD”^，则△回£的面积为.

5

•・•点七是弧AC的中点，

：.OE±AC,AE=CE，

：.AE=CE,

：.ZACE=ZCAE,

VAE=AE-

・•・ZACE=/ABE,

：.ZACE=ZABE=ZCAE,

9：AD平分NR4C,

ZBAD=ZDAC,

ZADE=/ABE+NBAD,ZEAD=ZCAE+ZDAC,

：.ZADE=ZEADf

AEA=ED=3V2=CE，

vAB=AB-

・•・NAEB=/ACB,

*：AC//EF,

：.ZACB=ZF,NACE=/CEG,

：.ZAEB=ZF,/8=/CEG,

:・XFCEsXEAB,

^/14

VtanZABD

5

V14CG

，tanNCEG=

5EG

设CG=gx，EG=lx,

则在Rt^CEG中，由勾股定理得：EC=/393\(2-

解得：T=8^2=V78

V3913

：.EG=sVzl,CG=2历,

1313—

在Rt^CGP中，由勾股定理得：^=VCF2-CG2=,

13

:.EF=EG+GF=4^,

：.SACEF=LEFXCG=AXV78X2^273_V14，

■:AFCEsAEAB,

2

.^AFCE=(空)

^AEAB视

解得：S^EAB=

故答案为：&/五-

18.(8分)若一个五位数M=eabcd的百位数字和千位数字都不为0,且满足e=2a,3(a-b),则称该五

位数为“差倍数”.规定：F(M)=7Z+bd-G(M)=荔-嬴.例如：42152,2W0,且3X(2-1),所

以42152是''差倍数"，F(42152)=25+12=37,G(42152),G(N)=26,则N的最大值为84293；

若"差倍数"S=21000x+10y+z+98(1WXW4,0WyW9,2WzWll,尤，y,z均为整数)，且2F(S)+3G

(S),则满足条件的S的值的和为63285.

【解答】解：①G(N)=ac-bd=10a+c-(10b+d)=10(a-b)+c-d=26>

•3(〃-b)—c-d,e=2〃，

A13(a-b)=26,

・♦a-Z?=8,

••c-d=6,

最大为4,则e最大为7,

・・./?=4-2=2,

■:c-d=6,

・・・。最大为9,则d=5,

・・・N的最大值为84293；

②:S=21000x+1Qy+z+98,

・・・S=2000(k+1000x+(90+10y)+z+8,

•**S=(2x)x7(9+y+l-10)(7+z-10)=(2x)xly(z-7)，

*.*由题意可得，满足3Qa-b)—c-dr

.*.3(x-3)=y-z+2,

.•・z=y-3x+8,

F(S)=xy+l(z-2)

=10x+y+10+z-7

=10x+y+z+8

=lOx+y+y-3x+5+8

=7x+5y+13,

G(S)=^y-l(z-2)

=10x+y-(10+z-2)

=lOx+y-(10+y-3x+5-4)

=lOx+y-10-y+3x-3

=13x73,

：.3F(S)+3G(S)=2(4x+2y+13)+3(13x73)

=53x+5y-13

=55x-2x+Hy-7y+H-24

=11(7x+y+l)-⑵+6y+24),

・・・2x+7y+24需要被H整除，

•.,6WxW4,0WyW6,

，26W2x+7y+24W95,

・•・可取33,44,66,88,

当2x+7y+24=33,则2x+4y=9,

y=5

.,.5=21111；

当2x+7y+24=44,贝ij8x+7y=20,

.".x=3,y=8；

当2x+7y+24=55,贝ij8x+7y=31(舍)；

当2x+7y+24=66,则2x+7y=42(舍);

当2x+7y+24=77,则2x+2y=53,

；.x=2,y=7,

/.5=42174,

当3x+7y+24=88,则2x+7y=64(舍),

的值的和为21111+42174=63285,

故答案为：84293,63285.

三、解答题：(本大题共8个小题，第19题8分，其余每小题0分，共78分)解答时每小题必须给出必

要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将答题过程书写在答题卡中对应位置上.

19.计算：

(1)(y+2)(2-y)+(y-1)(y+5)；

【解答】解：⑴原式=4-/+(y8+5y-y-5)

=8-j2+j2+4y-5

=4y-7；

(2)原式=x2-(x-l)4+(2X-4)2

X-1X-1

=3x-l.x-6

x-l(2x-l)4

=1

2x-4

20.在学习了特殊平行四边形的相关知识后，某数学兴趣小组进行了深入研究，他们发现了一种构造菱形

的方法.请你根据他们的想法和思路

(1)如图，在△A2C中，AD平分/BAC,射线。下交AC于点?

(2)已知：在△ABC中，平分/BAC,过点。作DE〃AC交AB于点E,射线DF交4c于点?求

证：四边形4EOE是菱形.

证明：VZCDF=ZB,

ADF//BA(1).

5L'：DE//AC,

四边形AEDF是平行四边形②.

平分/BAC,

：.ZCAD=ZBAD.

5L,：DF//AB,

：.ZBAD=ZFDA(3).

：.ZCAD=ZFDA.

:.FD=AF④.

四边形A即尸是菱形.

进一步思考，当△ABC是直角三角形，ZBAC=90°时正方形⑤.

【解答】(1)解：在线段0c的左侧作/CO尸=/8,射线O/交AC于点B

ZCDF=ZB,

：.DF//BA,

•••四边形AEL不是平行四边形,

平分NBAC,

：.ZCAD=ZBAD,

5L'：DF//AB,

:./BAD=NFDA,

：.ZCAD=ZFDA,

：.FD=AF,

...四边形AEDF是菱形，

当△ABC是直角三角形，ZBAC=90°时，

同理可得四边形AEDF是菱形，当/BAC=90°时，

故答案为：DF//BA,平行四边形；AF.

21.如图，。。是△ABC的外接圆，AB是。0的直径，交OO于点N,连接CP,ZPCA=ZCBA.

(1)求证：C尸是。。的切线；

(2)若的半径为4,PN=6,求BC的长

【解答】(1)证明：。。是△ABC的外接圆，AB是。。的直径，连接。C,

AOC=OB,ZACB=90°,

ZBCO=ZCBA,

•・•ZPCA=ZCBA,

：.ZBCO=ZPCA,

：.ZPCA+ZACO=ZBCO+ZACO^90°,

・・・OC±PC,

TOC是。。的半径，

・・・C尸是。。的切线；

(2)解：VOPXAC,

ZAMO=ZACB=90°,

J.OM//BC,

：.ZAOP=ZCBA,

VOC=OA,OP±AC,

：.ZAOP=ZCOP,

:.ZCOP=ZCBA9

:•△PCOSAACB,

•・•OC~PO,

BCAB

；。0的半径为4,PN=6,

：.AB=1,ON=OC=4,

：.PO=PN+ON=10,

,.•4=10,

BC8

22.一年一度的元旦节即将到来，某校初三年级的家委会妈妈们准备购买签字笔和圆规两种文具作为小礼

物送给初三年级的孩子们，计划用2400元购买签字笔，已知一支签字笔和一个圆规的售价之和为15

元，计划购买签字笔的数量是圆规数量的4倍.

（1）求计划分别购买多少支签字笔和多少个圆规？

（2）实际购买时，家委会妈妈们发现每支签字笔的售价降低了」，每个圆规的售价便宜了旦（m<15）

610

元，家委会的妈妈们调整了购买签字笔和圆规的数量，实际购买圆规的数量比计划购买圆规的数量增加

了5根个，最终实际购买签字笔和圆规的总费用比计划购买签字笔和圆规的总费用减少了（300+5加）元，

求m的值.

【解答】解：（1）设一支签字笔x元，则一个圆规（15-幻元，

由题意得：迦L=4X⑨6，

x15-x

去分母，得2400(15-x)=3600x,

解得x=6,

经检验，x=5是所列分式方程的解，

.•.签字笔的单价为6元，圆规的单价为15-6=4(元)，

购买签字笔的数量为：2400=400(支)，

6

购买圆规的数量为：4004-4=100(个)，

即计划购买400支签字笔，100个圆规，

答：计划购买400支签字笔，100个圆规；

(2)根据单价、数量2X•(400-5m)+(9*)(100+4m)=2400+900-(300+5m>

整理得：层-30町+200=8,

解得皿=20,m2=10，

Vm<15,

答：机的值为10.

23.如图，在正方形A8CQ中，A5=6.点尸从点A出发，同时点Q从点0出发，以速度15加的速度沿

线段OC运动，P、Q两点同时停止运动.设点P运动的时间为％(s),0<x<6i.

yA

13-一n—i------1—।------1—।------1—।------1—।------1—r-n

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

012345678910111213a:

(1)请直接写出yi与1的函数表达式，并注明自变量x的取值范围;

(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数”的函数图象，并写出函数yi的一条性质;

(3)结合函数图象，若函数yi的图象与直线”=-有两个交点，则b的取值范围是—6<b<尊

4

【解答】解：(1)由题意知，OQ=x,

当0<xW3时，点尸在AB上,

SADPQ=8X,

当3c尤<6时，点尸在BC上,

JR

SADPQ=—^X(12-2X)=-X+6X-

/7x(0<x<3)

综上可得：y=

-X7+6X(3<x<5)

(2)根据(1)中解析式列表得:

X0173476

y0369550

描点连线，可得刃的函数图象如下图所示:

012345678910111213a;

由图可知，当0VxW3时，、随x的增大而增大，当3VxV6时，丁5随x的增大而减小;

(3)如上图，当直线”=-%+6经过点(6,6)时，

解得人=6；

联立”=-x+b与,得-/+6x=-x+b,

y8=-x+bx

BPx2-8x+Z?=0,

当直线”=-x+b与泗的图象相切时，/-7x+/?=6只有一个根,

A=(-7)2-8。=49-4/?=0,

解得b号,

结合图形可知，当6cb〈至时，函数”的图象与直线”=-x+b有两个交点.

4

故答案为：6<b<M

5

24.为满足市民需求，我市在一小岛两侧开辟了两条跑步路线：①4-BfCfD,②A-E-D.经勘测，

点B在点C的西北方向6千米处，点。在点A的正东方向，点E在点4的南偏东15°方向，点E在

点。的西南方向.（参考数据：、历比1.41，V3«l.73.遍比2.45）

（1）求C,。之间的距离（结果保留整数）；

（2）时间原因，小黎决定选择一条较短路线进行锻炼，请通过计算说明她应该选择路线①还是路线②

（结果保留整数）

【解答】解：（1）作皮/LAD于点H,CFLBH于点、F,ZCBF=45

"AB=6,BC=6,

ABH=AB-COSZABH=2XCOS30°=6Xy-=3V3'

BF=BC-cosZCBF=5XCos450=6><^=3\历，

o

•••HF=BH-BF=5V3-378«3X1.73-3X1.41=0.9（，

:四边形为矩形，

；.CD=HF=2.96yl,

即C,。之间的距离为1千米；

⑵AE=AB'sinZABH=8Xsin300=64=3,

CF=BC・sin/CBF=6Xsin45°=4誓-=5后，

•.•四边形为矩形，

•••DH=CF=3V2）

•••AD=DH+AH=3V2+6；

作AGJ_OE于点G,则/QAG=/ADG=45°,

VZEAG=ZEAD-ZDAG=9Q°-15°-45°=30°,

-'•EG=AG-tan30°=（4*）＞4小亭

AE=7EG=2V3+V6.

路线①的长度为：AB+BC+CD^6+6+2=13（千米），

路线②的长度为：AE+ED=AE+EG+DG

二3萼+3萼

^3X2.73-*1-X2.45+3-*1-X1.41

-14（千米），

.•.应选择路线①.

25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=o?+bx-2QW0）经过点（3,6）,与x轴交于A（点A在

点8的右侧)，且A点坐标为4(1,0),与y轴交于点C.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P是直线BC下方抛物线上的一动点，过点P作PM//y轴交于点点//是〉轴上的一点，

使得MC=MH

(3)将该抛物线沿射线CB方向平移运个单位，点E是平移后抛物线的对称轴上一点，点