2024-2025学年上海市浦东新区高一年级上册12月月考数学检测试题（含解析）

2024-2025学年上海市浦东新区高一上学期12月月考数学

检测试题

考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；

2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填

写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1,若函数p=（"一2）在R上是严格减函数，则实数a的取值范围是.

y=:x+in（2x+1）

2,函数的定义域是.

4x-3

y-

3.函数x-2的图像的对称中心是.

_4_4

4,已知伍一3）3<（2°+1）3,则实数a的取值范围是.

2024X2+2025X,X>0

5.己知函数〔ax2-2025x,x<0是偶函数，则实数.

6.若直线歹=3a与函数歹=|优+-2］（a>O,abl）图像有两个公共点，则实数a的取值范围

是.

7,关于x的方程上9T•3川+6（"5）=°在［0,2］上有解，则上的取值范围为.

8.已知函数,（"”IM办+1）+皿1）的值域为R,则实数a的取值范围是.

fx2-2x,x<2

/（x）=<

9.设函数.2x+6,x〉2关于*的方程/（x）="有三个不等实根ME2,七,且

再</<£,则2占+2々+3七的取值范围是.

，X，=2128

<

10.对于方程组,"=1024,其中X、y>0,则方程组的解为.

11.设a为实数，函数/（x）=+（aw°）,若/（幻="有两个不同的实数根，

则实数。的取值范围为

12.已知函数/⑺在区间［L+°°）是增函数,且/（x）eN,若

/（1）+/（2）+/（3）+-+/（2024）=/（1）./（2）-/（3）••…/（2024）,则“2024）的最

大值为.

二、选择题（共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分）

13.下列图形中，可以表示函数y=f（x）的是（

2

14.已知/(x)=k+l|+|x—l[,</(a-2a)=/(a-l),则实数。的值有）个

A.2个B.3个C.4个D,无数个

15.已知函数/（x）=|l谢，若实数a1满足b〉a〉0,且/（。）=/伍），则下列说法不正确

的是（）

A,a+2be(3,+co)

B.a+b—da2+b?不存在最小值,但是存在最大值

ab

«0，1)

1+/1+Z72

D.对于任意符合条件的a,b,都有dwb"

16.已知常数"7,">0,函数/（》）=（加+1卜2-（加+〃—1卜+”,命题P:对任意的X>1,

都有/（x）>o成立的充要条件为3W加；命题。：若方程/（X）=X无实数解，则方程

/（/（x））=x也一定没有实数解.则以下说法正确的是（）

A.命题P为真命题，命题。为真命题B.命题尸为假命题，命题。为真命题

C.命题P为真命题，命题。为假命题D.命题?为假命题，命题。为假命题

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分，解答要有论证过程与运算步骤)

CCL

17.已知函数/(x)=/+—(xwO,常数ae&)

x

(1)讨论/(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若。=1,将/(x)的图像向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到g(x)的图像，

求g(x)的解析式.

18.已知函数/(x)=a2'+b・3、，其中常数满足的/0.

(1)若a=2023,6=2024,判断函数/(x)的单调性，并用定义进行证明；

(2)若ab<0,求/(x+l)〉/(x)时x的取值范围.

19.今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重.市环保研究所对近期每天的空气

污染情况进行调查研究后发现，每一天中空气污染指数与/(x)时刻x(时)的函数关系为

f(x)=|log25(x+1)-«|+2t7+1,XG[0,24],其中a为空气治理调节参数，且ae(0,l).

(1)若。=,，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；

2

(2)规定每天中/(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不

超过3,则调节参数。应控制在什么范围内？

20.已知函数+冽是奇函数.(e是自然对数的底)

e+1

(1)求实数加的值；

(2)若x〉0时，关于x的不等式/(2x)W24f(x)恒成立，求实数左的取值范围；

(3)设=：、,对任意a,6,ce(0用，若以a,b,c为长度的线段可以构成三角形

时，均有以g(a)，g@)，g(c)为长度的线段也能构成三角形，求实数/的最大值.

21.已知非空集合ZqR,函数y=/(x)的定义域为。，若对任意fe/且xe。，不等式

f(x)<f(x+。恒成立，则称函数/(x)具有“QB，，性质.

⑴当/=(—oo,a],<o,=——l|+|x+l|,xeR,若/(x)具有性质,

请直接写出实数。的最大值(不要求计算过程)；

(2)当4=(0,1),/(x)=x+-,xe[a,+”)，若/(x)具有“QB”性质，求。的取值范

围;

(3)当/={—3,加}(加eZ),若。为整数集，且具有性质的函数均为常值函数，求所

有符合条件的用的值.

2024-2025学年上海市浦东新区高一上学期12月月考数学

检测试题

考生注意：1、本试卷共21道试题，满分150分，答题时间120分钟；

2、请在答题纸上规定的地方解答，否则一律不予评分.

一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填

写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.

1.若函数'=（"—2）在R上是严格减函数，则实数口的取值范围是.

【答案】（2,3）

【解析】

【分析】根据严格减函数定义可知0<a-2<1,即可求解.

【详解】因为函数y=（a-2y在R上是严格减函数，

所以0<a—2<1,解之可得2<a<3,

所以实数。的取值范围是（2,3）.

故答案为：（2,3）

2.函数匹=也——+In（2%+1）的定义域是.

【答案】［-别

【解析】

【分析】根据根式、分式以及对数的意义列式求解即可.

2x+1>01

【详解】令〈八，解得一<X<2,

2-x>02

所以函数了=J?+ln（2x+l）的定义域是［一;,2；

故答案为：^--,2^.

4x—3

3.函数v=-----的图像的对称中心是

x-2

【答案】（2,4）

【解析】

【分析】首先根据题意得到y=之向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到y=4+色一，即可得

xx-2

到答案.

4x-34（x—2）+5/5

【详解】y=------=—^-----』—=4+-------.

x—2x—2x—2

因为y=上关于（0,0）对称，

X

y=之向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到＞=4+工

xx—2

即可得到y=4+二―的对称中心为（2,4）,

x-2

故答案为：（2,4）

44

4.已知伍_3尸＜（2a+lp'则实数。的取值范围是.

【答案】卜a—£|u

【解析】

4

【分析】由暴函数的奇偶性，单调性即可求解.

y—x:3

4

【详解】由于基函数］,=:§,定义域为（-8,0）U（0,+8）,偶函数，且在（0,+8）单调递减,

4_4

所以由（a—3尸＜（2。+1尸，

可得：,且a-3w0,2Q+1w0,

对卜-3|〉|2Q+1|平方可得：3Q2+10(2-8<0»

□，2

解得：-4<a<一又aw3,aw—

32

所以实数a的取值范围是1—4,—

j_2

故答案为:-4,[U

253

2024x2+2025x,x>0

5.已知函数＞=＜是偶函数,则实数。=

ax2-2025x,x<0

【答案】2024

【解析】

【分析】通过/⑴=/（T）,求。并验证即可.

2024x2+2025x,x>0

【详解】由于/（x）=<为偶函数,

ax2-2025x,x<0

所以/⑴=/(T)，即2024+2025=a+2025,

解得：a=2024,经验证符合题意，

故答案为：2024

6.若直线歹=3。与函数y=|优"—2|伍〉0,。wl）图像有两个公共点，则实数。的取值范围是.

【答案】（0,1

【解析】

【分析】根据。〉1和0<。<1分类讨论，作出函数y=2|的图象与直线y=3a,由它们有两个交点

得出。的范围.

【详解】。〉1时，作出函数y=|六一2|的图象，如图，此时在xW-l时，0<”2,

而3。〉3〉2,因此y=3a与函数y=|/+i—2］的图象只有一个交点，不合题意；

0<。<1时，作出函数y=炉+1-21的图象，如图，此时在1时，0<y<2,

若y=3a与函数y=,同—2|的图象有两个交点，则0<3a<2,解得0<a<一.

13

y=|^+1-2|(0<a<l)

y=3a

综上所述，ae

故答案为:

7.关于x的方程上9-屋3升】+6(4-5)=0在［0,2］上有解，则上的取值范围为.

【答案】［；,8］

【解析】

【分析】设/=3'，则方程左/一3行+6(左-5)=0在口,9］上有解，再用分离参数法转化为求函数值域.

【详解】设/=3'，:xelOa,

•••方程82—3国+6(左—5)=0在工9］上有解，

k3030

t2-3t+6

)2+—e［—,60］,A;e［—,8］.

故答案为［；,8］.

【点睛】本题考查方程根的分布，解题首先用换元法把指数方程变为一元二次方程，然后再用分离参数法

转化为求函数的值域，这是解决这类问题的常用方法.

8.已知函数/(x)=ln(ax+l)+ln(x—l)的值域为R,则实数。的取值范围是.

【答案】a>Q

【解析】

【分析】通过。<0,a=0,a>0三种情况讨论即可.

［详解］/(x)=ln(ax+l)+ln(x-l)=In［ax?,

当a<0时，y=ax2+(l-a)x-l,存在最大值，不满足值域为R,

当a=0,/(x)=ln(x—l),值域为R,满足题意；

当a〉0,若/(x)=ln［ax2+(l-a)x-l］的值域为R,同时必有A=(l—a1+4。2o,

解得Q>0,

综上实数。的取值范围是Q>0,

故答案为：a>0

“、-2x,x<2”、

9.设函数/(%)={关于X的方程/(%)=。有三个不等实根玉,%2，、3，且则

-2x+6,x>2

2再+2%+3/的取值范围是.

【答案】[13,5)

【解析】

【分析】画出函数图象，数形结合得到再+/=2,x3e[3,1),求出答案.

【详解】画出函数/(x)的图象，观察图形知，仅当-1<。<0时，方程/(%)=。有三个不等实根,

分别对应直线V=。与图象三个交点的横坐标，其中两个交点位于二次函数图象上，

不妨设西<%2<%3，显然再，％2关于％=1对称，则％1+%2=2,

另一个交点位于直线V=-2%+6上，在歹二-2X+6中，当一l<yVO时，3<x<1-,即％3£[3,g),

因此2石+2x?=4,3%3£[9,»_)，所以2再+2x?+3x^G[13,,

故答案为：[13,段29)

I九_一乙?128

10.对于方程组、小，其中X、>>0,则方程组的解为.

g2y

(log2x)=1024

x=232x=16

【答案】或《

、y=4J=32

【解析】

,,,a-2b=2y

【分析】设log2X=a，log2y=6，，则原不等式等价于卜io，消去。可得关于b的方程，解方程即

a—2

可.

【详解】由题意，设log2X=a，log2y=6,则x=2",y=2",

因为炉=2保，所以ylog2X=128,

128

\A_-乙7a-2b=27

所以方程组《/,41俏4等价于“

ah=210

[(log2x)=1024

口r1°LL…1°”…1U7r

即a=2不，所以”.2人=2’'所以加+人=7,

解得6=2或6=5

当6=2时，a=25=32,此时x=2%>=2?=4；

当6=5时，a=2?=4,止匕时x=24=16,y=2,=32.

11.设。为实数，函数/（x）=J|x+a|_a_x（。70）,若/（x）=。有两个不同的实数根，则实数。的取

值范围为

【答案】（0,；）

【解析】

【分析】由/（x）=a,利用换元法、分离常数法进行化简，通过构造函数，结合所构造函数的图象来求得。

的取值范围.

【详解】由/（%）=a得%+a|-〃=x+a,设x+a=，20,

所以=,有2个不同的实数根，整理得Q=,_』（〃wo）,

设…一TT+'之0,

画出力（7）=—,—<]+；（/20）的图象如下图所示，

由题意得a的取值范围是（（）,！）.

4

故答案为：（0,；）

12.已知函数/（x）在区间[1,+8）是增函数，且/（x）eN,若

/（1）+/（2）+/（3）+-+/（2024）=/（1）./（2）-/（3）…一/（2024）,则“2024）的最大值为

【答案】2024

【解析】

【分析】通过/。）=0,和/（1）21两种情况讨论，结合

/⑴+/（2）+/⑶+--+/（2024）

7（2024）=裂项放缩即可求解.

⑶••…/（2023）

【详解】由题意可知/⑴</（2）</（3）<.••</（2024）

若/（1）=0=7（2024）=0；

若/⑴*

/⑴+/（2）+/⑶+--+/（2024）

7（2024）=

/（1）-/（2）-/（3）…/（2023）

_________i_________+__________i_________+…+_________i__________+________

/（2）-/（3）••…/（2023）/（1）-/（3）•・…/（2023）/（1）-/（2）•・…/（2022）/（1）-/（2）..…/（2023

<2022।।/（2024）

-7（2023）++7（2023）

等号成立当且仅当/（1）=/（2）=/（3）=…=/（2022）=1

若〃2023）=1,则2023+/（2024）=/（2024）,矛盾

若/（2023）>2,则/（2024）<^^-+1+，。产）=/（2024）<2024

等号成立当且仅当/⑴="2）=/（3）=…=/（2022）=1,/（2023）=2,

故答案为：2024

【点睛】关键点点睛:

/（1）+/⑵+/⑶+…+/（2024）

通过/（2024）=

/（1）-/（2）-/（3）•・…/（2023）

1।1-1।/（2024）

/（2）-/（3）••…/（2023）/（1）-/（3）••…/（2023）/（1）-/（2）••…/（2022）/（1）-/（2）..…/（2023

<2022।।/（2024）,讨论/（2023）=1和/（2023）22求解.

-7（2023）++7（2023）

二、选择题(共4题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，满分18分)

13.下列图形中，可以表示函数y=f(x)的是()

【解析】

【分析】由函数的定义即可得解.

【详解】通过平移直线x=/,只有B选项的图象满足：

其图象和直线x=/至多有一个交点，即只有B选项符合题意.

故选：B.

14.已知/(x)=|x+l|+|x-l|,有/(/—2a)=/(a—l),则实数。的值有()个

A.2个B.3个C.4个D.无数个

【答案】D

【解析】

【分析】根据偶函数的定义判断/(x)为偶函数，则可得/-2。=土(a-1),再分析得-1<X<1时,

/(x)=2,从而得解.

【详解】因为/（x）=|x+l|+|x-1|的定义域为R,

又f（-x）=|-x+1|+|-x-1|=|x+1|+|x-1|=/（X）,

所以可知/（X）为偶函数，若-2a）=/（（7-l）,

可得-2。=Q—1或。2—2。=一。+1，

解之可得。=三"或4=生5,则。的值有4个,

22

/、一1<—2。41

当一1<%<1时，/(x)=2,右此时〈Q，

-1<a-l<l

化简求交集可得0<。<2,此时/(/—2a)=/(a-1)恒成立，故。的值有无数个，

综上，。的值有无数个.

故选：D

15.已知函数/(x)=|lgx|,若实数见6满足b〉a〉O,且=/他)，则下列说法不正确的是()

A.Q+26£(3,+oo)

B.如川-址一不存在最小值,但是存在最大值

C.-^-v+—^e(O,l)

1+a21+b2')

D.对于任意符合条件的a,6,都有/wb"

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据/(x)=|lgx|,当O<X<1时，/(x)=-lgx；当X21时，/(x)=lgx.画出函数草图.根

据/(a)=/(b)且b〉a〉o,得到-lga=lgb,从而仍=1.然后将各个选项中的式子根据ab=1和基本

不等式等知识进行分析和计算，判断其正确性.

12

【详解】因为|lga|=|lgb|,即lga=—Igb,所以仍=1,b=—,则a+2b=a+—.

aa

22

由于对勾函数y=—在(0,1)上单调递减，当qw(0,l)时，aH—>3.

xa

2

(当a=l时，。+—=3),所以。+26£(3,+QO),A选项正确.

a

因为ab=l,a+b-^a2+b2=------2y=----2

a+b+7a~+tra+b+7cr+b-

设/=a+6,贝卜>2.则>=----1—,t>2,/+J)一2随着1>2增大而增大,

t+<t2-2

则了在(2,+co)单调递减，无最小值，当/―2时，y—1—在，无最大值，选项B错误.

2

I

abaaa2a2

---1---=----1--n-=----1---=---=---

l+a21+Z)21+a2,,11+a21+a21+a21-

1~\-----2W।-----

aa

设“（"）=!—,ae（O』）.由对勾函数性质知道，当0<。<1时，>单调递减.

一+。’a

a

则/z（a）单调递增，A（0）=0,%⑴=1,所以上为+―L^e（O,l）,选项C正确.

1+tz1+b-

1i<iYii

假设/=〃，因为。6=1,b=-,则L，即〃[_〃-“，-=/=_]（无解），所以对于

a[a）0-aa

任意符合条件的a,6,都有/w/，D选项正确.

故选：B.

16.已知常数私”>0,函数/（%）=（机+1）/一（机+〃—i）x+〃，命题尸：对任意的x>l,都有/（x）〉0

成立的充要条件为3V机；命题。：若方程〃x）=x无实数解，则方程/（〃x））=x也一定没有实数解.

则以下说法正确的是（）

A.命题尸为真命题，命题。为真命题B.命题尸为假命题，命题0为真命题

C.命题尸为真命题，命题。为假命题D.命题P为假命题，命题。为假命题

【答案】B

【解析】

2

【分析】分离〃可得〃（（机+l）（x-1）+——+机+3,结合基本不等式，即可求解p的真假性，根据二次

函数与一元二次方程的关系可得/（X）>X恒成立，进而可得/（/（X））〉/（X）>X求解。的真假性.

【详解】/（1）=（加+1）%2—（阴+〃+〃>0=—<（加+1）X2—（加一1）%

而x>I,则〃<----------------—=mx+x-\-----1-2=+—-----1■加+3怛成乂，于是

x-lx-l\八7x-l

n<2逝加+2+m+3

即不是充要条件，命题尸为假命题；

方程/（%）=%无实数解，结合加+1>0,则/（'）>'恒成立,

于是/(/(x))〉/(x)〉x，故方程/(/(x))=x没有实数解，命题。为真命题，

故选：B

三、解答题(本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分，解答要有论证过程与运算步

骤)

17.已知函数/(无)=/+巴(xwO,常数aeR)

X

(1)讨论/(X)的奇偶性，并说明理由；

(2)若。=1,将/(x)的图像向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到g(x)的图像，求g(x)的解

析式.

【答案】(1)答案见解析

(2)g(x)-x2+2x+3-1——

【解析】

【分析】(1)先求出定义域，分a=0和a70两种情况并依据奇函数和偶函数的定义判断即可；

(1)根据图象平移变换知g(x)=/(x+l),代入/(x)的解析式即可.

【小问1详解】

/0)=/+q的定义域为(_8,0"(0，+s)

当a=0时,/(-%)=(-x)2=/(x),所以/(x)为偶函数；

当a70时，/(—且/(—1)片一/(I),所以/(x)既不是奇函数也不是偶函数.

【小问2详解】

a=1,f(x)=x2+—(x0),

711

贝！Jg(x)=/(x+1)=(x+1)-H------F2=X2+2X+3H--------,

x+1x+1

即g(x)=x2+2x+3H——--(xw-1).

x+1

18.已知函数/(x)=a-2、+b-3"其中常数满足abrO.

(1)若。=2023,6=2024,判断函数/(x)的单调性，并用定义进行证明；

(2)若ab<0,求/(x+l)>/(x)时x的取值范围.

【答案】(1)函数/(x)在R上严格递增，证明见解析

(2)答案见解析

【解析】

【分析】(1)根据单调性的定义结合指数函数单调性分析证明即可；

(2)整理可得/(x+1)—/(》)="2工+2小3工〉0,分。>0,6<0和。<0]〉0两种情况，结合指数函

数单调性解不等式即可.

【小问1详解】

XV

若。=2023/=2024,贝i]/(x)=2023x2+2024x3,

函数/(x)在R上严格递增，证明如下：

任意再,乙eR,Xj<x2,

则/(%)一/(%)=2023(2』—2整)+2024(3』—3不)，

可知2为<2*n2023(2为一2"2)<0,3』<3"2n2024(3』一3整)<0,

可得/(苞)—/(%)<0，即/(石)</(》2)，函数/(x)在R上严格递增.

【小问2详解】

因为/(x+l)—/(x)=a-2*+2b-3工〉0,且ab<0,

当a<0,6〉0时，1.5工〉一二，则x〉logi5(—?]；

2b<2bJ

当a>0,6<0时，15.(一二，则x<logj—三];

2b12b)

综上所述：当a<0,6>0时，x的取值范围为川力牌”]—4)；

当a>0,6<0时，x的取值范围为<x|x<logi,51—差]>.

19.今年入秋以来，某市多有雾霾天气，空气污染较为严重.市环保研究所对近期每天的空气污染情况进行

调查研究后发现，每一天中空气污染指数与/(x)时刻x(时)的函数关系为

/(x)=|log25(x+l)-a|+2a+l,xe[0,24],其中a为空气治理调节参数，且ae(0,1).

(1)若。=工，求一天中哪个时刻该市的空气污染指数最低；

2

(2)规定每天中/(x)的最大值作为当天的空气污染指数，要使该市每天的空气污染指数不超过3,则调

节参数a应控制在什么范围内?

【答案】(1)第4个时刻

⑵店

【解析】

【分析】⑴口=1■时，/(x)=log25(x+l)-g+2,xe[o,24],令log25(x+l)—。=0,解得X即可

得出.

(2)将/(x)写为分段函数的形式，再利用函数的单调性即可得出.

【小问1详解】

a=g时，/(x)=log25(x+l)-；+2,xe[0,24],

4log25(x+l)-1=0,解得x=4,

因此：一天中第4个时刻该市的空气污染指数最低.

【小问2详解】

3^+1-log25(x+1),xe(0,25"-1J

令f(x)=|log25(x+1)_4+2〃+1=<

log25(x+l)+tz+l,xG(25"-1,24]

当x£(0,25"-1]时，/(、)=34+1-10825(%+1)单调递减，二./(%)</(0)=3Q+1.

当工£[25"-1,24)时，/(x)=a+l+log25(x+l)单调递增，.•./(%)<〃24)=Q+1+1.

3«+1<3

2(2

联立<tz+2<3,解得0<a<—,可得—.

3I3

0<a<1

因此调节参数。应控制在范围.

8e*

20.已知函数/Xx)=，+加是奇函数.(e是自然对数的底)

e+1

(1)求实数%的值；

(2)若x>0时，关于x的不等式f(2x)W2^(x)恒成立，求实数左的取值范围；

f(x\+4

(3)设g(x)=：'、,对任意a,6,ce(0用，若以a,b,c为长度的线段可以构成三角形时，均有以

4-/(x)

g(a),g(b),g(c)为长度的线段也能构成三角形，求实数/的最大值.

【答案】(1)—4

(2)k>l

(3)21n2

【解析】

【分析】(1)根据/(。)=0求出左，再检验/(x)的奇偶性.

(2)若x>0,将关于x的不等式/(2x)〈布(x)恒成立，转化为俄。e：+1)一恒成立,利用基本不等式

e"+1

得(e：+l)-<2,从而可得加22.

e2x+l

(3)化简g(x)=e",设得a+b>c,且e"Ve"VeC，根据题意得e'+eb-c>1恒成

立，根据基本不等式得e“-，+ej〉2e亍w，由2eh-’21求出的最大值即为/的最大值・

【小问1详解】

因为/(x)是奇函数，且定义域为R,所以/(0)=0,

8e°

即—+左=0,解得左=—4.经检验，此时/(%)是奇函数

eu+1

所以左二—4.

【小问2详解】

x

由⑴知/(、)=壬一4=^4et-4,

e+1e+1

2x_ix_i

由x>0时，/(2苫)・2切(工)恒成立，得42ee

e+1e+1

因为1〉0，所以2左2/

~e2x+l

e+ie2x+2ev+l,2ex,2

设心)

=^Ti——2-x-------=1+-2-x----=1+-------

e+le+le1-\--'--

ex

因为当且仅当x=0时，等号成立，又x>0,所以/+二〉2,

ee

(e"22

的/z(x)=———=1H--------<1+—=2

故e2-T+l-12

ex

所以左21.

【小问3详解】

4e'-4，

〃x)+4e"+1x

由题意得:g(x)==e

4-/«“4eA-4

er+1

不妨设0<a<6<c</,贝1Je"Ve"Ve°，

由a,b,c为长度的线段可以构成三角形，则a+6>c,

以g(a)，g(b),g(c)为长度的线段也能构成三角形，

则e"+e'〉ec恒成立，得ea~c+eb~c>1恒成立

即a+b>c时，e"Y+eJ>l恒成立，

,________a+b-2cc,,,,、

又e"+e"。>2人"。好〜=2e2>仅当”'时前一1寸号成山

C1

所以2e—521，即cW—21n5=21n2,于是/的最大值为21n2.

21.已知非空集合函数y=f(x)的定义域为。，若对任意fw/且xe。，不等式

恒成立，则称函数/(x)具有性质.

(1)当Z=(-oo,a],a<0,/(x)=-x-|x-l|+|x+1|,xeR,若/(x)具有“08”性质，请直接写

出实数。的最大值(不要求计算过程)；

(2)当幺=(O,l),f(x)=x+-,xe[a,+(»),若〃x)具有性质，求a的取值范围；

JC

(3)当幺={-3,机}(meZ),若。为整数集，且具有“经”性质的函数均为常值函数，求所有符合条件

的m的值.

【答案】(1)—4

(2)a>l

(3)=3左-1或加=3左一2(左eN*)

【解析】

【分析】(1)作出函数/(X)、/(X+。的图象，根据可得出实数/所满足的不等式，可

求出实数/的取值范围，再利用区间的包含关系可求得实数a的最大值；

(2)由题意可知所以/(x)=x+^(x2a)为增函数，利用函数单调性证明/(x)=x+!在[1,+s)上单

调递增，可得[a,+。)=[,+"),进而可得。的取值范围;

(3)分机<0、根〉0两种情况，在