2024-2025学年广西桂林市高二年级上册11月期中考试数学检测试题（附解析）

2024-2025学年广西桂林市高二上学期11月期中考试数学

检测试题

一、单选题（本大题共8小题）

1.已知直线/过原点且与直线7x+3y-l=0垂直，求直线/一个方向向量是（）

A.(-7,3)B.(3,-7)C.(3,7)D.(7,3)

2.设向量a=(3,2,间，3=(-1,2,1),若£_1_5，则机=()

A.2B.1C.-1D.-2

3.已知点/(2,-1,0),5(1,-1,-1),向量2=求向量方与£夹角的余弦值

()

lV21Jy

A.-V2B.—C.-D.--

222

4.设直线的方程为百cos4x-y+7=0®eR),则直线/的倾斜角a的取值范围

)

712兀712兀八兀27711

A.B.一,—C._8,一O——,71)D.0,一U---j71

333333

5.2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天

平三号A（01）、B（01）,B（02）卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得

圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和RCS测量，为地面光学设备成像试验

和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正

提供服务.假设天平三号A（01）卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已

知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千

米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号A（01）卫星运行的轨

迹方程可为（）

近地点//

一/远地点

22

xy

A.—+—=1B+=1

98-fl?

c.-1D.J+j

1.3523.3523.521.22

6.如图，在直三棱柱/BC-HB'C'中，AABC=90°,AB=BC=BB'=1,E、尸分别为

A'B',N3的中点，则直线FC到平面/EC'的距离为()

,,2丫2

7.若双曲线4-土=1(〃>0)的渐近线与已知圆。:/+，-4)，+3=0相切，贝ij〃=

n2

()

A.y[6B.V3C.V2D.1

8.设为cR,过定点M的动直线尢v+y=0和过定点N的动直线x-2y+4+3=0交于点

O(x,y),则|0M|+|QN|的最大值是()

A.VsB.275C.V10D.2710

二、多选题(本大题共3小题)

9.直线/的方向向量为平面夕的法向量K则下列命题为真命题的是

()

A.若£_L",则直线///平面a

B.若£//[,则直线/J■平面a

C.若cosG，"=g,则直线/与平面&所成角的大小为三

/rr\1兀

D.若sin(a,”)=：,则直线/与平面a所成角的大小为三

10.已知圆C:(x-2y+(y—l)2=36,直线2x+(〃?+l)v-3m+l=0,则()

A.当机=1时，圆C上恰有两个点到直线/的距离等于1

B.圆C与圆/+必+12工+10了+45=0恰有三条公切线

C.直线/恒过定点（-2,3）

D.直线/与圆C有两个交点

11.已知方程加一+必=1表示的曲线为则（）

A.当0＜加＜1时，曲线E为焦点在X轴上的椭圆

B.当〃?＞1时，曲线E为焦点在x轴上的椭圆

C.当时，曲线E为焦点在V轴上的双曲线

D.当坎＜-1时，曲线E为焦点在＞轴上的双曲线

三、填空题（本大题共3小题）

12.过抛物线必=21（°＞0）的焦点尸的直线＞交于48两点，则抛物线的

方程为.

13.如图，已知£、尸分别是四面体/3CD的棱力。、8C的中点，点G在线段EF

上，且EG=2GF,设向量AC=b,AD=c＞则四=（用｛用斯｝表

示）

14.已知点/（一1,0）,8（3,0）,若圆（x-加+加+2『=1上存在点尸满足

PAPB=5＞则实数机的取值范围是.

四、解答题（本大题共5小题）

15.2024年7月11日是郑和下西洋620周年纪念日，也是第20个中国航海日.设立

“航海日”对于我国开发海洋、维护海权、加强海防、实现建设航天强国和海洋

强国的目的，有着十分深远的战略意义.在某次任务中，为了保证南沙群岛附近海域

航行的安全，我国航海部门在南沙群岛的中心岛屿。正西与正北两个方向，分别设

立了观测站42,它们与南沙群岛中心岛屿。的距离分别为15海里和海里.某

时段，为了检测观察的实际范围（即安全预警区），派出一艘观察船V,始终要求

巡视行驶过程中观察船M的位置到观测站A的距离与南沙群岛中心岛屿。的距离之

商为4.

t

~AOx

(1)求小船M的运动轨迹方程；

(2)为了探查更远的范围，航海部门又安排一艘巡艇，从观测站A出发，往观测站3方

向直线行驶，规定巡艇不进入预警区，求。的取值范围.

22

16.已知椭圆C：=+鼻=1(。>6>0)的左、右焦点分别为耳，F2,P为椭圆C上一

ab

点.

⑴若焦距为4五，点尸的坐标为求椭圆C的标准方程；

(2)若/片尸鸟=g,且长轴长为2n，△片心的面积为必，求b的值.

32

17.如图，已知在四棱锥S-N8CD中，平面平面48cD,在四边形ABCD中，

AB//DC,ZBAD=90°,在中，SA=SD=45,AB=AD=-CD=2,点£1是棱SC

2

上靠近S端的三等分点.

S

⑴证明：SN//平面BDE；

(2)求平面与平面S8C夹角的余弦值.

18.已知点N的坐标为(-1,2),过点N的直线/与抛物线C：f=2©5>0)交于/、8

两点，且加.砺=0，连接CW,直线/斜率与直线ON的斜率之积为-2.

y>

w/^

(1)求。的值；

(2)若线段AB的垂直平分线与抛物线C交于£,尸两点，求AOE厂的面积.

22

19.已知耳，片分别为双曲线-彳=1(4>0,6>0)的左，右焦点，与无轴分别交

ab

于点A,B,它的一条渐近线的斜率为.且右焦点用到该渐近线的距离为倔

⑴求双曲线M的方程；

⑵若过7(4,0)的直线与曲线M交于C,。两点(C。不与两个顶点重合)，记直线

AC,AD的斜率为匕，k2,证明：》为定值.

(3)若动点方在曲线M的左支上，定点乙(5,0),点尸为圆。:/+(y+3)2=l上一动

点，则求|即|+|明|的最小值.

答案

1.【正确答案】D

【详解】由题可知，直线/过原点（0,0）与直线7x+3y-l=0垂直，

3

则直线/的斜率为

所以直线/的方程为3x-7y=0,

故其中一个方向向量讨=（7,3）.

故选：D

2.【正确答案】C

【详解】因为a_L刃，可得=-3+4+加=0，解得m=T.

故选：C.

3.【正确答案】B

【详解】由题可知点的=（1,0,1）,

一-1

所以…=B巾A-a高2]V.2

故选：B.

4.【正确答案】D

【详解】根据题意，直线的斜率为左=6cosOe[-6,百],由此得tanae[-6,6],

又因为ce[0,7t）,所以结合正切函数的单调性，可得ae0（uy,K）.

故选：D

5.【正确答案】A

【详解】根据椭圆的定义，设长轴长为2a,焦距为2c,

由题可知,1.35+1.3+3.35=2。，即“=3万千米，

因为天平三号A（01）卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径

为0.65万千米，

则a—c=1.35+0.65=2,可得c=l万千米，因止匕/=/一,2=32-12=8,

所以椭圆的方程为《+廿=1.

98

故选：A.

6.【正确答案】B

【详解】在直三棱柱ZBC-HB'C'中，ZABC=90°,

如图所示，以8'为原点建立空间直角坐标系，

因为/B=BC=38'=1,E、F分别为N®,N8的中点，

则4(0,1,1),5(0,0,1),E(0,g,0；尸C(IOO),

所以存=[(),一5一1),=赤=[(),一；,0),

/、，1•-XJ

设平面/EC'的法向量为元=x,y,z,贝lj—

n-EC'=Q

--y—z=0

2

即取z=—l,贝ljy=2,x=l,

x--y=0

2

所以为=(12-1)是平面/EC'的一个法向量,

又因为方=(0,-；,0

卜尸臼」o+(T+q一展

所以点F到平面/EC'的距离为

|«|a6

因为在直三棱柱/8C-4B'。中，E、尸分别为48',的中点,

则EFI/CC旦EF=CC,所以四边形防CC'是平行四边形，

所以CF〃C'E,又C'£u平面/EC',CF<Z平面4EC',

所以。尸〃平面4EV,

则点F到平面/EC'的距离即为直线尸C到平面"EC'的距离.

故选：B.

7.【正确答案】A

【详解】双曲线E■-二=1(">0)的渐近线为了=±冬，即内土屑=0,

n272

不妨取〃x+=0,Elx2+y2—4y+3=0,即/+口―2)=1,

所以圆心为（0,2）,半径丁=1,

依题意圆心（0,2）到渐近线”工±岳=0的距离上巴=1，

6+2

解得〃=y/6或n=-a（舍去）.

所以〃=y/6.

故选：A.

8.【正确答案】B

【详解】对于动直线加+了=0可知其过定点M（0,0）,

动直线x—为+2+3=0,即x+3——1）=0,可知其过定点N（—3,1）,

且lx4+lx（-2）=0,因此两条动直线相互垂直，

可知点Q的轨迹是以为直径的圆，且|人叫=胸，

贝I]|0叫2+|QN「==10,

可得胆叫?QN|）qQMf+gNkio,当且仅当10M=|2叫=石时，等号成立,

则|。叫+lOM42君，所以|。闾+|。叫的最大值为26.

故选：B.

9.【正确答案】BD

【详解】对于A,若则直线”/平面。或直线/u平面“，A错;

对于B,若£/而，则直线/_L平面a,B对；

对于C,若cos3力=1,可知直线/与平面e所成角的正弦值为!，

22

则直线/与平面a所成角的大小为5,C错;

6

对于D，右sina,几——,则cos=—，

22

可知直线/与平面戊所成角的正弦值为立，

2

则平则直线/与平面a所成角的大小为三，D对.

故选：BD.

10.【正确答案】BCD

【详解】对于A,当加=1时，直线/：%+＞一1=0,

圆心C（2,l）到直线/的距离为）」2要"=』,

而圆C半径为6,因此只有4个点到直线/的距离等于1,故A错误；

对于B,圆x2+/+12x+10y+45=0的方程化为（x+6）2+（y+5）2=16,

其圆心为（-6,-5）,半径为4,两圆的圆心距为夕="2+6）2+（1+5『=10=6+4,

两圆外切，因此它们有三条公切线，故B正确；

对于C,直线/的方程为2x+y+l+加（尸3）=0,

由彳2x+y+l，|=3'直线/恒过定点（一2,3）,故C正确；

对于D,（-2-2）2+（3-l『=20＜36,即定点（一2,3）在圆C内，

则直线/与圆C相交且有两个交点，故D正确；

故选：BCD.

11.【正确答案】ACD

2

X2_

【详解】对于A,根据题意知可化为了+了

m

当0〈加＜1时，则曲线E为焦点在X轴上的椭圆，故A正确；

m

鹏2-1

对于B,根据题意知用/+/=1,可化为工+'T,

m

当山＞1时，0＜1＜1,曲线E为焦点在V轴上的椭圆，故B错误；

m

2上7

对于C,根据题意知加x2+『=l,可化为V一二T,

m

当-1＜根＜0时，则-L＞1,曲线E为焦点在V轴上的双曲线，故c正确；

m

2._i

对于D,根据题意知加尤2+必=1,可化为y-工=1,

m

当山<-1时，则曲线E为焦点在V轴上的双曲线，故D正确.

m

故选：ACD

12.【正确答案】y2=4x,

【详解】直线尸-6(x-l)过点(1,0),所以抛物线C：/=2px(p>0)的焦点厂(1,0),

所以]=l,p=2,2p=4,故抛物线的方程为了2=4无.

故/=4x

1-1-1一

13.【正确答案】-a+-b+-c.

336

【详解】因为£、尸分别是棱A。、的中点，且潴=2涉，

UUWUUTUUIT1UUITOuur1UUW[(UUTUUITUUT

所以4G=愈+5G=—4。+—既=—4。+-EA+AC+CF]

2323、>

1uuw7(1uuuruuor1uurAiuuuriuuw?uunizuuruuir

=-AD+-\——AD+AC+-CB\=-AD—AD^-AC-b-1AB-AC

23(22)233A(

1UUT1UUIT1UUIT

=-AB+-AC+-AD

336

1r11lr

=—a+-b-\■一c.

336

_1_1_1一

故答案为."+"+Jc

336

14.【正确答案】[1-V7,o]u[2,1+6]

【详解】由题意可知：圆(％-加一1『+(>_加+2『=1的圆心为N(m+l,m-2),半径

6=1,

设尸(%,力,则莎=(-1-%,-苗),尸5=(3-x,-y),

LlULULIL9八

因为尸/•尸3=/+必_2尤-3=5，整理可得(x-1)+/=9,

即点P在以河(1,0)为圆心，半径4=3的圆上，

可知两圆有公共点，贝由一々同加1/区外+2，即2«J/2+(切一a?44,

I冽2—2m20

整理可得<2C「，解得1-J7W加<0或2W加W1+V7，

m-2m-6<0

所以实数”?的取值范围是[1-⑺,o]u[2,1+6].

故答案为.[1-b,o]u[2,1+力]

15.【正确答案】(I)(x-l)，y2=i6.

(2)a＞15.

【详解】(1)根据已知条件设以。为坐标原点，而方为X，了轴的正方向，建立平面

直角坐标系，根据已知条件设桃(XJ)且/(-15,0),0(0,0),

\1V1/1\I------；----I------

由师=4有J(x+15)+j2=4y/x2+y2,

(x+15)2+j?=]6(x?+j?),

x2+30x+225+j2=16/+16y2；

15x2+15/-30x-225=0,

即X2+/-2X-15=0,

整理得(x-l『+j?=i6,它是以(LO)为圆心，4为半径的圆.

所以小船M的运动的轨迹方程为：(X-1)2+/=16.

(2)由(1)可知4(-15,0),3(0,a)过N3的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直,

所以直线截距式方程为上+}=1(。＞0),

-15a

化为一般式方程为ax-15y+l5a=0(a＞0),

kz—0+15u\

根据题意，I,」＞4,解得。＞15,所以综上可知。的取值范围为。＞15.

Va+152

22

16•【正确答案”咤+?1

⑵V

【详解】(1)已知山£|=4夜，因为闺闾=2c,所以c=28，

22

点P(-3,1)在椭圆上,将其代入椭圆的1r+方=1(。＞6＞0),

可得可+£=i，即2+：=i①，

a2b2ab-

又因为。2=/一尸，即/-/=8②，

联立①②，整理得/-2/_8=0,解得从=4或〃=-2,

因为〃>(),所以〃=4,

所以r=b2+c2=4+8=12，

22

故椭圆C的标准方程为土+匕=1；

124

(2)因为/用专=?所以的面积S=；|P/P用sin：=日，

则\PFt\\PF2\=2,

因为长轴长为2a=2&，即°=而，

根据椭圆的定义得|尸耳|+|尸&=2卡,

所以(陷|+|尸居正=24,即附『+|尸£『+2附归列=24③，

由余弦定理可得闺阊2=|尸片『+|尸乙『-2|尸川在cos2,

整理得山外『=忸用2+|尸/联一「用忸闾④，

联立③④得：闺用『-24=-3卢片归入即山闻2=18,

则闺用=3也，所以c=乎，

2(a/?丫q

在椭圆中有即62=(&)一*=-,

I2J2

解得6=逅.

2

17.【正确答案】(1)证明见解析

⑵近

17

【详解】(1)取4D中点0,连接S。，过0点作OA/7//8,交8c于点M,

由题可知，SA=SD=45,AD=2,则S0=2,OA^OD=\,且SO_LN。，

因为/8=/。=工8=2,即CD=4,

2

又因为平面1s4。_L平面/BCD,平面"De平面48co=4D,SOu平面84D,

所以SO_L平面ABCD.

在四边形/BCD中，AB!/DC,ABAD=90°,贝1J/8_L4O,

且（W///B,贝！|（W_L/D,

以点。为坐标原点，04。及；05分别为弘弘2轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

则^(1,0,0),5(1,2,0)^(-1,4,0),£>(-1,0,0),5(0,0,2),

可得而=（-1,4,-2）,且点E是棱SC上靠近S端的三等分点,

贝”豆可知

且加=（2,2,0）,。£=[1]-J,

m•DB=2x+2y=0

设平面5DE的一个法向量为成=(x,%z),贝卜一一244

m•DE=—xH——yd——z=0

I333

令X=l,则y=-l,z=；,可得应=[1,一1,；).

又因为或=(1,0,-2),则/.万=1—1=0，

可得且“(Z平面8DE，所以S///平面3DE.

(2)由(1)易矢口就=(-2,2,0),无=(-1,4,-2),

,、fn-BC=-2a+26=0

设平面SBC的一个法向量为力=(。也c),则_,

n-SC=-a+4b-2e=0

令〃=2,则6=2,c=3,可得力=（2,2,3）.

设平面瓦龙与平面SBC夹角的为a,

3

I----1m-n?后

则milcosa=cos加洌=ii=可）一,

\m\-\n\葭后17

2

故平面与平面S3。的夹角的余弦值为近.

17

18.【正确答案】（l）P=]

（2）27

【详解】（1）设2（勺,月）,以物力），直线/斜率为左,

由题可知：点0（0,0）,N（T2）,则直线ON的斜率为：勺“=5二彳=-2；

因为直线/斜率与直线ON的斜率之积为-2,

则koN-k--2,解得k=1,

又因为点N（-l,2）,过点N的直线/与抛物线C交于48两点，

故直线/的方程为>-2=》+1,即产x+3,

联立方程F,消去V可得尤2-2pr-6P=0,

[y=x+3

贝（IA=4p2+36p〉0,可得为+工2=2°,玉%2=-6p,

因为为.赤=0，则%%+M%=%工2+（%+3）（%+3）=0,

整理可得3（再+/）+2%/+9=0,即9+6pT2P=0,解得p=；.

（2）由题可知，直线EF垂直平分线段AB,

设线段48的中点为朋（无0，%）,直线跖的斜率为凝尸，

.,x+x3EI_3_9口口,,/391

由（z1x）知％=——^9=p=-,则为=迎+3=不+3=不，即7^|不，5卜

且原尸=-1,所以直线造的方程为卜-；=-卜-：|,即y=-x+6,

联立方程厂=31'消去y可得/+3》-18=0,

[y=-x