2024-2025学年北京课改版九年级上册数学期末复习试卷（含详解）

2024-2025学年北京课改版九年级上册数学期末复习试卷

选择题（共8小题，满分16分，每小题2分）

1.（2分）下列图形是中心对称图形的是（）

2.（2分）将二次函数y=5x2的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的函数图象的解

析式为（）

A.尸5（尤+3）2+2B.y=5（x-3）2+2

C.y=5（x+3）2-2D.y=5（x-3）2-2

3.（2分）用配方法解方程/-2x-7=0时，原方程应变形为（）

A.（尤+1）2=6B.（x+2）2=6C.（x-1）2=8D.（x-2）2=8

4.（2分）下列语句所描述的事件是随机事件的是（）

A.任意画一个三角形，其内角和为360。

B.过平面内任意三点画一个圆

C.经过任意两点画一条直线

D.任意画一个平行四边形，其对角相等

5.（2分）电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：。）、通电时间t（单

位：s）与产生的热量。（单位：〃）满足。=产放.已知导线的电阻为211,1s时间导线产生50J的热

量，电流/的值是（）

A.5B.6C.8D.10

6.（2分）如图，已知OO的半径为1,则它的内接正方形ABC。的边长为（）

A.1B.2C.V2D.2V2

7.（2分）把一个图形绕某一点逆时针旋转60度后，得到的图形与原来相比（）

A.变大了B.变小了C.大小不变D.无法比较

8.（2分）已知方程/+2x-3=0的解是无i=l,X2=-3,则给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）-3=

0,它的解是（）

A.-1或3B.1或3C.-1或-3D.1或-3

二.填空题（共8小题，满分16分，每小题2分）

9.（2分）已知一个二次函数图象的顶点坐标为（3,2）,其形状与抛物线y=-2A2相同，在对称轴右

侧，y随x的增大而减小，则这个二次函数的表达式为.

10.（2分）抛物线y=3（x-2）2+1的顶点坐标为.

11.（2分）如果关于x的一元二次方程苏+a+1=0（aWO）的一个解是x=T,那么代数式2021+a-b

的值是.

12.（2分）已知关于x的二次函数-（后+无）X+/?的图象与x轴相交于A、B两点，当0＜场＜1时，

线段AB的最大值为.

13.（2分）如图，AB是。。的直径，弦于E.若CD=6cm,ZCAB=22.5°,则BC的长

为.

14.（2分）如图，A,B,C,D,E是OO上的五个点，AB=CD.若O。的半径为6,ZCED=30°,

则图中阴影部分的面积为.

15.（2分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气.”

某校开展师生阅读活动，打造书香校园.据统计，九（I）班第一周参与阅读100人次，阅读人次每周

递增，第三周参与阅读达到361人次.设阅读人次的周平均增长率为x,则可得方

程.

16.（2分）某超市现有“个人在收银台排队等候结账.设结账人数按固定的速度增加，收银员结账的速

度也是固定的.若同时开放2个收银台，需要20分钟可使排队等候人数为0；若同时开放3个收银台，

需要12分钟可使排队等候人数为0.为减少顾客等待结账的时间，需要6分钟内使排队等候人数为0,

则需要至少同时开放个收银台.

三.解答题（共12小题，满分68分）

17.（5分）对于任何实数，我们规定符号,卜的意义是：卜A=ad_bc^按照这个规定请你求尤的值：

cdlIcdl

x+12x

=2的值.

x-2x-l

18.（5分）如图，是水平放置的输油管道的横截面，其直径为650""小油面的宽度AB=600/""z.求

油的最大深度.

19.（5分）如图，在△ABC中，ZC=90°,AB=W,BC=6,尸是边AB上的一点，以尸为圆心，PB

为半径作OP.

（1）尺规作图：求作。尸，使得0P与直线AC相切；（保留作图痕迹）

（2）求（1）中OP的半径.

20.（5分）如图，在8X8的网格中，每个小正方形的边长均为1,2XABC的端点A、B、C均在小正方

形的顶点上，点O在正方形的顶点上.

（1）将AABC绕着点。逆时针旋转90°得到△。跖（点A、B、C对应点分别是点。、E、F）,画出

△DEF；

（2）直接写出在（1）的旋转过程中，A点所经过的路径长

21.(5分)已知关于x的方程x2-2fcr+后-1=0.

(1)若方程有一根为5,求上的值；

(2)求证：不论％取何值，方程总有两个不相等的实数根.

22.(6分)已知二次函数-4x+c,它的图象过点A(2,-3),并且与y轴交于点2.

(1)求二次函数的解析式和点B坐标；

(2)当l<x<4时，结合函数图象，直接写出函数值y的取值范围；

(3)若直线y=Ax+b也经过点A,B两点，直接写出关于x的不等式依+6C%2-4x+c的解集.

23.(6分)一只不透明的袋中装有标号分别为1、2、3、5的4个球，这些球除标号外都相同.

(1)从袋中任意摸出一个球，摸到标号为偶数的概率是;

(2)先从袋中任意摸出一个球后不放回，将球上的标号作为十位上的数字，再从袋中任意摸出一个球，

将球上的标号作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数是奇数的概率.

24.(6分)如图，是△ABC的外接圆，E是弦BC的中点，P是。。外一点且NA,连接OE

并延长交。。于点F,交BP于点D

(1)求证：8尸是。。的切线；

（2）若OO的半径为6,BD=8,求弦BC的长.

25.（5分）涪陵榨菜是重庆市农村经济中产销规模最大、品牌知名度最高、辐射带动能力最强的特色支

柱产业.某知名榨菜企业为顺应市场需求推出了“五味榨菜”礼盒，成本为20元/盒.年销售量y（万

盒）与售价x（元/盒）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.

（1）结合图象求y与x之间的函数关系；

（2）求“五味榨菜”礼盒的年获利w（万元）与x之间的函数关系，并求当售价为多少元时可以获得

最大利润，最大利润是多少万元？

（3）去年，公司一直按照（2）中获得最大利润时的售价进行销售，今年在保持售价不变的基础上，公

司发力品牌营销，决定拿出部分资金进行广告宣传.经调查发现：①每年有11万盒产品供给固定客户，

其余产品全部被潜在客房购买；②若广告投入为a万元，则潜在客户的购买量将是去年购买量的m倍,

则m=4T（a-30）2+2；③受公司生产规模及资金限制，公司的年产量不超过28万盒，广告投入不

超过32万元.问公司在广告上投入多少资金可以使公司获得最大利润，最大利润为多少万元？（利润

=总销售额-总成本-广告费）

26.（6分）在平面直角坐标系中，设二次函数m+2（相是常数）.

（1）若函数图象经过点（2,3）,求函数图象的顶点坐标.

（2）若函数图象经过点（-1,/?）,（1,q）,求证：pqW12.

（3）已知函数图象经过点（-3,力），（m+2,”），（〃，V3）.若对于任意的5W〃W7,都有力>

>3>y2成立，求相的取值范围.

27.（7分）已知，在△AOB和△CO。中，ZAOB=ZCOD^90°,OA=OB=4,OC=OD=3.

(1)如图1,连接AC,BD,判断AC与8。的数量关系及位置关系，并说明理由;

(2)如图2,将△(%>£>绕点。旋转，当点。落在边上时，试判断A。，BD,。。之间的数量关系,

并说明理由；

(3)当点A,C,。共线时，请直接写出线段AC的长.

28.(7分)如图，四边形ABCD内接于OO,AC是的直径,AB=BC,连接BD,过点D的直线与

CA的延长线交于点E,且ED1=EA-EC.

(1)求NAOB的度数；

(2)求证：DE是。。的切线；

(3)猜想与A。、C。之间的数量关系，并说明理由.

B

E

参考答案与试题解析

题号12345678

答案ADCBACCC

选择题(共8小题，满分16分，每小题2分)

1.【解答】解：4是中心对称图形，故此选项正确；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

。、不是中心对称图形，故此选项不合题意.

故选：A.

2.【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5$的图象先向右平移3个单位所得函数的

解析式为：y=5(%-3)2；

由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5(x-2)2的图象先向下平移2个单位所得函数的解析式

为：y=5(x-3)2-2.

故选：D.

3.【解答】解：方程变形得：/-2尤=7,

配方得：x1-2x+l=8,即(x-1)2=8,

故选：C.

4.【解答】解：4任意画一个三角形，其内角和为360。，是不可能事件，不符合题意；

夙过平面内任意三点画一个圆，是随机事件，符合题意；

C、经过任意两点画一条直线，是必然事件，不符合题意；

D.任意画一个平行四边形，其对角相等，是必然事件，不符合题意；

故选：B.

5.【解答】解：通电时间f(单位：s)与产生的热量。(单位：J)满足。=於&,

所以电流/=居=倍=5(A).

故电流/的值为5A,

故选：A.

6.【解答】解：连接。3、OC,如图所示,

,/Q0的半径为1,四边形ABCD是正方形，

；.OB=OC=1,ZBOC=9Qa,

BC=7OB240C2=V2-

故选：c.

7.【解答】解：把一个图形绕某一点逆时针旋转60度后，得到的图形与原来相比大小不变.

故选：C.

8.【解答】解：•・•方程/+2%-3=0的解是为=1,X2=-3,

・・・方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0,

2x+3=1,2x+3=-3,

2x=-2,2x=-6,

-1,X2=-3,

故选：C.

二.填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)

9.【解答］解：由题知，

设二次函数的解析式为y=a(x-3)2+2,

因为该抛物线的形状与抛物线丫=-29相同，

所以|。|=卜2|=2,

则a=±2.

又因为在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

所以a=-2,

所以这个二次函数的表达式为y=-2(x-3)2+2.

故答案为：y=-2(x-3)2+2.

10.【解答】解：•••抛物线y=3(x-2)2+1,

...该抛物线的顶点坐标为(2,1),

故答案为：(2,1).

11.【解答】解：•.•关于X的一元二次方程办2+b尤+1=0(aWO)的一个解是x=-1,

.\a-Z?+l=0,

:.a-b--1,

.\2021+a-6=2021-1=2020.

故答案为：2020.

12.【解答］解：当y=0时，/-(层+力)x+/z3=O,解得修=//2,X2=h,

・・・A、3点的坐标为(h,0),(F,0),

C.AB—h-层=-(h-----)2+—,

24

...当时，AB有最大值为3，

24

即当时，AB取得最大值3.

4

故答案为］.

4

13.【解答】解：连接05,作交。3延长线于H,

•・•直径A8J_CD,

・・・CE=DE,

：.BC=BD,

：.ZCDB=ZBCD,

9：ZCDB^ZA=22.5°,

AZBCD=22.5°,

•：NCBH=NCDB+/BCD=22.5°+22.5°=45°

・・.ACBH是等腰直角三角形，

令CH=x,则BD=BC=yf^CH=J^x,

:.DH=(&+1)x,

222

CH+DH=DCf

・•・,+(V2+1)27=62,

.一3V4-272

••A'=.----------，

V2

BC=\&=3,4-2加.

故答案为：3V4-272.

14.【解答】解：-：AB=CD,

•

・・AB二CD，

・・・NAO3=2NC皮)=60°,

•c60-7T-62…

••5阴影=一薪一=6几・

故答案为：67r.

15.【解答】解：根据题意得：100(1+x)2=361.

故答案为：100(1+x)2=361.

16.【解答］解：设结账人数每分钟增加x人，收银员每分钟给y人结账,

20X2y=20x+n

依题意得:

12X3y=12x+n，

1

x怎11

解得：，

_1

设同时开放小个收银台,

则6my>6x+n,

解得：

又・・,根为整数，

Am的最小值为6.

故答案为：6.

三.解答题（共12小题，满分68分）

17.【解答】解：根据题意得：

(x+1)(x-1)-2x(x-2)=2,

整理得：，-4x+3=0,

(x-1)(x-3)=0,

x-1=0,x-3=0,

解得：Xi=l,X2=3.

18.【解答】解：过点。作0DLA8于点C,交。。于点0,连接。4,

H-600-H

由垂径定理得：AC—AB—X600=300(mm),

在RtZ\ACO中，AC2+OC2=AO2,

.,.3002+OC2=3252,

解得：OC=125mm,

：.CD=OD-OC=^325-125=200(mm).

答：油的最大深度是200加利.

19.【解答】解：(1)如图，。尸为所求作;

(2)设切点为。，连接尸。，如图，设OP的半径为八则P5=PQ=厂,

・・・。2与直线AC相切于。，

：.PD±ACf

：.ZAEP=90°,

VZC=90°,

・・・/AEP=NC,

J.PD//BC,

：.AAPD^AABC,

.PD=AP

••前一M

即三=g

610

解得厂=与，

即。尸的半径为学.

4

c

(2)根据旋转可知，ZAOD=90°,

0A=VS2+42=5-

...在(1)的旋转过程中，A点所经过的路径长为:

90X71X55冗

180~~"~2~'

21.【解答】(1)解：丫=2卜土曰一=、±1,

2X1

解得阳=Z+1,X2=k-1,

当4+1=5时，％=4；

当左-1=5时，k=6,

综上所述，%的值为4或6；

(2)证明：VA=(-2左)2-4(后-1)

=4>0,

...不论左取何值，方程总有两个不相等的实数根.

22.【解答】解：(1)；二次函数y=/-4x+c的图象过点A(2,-3),

/.-3=4-8+c,

Ac—1,

二次函数的解析式为y=--4.r+l,

令x=0,则产1,

：.B(0,1)；

(2),：y=x2-4x+l=(x-2)2-3,

；.x=2时，y有最小值-3,

Vx=4时，y=(4-2)2-3=1,

.•.当l<x<4时，函数值y的取值范围是-3Wy<l；

故答案为4；

(2)画树状图为:

共有12种等可能的结果数，其中组成的两位数是奇数的结果数为9种,

所以组成的两位数是奇数的概率为卷'

：.BE=CE,OELBC,BF=CT=^BC，

：.ZBOE=ZA,ZOBE+ZBOE=90°,

,：NPBC=NA,

NBOE=NPBC,

：.ZOBE+ZPBC=90°.BPBPLOB.

是OO的切线

(2)解：\'OB=6,BD=8,BD1OB.

:,OD=JOB2+BD2=18

■:AOBD的面积=工。。・8£=工。小瓦),

22

.OB-BD6X8.

.,BE=----------=---------=4.8Q.

OD10

:.BC=2BE=96

(20k+b=40

25.【解答】解：（1）设/=日+儿将点（20,40）,（30,20）代入得:

I30k+b=20

(k=-2

解得:

lb=80

故y=-2x+80；

(2)w=(x-20)X(-2x+80)=-2^+120x-1600=-2(x-30)2+200,

当x=30时，w最大=200.

答：定价为30元时，利润最大，最大利润为200万元.

(3)当x=30时，y=20,则潜在客户购买量为20-11=9万盒,

w=(30-20)X11+(30-20)X9[--^―(a-30)2+2]-a

900

1。

=—^-〃2+5。+200

10

=-—(a-25)2+262.5,

10

由题意：11+9L-^^(a-30)2+21W28,

整理得：(a-30)2^100,

解(〃-30)2=10。得：651=40,“2=20,

由图知0W〃W20或。240,

又・.・〃W32,

・・・0W〃W20,

在W=--L(a-25)2+262.5中，当a<25时，3随。的增大而增大,

10

故当a=20时，川最大=--(20-25)2+262.5=260.

10

答：当广告费为20万时，利润最大，最大利润为26。万元.

26.【解答】(1)解：•.•函数图象经过点(2,3),

.*.3=4-4m+m+2,

解得加=1,

・,.y=7-2x+3=(x-1)2+2,

・・・抛物线的顶点坐标为(1,2)；

(2)证明：・・,函数图象经过点(-1,p),(1,q),

*»p=l+2m++m+2=3+3m,q=l-2m+m+2=3-m,

••pq—(3+3m)(3-m)=9+6m-3m2=-3(m-1)2+12,

-3＜0,

：•pq

(3)解：*.*y=x2-2mx+m+2,

・••二次函数图象开口向上，对称轴为直线x="，则点(机+2,及)在对称轴右侧，

•・•对于任意的5W〃W7,都有力＞为＞经成立，

・••存在如下情况：设函数图象经过点A(-3,yi),B(m+2,以)，C5,为).

情况1,如图1,当-3Vnz+2V〃时，口丁〈口,

图2

m++n

当-3<n<m+2时，^<n.

m>n-2

・Y、,

m>n+2

/.m>n+2,且5W〃W7,

解得m＞9,

综上所述，2＜相＜3或相＞9.

27.【解答】解：(1)AC=BD,AC±BD；理由如下:

VZAOB=ZCOD=90°,

・・・NDOB=NCOA,

在和△CQ4中，

rOD=OC

<ZD0B=ZC0A，

OB=OA

:•△DOB"XCOA(SAS),

：.BD=AC,ZOAC=ZOBD,

如图1所示，设3。交AC于点E,交AO于点月

C图1

ZAFB=ZAOB-^-ZOBD=NAEF+/OAC,

ZAEB=ZAOB^90°,

：.AC_LBD；

(2)AD1+BD1=2OD1,理由如下：

如图2,连接AC,

图2

VZAOB=ZCOD=90°,

・•・ZAOB-ZAOD=ZCOD-ZAOD,

:.ZBOD=ZAOC9

在△30。与△AOC中，

'BO=AO

,ZBOD=ZAOC，

OD=OC

.,.△BOD^AAOC(SAS),

：.BD=AC,ZB=ZOAC,

：.Z