2024-2025学年八年级数学开学摸底考试卷（湖南长沙专用）（解析版）

2024-2025学年八年级数学下学期开学摸底考

（湖南长沙专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

±o写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教版八年级上册全部。

第一部分（选择题共30分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求的）

1.下列剪纸作品中，是轴对称图形的为（）

事通［■

【答案】B

【分析】本题考查轴对称图形的识别，涉及轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，

直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，根据定义逐项判定即可得出结

论，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键.

【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意；

B、是轴对称图形，故选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故选项不符合题意；

故选：B.

2.下列计算正确的是（）

A.a2+a3=2a5B.a2-a3=a6

C.(1)=a5D.a(a+l)=a~+a

【答案】D

【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数累的乘法、塞的乘方、单项式乘多

项式，根据相关运算法则逐项判断即可.

【详解】解：A、/与/不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；

B、a2-a3=a5,故此选项计算错误，不符合题意；

C、(a2)3=«6>故此选项计算错误，不符合题意；

D、a(a+l)=a2+a,故此选项计算正确，符合题意；

故选：D.

3.已知°=8产,b=2741,c=961,则b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>obC.a<b<cD.b>c>a

【答案】A

【分析】本题考查了嘉的乘方，将三个数全部化成底数为3的幕，再进行比较即可得解.

41341123612122

［详解］解：〃=8产=04广=3124,/?=27=(3)=3,c=9=(3f=3,

a>b>c,

故选：A.

4.如图，已知。是BC的中点，AE、4厂分别是的角平分线、高线，则下列结论正

确的是()

A.AD=CDB.ZCAE=-ZBACC.ZAEB=90°D.DF=CF

2

【答案】B

【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高

的定义判断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键.

【详解】A、是5c的中点，.•.BQ=DC,但AD不一定等于C。，故本选项结论错误，不

符合题意；

B、・・・/E是UBC的角平分线，.•.NC4£=J/A4C,本选项结论正确，符合题意;

C、「ZE是△4BC的角平分线，不是高线，.•.N4醺不等于90。，故本选项结论错误，不符合

题意；

D、。产与CF的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意；

故选：B.

5.计算(-2加y加・川+3加③)的结果是()

A.8m5B.-8m5C.8m6D.-4m4+12m5

【答案】A

【分析】根据积的乘方以及合并同类项进行计算即可.

【详解】原式=4m2・2m3

=8m5,

故选A.

【点睛】本题考查了幕的乘方、积的乘方以及合并同类项的法则，掌握运算法则是解题的关

键.

6.如图1,△3C中，点E和点尸分别为4D,“。上的动点，把△/DC纸片沿跖折叠,

使得点“落在△3C的外部4处，如图2所示.若/1=100。,/2=60。，则//的度数为

()

【答案】B

【分析】本题考查折叠的性质，三角形外角的性质，由折叠前后对应角相等可得4=NH,

结合三角形外角的性质可得/I=//+/2+4'=2/4+Z2,由此可解.

【详解】解：如图，标记HE与4C的交点为点3,

A

由三角形外角的性质得，/1=/A+/4BE,ZABE^Z2+ZA',

由折叠得44=NH,

Zl=//+/2+/H=2/4+/2,

Zl=100°,Z2=60°,

/.100°=2Z^+60°,

：.ZA=20°,

故选B.

7.如图，在△4BC中，AB=5,AC=4,以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交A8,AC

于点。和E,再分别以点。,后为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点尸，连接■尸并

延长交5c于点G,GHLAC^WH,GH=2,则△N2C的面积为（）

A

A.4B.5C.8D.9

【答案】D

【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，熟练掌握角平分线的性质是解题的

关键.

根据题意得出/G平分NR4C,作GW垂直4B于点得到G"=GM,再根据三角形面

积公式计算即可.

【详解】解：作GM垂直2B于点

由题意得4G平分NA4C,

GH1AC,GM1AB,GH=2,

：.GM=GH=2,

,,,AB=5,AC=4,

••・S叱=s叱+S,=~AB-GM+-AC-G//=-x5x2+-x4x2=9,

4ABeAABGA/ICrGr2222，

故选：D.

8.某学习小组学习《整式的乘除》这一章后，共同研究课题，用4个能够完全重合的长方

形，长、宽分别为。、6拼成不同的图形.在研究过程中，一位同学用这4个长方形摆成了

一个大正方形.如图，利用面积不同表示方法验证了下面一个等式，则这个等式是()

A.a2—b2=+B.(a+6)~=4ab

C.^a+b)"=a2+2ab+b2D.(^a-by=a2-2ab+b2

【答案】B

【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量

的等量关系.根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积曰小正

方形的面积=4个矩形的面积，据此求解即可.

【详解】解：•••大正方形的面积曰小正方形的面积=4个矩形的面积，

(a+b)2-(a-6)-=4ab.

故选：B.

\x+5<l-xay-4

9.若关于x的不等式组°,无解，且关于y的分式方程--+--=2的解为正整

[2x-a<3xy-33-y

数，则所有满足条件的整数。的值之和为()

A.-12B.-11C.-10D.-9

【答案】D

fx+5<1-x

【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解分式方程，由不等式组0°无解，

[2x-a<3x

解得。42,解分式方程T+二=2得，7=二3,进而得到。=2、-1、-4、-7,即可得

y—35-y3

解，本题特别要注意分式有意义的条件.

[x+5<1-x①

【详解】解：•.・关于x的不等式组。…，

—Q<3x②

由①得，x《—2,

由②得，x>-a,

•.,原不等式组无解，

—ci2—2,

解得，a<2,

解分式方程T+F=2得，了=匕3，

y-33-y3

•••分式方程的解为正整数，

a—2、—1、—4、—7,

•.・y-3w0,

*'•Clw—1,

综上，。=2、-4、-7,

.-.2+(-4)+(-7)=-9,

故选：D.

10.如图，在△0/3和AOCA中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,

44O5=/COD=40。，连接NC、BD交于点、M,连接O”,下列结论：①AC=BD；②

ZAMB=40°；③0M平分N2OC；④平分/AWC,其中正确的为()

A.①②B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定等知识;

证明三角形全等是解题的关键.

由SAS证明A/OC空ABOD得出=AC=BD,①正确；由全等三角形的性质

得出4c=由三角形内角和定理得到乙0必=44。3=40。，②正确；作

OG1MC千G,OH，MB于H,由全等三角形对应边上的高相等得出OG=。〃，由角平

分线的判定方法得出平分/8MC,④正确；假设OM平分Z3OC,证明出

△BOMmACOM(ASA),得到0c=08=CM,而CM>OC,故③错误；即可得出结论.

【详解】解：设。4与BD交于点E,

ZAOB=ZCOD=40°,

ZAOB+ZAOD=ZCOD+ZAOD

即/AOC=/BOD

X.OA^OB,OC=OD,

；,"OC0ABOD(SAS)

AC=BD,①正确；

：./OAC=/OBD,

又“20EB=NMEA

ZAMB=ZAOB=40°,②正确；

作OG」MC于G,OHLMB于■H,如图所示：

DA

•：AAOC知BOD

..OG=OH(全等三角形对应边上的高相等)

：.MO平分NBMC,④正确;

；.NBMO=ZCMO

假设平分/8OC

ABOM=NCOM

.-.^BOM^COM(ASA)

OC=OB=OA

与CM>OC矛盾，故③错误;

正确的有①②④.

故选：B.

第二部分(非选择题共90分)

二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)

11.写出下列分式中的未知的分子或分母：

【答案】(1)4"；(2)a2-ab-(3)x

【分析】1、观察(1)中等号左右两边的分子有什么变化，借助分式的性质对分母可进行同样的

操作即可得到答案；

2、同理，对于(2)、(3)可借助分式的性质进行变形即可.

【详解】解:⑴对竺噢6mn,得半；

(2)T的分子分母同时乘a以，得士f;

abab

⑶的分子分母同时除以x,得3

XX

【点睛】本题考查分式的通分、约分，解题关键是熟练掌握分式的性质.

12.化简：=..

【答案】-/

【分析】把除法化成乘法，最后约分即可解答.

16/V163

【详解】原式.匕三=/」.匕.\=­3

xx（-yJxx-y

故答案为：-X3.

【点睛】此题考查分式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则.

13.一个多边形少算一个内角，其余内角之和是1500。，则这个多边形的边数是.

【答案】11

【分析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和定理是解题的关键.设

YH-2）X180°>1500°

这个多边形为“边形，根据题意列出不等式组J,enolcnnoieno,求出〃的取值

（“-2）x180<1500+180

范围即可确定整数〃的值.

【详解】解：设这个多边形为"边形，根据题意得:

J（M-2）X180°>1500°

［（«-2）xl80°<1500°+180°，

解得

33

・"为整数，

n=11,

故答案为：11.

14.现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）.小亮要用这三种纸片紧密拼接成一

个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片一块.

【答案】4

【分析】根据（。+26）2=/+4。6+4〃，即可得.

【详解】解：•.•（。+26）2=力+4仍+462

甲纸片1块，再取乙纸片4块，取丙纸片4块，可以拼成一个边长为。+26的正方形,

故答案为：4.

【点睛】本题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式.

15.如图，CA1AB,垂足为点/,AB=4cm,AC2cm,射线BM工AB,垂足为点8,

一动点、E从A点出发以2cm/s秒的速度沿射线/N运动，点。为射线8M上一动点，随着

E点运动而运动，且始终保持助=C8,当点£离开点N后，运动秒时，

△DEB"ABCA.

【答案】1或3

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握HL判定三角形全等是解题的关键;

分两种情况讨论，当E在42上时，BE=AC=2cm,可证AOM2,进而可求时间，

当£在aV上时，BE=AC=2cm,可证段,进而可求时间.

【详解】解：,.,C/_LA8,BM工AB,

ZA=ZABD=aDBN=90°,

当£在42上时，

当BE=AC=2cm时，则AE=AB-BE=2cm,

ED=CB,

:.ADEB知BCA（HL）,

••.E离开点/后，运动的时间为：2+2=1秒,

当E在3N上时，

M

当5E=/C=2cm时，则/E=/B+BE=6cm,

ED=CB,

:.ADEB均BC4(HL),

；・£离开点/后，运动的时间为：6+2=3秒，

综上所述：当点E离开点/后，运动1或3秒时，ADEB4BCA,

故答案为：1或3.

16.如图，点C为线段N3上一点，ADAC、都是等边三角形，4E、0c交于点

M,DB、EC交于点N,DB、AE交于点P,连结给出下面四个结论：

①MN〃AB；②NDPM=60°；③入1EB=9O。；④4ACM/ADCN.上述结论中，一定正

确的是(填所有正确结论的序号).

【答案】①②④

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，关键是由等边三角

形的性质推出ANCE咨ADCB(SAS),AACM知DCN(ASA),判定AMNC是等边三角形.由

SAS判定也△OC8,推出=由对顶角的性质得到=NCW,

由三角形内角和定理得到NDPW=Z4CN=60。，由4SL4判定/ADCV,推出CAf=CN,

MZMCN=180°-60°-60°=60°,得到AMVC是等边三角形，因此/CMN=60。，得到

ZCMN=ZACD,推出肱V5,44班在变化，NNE5不一定是90。.

【详解】解：••・AD/C、AECB都是等边三角形，

:.AC=CD,CE=CB,NACD=NBCE=60°,

:.NACE=NDCB,

:."CEdDCB(SAS),

/CAM=NMDP,

NPMD=NCMA,

ZDPM=ZACM=60°,

故②符合题意；

ZCAM=ZCDN,AC=CD,=60°=ZDCN=180°-60°-60°=60°,

FACM&DCN(ASZ,

故④符合题意；

:AACM知DCN(ASA),

:.CM=CN,

■：ZMCN=180°-60°-60°=60°,

.•.△MNC是等边三角形，

ZCMN=60°,

NCMN=ZACD,

MN//AB,

故①符合题意；

•••C在48上的位置在变化，

.〔NZEB在变化，乙4£8不一定是90。，

故③不符合题意.

，正确的是①②④.

故答案为：①②④.

三、解答题(本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本题6分)计算

（2）4（X+1）2-（2X+5）（2X-5）.

【答案】⑴3

(2)8x+29

【分析】本题考查了整式的混合运算、负整数指数塞以及积的乘方运算，熟记相关运算规则

是解题关键.

（1）计算负整数指数幕、积的乘方，将除法变成乘法运算即可求解;

（2）利用完全平方公式、平方差公式即可求解；

原式=£+

【详解】（1）解:

1______1

万方义CT6b3

1

2M

(2)解：原式=4(12+2x+l)—(4——25)

=4X2+8X+4-4X2+25

—8x+29

18.(本题6分)因式分解:

⑴3办2+6。孙+3即2；

(2)16(o-Z7)2-9(a+/?)2.

【答案】(l)3a(x+y)2

⑵(7a-6)("76)

【分析】本题考查的是因式分解，掌握分解因式的方法是解题关键.

（1）先提公因式，再用完全平方公式因式分解；

（2）直接利用平方差公式分解因式.

【详解】（1）解：原式=3。，+2孙+/）

=3Q（X+＞）2；

（2）解：16（4-6）2-9（4+6）2

=[4（q一[3（q+b）T

=[4（a-b）+3（Q+b）][4（Q-b）-3（a+b）]

二（7〃-6乂〃-7b）.

f_L__〃+2

ci—2Q+1

19.（本题6分）先化简，再求值:—•(〃+2),其中。=2.

(Q+1Q21/+4Q+4

3

【答案】一彳，1

a+1

【分析】先根据分式的混合运算步骤进行化简，然后代入求值即可.

1__。+2a2—2a+1

【详解】解:•(〃+2)

、〃+1/­1Q2+4Q+4

1a+2(4Z-1)2/小

-------------——」・(Q+2)

a+1(Q+1)(Q—1)(4+2)2

1a-1

•(Q+2)

a+1(a+l)(tz+2)

a+2a—1

a+1a+1

3

Q+1

3

当a=2时，原式-7=1

2+1

【点睛】此题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键.

20.(本题8分)已知2a=10,5"=10,2,=5

⑴求⑹…的值.

⑵若x=5b,y=(125)*3，用含x的代数式表示j值.

22

⑶求一+1

ab

【答案】(1)1

⑵了=5与3,

(3)2

【分析】本题考查了同底数幕相除的逆运用，幕的乘方，积的乘方，同底数塞相乘等运算法

则，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先整理16"7=(2。+2。+2),再分别代入2"=10,2。=5进行计算，即可作答.

(2)运用幕的乘方得出y=(5"3『，再代入》=5〃，进行化简，即可作答.

(3)先整理出2"=10"①，5ab=10"②，然后得出2"x5"=106xl0fl=10a+6,即

ab=a+b,再结合2+2=2>+a),把=.+/,代入求值，即可作答.

abab

【详解】（1）解：••・2"=10,2。=5

.•.16—

=(2"+20+2)4

=00+5+2)4

=1.

(2)解：•。=5。=(125广,

(3)解：•••2"=10,

=10〃，

即2M=10〃①，

•■-5A=10,

.•.阳”=10",

即5"=10"②，

.•.①x②，得2而x5而=10°x10"=10"+〃，

即(2x5户=10"=10"+",

:.ab=a+b,

22

—+—

ab

=-2b-1-2-a

abab

2(b+a)

ab

=2.

21.（本题8分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角形（顶点是

网格线交点的三角形）△48C关于直线/对称的图形为,其中4是/的对称点.

⑴请作出对称轴直线/及△4BC关于直线I对称的△4巴。1;

(2)在直线/上画出点尸，使得AP/C的周长最小；

(3)直接写出四边形N844的面积为一

【答案】⑴作图见解析

(2)作图见解析

⑶24

【分析】本题考查作图一轴对称变换、轴对称一最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解

答本题的关键.

(1)根据轴对称的性质作图即可；

(2)连接4C,交直线/于点P,则点尸即为所求；

(3)利用梯形的面积公式计算即可；

【详解】(1)如图，直线/和△44。即为所求；

(2)如图，连接4C，交直线/于点尸，连接的

此时PA+PC=PA,+PC=4c,为最小值,

P/+PC+/C最小,

lx(4+8)x4=24.

22.(本题9分)如图，C。平分/8C4且平分/班必，44=90°,点尸在射线C8上，且。尸=QE.

(2)求证：AE=BF.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的

关键.

(1)由角平分线的定义可得/BCD=乙4CD,NBDC=NADC,再利用ASA证明

△BCD会AACD即可得证;

(2)由全等三角形的性质可得NRRD=N/=9O。，再证明Rb/DE也RM瓦加(HL),即可

得证.

【详解】（1）证明：・・・C。平分N5C4且平分

:"BCD=/ACD,/BDC=/ADC,

在△5CQ和△/CD中，

/BCD=/ACD

<CD=CD,

ZBDC=ZADC

.“BCD处ACDgZ，

DB=DA；

（2）证明：由（1）可得△BCD之△4CD,

：・/CBD=/A=9。。，

・•.AFBD=NZ=90°,

由（1）知：DA=DB,

在RtA/DE和RtABDF中，

[AD=BD

[DE=DF'

RUADE^RUBDF（HL）,

AE=BF.

23.（本题9分）某公司拟在甲、乙两个街区投放一批共享单车，这批共享单车包括45两

种不同款型.请回答下列问题：

（1）该公司早期在甲街区进行了试点投放，投放48两种款型的共享单车各50辆，投放成本

共计7500元，其中B种款型的共享单车的成本单价比A种款型的共享单车高10元.48两

种款型的共享单车的成本单价各是多少？

（2）该公司决定采取如下投放方式：甲街区每1000人投放4辆共享单车，乙街区每1000人投

放"+240辆共享单车.按照这种投放方式，甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200

a

辆.如果甲、乙两个街区共有15万人，试求。的值.

【答案】（1）43两种款型的共享单车的成本单价分别是70元和80元

⑵a=15

【分析】本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，根据等量关系，列出方程是解题

的关键.

(1)设A种款型的共享单车的成本单价是尤元，则8种款型的共享单车的成本单价是

(x+10)元，根据投放48两种款型的共享单车各50辆，投放成本共计7500元，列出方程,

解方程即可；

(2)根据甲街区每1000人投放。辆共享单车，乙街区每1000人投放8。+24。辆共享单

a

车.甲街区共投放1500辆，乙街区共投放1200辆，甲、乙两个街区共有15万人，列出分

式方程，解方程即可.

【详解】(1)解：设A种款型的共享单车的成本单价是尤元，则8种款型的共享单车的成本

单价是(x+10)元.

由题意，得50x+50(x+10)=7500,

解得x=70,

.,.x+10=80.

故43两种款型的共享单车的成本单价分别是70元和80元.

120

，一、即,zaX1000+„P^„X1000=150000

(2)解：由题意，得a8a+240

a

解得a=15.

经检验，。=15是分式方程的解，且符合题意.

24.(本题10分)如图①所示是一个长为2〃?，宽为2〃的长方形，沿图中虚线用剪刀均分

成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形.

①②③

(1)按要求填空：

①你认为图②中的阴影部分的正方形的边长等于；

②请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：

方法1：

方法2：

③观察图②，请写出代数式(％+〃)2,(加-〃)2,加"这三个代数式之间的等量关系：

(2)根据(1)题中的等量关系，解决如下问题：若|"什〃-6|+|相〃-4|=0,求(加-“)2的值.

(3)实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了.

【答案】(1)①tn-n；②(m-n)2；(m+n)2-4mn,③("，-“)2=(加+〃)2-^mn；

(2)(m-几)2=20；(3)(2m+n)(m+n)=2m2+3mn+n2

【分析】(1)①观察可得阴影部分的正方形边长是加-如

②方法1：阴影部分的面积就等于边长为吁〃的小正方形的面积；方法2：边长为根+〃的大

正方形的面积减去4个长为加，宽为〃的长方形面积；

③根据以上相同图形的面积相等可得；

(2)根据忱+〃-6|+|加〃-4|=0可得加+〃=6、mn=4,利用(1)中结论(m-n)2=(m+n)2-4mn

计算可得；

(3)根据：大长方形面积等于长乘以宽或两个边长分别为机、〃的正方形加上3个长为加、

宽为"的小长方形面积和列式可得.

【详解】(1)①阴影部分的正方形边长是机-机

②方法1：阴影部分的面积就等于边长为加-〃的小正方形的面积，

即(加-〃)2,

方法2：边长为冽+〃的大正方形的面积减去4个长为加，宽为〃的长方形面积，即

(m+n)2-4mn；

③(m-n)2=(m+n)2-4mn.

(2))v|m+n-61+1mn-41=0,

'-m+n-6=0,mn-4=0,

・••加+〃=6,m«=4

•;由(1)可得(m-H)2=(加+〃)2-4mn

:，(m-n)2=(m+n)2-4mn=62-4x4=20,

•••(m-n)2=20；

(3)根据大长方形面积等于长乘以宽有：(2加+〃)(m+n),

或两个边长分别为冽、〃的正方形加上3个长为冽、宽为〃的小长方形面积和有：

2m2+3mn+n2,

故可得：(2m+/7)(加+〃)=2m2+3mn+n2.

故答案为(1)m-n；(2)①(加-〃)2,②(加十几)2-4mn,③(加-〃)2=(加+〃)

2-4加〃；(3)(2m+n)(加+〃)=2m2+3mn^-n2.

【点睛】

本题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练的掌握完全平方公式的相关知

识.

25.（本题10分）阅读下列材料，完成相应任务.

数学