6类圆锥曲线离心率问题解题技巧（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程求离心率）-高考数学必考模型归纳

题型236类圆锥曲线离心率问题解题技巧

（定义法、焦点三角形、斜率乘积、定比分点、余弦定理、齐次方程

求离心率）

技法01椭圆、双曲线中的定义法求离心率

技法02焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率

技法03斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率

技法04定比分点求椭圆、双曲线的离心率

技法05余弦定理求椭圆、双曲线的离心率

技法06构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率

技法01椭圆、双曲线中的定义法求离心率

喟♦常见题型解读

定义法求离心率是最本质和常规的方法，也是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题

中考查，有时也会在大题中命题，需重点强化练习

知识迁移椭圆公式1：e=',公式2：变形e=Jl—£，双曲线公式l：e=',公式2:e=Jl+理

aVa-a\a2

02

跟我学•解题思维司晰

22

例1-1.（2023•安徽•校联考模拟预测）已知椭圆E:3+当=l（a>6>0）的长轴长是短轴长的2倍，则E的

ab

离心率为（）

技巧点拨o

b1J3

2a=4b,所以一=7=

a2~2

22

例12（2023•江苏模拟）已知双曲线C苏r-v%=l（a>08>0）的一条渐近线方程为2x-y=0,则双曲线C的

离心率为（）

A.2B.&C.6D.y/5

解题

技巧点拨

唁磊而•知识迁移强化

22

1.（2023•新疆喀什•校考模拟预测）已知椭圆C：a+方=1（。>6>0）的右焦点为尸（2,0）,尸为椭圆的左

顶点，且上刊=5,则C的离心率为（）

21-21

A.-B.-C.—D.-

3253

2.（2023•内蒙古呼和浩特・统考二模）一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为.

22

3.（2023•河南・马店第一高级中学校联考模拟预测）已知双曲线C：j一七=l（b>0）,其右焦点到渐近线

16b

的距离为2,则该双曲线的离心率为.

4.（2023•浙江台州•统考二模）已知椭圆C:J+，=l（a>6>0）经过点（2,0）和，,则椭圆C的离心率

为.

技法02焦点三角形中椭圆、双曲线的离心率

叫•常见题型解读

焦点三角形中求离心率方法较多，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，难度较小，需强化练习

知识迁移

已知棚圆方程为j+与=1（。〉。〉0）,两焦点分别为

ab

设焦点三角形尸石鸟中,g=a,NP嚣耳=夕,则椭圆的离心率0=sin（°+£）

sinor+sin/?

公式3：已知双曲线方程为2r=1（。〉0/〉0）两焦点分别为耳,工，设焦点三角形尸片耳中,/产£8=

ab

a,NP马耳=,，则e=sin(a+0

\sma-smp\

02

跟我学•解题思维吾l析

22

例2.（全国•高考真题）设椭圆C：=+27=1（°”>0）的左、右焦点分别为不F,P是C上的点，PF

a~b~22

SF1F2,

13Pl&=30,则C的离心率为

1

B.一D.显

33

技巧点拨o

V3m_6

【法一】离心率e=—=

2aPF'+PF?2m+m3

【法二］e=*当

计算即可

sina+smp

唁4人知识迁移强化

1.已知£、B是椭圆C的两个焦点,P是。上的一点，若，「月，且NP月月=60°,则c的离心率为（）

A.1-—B.2—百C,^—1D.V3-1

22

2.（全国•高考真题）设ABC是等腰三角形，ZABC=120°,则以A,5为焦点，且过点C的双曲线的离

心率为（）

A.1+—B.C.1+72D.1+73

22

22

3.（2023•北京・首都师范大学附属中学校考模拟预测）已知耳（-的0）,8（。,0）分别是双曲线C：1=1

ab

jr

（a>0,b>0）的两个焦点，P为双曲线C上一点，尸耳，尸工且/P乙片=g,那么双曲线C的离心率为

（）

A.圣B.GC.2D.73+1

22

4.（天津红桥•高二统考期末）已知B,尸2是双曲线二-2=1（a>0,b>0）的两个焦点，以线段为

ab

边作正三角形MSB,若线段MB的中点在此双曲线上，则双曲线的离心率为（）

A.Q+1B.4+2石

cD.百一1

*2

技法03斜率乘积求椭圆、双曲线的离心率

・常见题型解读

已知斜率乘积求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在

大题中命题，需重点强化练习

02

跟我学•解题思维剖析

（2023•吉林•高三阶段练习）己知双曲线J-2=l（a>0,b>0）的两个顶点分别为A,3,点尸为双曲线

例3.

上除A,6外任意一点，且点尸与点A,B连线的斜率分别为4、k2,若k屁=5,则双曲线的离心率

为

A.726B.76C.2A/3D.2.v/2

技巧点拨

kPQkPF=^=5,求解即可

吃篇E•知识迁移强化

丫2v2

1.（2022秋・吉林长春・高二长春外国语学校校考期末）已知双曲线1r-/=1（。>0,%>0）的两个顶点分别为A、

8,点P为双曲线上除A、8外任意一点，且点P与点A、B连线的斜率为若匕出=3,则双曲线的

离心率为（）

A.-y/2B.s/3C.2D.3

22

2.（2023•江苏镇江•江苏省镇江中学校考模拟预测）椭圆C：T+2=l（a>6>0）的左顶点为A,点尸，Q

ab

均在C上，且关于y轴对称.若直线AP,4Q的斜率之积为:，则C的离心率为（）

/\_____I'—]

22

3.（2022・全国•高三专题练习）过点作斜率为2的直线与椭圆C：ab~[a>b>0）相交于A

识高考•常见题型解读

已知定比分点求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在

大题中命题，需重点强化练习

知识迁移

点尸是椭圆的焦点，过产的弦A5与椭圆焦点所在轴的夹角为，,8e0,一7T次为直线A3的斜率，且.

2

AF=2FB(2>0)，则e=J1+F上1

2+1

当曲线焦点在y轴上时,e=Jl+g£j

、、cAFfcBF壬丁1AF.BF

注：丸二---或者A=------而不7E-----或---

BFAFABAB

jr

点尸是双曲线焦点，过产弦A3与双曲线焦点所在轴夹角为&8e0,—,左为直线A3斜率，AF

2

2-1，当曲线焦点在y轴上时,e=Jl+g霹

=2FB(2>0)，则e=,1+/

1+1

注:2=竺或者2=变而不是”或更

BFAFABAB

02

跟我学•解题思维剖析

例4.(全国,高考真题)已知双曲线C:r£=l(a>0,b>0)的右焦点为F且斜率为目的直线交C于A、

a2b2

B两点，若赤=4砺，则C的离心率为

678

A.-B.一C.一D

555-1

技巧点拨o

图计算即可

r你来练•知识迁移强化

1.（2022•全国•高三专题练习）已知F为椭圆C的一个焦点，8是短轴的一个端点，线段的延长线交椭

圆C于点。，且BF=2ED，则椭圆的离心率为（）

A.-B.—C.6D.—

3372

2.（全国•高考真题）己知椭圆。:=+4=1（°>6>0）的离心率为且，过右焦点p且斜率为左伏>0）的直线

a-b2

与C相交于AB两点.若AP=3P8，贝!U=

A.1B.72C.6D.2

22

3.（2023・山东烟台•统考三模）已知耳工分别是椭圆C：T+2=l（a>6>0）的左、右焦点，M是C上一

ab

点且必与X轴垂直，直线加耳与C的另一个交点为N,若MF[=3F[N,则C的离心率为（）

技法05余弦定理求椭圆、双曲线的离心率

喟3•常见题型解读

用余弦定理求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在大

题中命题，需重点强化练习

02

跟我学•解题思维剖析

22

例5.（2023•福建宁德•校考二模）已知双曲线C:，年=l（a>0,b>0）的左、右焦点分别为耳、F2,过F2的

直线/交双曲线的右支于A、8两点.点〃满足AB+A£=2AM,且尸i=0，者cosZA£2=；,则

双曲线的离心率是（）

A.或B.bC.—D.—

233

技巧点拨o

【详解】如下图所示，取线段的中点E,连接AE,

因为2AM.2巴=（+AB）.（A£—砌=,耳『一网,=0,则M|=网，

因为E为8月的中点，则且NABG=/A43,

由双曲线的定义可得2a=|M|TM|=|AB|-|”|=|即

所以，怛耳|=|明|+2a=4a,贝“明=|3|=2。，

由余弦定理可得由巴「=忸冗「+忸工「-2忸浦.忸K|cos/AB£=16（z2+4a2-2x4ax2<zx!=^^,

所以，2c=、住7=2叵a,因此，该双曲线的离心率为e=£=叵.

V33a3

吃篇卜知识迁移强化

22

1.（2023•山东烟台•校联考三模）双曲线C:方力=l（a>0,"0）的左、右焦点分别为耳（-。,0）,乙（。,0）,以C

22

1.（2023•全国•模拟预测）过坐标原点。的直线与椭圆点+%=1（。>6>0）交于A3两点，设椭圆的右焦

点为八已知NAFB=60。，且2|/回=忸刊，则椭圆的离心率为（）

A.也B.也C.@D.五

3333

22

2.（2024•江西南昌・南昌二中校联考模拟预测）已知椭圆C*+方=l（a>b>0）的左右焦点分别为小匕

过F?的直线交椭圆C于A,8两点，若|A£|=3|A区|,点M满足用0=3%,且则椭圆C的

离心率为（）

A.1B.BC.2D.迈

3333

22

3.（2023•四川成都•统考一模）已知圆。:/+>2_4括丫-4=0经过椭圆。:f+2=1（稣6>0）的两个焦点

ab

F4圆C和椭圆O在第二象限的交点为、g・入百=166-24,则椭圆。的离心率为（）

技法06构造齐次方程求椭圆、双曲线的离心率

喟1•常见题型解读

构造其次方程求离心率是新高考卷的常考内容，一般以椭圆或双曲线为载体在小题中考查，有时也会在

大题中命题，需重点强化练习

02

跟我学•解题思维剖析

22

例6.（2023•山东•烟台二中校联考模拟预测）已知椭圆C*+我=1（“>6>0）的左、右焦点分别为FltF2,

直线4过点耳且与椭圆C的长轴垂直，直线4过椭圆C的上顶点与右顶点且与乙交于点A,若04=208（。

为坐标原点），且忸£|+忸8|=2距则椭圆C的离心率为（）.

»布-1n出+1ry/5—1n^5+1

2424

解题

【详解】设椭圆的焦距为2c（c>0）,

则直线4：X=-C,直线4：二+；=1,

ab

x=—c

联立3=1

解得＜(a+c]b，即A-c?——」

y=------Ia)

x--cla

因为04=205，故8.

I22一

因为忸制+忸闾=2a,所以点3在椭圆。上，

将5.［安改］代入椭圆的方程得e+（。+。『=1,即:+"2。：+/=］,

I22a）4/4a24/4"

即2/+2e-3=0,解得e=-1或6="-