7上数学竞赛试题及答案

7上数学竞赛试题及答案姓名：____________________

一、选择题（每题5分，共25分）

1.下列各数中，有理数是（）

A.√2B.πC.0.1010010001…D.√3

2.已知a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，则a²+b²+c²的值为（）

A.36B.48C.54D.60

3.在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为（）

A.（3，2）B.（2，3）C.（-3，-2）D.（-2，-3）

4.已知函数f(x)=x²-2x+1，则f(2x+1)的值为（）

A.4x²-4xB.4x²-8x+4C.4x²-4x+1D.4x²-8x+3

5.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为（）

A.75°B.105°C.120°D.135°

二、填空题（每题5分，共25分）

6.若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，则a²+b²+c²的值为______。

7.在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为______。

8.已知函数f(x)=x²-2x+1，则f(2x+1)的值为______。

9.在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数为______。

10.若a、b、c是等差数列，且a+b+c=12，则a²+b²+c²的值为______。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.已知数列{an}的通项公式为an=3n-2，求前10项的和S10。

12.在直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点B的坐标为（x，y），求x和y的值。

13.已知函数f(x)=x²-2x+1，求f(x)在x=3时的函数值。

四、证明题（每题10分，共10分）

14.证明：若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an=a1+(n-1)d对所有正整数n成立。

五、应用题（每题10分，共10分）

15.一辆汽车从A地出发，以每小时60公里的速度行驶，行驶了3小时后，又以每小时80公里的速度行驶了2小时，求汽车从A地到目的地的总路程。

六、综合题（每题10分，共10分）

16.已知函数f(x)=x³-3x²+4x-6，求函数f(x)的单调区间。

试卷答案如下：

一、选择题（每题5分，共25分）

1.D

解析思路：有理数是可以表示为两个整数之比的数，而√2、π和0.1010010001…都是无理数，不能表示为两个整数之比，因此它们不是有理数。只有√3是无理数，但题目要求选择有理数，所以答案是D。

2.C

解析思路：等差数列的性质是相邻两项之差相等，设公差为d，则a+b+c=3a+3d=12，解得a+d=4。由于a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)，将a+b+c=12代入得a²+b²+c²=12²-2(ab+bc+ca)。由于a、b、c是等差数列，有ab+bc+ca=3ac，代入得a²+b²+c²=12²-2×3ac。因为a+d=4，所以ac=(a+c)/2×(a+c)/2=4/2×4/2=4，代入得a²+b²+c²=12²-2×3×4=48。

3.A

解析思路：点A（2，3）关于直线y=x的对称点B的坐标为（y，x），因为直线y=x是45°角的平分线，所以B点的x坐标等于A点的y坐标，y坐标等于A点的x坐标，即B点坐标为（3，2）。

4.B

解析思路：将x替换为2x+1得到f(2x+1)=(2x+1)²-2(2x+1)+1=4x²+4x+1-4x-2+1=4x²。

5.A

解析思路：三角形的内角和为180°，∠A和∠B已知，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。

二、填空题（每题5分，共25分）

6.48

解析思路：根据等差数列的性质，a²+b²+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)，已知a+b+c=12，代入得a²+b²+c²=12²-2(ab+bc+ca)。由于a、b、c是等差数列，有ab+bc+ca=3ac，代入得a²+b²+c²=12²-2×3ac。因为a+d=4，所以ac=(a+c)/2×(a+c)/2=4/2×4/2=4，代入得a²+b²+c²=12²-2×3×4=48。

7.（3，2）

解析思路：根据对称点的坐标关系，对称点的x坐标等于原点的y坐标，y坐标等于原点的x坐标。

8.4x²

解析思路：将x替换为2x+1得到f(2x+1)=(2x+1)²-2(2x+1)+1=4x²+4x+1-4x-2+1=4x²。

9.75°

解析思路：三角形的内角和为180°，∠A和∠B已知，所以∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°。

10.48

解析思路：与第6题相同，根据等差数列的性质和已知的a+b+c=12，可以得到a²+b²+c²=48。

三、解答题（每题10分，共30分）

11.S10=390

解析思路：数列{an}的通项公式为an=3n-2，所以前10项分别为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28。将这些数相加得到S10=1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=390。

12.x=3，y=2

解析思路：根据对称点的坐标关系，对称点的x坐标等于原点的y坐标，y坐标等于原点的x坐标，所以x=3，y=2。

13.f(3)=6

解析思路：将x=3代入函数f(x)=x²-2x+1得到f(3)=3²-2×3+1=6。

四、证明题（每题10分，共10分）

14.证明：根据等差数列的定义，有an=a1+(n-1)d。对于任意的n，有an+1=a1+nd，所以an+1-an=nd-(n-1)d=d。这说明数列{an}的相邻两项之差为常数d，即数列是等差数列。

五、应用题（每题10分，共10分）

15.总路程=420公里

解析思路：汽车前3小时行驶了3×60=180公里，后2小时行驶了2×80=160公里，所以总路程为180+160=340公里。

六、综合题（每题10分，共10