2024-2025学年高中数学 第2章 随机变量及其分布 2.1 2.1.2 离散型随机变量的分布列（教师用书）教学实录 新人教A版选修2-3

2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.12.1.2离散型随机变量的分布列（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.12.1.2离散型随机变量的分布列（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3教材分析2024-2025学年高中数学第2章随机变量及其分布2.12.1.2离散型随机变量的分布列（教师用书）教学实录新人教A版选修2-3。本节课围绕离散型随机变量的分布列展开，通过具体实例分析，引导学生理解并掌握分布列的定义、性质及计算方法，为后续学习随机变量的期望和方差等知识奠定基础。核心素养目标分析培养学生数学抽象和逻辑推理能力，通过离散型随机变量分布列的学习，使学生能够抽象出随机现象中的数量关系，形成数学模型；同时，提升学生数据分析与数学建模的核心素养，能够运用分布列进行概率问题的求解。学习者分析1.学生已经掌握了哪些相关知识：学生在本节课之前已经学习了概率的基本概念，如随机事件、概率等，以及一些基本的统计知识，如平均数、中位数等。此外，学生应该已经具备了解决简单线性方程组和不等式的基本能力。

2.学生的学习兴趣、能力和学习风格：高中学生对数学普遍抱有好奇心和探索欲，尤其对涉及实际应用的数学问题兴趣浓厚。学生的学习能力方面，部分学生具备较强的逻辑思维和抽象思维能力，能够快速理解和应用新概念。学习风格上，学生个体差异较大，有的学生偏好通过直观的图形和实例来学习，而有的学生则更倾向于逻辑推理和公式推导。

3.学生可能遇到的困难和挑战：在理解离散型随机变量的分布列时，学生可能会遇到以下困难：一是对随机变量和分布列的概念理解不够深入，难以区分离散型和连续型随机变量的分布；二是计算分布列的概率值时，可能会因为组合数的计算或者概率的加法原理应用不当而出错；三是将分布列应用于解决实际问题时，可能会缺乏合适的解题策略。这些困难需要通过课堂讲解、练习和讨论等方式帮助学生克服。教学方法与手段教学方法：

1.讲授法：通过清晰的讲解，帮助学生建立离散型随机变量分布列的概念和性质。

2.讨论法：组织学生就具体问题进行讨论，鼓励学生提出问题和解决方案，增强互动性。

3.案例分析法：通过分析具体实例，让学生体会分布列在解决实际问题中的应用。

教学手段：

1.利用PPT展示分布列的公式和图表，帮助学生直观理解。

2.采用模拟软件或数学软件，让学生动手操作，计算分布列的概率值。

3.结合网络资源，提供丰富的练习题和拓展材料，提高学生的自主学习和实践能力。教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对离散型随机变量分布列的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们在生活中遇到过需要随机决策的情况吗？比如掷骰子、抽签等。这些情况与数学中的概率有什么关系？”

展示一些关于概率问题的图片或视频片段，让学生初步感受概率在生活中的应用。

简短介绍概率的基本概念和重要性，以及随机变量和分布列的基本概念，为接下来的学习打下基础。

2.离散型随机变量分布列基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生了解离散型随机变量分布列的基本概念、组成部分和原理。

过程：

讲解离散型随机变量分布列的定义，包括其主要组成元素：随机变量、概率值和分布列。

详细介绍分布列的组成部分，使用图表或示意图展示分布列的构成，如概率分布表和概率分布图。

3.离散型随机变量分布列案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解离散型随机变量分布列的特性和重要性。

过程：

选择几个典型的概率问题案例进行分析，如彩票中奖概率、考试通过率等。

详细介绍每个案例的背景、特点和意义，让学生全面了解分布列在解决实际问题中的应用。

引导学生思考这些案例对实际生活或学习的影响，以及如何应用分布列进行概率估计。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成若干小组，每组选择一个与离散型随机变量分布列相关的主题进行深入讨论，如“如何设计一个公平的抽奖活动”。

小组内讨论该主题的现状、挑战以及可能的解决方案，如如何计算概率、如何调整奖品设置等。

每组选出一名代表，准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对离散型随机变量分布列的认识和理解。

过程：

各组代表依次上台展示讨论成果，包括主题的现状、挑战及解决方案。

其他学生和教师对展示内容进行提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，并提出进一步的建议和改进方向。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调离散型随机变量分布列的重要性和意义。

过程：

简要回顾本节课的学习内容，包括离散型随机变量分布列的基本概念、组成部分、案例分析等。

强调离散型随机变量分布列在现实生活或学习中的价值和作用，鼓励学生进一步探索和应用。

布置课后作业：让学生完成一份关于离散型随机变量分布列的应用案例分析报告，以巩固学习效果。知识点梳理1.离散型随机变量及其分布

-离散型随机变量的定义：随机变量取有限个或可列无限个值。

-离散型随机变量的分布函数：描述随机变量取值的概率分布。

-离散型随机变量的分布列：列出随机变量所有可能取值及其对应的概率。

2.离散型随机变量的期望

-期望的定义：随机变量取值的平均值，是随机变量取值与其概率的乘积之和。

-期望的性质：线性性、非负性、有界性等。

3.离散型随机变量的方差

-方差的定义：随机变量取值与其期望之差的平方的平均值。

-方差的性质：非负性、有界性、期望的方差等。

4.离散型随机变量的分布列计算

-分布列的概率和为1：所有可能取值的概率之和等于1。

-非负性：分布列中所有概率值不小于0。

-独立性：分布列中不同取值的概率互不影响。

5.离散型随机变量的分布函数

-分布函数的定义：随机变量取值小于或等于某个值时的概率。

-分布函数的性质：非减性、右连续性、有界性等。

6.离散型随机变量的分布律

-分布律的定义：随机变量取值及其对应概率的列表。

-分布律的性质：所有概率值非负、概率和为1、概率值非负等。

7.离散型随机变量的分布图

-随机变量分布图：通过图形展示随机变量的分布情况。

-随机变量分布图的特点：概率密度函数、概率分布函数等。

8.离散型随机变量的分布应用

-概率问题：计算随机事件发生的概率。

-期望和方差问题：计算随机变量的期望和方差。

-最优化问题：利用分布列和分布函数解决实际问题。

9.离散型随机变量的分布定理

-离散型随机变量的分布定理：描述多个离散型随机变量和的分布。

-离散型随机变量的分布定理的应用：计算复杂随机变量的分布。

10.离散型随机变量的分布性质

-离散型随机变量的分布性质：分布律、分布函数、分布图等。

-离散型随机变量的分布性质的应用：概率计算、期望和方差计算等。教学反思与改进教学反思是教师成长的重要环节，它可以帮助我们更好地了解教学效果，发现不足，从而不断改进教学方法。以下是我对本次教学的一些反思与改进措施：

1.课堂互动情况

在课堂上，我发现部分学生对分布列的概念理解不够深入，特别是在计算概率值时容易出错。为了提高学生的参与度，我决定在未来的教学中增加互动环节，比如设置小组讨论，让学生在小组内互相讲解和纠正错误，这样可以提高他们的理解和应用能力。

2.教学内容的呈现方式

在讲解离散型随机变量分布列时，我发现单纯的理论讲解让学生感到枯燥。因此，我计划在未来的教学中，结合实际生活中的例子，如彩票、抽奖等，让学生在实际情境中理解分布列的应用，这样既能提高他们的学习兴趣，又能加深对概念的理解。

3.学生个体差异的关注

在课堂上，我发现不同学生的学习进度和接受能力存在差异。为了更好地照顾到每个学生的学习需求，我计划在未来的教学中采用分层教学的方法，为不同层次的学生提供个性化的学习材料和辅导。

4.作业布置与反馈

在布置作业时，我发现有些学生完成作业的质量不高，可能是因为他们对课堂内容理解不透彻。为了提高作业的质量，我计划在未来的教学中，对作业进行分类，既有基础题也有提高题，同时加强对学生作业的反馈，及时指出错误并提供正确的解题思路。

5.评估方式

在评估学生的掌握程度时，我发现传统的考试方式可能无法全面评估学生的能力。因此，我计划在未来的教学中，除了考试外，增加一些平时作业、课堂表现和小组讨论的评估，以更全面地了解学生的学习情况。

6.教学资源的利用

在教学过程中，我发现多媒体教学手段的运用对学生学习效果有积极影响。为了进一步提高教学效果，我计划在未来的教学中，更多地利用网络资源、教学软件等现代化教学手段，丰富教学内容，提高学生的学习兴趣。重点题型整理1.计算离散型随机变量的期望

-题型示例：已知随机变量X的分布列为：

X|1|2|3

---|---|---|---

P|0.2|0.5|0.3

求：E(X)。

-答案：E(X)=1×0.2+2×0.5+3×0.3=1.9。

2.计算离散型随机变量的方差

-题型示例：已知随机变量X的分布列为：

X|1|2|3

---|---|---|---

P|0.2|0.5|0.3

求：D(X)。

-答案：D(X)=(1-1.9)²×0.2+(2-1.9)²×0.5+(3-1.9)²×0.3=0.61。

3.求离散型随机变量取某个值的概率

-题型示例：已知随机变量X的分布列为：

X|1|2|3

---|---|---|---

P|0.1|0.3|0.6

求：P(X=2)。

-答案：P(X=2)=0.3。

4.求离散型随机变量在某个区间内的概率

-题型示例：已知随机变量X的分布列为：

X|1|2|3

---|---|---|---

P|0.2|0.4|0.4

求：P(1≤X≤3)。

-答案：P(1≤X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.2+0.4+0.4=1。

5.根据分布列求解实际问题

-题型示例：某次考试中，及格分数线为60分，已知学生考试成绩X的分布列为：

X|50|60|70|80

---|---|---|---|---

P|0.1|0.3|0.4|0.2

求：至少有多少名学生及格？

-答案：设及格的学生人数为N，则有：

N=P(X≥60)=P(X=60)+P(X=70)+P(X=80)=0.3+0.4+0.2=0.9。

因此，至少有0.9N名学生及格，即至少有0.9×100=90名学生及格。课堂在课堂教学中，评价是确保教学目标达成的重要环节。以下是我对课堂评价的几个方面的具体实施：

1.课堂提问

课堂提问是了解学生学习情况的有效方式。我会通过提问来检验学生对知识点的掌握程度。例如，在讲解离散型随机变量分布列时，我会提出以下问题：

-请简述离散型随机变量分布列的定义。

-如何计算一个随机变量取特定值的概率？

-如何根据分布列计算随机变量的期望和方差？

2.观察学生参与度

在课堂上，我会注意观察学生的参与度，包括他们的眼神、表情和互动情况。例如，在小组讨论环节，我会观察学生是否积极参与、是否能够提出有见地的观点。这样的观察可以帮助我发现哪些学生可能需要更多的关注和指导。

3.课堂测试

为了更全面地评估学生的学习效果，我会定期进行课堂测试。测试可以包括选择题、填空题和计算题，旨在检验学生对基础知识的掌握情况。例如，我可以设计以下测试题目：

-已知随机变量X的分布列为：

X|1|2|3

---|---|---|---

P|0.3|0.4|0.3

求：E(X)和D(X)。

-通过分析测试结果，我可以了解学生在哪些知识点上存在困难，从而有针对性地进行教学。

4.课堂互动

课堂互动是提高学生学习兴趣和参与度的关键。我会鼓励学生提问和回答问题，通过这样的互动，我可以了解学生对知识的理解和应用能力。例如，在讲解分布列的性质时，我会提问：

-分布列的概率和为什么必须等于1？

-分布列的概率值为什么不能为负数？

5.及时反馈

在课堂教学中，及时反馈对于学生的学习至关重要。我会对学生的回答给予即时的正面反馈，对于错误的地方，我会耐心地解释并指导他们如何改正。例如，如果一个学生在计算期望时犯了错误，我会指出错误并引导他们重新计算，直到他们理解并正确完成。

6.个性化指导

每个学生的学习能力和风格都有所不同，因此，我会根据学生的个体差异提供个性化的指导。对于那些理解困难的学生，我会提供额外的辅导和练习；对于那些理解能力较强的学生，我会提供更具挑战性的问题。内容逻辑关系①离散型随机变量的定义

-离散型随机变量：取有限个或可列无限个值的随机变量。

-分布列：随机变量所有可能取值及其对应概