2024-2025学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（下）开学数学试卷

第1页（共1页）2024-2025学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（下）开学数学试卷一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．（4分）2025的倒数是（）A．﹣2025 B．2025 C． D．2．（4分）下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．3．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定4．（4分）下列命题中，真命题是（）A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，点A，B，E在x轴上，则点G的坐标为（）A．（3，6） B．（4，8） C．（5，10） D．（6，12）6．（4分）估计的值应在（）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间7．（4分）2025年央视春晚在重庆设立分会场，场地在来福士对面的规划展览馆，很多明星将参与春晚彩排，在寒假某一天，先从家跑步去规划展览馆拍照打卡，最后回家．小西家、面馆、规划展览馆在一条直线上．小西离开家的距离y与时间x之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（）A．小西从家到规划展览馆的速度是250m/min B．小西在面馆停留时间为30min C．小西从面馆到家的速度是70m/min D．小西从规划展览馆到面馆的速度90m/min8．（4分）已知正方形的边长为3，对角线AC，BD交于点O，AB长为半径作圆心角为90°的扇形EOF，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．9．（4分）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，CM＝2，连接BM，垂足为E，与对角线BD交于点F（）A． B． C． D．310．（4分）对两个整式M＝x+y，N＝x﹣y，进行如下操作：记P1＝M+N，称为第一次操作；记P2＝P1+2N，称为第二次操作；记P3＝P2+3M，称为第三次操作；记P4＝P3+4N，称为第四次操作，…下列说法：①P3＝7；②若x＝y，则P2024＝P2025；③若x＝﹣y＝1，则不存在正整数n，使得Pn是10的倍数．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）如果一个n边形的内角和是外角和的三倍，那么n的值为．12．（4分）为弘扬我国传统文化，我校准备从春节、元肯节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节刚好被选中的概率是．13．（4分）如图，在反比例函数的和图象上分别有A、B两点，则＝．14．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程，则满足条件的所有整数a的值之和为．15．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，，连接BD，连接AE并延长，交⊙O于点G．若，，则BD＝，AF：FG＝．16．（4分）若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，那么最小的“方圆数”为；将一个“方圆数”的前两位数记为m，后两位数，规定，．若F（N）（N）都是整数，则满足条件的N的最大值和最小值的差为．三、解答题：本大题共8个小题，第17题16分，其余各题每题10分，共计86分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．17．（16分）计算：（1）；（2）．18．（10分）小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，完成以下作图和填空．（1）在△ABC中，用尺规作图作∠BAC的角平分线AM交BC与点D，在射线AM上取一点E（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）所作的图中，求证：．证明：∵AD平分∠BAC，∴，又∵CE＝AC，∴∠CAM＝∠CEA，∴②，∴AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴，又∵CE＝AC，∴③．依据证明过程，小西得出如下结论：④．19．（10分）为全面推进新时代美育改革发展，了解掌握学生艺术素养发展情况，某学校举行了音乐基础知识测评．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（百分制），整理，描述（成绩得分用x表示，共分为4个组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出部分信息：七年级学生测评成绩在C组的数据为：81，83，83，87，88，89．八年级学生测评成绩在C组的数据为：81，82，84，84，84，85，87平均数中位数众数七年级85a83八年级8584b（1）上述图表中，则a＝，b＝，c＝；（2）通过上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）（3）该校七年级有780人，若测评成绩不低于90份的记为优秀，试估计七、八年级测评成绩为优秀的学生共有多少人？20．（10分）“阅百十风华致生涯广大”值此办学110周年之际，西大附中一大批文创产品惊喜上新，“随行杯”和“盲盒”深受师生喜爱．董老师在“阅见书店”购买了2个“随行杯”和3个“盲盒”，谢老师在“阅见书店”购买了3个“随行杯”和2个“盲盒”，共花费380元．（1）求每个“随行杯”和“盲盒”的售价为多少元？（2）“阅见书店”的文创产品很快售罄，应广大师生需求，“阅见书店”打算再购进一批“随行杯”和“盲盒”，已知每个“盲盒”成本比每个“随行杯”的成本高80%，在售价不变的前提下21．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点D为BC的三等分点（BD＞CD），按照D→B→A的顺序在边上运动，同时点Q以每秒，在线段CA上运动，当点Q到达点A时，Q都同时停止运动．在运动过程中，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜6）1，△ACD的面积与CQ的比值为y2．（1）直接写出y1，y2与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出y1，y2的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接求出y1≤y2时，t的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）22．（10分）外卖，作为现代化快节奏生活中的一种餐饮服务形式，近年来在全球范围内迅速发展并广受欢迎．小西在位于点A处的家中购买了位于点O处“稻香园”的外卖食品，然后进行配送．根据导航显示，点A位于点O的西北方向600，点B位于点A南偏东75°方向且在点O的北偏东60°方向，点C位于点A的南偏东30°方向（参考数据：≈2.449，≈1.732，）（1）求AB的长（保留根号）；（2）骑手在“稻香园”取餐后开始配送，由于道路AO施工，骑手有两条送餐路线可以选择，速度为每分钟120米，路线②O→B→A，请通过计算说明，骑手选择哪条路线才能更快的将外卖送到小西家？23．（10分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与坐标轴分别交于A、B、D三点，其中A点坐标为（4，0），3OB＝OD．（1）求抛物线解析式；（2）点P是直线AD下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形OAPD的面积最大时，求；（3）在（2）条件下，将抛物线C沿x轴翻折得到C1，则P点的对应点为P1，并将C1沿射线P1B方向平移个单位长度得到C2，记P1在抛物线C2上的对应点为P2，过P2作P2E⊥x轴于点E，F是直线DE上一点，连接AF，若存在，请直接写出点F的坐标．24．（10分）已知AB＝AC＝CE，AB与CE交于点D，连接BE．（1）如图1，若AD＝CD，∠CAD＝30°，求AE；（2）如图2，若AB⊥CE，取CE中点为F，证明：；（3）如图3，延长AE交CB延长线于点M，若∠MAC＝80°，AC＝6，P是△MAC内一点，∠PCM＝30°，在AC右侧作∠AQC＝∠APM

2024-2025学年重庆市北碚区西南大学附中九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析题号12345678910答案CDBCAADAAB一、选择题：本大题10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．1．（4分）2025的倒数是（）A．﹣2025 B．2025 C． D．【解答】解：根据倒数的定义得2025的倒数为，故选：C．2．（4分）下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．此图案既是中心对称图形，此项不符题意；B．此图案既是中心对称图形，此项不符题意；C．此图案既是中心对称图形，此项不符题意；D．此图案既不是中心对称图形，此项符合题意．故选：D．3．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×6×（﹣3）＝4+12＝16＞7，∴一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0有两个不相等的实数根；故选：B．4．（4分）下列命题中，真命题是（）A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．垂线段最短 D．连接两点之间的线段叫两点间的距离【解答】解：A、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，不符合题意；B、两条平行线被第三条直线所截，故本选项命题是假命题；C、垂线段最短，符合题意；D、连接两点之间的线段的长度叫两点间的距离，不符合题意；故选：C．5．（4分）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，点A，B，E在x轴上，则点G的坐标为（）A．（3，6） B．（4，8） C．（5，10） D．（6，12）【解答】解：∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且位似比为1：3，∵AD：BG＝4：3，AD∥BG，∴∠OAD＝∠OBG，∠ODA＝∠OGB，∴△OAD∽△OBG，∴．∵OA＝1，∴OB＝3，∴AB＝OB﹣OA＝3．∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝AB＝2，∴BG＝3AD＝4，∴点G的坐标为（3，6）．故选：A．6．（4分）估计的值应在（）A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间【解答】解：原式＝＝，∵，∴，，∴，故选：A．7．（4分）2025年央视春晚在重庆设立分会场，场地在来福士对面的规划展览馆，很多明星将参与春晚彩排，在寒假某一天，先从家跑步去规划展览馆拍照打卡，最后回家．小西家、面馆、规划展览馆在一条直线上．小西离开家的距离y与时间x之间的函数关系如图所示．下列结论正确的是（）A．小西从家到规划展览馆的速度是250m/min B．小西在面馆停留时间为30min C．小西从面馆到家的速度是70m/min D．小西从规划展览馆到面馆的速度90m/min【解答】解：∵根据函数图象，小西从家到规划展览馆的距离是1200m，∴小西从家到规划展览馆的速度是1200÷5＝240m/min，故选项A错误，不符合题意；∵图象中第二段与x轴平行的图象，表示在面馆停留时间，∴对应的x轴上用时从39到49，用时为10min，故选项B正确，不符合题意；根据函数图象，小西从面馆到家的速度是840÷（63﹣49）＝60m/min，故选项C错误，不符合题意；∵小西从规划展览馆到面馆用时39﹣35＝4min，走了1200﹣840＝360m，速度为360÷5＝90m/min，故选项D错误，符合题意，故选：D．8．（4分）已知正方形的边长为3，对角线AC，BD交于点O，AB长为半径作圆心角为90°的扇形EOF，则图中阴影部分的面积是（）A． B． C． D．【解答】解：如图，设AB与OE交于点G．∵四边形ABCD是正方形，点O是对角线AC，∴AC⊥BD，AC＝BDBDAC，∴∠BOC＝90°，OB＝OC，∵∠BOG+∠BOH＝90°，∠COH+∠BOH＝90°，∴∠COH＝∠BOG，在△OBG与△OCH中，，∴△OBG≌△OCH（ASA），∴S△OBG＝S△OCH，∴S四边形OGBH＝S△OBG+S△OBH＝S△OCH+S△OBH＝S△BOC＝S正方形ABCD＝×72＝（cm2），∵S扇形EOF＝π×37＝（cm3），∴S阴影＝S扇形EOF﹣S四边形OGBH＝（﹣）（cm2）．故选：A．9．（4分）矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，CM＝2，连接BM，垂足为E，与对角线BD交于点F（）A． B． C． D．3【解答】解：作DL⊥AE于点L，则∠ALD＝90°，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，∴DA＝BC＝6，∠DAB＝∠ABC＝∠C＝90°，∴BD＝＝＝10，∵CM＝3，∴BM＝＝＝2，∵AE⊥BM于点E，∴∠AEB＝90°，∴∠ADL＝∠BAE＝90°﹣∠EAE，∠MBC＝∠BAE＝90°﹣∠ABM，∴∠ADL＝∠MBC，∵∠ALD＝∠C，∴△ADL∽△MBC，∴＝，∴DL＝＝，∵∠MBC＝∠BAE，∠C＝∠AEB，∴△MBC∽△BAE，∴＝，∴BE＝＝＝，∵∠BEF＝∠DLF＝90°，∠BFE＝∠DFL，∴△BFE∽△DFL，∴＝＝＝，∴BF＝BD＝×10＝，故选：A．10．（4分）对两个整式M＝x+y，N＝x﹣y，进行如下操作：记P1＝M+N，称为第一次操作；记P2＝P1+2N，称为第二次操作；记P3＝P2+3M，称为第三次操作；记P4＝P3+4N，称为第四次操作，…下列说法：①P3＝7；②若x＝y，则P2024＝P2025；③若x＝﹣y＝1，则不存在正整数n，使得Pn是10的倍数．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：P1＝M+N＝x+y+x﹣y＝2x，∴P4＝P1+2N＝2x+2（x﹣y）＝4x﹣6y，∴P3＝P2+6M＝4x﹣2y+8（x+y）＝7x+y，故①错误；P3＝4x+y．∴P4＝P3+6N＝7x+5y+4（x﹣y）＝11x+y，P5＝P4+5M＝11x+y+5（x+y）＝16x+6y，P8＝P5+6N＝16x+5y+6（x﹣y）＝22x，P7＝P5+7M＝22x+7（x+y）＝29x+6y，P8＝Pt+8N＝29x+2y+8（x﹣y）＝37x﹣y，P9＝P4+9M＝37x﹣y+9（x+y）＝46x+4y，P10＝Py+10N＝46x+8y+10（x﹣y）＝56x﹣2y，P11＝P10+11M＝56x﹣3y+11（x+y）＝67x+9y，P12＝P11+12N＝67x+9y+12（x﹣y）＝79x﹣y，……由上面的规律可得，当x＝y时，P5＝P4＝P6＝P7＝P10＝⋯⋯＝P2n＝4x，故P2024＝4x，P2025＝4xP2024＝P2025，故②正确；当x＝﹣y＝1时，即x＝7，∴P1＝2x＝3，P2＝4x+6y＝4﹣2＝5，P3＝7x+4y＝7﹣5＝6，P4＝11x+y＝11﹣1＝10，P8＝16x+6y＝16﹣6＝10，P8＝22x＝22，P7＝29x+7y＝29﹣7＝22，P8＝37x﹣y＝37+1＝38，P6＝46x+8y＝46﹣8＝38，P10＝56x﹣3y＝56+2＝58，P11＝67x+9y＝67﹣3＝58，P12＝79x﹣y＝79+1＝80，……由以上规律可得，当n为4的倍数时，Pn为10的倍数，故③错误；故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将每小题的答案填在答题卡中对应的横线上．11．（4分）如果一个n边形的内角和是外角和的三倍，那么n的值为8．【解答】解：根据题意得：（n﹣2）•180°＝360°×3，解得：n＝5，∴n的值为8．故答案为：8．12．（4分）为弘扬我国传统文化，我校准备从春节、元肯节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节刚好被选中的概率是．【解答】解：将春节、元肯节、端午节分别记为A，B，C，D，列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中春节和端午节刚好被选中的结果有：（A，（D，共2种，∴春节和端午节刚好被选中的概率为．故答案为：．13．（4分）如图，在反比例函数的和图象上分别有A、B两点，则＝．【解答】解：AB交y轴于C点，如图，∵AB∥x轴，∴OC⊥AB，∵∠AOC+∠BOC＝90°，∠OAC+∠AOC＝90°，∴∠OAC＝∠BOC，∴Rt△AOC∽Rt△BOC，∴＝（2，∵S△OAC＝×|﹣2|＝1，S△OBC＝×4＝6，∴（）2＝，∴＝．故答案为：．14．（4分）若关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，且关于y的分式方程，则满足条件的所有整数a的值之和为﹣12．【解答】解：，由①得：x＜5，由②得：x≥，∴≤x＜5，∵关于x的一元一次不等式组有且仅有2个奇数解，∴这两个奇数解为1和3，∴﹣5＜≤6，∴﹣7＜a+3≤3，∴﹣10＜a≤4，+＝7，方程两边同时乘1﹣y得：y+a﹣3﹣7a＝1﹣y，解得y＝，∵关于y的分式方程的解为整数，∴a＝﹣8或a＝﹣6或a＝﹣4或a＝4或a＝2或a＝4，∴满足条件的所有整数a的值之和为：﹣8﹣6﹣4+8+2+4＝﹣12，故答案为：﹣12．15．（4分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，，连接BD，连接AE并延长，交⊙O于点G．若，，则BD＝10，AF：FG＝17：28．【解答】解：作，连接BJ，DJ，∵2，∴，∴BJ＝CD，BC∥DJ，∵∠BAD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝∠BJD＝90°，∴∠JBC＝180°﹣∠BCD＝90°，∴四边形BCDJ是矩形，延长BA交DJ的延长线于点l，∵，∴∠BDA＝∠IDA，∵∠BAD＝∠IAD＝90°，AD＝AD，∴△BDA≌△IDA（ASA），∴BD＝Dl，，∵，∴，∴，设BJ＝3k，则DJ＝5k，∴，∴IJ＝DI﹣DJ＝k，在Rt△BIJ中，由勾股定理得BI2＝BJ2+IJ7，即，解得k＝3（负值已舍），∴CD＝BJ＝3k＝6，BC＝DJ＝7k＝8，过点A作直径AH，连接GH，∵点E为BC的中点，∴OE⊥BC，OE是△BCD的中位线，∴，OE∥CD，∵，∴，∴BC∥AH，∵OE⊥AO，∴，∵AH是⊙O的直径，∴∠AOE＝∠AGH＝90°，∵∠OAE＝∠GAH，∴△AOE∽△AGH，∴，即，∴，∵BE∥AO，∴△BFE∽△OFA，∴，设AF＝3a，则EF＝4a，∴，解得，∴，∴，∴，即AF：FG＝17：28，故答案为：10；17：28．16．（4分）若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，那么最小的“方圆数”为1026；将一个“方圆数”的前两位数记为m，后两位数，规定，．若F（N）（N）都是整数，则满足条件的N的最大值和最小值的差为8254．【解答】解：由题意可知：1≤a≤9，6≤b≤9，0≤d≤7、b、c、d互不相等的正整数，∴最小的完全平方数为9，∴最小的“方圆数”为，∴1+2+c+d＝9，∴当c＝2时，d＝4，∴最小的“方圆数”为1026；∵m＝10a+b，n＝10c+d，∴F（N）＝，，∵F（N）、G（N）都是整数，∴设，，∴10（a+c）+b+d＝10k1①，10（a﹣c）+b﹣d＝5k6②，①+②得：20a+2b＝18a+2（a+b）＝10k4+5k2＝5（2k1+k7），①﹣②得：20c+2d＝18c+2（c+d）＝10k6﹣5k2＝8（2k1﹣k8），∴a+b，c+d都能被5整除，∴a+b+c+d能被5整除，4＜a+b+c+d＜36，∵1≤a≤9，5≤b≤9，0≤d≤6，∴a+b+c+d＝25，∵a+b，c+d都能被5整除，∴a+b＝15，c+d＝10时N最大，∴a+b＝5，c+d＝10时N最小，∴N最大＝9682，N最小＝1428，∴N最大﹣N最小＝9682﹣1428＝8254，故答案为：1026；8254．三、解答题：本大题共8个小题，第17题16分，其余各题每题10分，共计86分．解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡对应的位置上．17．（16分）计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）＝x2﹣4xy+7y2﹣（4x7﹣y2）﹣（﹣4xy+5y2）＝x2﹣7xy+4y2﹣3x2+y2+6xy﹣8y2＝﹣6x2﹣3y8；（2）＝÷[＝÷﹣8＝÷﹣1＝•﹣1＝﹣1＝＝﹣．18．（10分）小西在探究角平分线性质的时候，他发出疑问，三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例？于是，完成以下作图和填空．（1）在△ABC中，用尺规作图作∠BAC的角平分线AM交BC与点D，在射线AM上取一点E（不写作法，保留作图痕迹）．（2）在（1）所作的图中，求证：．证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAB，又∵CE＝AC，∴∠CAM＝∠CEA，∴②∠CEA＝∠EAB，∴AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴，又∵CE＝AC，∴③＝．依据证明过程，小西得出如下结论：④三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边成比例．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAE＝∠EAB，又∵CE＝AC，∴∠CAM＝∠CEA，∴②∠CEA＝∠EAB，∴AB∥CE，∴△ABD∽△ECD，∴，又∵CE＝AC，∴③＝．依据证明过程，小西得出如下结论：④三角形的一个内角角平分线分其对边所成的两条线段与这个角的两边是否成比例．故答案为：∠CAE＝∠EAB，∠CEA＝∠EAB，＝．19．（10分）为全面推进新时代美育改革发展，了解掌握学生艺术素养发展情况，某学校举行了音乐基础知识测评．从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（百分制），整理，描述（成绩得分用x表示，共分为4个组：A.60≤x＜70，B.70≤x＜80，C.80≤x＜90，D.90≤x≤100），下面给出部分信息：七年级学生测评成绩在C组的数据为：81，83，83，87，88，89．八年级学生测评成绩在C组的数据为：81，82，84，84，84，85，87平均数中位数众数七年级85a83八年级8584b（1）上述图表中，则a＝82，b＝84，c＝15；（2）通过上数据分析，你认为该校七、八年级哪个年级学生测评成绩更好？请说明理由；（一条理由即可）（3）该校七年级有780人，若测评成绩不低于90份的记为优秀，试估计七、八年级测评成绩为优秀的学生共有多少人？【解答】解：（1）把抽取的10名七年级学生的成绩从小到大排列排在中间的两个数分别是81，83，故中位数a＝＝82；抽取的20名八年级学生的成绩中84出现的次数最多，故众数b＝84；由题意可得c%＝1﹣20%﹣25%﹣＝15%．故答案为：82；84；（2）八年级的学生的竞赛成绩更好，理由：因为两个年级的学生的成绩的平均数相同，但八年级的中位数和众数均高于七年级；（3）780×20%+700×＝296（人），答：估计七、八年级测评成绩为优秀的学生共有296人．20．（10分）“阅百十风华致生涯广大”值此办学110周年之际，西大附中一大批文创产品惊喜上新，“随行杯”和“盲盒”深受师生喜爱．董老师在“阅见书店”购买了2个“随行杯”和3个“盲盒”，谢老师在“阅见书店”购买了3个“随行杯”和2个“盲盒”，共花费380元．（1）求每个“随行杯”和“盲盒”的售价为多少元？（2）“阅见书店”的文创产品很快售罄，应广大师生需求，“阅见书店”打算再购进一批“随行杯”和“盲盒”，已知每个“盲盒”成本比每个“随行杯”的成本高80%，在售价不变的前提下【解答】解：（1）设每个“随行杯”的售价为x元，每个“盲盒”的售价为y元，由题意得：，解得：，答：每个“随行杯”的售价为60元，每个“盲盒”的售价为100元；（2）设每个“随行杯”的进价为m元，则每个“盲盒”的进价为（1+80%）m元，由题意得：﹣＝40，解得：m＝50，经检验，m＝50是原方程的解，∴（1+80%）m＝1.8×50＝90，＝90，＝，即每个“随行杯”的进价为50元，每个“盲盒”的进价为90元，“盲盒”的数量为50个，∴总利润＝（60﹣50）×90+（100﹣90）×50＝900+500＝1400（元），答：这一批“随行杯”和“盲盒”全部售罄的利润为1400元．21．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，点D为BC的三等分点（BD＞CD），按照D→B→A的顺序在边上运动，同时点Q以每秒，在线段CA上运动，当点Q到达点A时，Q都同时停止运动．在运动过程中，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜6）1，△ACD的面积与CQ的比值为y2．（1）直接写出y1，y2与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（2）在如图2所示的平面直角坐标系中，画出y1，y2的函数图象，并根据图象写出函数的一条性质；（3）根据函数图象，直接求出y1≤y2时，t的取值范围．（近似值精确到0.1，误差不超过0.2）【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4，∴AB＝＝5，∵点D为BC的三等分点，∴CD＝1，BD＝4，由题意得AQ＝t，则CQ＝4﹣t，∴S△ACD＝AC•CD＝2，①当0＜t＜4时，CP＝1+t，∴＝＝2+6t，当2≤t＜6时，点P在AB上，过点P作PE⊥AC于点E，∵sin∠A＝，∴，∴PE＝，∴＝＝．∴y1＝；∵CQ＝，∴y2＝＝（0＜t＜6）．（2）函数图象如图所示：当5＜t＜2时，y随x的增大而增大，y随x的增大而减小（答案不唯一）；（3）由函数图象知，当y1≤y3时，t的取值范围是0＜t≤0.2．22．（10分）外卖，作为现代化快节奏生活中的一种餐饮服务形式，近年来在全球范围内迅速发展并广受欢迎．小西在位于点A处的家中购买了位于点O处“稻香园”的外卖食品，然后进行配送．根据导航显示，点A位于点O的西北方向600，点B位于点A南偏东75°方向且在点O的北偏东60°方向，点C位于点A的南偏东30°方向（参考数据：≈2.449，≈1.732，）（1）求AB的长（保留根号）；（2）骑手在“稻香园”取餐后开始配送，由于道路AO施工，骑手有两条送餐路线可以选择，速度为每分钟120米，路线②O→B→A，请通过计算说明，骑手选择哪条路线才能更快的将外卖送到小西家？【解答】解：（1）如图，过点A作AT⊥OC交OC的延长线于点T，过点O作OH⊥AB于点H．由题意，∠TAO＝∠AOT＝45°，∠BOJ＝30°，∴∠AOB＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∴∠BAO＝∠TAB﹣∠TAO＝30°，∴∠B＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝45°，∵OH⊥AB，∴OH＝BH＝OA＝300，∴AH＝OH＝300，∴AB＝AH+BH＝（300+300；（2）由题意，∠TAO＝∠TOA＝45°（米），∴AT＝OT＝600（米），∵∠TAC＝30°，∴CT＝AT•tan30°＝200（米），∴AC＝2CT＝400（米），∴OC＝OT﹣CT＝（600﹣200）米，∵OH⊥AB，OH＝BH＝300米，∴OB＝OH＝＝600（米），∴路线①O→C→A的运动时间＝＝≈7.9（分钟），路线②O→B→A的运动时间＝≈7.3（分钟），∵7.9＞5.3，∴骑手选择路线②才能更快的将外卖送到小西家．23．（10分）如图1，抛物线C：y＝ax2+bx﹣3与坐标轴分别交于A、B、D三点，其中A点坐标为（4，0），3OB＝OD．（1）求抛物线解析式；（2）点P是直线AD下方抛物线上的一动点，点Q是x轴上一动点，当四边形OAPD的面积最大时，求；（3）在（2）条件下，将抛物线C沿x轴翻折得到C1，则P点的对应点为P1，并将C1沿射线P1B方向平移个单位长度得到C2，记P1在抛物线C2上的对应点为P2，过P2作P2E⊥x轴于点E，F是直线DE上一点，连接AF，若存在，请直接写出点F的坐标．【解答】解：（1）令x＝0，则y＝ax2+bx﹣8＝﹣3，∴D（0，﹣3），∵3OB＝OD，∴OB＝1，∴B（﹣2，0），把A（4，8），0）代入y＝ax2+bx﹣6得，解得，∴抛物线解析式；（2）过P作PN⊥x轴于N，交AD于M，∵D（0，﹣3），∴设直线AD解析式为y＝kx﹣8，把A（4，0）代入得2＝4k﹣3，∴直线AD解析式为，∴设，则，0＜m＜4，∴，∴＝＝＝，∴当m＝2时，S四边形OAPD＝12最大，此时，过B在x轴上方找一点E，使BE⊥EQ，连接EP，∴，∴，OF＝7，2），∴，∴当Q在EP上时，最小，设直线BF解析式为y＝k1x+5，把B（﹣1，0）代入得2＝﹣k1+2，解得k7＝2，∴直线BF解析式为y＝2x+5，∴设E（n，2n+2），∴，∴当时，最小，即，∴的最小值；（3）∵（x，y）关于x轴翻折得到点（x，∴将抛物线沿x轴翻折得到C4，C1解析式为，整理得，，连接P4P交x轴于M，则P1M⊥x轴，M（2，∴，BM＝5，，∴将C1沿射线P1B方向平移个单位长度得到C2，相当于先向左移动8个单位长度，再向下移动12个单位长度，∴在抛物线C2上的对应点为，即，∵过P2作P2E⊥x轴于点E，∴E（﹣4，0），∵D（0，﹣4），∴设直线DE解析式为y＝k2x﹣3，把E（﹣2，0）代入得0＝﹣8k2﹣3，解得，∴直线DE解析式为，当点F在点E左边时，由外角可得∠AED＞∠AFD；当点F在线段DE上时，如图F4，连接AF1交y轴于点N，过N作NG⊥AD于G，∵∠AF1D＝∠AED+∠DAF4＝∠AED+∠EAF1，∴∠DAF1＝∠EAF7，即AF1平分∠EAD，∵∠AON＝∠AGN＝90°，AN＝AN，∴△AON≌△AGN（AAS），∴ON＝NG，OA＝AG＝4，∵，∴DG＝AD﹣AG＝8，∵Rt△ODG中，OG2+DG2＝OD7，∴ON2+15＝（3﹣ON）2，解得，∴，同理可求得直线AN解析式为，直线AN与DE交点为F7，∴联立，解得，∴F1（﹣2，﹣2）；当点F在点D右边时，如图F2，过N作NH⊥OA交AF2于H，过H作HK⊥y轴于K，∵∠AF8D＝∠AED+∠D