2024-2025学年高二数学湘教版选择性必修第二册教学课件 第2章-2.3空间向量基本定理及坐标表示-2.3.2 空间向量运算的坐标表示

2.3第2章空间向量基本定理及坐标表示2.3.2空间向量运算的坐标表示1.掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量数量积的坐标表示.3.掌握空间向量的平行与垂直的条件及空间向量长度与夹角的坐标表示.核心素养：数学运算、直观想象学习目标新知学习有了平面向量的坐标后，平面向量运算可转化为平面向量坐标的运算，空间向量是不是也可以类似平面向量，进行坐标运算？是的，空间向量运算页可以转化为空间向量坐标的运算，下边我们看下空间向量运算的坐标表示.1 向量线性运算的坐标表示两个向量a，b的和（或差）的坐标等于这两个向量相应坐标的和（或差），即a±b＝（x1，y1，z1）±（x2，y2，z2）＝（x1±x2，y1±y2，z1±z2）.2 数乘向量的坐标表示一个实数λ与向量a乘积的坐标等于这个实数乘向量相应的坐标，即λa＝λ（x，y，z）＝（λx，λy，λz）.3 向量数量积的坐标表示设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则a·b＝x1x2+y1y2+z1z2.总结：设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有向量运算向量表示坐标表示加法a＋ba＋b＝_______________________减法a－ba－b＝_______________________数乘λaλa＝______________，λ∈R数量积a·ba·b＝________________(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)(a1－b1，a2－b2，a3－b3)(λa1，λa2，λa3)a1b1＋a2b2＋a3b3思考空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示有何联系？空间向量运算的坐标表示与平面向量的坐标表示完全一致；如：一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.三空间向量的平行、垂直及模、夹角

判断正误SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU××√√即时巩固一、空间向量的坐标运算典例剖析因此，a＝(0,1，－2).反思感悟空间向量坐标运算的规律及注意点(1)由点的坐标求向量坐标：空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定；(2)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后代入公式计算.(3)由条件求向量或点的坐标：把向量坐标形式设出来，通过解方程(组)，求出其坐标.4∴a·b＝1＋0＋3＝4.二、向量的坐标表示的应用<1>空间平行垂直问题例2如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝

，AF＝1，M是线段EF的中点.求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥平面BDF证明如图，建立空间直角坐标系，（1）设AC∩BD＝N，连接NE，又NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.又DF∩BF＝F，且DF⊂平面BDF，BF⊂平面BDF，∴AM⊥平面BDF.<2>夹角、距离问题例3如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N为A1A的中点.(1)求BN的长；(2)求A1B与B1C所成角的余弦值.解如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Cxyz.依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

（2）依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，又异面直线所成角为锐角或直角，反思感悟

利用空间向量的坐标运算的一般步骤(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.

(1)求证：EF⊥B1C；(2)求FH的长；(3)求EF与C1G所成角的余弦值；证明如图，建立空间直角坐标系Dxyz，D为坐标原点，三、利用空间向量解决探索性问题例4正方体ABCD－A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置.设正方体的棱长为1，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，因为点H在平面ABCD上，设点H的坐标为(m，n，0)，即当H为线段AB的中点时，GH∥BD1.反思感悟(1)解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数运算问题.(2)通过计算解决几何中的探索性问题，培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力.A.(－1,3，－3) B.(9,1,1)C.(1，－3,3) D.(－9，－1，－1)B随堂小测A.5 B.4 C.3 D.2C解析λa＋b＝λ(0，－1,1)＋(4,1,0)＝(4,1－λ，λ)，3.已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是（）D解析依题意得(ka＋b)·(2a－b)＝0，所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0，而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1，C5.在空间直角坐标系中，A(－1,2,3)，B(2,1，m)，若|AB|＝

，则m的值为________.－7或13所以(3－m)2＝100,3－m＝±10.所以m＝－7或13.7.若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三点共线，则m＋n＝_____.0所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.8.若a＝(x，2,2)，b＝(2，－3,5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是____________.(－∞，－2)解析由题意，得a·b＝2x－2×3＋2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2.又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2).9.三棱锥P－ABC各顶点的坐标分别为A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,3)，则三棱锥P－ABC的体积为____.解析由A，B，C，P四点的坐标，知△ABC为直角三角形，AB⊥AC，PA⊥底面ABC.由