高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册专题突破课六　图象变换问题含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册专题突破课六图象变换问题含答案专题突破课六图象变换问题1.平移变换(1)y=f(x)→y=f(x±a)(a>0):将y=f(x)的图象沿x轴向左(右)平移a个单位长度得y=f(x±a)(a>0)的图象,遵循“左加右减”的原则(注意是针对x而言);(2)y=f(x)→y=f(x)±b(b>0):将y=f(x)的图象沿y轴向上(下)平移b个单位长度得y=f(x)±b(b>0)的图象,遵循“上加下减”的原则(注意是针对f(x)而言).2.对称变换(1)y=f(x)→y=f(-x):将y=f(x)图象关于y轴对称;(2)y=f(x)→y=-f(x):将y=f(x)图象关于x轴对称.3.翻折变换(1)y=f(x)→y=f(|x|):将y=f(x)的图象在y轴右侧的部分保留,并把y轴右侧的图象沿y轴翻折到左侧;(2)y=f(x)→y=|f(x)|:将y=f(x)的图象在x轴上方的部分保留,并把x轴下方的图象沿x轴翻折到上方.类型一平移变换[例1]为了得到函数y=2x-8x-3的图象,只需将函数y=-A.向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度B.向左平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度C.向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度D.向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度【解析】选A.因为函数y=2x-8x-所以为了得到函数y=2x只需将函数y=-2x的图象,向右平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度【总结升华】函数图象平移变换的关注点(1)对于一些特殊类型的函数,需要先变形成与初等函数有关的形式,如分式函数y=ax+(2)需要注意函数图象左右平移的对象是x,例如函数y=2x的图象向右平移1个单位长度,得到的应是函数y=2(x-1)的图象.【即学即练】1.(多选)已知函数y=xx-1,则 A.该函数图象关于点(1,1)对称B.该函数的图象关于直线y=-x+2对称C.该函数在定义域内单调递减D.该函数图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度后与函数y=1x【解析】选ABD.因为y=xx-1=x把y=1x的图象向右、向上分别平移1个单位长度即可得到y=x因为y=1x为奇函数,关于(0,0)对称,所以y=x则将y=xx-1的图象向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度即可得到y由于函数y=1x的图象关于y=-x对称,根据函数图象的平移可知,函数y=xx-1的图象关于y=-(y=1+1x-2.若函数y=f(x+1)是偶函数,则函数y=f(x)图象的对称轴是直线 ()A.x=12 B.x=1 C.x=-12 D【解析】选B.因为y=f(x+1)是偶函数,所以y=f(x+1)的图象关于y轴对称,又因为y=f(x+1)的图象是y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的,所以y=f(x)图象的对称轴为直线x=1.【补偿训练】(2024·福州高一检测)设函数f(x)的定义域为R,f(x-1)为奇函数,f(x+1)为偶函数,当x∈(-1,1)时,f(x)=ex,则 ()A.f(3)=1 B.f(-2)=1C.f(3x)=f(3x+8) D.f(x+6)为奇函数【解析】选C.因为f(x-1)为奇函数,所以f(-x-1)=-f(x-1),即f(x)=-f(-x-2),则f(-1)=-f(-1),所以f(-1)=0.因为f(x+1)为偶函数,所以f(-x+1)=f(x+1),即f(x)=f(-x+2),则f(3)=f(-1)=0,故A错误;由当x∈(-1,1)时,f(x)=ex,得f(0)=1,则f(-2)=-f(0)=-1,故B错误;因为f(-x+2)=-f(-x-2),则f(x+2)=-f(x-2),所以f(x+4)=-f(x),所以f(x+8)=-f(x+4)=f(x),所以f(3x)=f(3x+8),故C正确;对于D,由f(x+8)=f(x),得f(x+6)=f(x-2),若f(x+6)为奇函数,则f(x-2)也为奇函数,令g(x)=f(x-2),则g(x)为奇函数,则g(0)=0,又g(0)=f(-2)=-1≠0,矛盾,所以g(x)=f(x-2)不是奇函数,即f(x+6)不是奇函数,故D错误.类型二对称变换[例2]已知函数f(x)=x2,x≥0,1x,x<0,g(x)=f【解析】选B.因为g(x)=f(-x),所以g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,由f(x)的解析式,作出f(x)的图象如图所示,从而可得g(x)的图象为B选项.【总结升华】函数图象对称变换的关注点(1)函数f(-x)与f(x)的图象关于y轴对称,-f(x)与f(x)的图象关于x轴对称;(2)需要注意函数图象的对称变换针对的是两个函数,不同于一个函数自身的对称.【即学即练】1.已知函数f(x)的图象如图1所示,则图2所表示的函数是 ()A.1-f(x) B.-f(2-x)C.f(-x)-1 D.1-f(-x)【解析】选C.将f(x)的图象关于y轴对称后再向下平移1个单位长度即得题图2,将f(x)的图象关于y轴对称后可得函数y=f(-x)的图象,再向下平移1个单位长度,可得y=f(-x)-1的图象,所以解析式为y=f(-x)-1.2.使得log2(-x)<x+1成立的x的取值范围是.

【解析】在同一直角坐标系内作出函数y1=log2(-x)及y2=x+1的图象,如图.结合定义域及图象知-1<x<0.答案:(-1,0)【误区警示】本题容易出现盲目指对互化的问题,忽视了图象在解题中的指导作用.类型三翻折变换[例3](1)函数y=2|x|的图象大致是 ()【解析】选D.设f(x)=2|x|,则f(-x)=2|-x|=f(x),所以f(x)为偶函数,所以A,B项错误.又当x≥0时,f(x)=2x为增函数,所以C项错误,D项正确.(2)已知函数f(x)=|log2(x-1)|,若x1,x2∈(1,+∞),且x1≠x2,满足f(x1)=f(x2),则1x1+1xA.52 B.12 C.2 D【解析】选D.|log2(x1-1)|=|log2(x2-1)|,即log2(x1-1)+log2(x2-1)=0,log2(x1-1)(x2-1)=0,即(x1-1)(x2-1)=1,得x1x2-x1-x2=0,所以x1+x2=x1x2,所以1x1+1x2【总结升华】函数图象翻折变换的关注点(1)y=f(|x|)是左右翻折,先画f(x)的图象,保留x>0的部分图象.因为y=f(|x|)是偶函数,所以x<0的部分图象与x>0的部分图象关于y轴对称;(2)y=|f(x)|是上下翻折,先画f(x)的图象,保留x轴上方的图象.因为y=|f(x)|≥0,所以x轴下方的部分关于x轴翻折上去.【即学即练】1.函数f(x)=loga|x|(a>0且a≠1)且f(8)=3,则有 ()A.f(2)>f(-2) B.f(1)>f(2)C.f(-3)>f(-2) D.f(-3)>f(-4)【解析】选C.函数f(x)=loga|x|,由f(8)=3,得loga8=3,即a3=8,解得a=2,于是函数f(x)=log2|x|,其定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数f(x)是偶函数,在(0,+∞)上单调递增,对于A,f(-2)=f(2),A错误;对于B,f(1)<f(2),B错误;对于C,f(-3)=f(3)>f(2)=f(-2),C正确;对于D,f(-3)=f(3)<f(4)=f(-4),D错误.【补偿训练】(2024·成都高一检测)已知函数f(x)=log2|x|,设a=f(log23),b=f(7-0.1),c=f(log1425),则a,b,c的大小关系为 (A.b<a<c B.c<a<bC.c<b<a D.a<c<b【解析】选A.依题意,得f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),函数f(x)为偶函数,f(x)在(0,+∞)上单调递增,而a=f(log23),因为2<3<4,所以log22<log23<log24,即1<log23<2.因为y=7x在R上为增函数,且-0.1<0,所以0<7-0.1<70=1,c=f(log1425)=f(-log425)=f(log因为25>16,所以log425>log416=2,所以log425>log23>7-0.1>0,所以f(log425)>f(log23)>f(7-0.1),所以c>a>b.2.如图所示,函数y=|2x-2|的大致图象是 ()【解析】选B.因为y=|2x-2|=2x-2,x当x>1时,函数y=2x-2在(1,+∞)上单调递增,且y>0;当x<1时,函数y=2-2x在(-∞,1)上单调递减,且y>0.专题突破课七复合函数的单调性与值域类型一对数型复合函数的单调性问题[例1]f(x)=log4(9-x2)的单调递减区间是,单调递增区间是.

【解析】由已知得9-x2>0,所以x∈(-3,3),因为u=9-x2在(-3,0)上单调递增,在(0,3)上单调递减,又f(x)=log4u在定义域上是增函数,所以f(x)在(-3,0)上单调递增,在(0,3)上单调递减.答案:(0,3)(-3,0)[例2](2024·荆州高一检测)若函数f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上为减函数,则实数a的取值范围为 ()A.(-43,+∞) B.C.[-43,+∞) D.【解析】选A.由函数f(x)=ln(x2-2ax-a)在(-∞,-2]上为减函数,且函数y=lnx在(0,+∞)上为增函数,则g(x)=x2-2ax-a在(-∞,-2]上为减函数,且g(-2)>0,则有--2a2≥所以实数a的取值范围为(-43,+∞)【总结升华】对数型复合函数的单调性问题(1)对于不含参数的复合函数单调性问题,先求出函数的定义域,然后利用复合函数判断单调性的法则“同增异减”确定单调区间;(2)对于含有参数的复合函数单调性问题,若已知某个区间上函数的单调性,求参数的取值范围,可以根据区间端点值的大小、内外层函数的单调性、端点处的取值有意义等列不等式组求解.【即学即练】若函数f(x)=lg(1-ax)在区间(0,1)上单调递减,则实数a的取值范围为 ()A.(0,+∞) B.(0,1)C.(0,1] D.(-∞,0)【解析】选C.函数f(x)=lg(1-ax)在区间(0,1)上单调递减,由于函数y=lgu在定义域内单调递增,则函数u=1-ax在区间(0,1)上单调递减,且1-ax>0恒成立,可得0<a≤1.类型二对数型复合函数的值域问题[例3]求函数y=log12(x2-6x【解析】因为函数y=log12(x2-6x+17)的定义域为x2-6而方程x2-6x+17=0的Δ=(-6)2-4×17=-32<0,所以x2-6x+17>0对∀x∈R恒成立.令t=x2-6x+17=(x-3)2+8≥8,y=log12所以y≤log12[例4]已知f(x)=log2(-x2+2x-a)的最大值为3,则a=.

【解析】因为函数f(x)=log2(-x2+2x-a)由y=log2t与t=-x2+2x-a复合而成,而y=log2t在定义域上单调递增,所以当t=-x2+2x-a取最大值时,函数y=log2t取得最大值,由二次函数的性质易知当x=1时,tmax=1-a,此时,f(x)max=log2(1-a),所以log2(1-a)=3,所以1-a=23=8,解得a=-7.答案:-7【总结升华】对数型复合函数的值域问题(1)对于不含参数的复合函数y=logaf(x)的值域问题,先求函数的定义域,然后求出内层函数t=f(x)的值域A,最后再求外层函数y=logat,t∈A的值域,即为原函数的值域.(2)对于含参数的复合函数y=logaf(x)的值域问题,首先确定外层函数的单调性,如果不确定则需分情况讨论,在外层函数单调性确定的情况下,利用内层函数的单调性和最值求参数的取值范围.【即学即练】(2023·芜湖高一检测)已知函数f(x)=log2(2x+k)(k∈R).(1)当k=-4时,解不等式f(x)>2;【解析】(1)当k=-4时,f(x)=log2(2x-4),由f(x)>2,得log2(2x-4)>2,得2x-4>4,得2x>8,解得x>3,故不等式f(x)>2的解集是(3,+∞).(2)若函数f(x)的图象过点P(0,1),且关于x的方程f(x)=x-2m有实根,求实数m的取值范围.【解析】(2)因为函数f(x)=lo