高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价二十　复数的乘、除运算含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册课时过程性评价二十复数的乘、除运算含答案二十复数的乘、除运算(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(2024·长沙高一检测)已知a∈R,若(1+i)(2-ai)为纯虚数,则a=()A.-1 B.2 C.-2 D.1【解析】选C.因为(1+i)(2-ai)=(2+a)+(2-a)i,所以2+a=0,22.(5分)(2024·丽水高一检测)若复数z满足z(2-i)=2i,i是虚数单位,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【解析】选B.由题意复数z=2i2-i=2i(2+i)(2-i)(2+i)=-2+4i53.(5分)(2024·南阳高一检测)已知i是虚数单位,则3+4i2+i=()A.1 B.2 C.5 D.6【解析】选C.由题意3+4i2+i=(3+4i)(2-i)4.(5分)(2024·忻州高一检测)若复数z满足z2-4z+5=0,则|z|的值为()A.2 B.3 C.5 D.22【解析】选C.由题意得z2-4z+4=-1,即(z-2)2=-1,得z=2±i,故|z|=22+15.(5分)(2024·岳阳高一检测)已知i为虚数单位,i-2是关于x的方程x2+px+5=0的一个根,则实数p=()A.2 B.3 C.4 D.5【解析】选C.由题意(i-2)2+p(i-2)+5=0,整理得8-2p+(p-4)i=0,所以8-2p=p-4=0,解得p=4.6.(5分)(多选)(2024·巴中高一检测)设复数z=1+2i1+i,则(A.z的实部为32 B.z=32-C.z的虚部为12i D.|z【解析】选AB.因为z=1+2i1+i=(1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)=1+2+2i-i2=32+127.(5分)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为z,则2-zz【解析】因为z=-1-i,所以z=-1+i,2-zz=2-(-答案:-1+2i8.(5分)(2024·吉安高一检测)在复数范围内分解因式x3+5x的结果为__________________.

【解析】依题意,x3+5x=x(x2-5i2)=x(x+5i)(x-5i).答案:x(x+5i)(x-5i)9.(5分)(2024·铜川高一检测)已知复数z满足zi=(1+2i)2,则复数z在复平面内所对应的点的坐标为________【解析】zi=(1+2i)2,则z=(1+2i)2×i=(1+4i-4)×i=-4-3i,则复数z在复平面内所对应的点的坐标为(-4,-3)答案:(-4,-3)10.(10分)(2023·镇江高一检测)计算:(1)|(3+4i)(12+5i)|;(2)(1+i)6+2+【解析】(1)(3+4i)(12+5i)=36+63i+20i2=16+63i⇒|(3+4i)(12+5i)|=162(2)(1+i)6+2+3i3-2i=(2i)【综合应用练】11.(5分)已知i是虚数单位,则化简1+i1-i2022的结果为(A.i B.-i C.-1 D.1【解析】选C.方法一:因为1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)方法二:1+i1-i2022=1+i1-i21011=(1+i)2(1-i)21011=2i12.(5分)(多选)已知复数z1,z2,下列结论正确的有()A.z1+z2=z1+z2 B.若z1z2=0,则C.|z1z2|=|z1||z2| D.z1=|z1|【解析】选AC.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1+z2=a+c+(b+d)i,z1+z2=(a+c)-(b+d)i=(a-bi)+(c-di)=当z1=0,z2=2+i时,z1z2=0,因此B错误;z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,|z1z2|=(=a=(a2+b2)(cz1=2+i时,|z1|=5,z1≠|z1|,D错误.13.(5分)计算:1+i+i2+i3+…+i2025=________.

【解析】因为in+in+1+in+2+in+3=0,n∈N*,所以1+i+i2+i3+…+i2025=1+(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2021+i2022+i2023+i2024)+i2025=1+i2025=1+i.答案:1+i14.(10分)(2024·咸阳高一检测)设复数z1=1-ai(a∈R),z2=3-4i.(1)若z1+z2是实数,求z1·z2;(2)若z1z2是纯虚数,求【解析】(1)由z1=1-ai,z2=3-4i,得z1+z2=4-(4+a)i,而z1+z2是实数,于是4+a=0,解得a=-4,所以z1·z2=(1+4i)(3-4i)=19+8i.(2)依题意,z1z2=1-a因此3+4a解得a=-34所以z1=1+34i15.(10分)(2024·邢台高一检测)(1)在复数范围内解方程x2-10x+27=0;(2)若复数z满足|z|=|z-2|,z-z=2i,求z3+2i【解析】(1)由x2-10x+27=(x-5)2+2=0,可得(x-5)2=-2=(2i)2,则x-5=±2i,所以方程x2-10x+27=0的解为x=5-2i或5+2i.(2)设z=a+bi(a,b∈R),则由|z|=|z-2|,得a2+b解得a=1.又z-z=-2bi=2i,所以b=-1,所以z3+2i=1-i3+2i=(1-i)(3-二十八直线与直线平行(时间:45分钟分值:90分)【基础全面练】1.(5分)(多选)若OA∥O'A',OB∥O'B',且∠AOB=130°,则∠A'O'B'可能等于()A.130° B.50°C.40° D.不能确定【解析】选AB.因为OA∥O'A',OB∥O'B',所以∠AOB与∠A'O'B'相等或互补,因为∠AOB=130°,所以∠A'O'B'=130°或50°.2.(5分)如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是()A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面【解析】选A.因为E,F分别是SN和SP的中点,所以EF∥PN.同理可证HG∥PN,所以EF∥HG.【补偿训练】已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中(如图),l⊂平面A1B1C1D1,且l与B1C1不平行,则下列一定不可能的是()A.l与AD平行 B.l与AD不平行C.l与AC平行 D.l与BD垂直【解析】选A.假设l∥AD,则由AD∥BC∥B1C1,知l∥B1C1,这与l与B1C1不平行矛盾,所以l与AD一定不平行.3.(5分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为棱A1C1,B1C1,B1B的中点,则∠EFG与∠ABC1()A.相等 B.互补C.相等或互补 D.不确定【解析】选B.由于E,F,G分别为A1C1,B1C1,BB1的中点,所以EF∥A1B1∥AB,FG∥BC1,所以∠EFG与∠ABC1的两组对应边分别平行,一组对应边方向相同,一组对应边方向相反,故∠EFG与∠ABC1互补.4.(5分)如图所示,在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是B1O和C1O的中点,则长方体的各棱中与EF平行的有()A.3条 B.4条 C.5条 D.6条【解析】选B.由于E,F分别是B1O,C1O的中点,故EF∥B1C1,因为和棱B1C1平行的棱还有3条:AD,BC,A1D1,所以共有4条与EF平行的棱.5.(5分)(多选)给出下列四个命题,其中正确命题有()A.在空间中,若两条直线不相交,则它们一定平行B.平行于同一条直线的两条直线平行C.一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么它也和另一条相交D.空间四条直线a,b,c,d,如果a∥b,c∥d,且a∥d,那么b∥c【解析】选BD.两条直线可以异面,故A错误;由基本事实4可知,B正确;这条直线和另一条可以异面,故C错误;由平行直线的传递性可知,D正确.6.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是侧面AA1D1D,侧面CC1D1D的中心,G,H分别是棱AB,BC的中点,则直线EF与直线GH的位置关系是()A.相交 B.异面C.平行 D.无法确定【解析】选C.如图,连接AD1,CD1,AC,则E,F,G,H分别为AD1,CD1,AB,BC的中点.由三角形的中位线定理,知EF∥AC,GH∥AC,所以EF∥GH.7.(5分)已知AB∥PQ,BC∥QR,若∠ABC=30°,则∠PQR=__________.

【解析】由等角定理知,∠PQR与∠ABC相等或互补.答案:30°或150°8.(5分)在四棱锥P-ABCD中,E,F,G,H分别是PA,PC,AB,BC的中点,若EF=2,则GH=________.

【解析】由题意知EF12AC,GH12AC,故EFGH,故GH=2.答案:29.(5分)如图是正方体的表面展开图,E,F,G,H分别是棱的中点,则EF与GH在原正方体中的位置关系为________.

【解析】将正方体的表面展开图还原构造成正方体,如图所示:分别取AB,AA1的中点Q,P,连接EP,FQ,PQ,A1B,由正方体的结构特征可得EF∥PQ.又因为点Q,P,H,G分别是AB,AA1,A1B1,BB1的中点,故PQ∥A1B,HG∥A1B,故PQ∥HG.所以EF∥GH.答案:平行10.(10分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1B1C1D1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画?并说明理由.【解析】如图,在平面A1B1C1D1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下:因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.【综合应用练】11.(5分)(多选)如图,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是平行直线的图是()【解析】选AB.根据正方体的结构特征,可得A,B中RS与PQ均是平行直线,D中RS和PQ是相交直线,C中RS和PQ是异面直线.12.(5分)(多选)如图,设E,F,G,H依次是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA上除端点外的点,且AEAB=AHAD=λ,CFCB=CGCD=A.当λ=μ时,四边形EFGH是平行四边形B.当λ≠μ时,四边形EFGH是梯形C.当λ≠μ时,四边形EFGH是平行四边形D.当λ=μ时,四边形EFGH是梯形【解析】选AB.如图所示,连接BD.因为AEAB=AHAD=λ,所以EH∥BD,且EH=λBD,同理,FG∥BD,且FG=μBD,所以EH∥FG.所以当λ=μ时,EH=FG,所以四边形EFGH是平行四边形,所以选项A正确,选项D不正确;当λ≠μ时,EH≠FG,四边形EFGH【补偿训练】如图所示,在四面体ABCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法不正确的是()A.M,N,P,Q四点共面B.∠QME=∠CBDC.△BCD∽△MEQD.四边形MNPQ为矩形【解析】选D.由条件易得MQ∥BD,ME∥BC,QE∥CD,NP∥BD,所以MQ∥NP.对于A,由MQ∥NP,得M,N,P,Q四点共面,故A正确;对于B,根据等角定理,得∠QME=∠CBD,故B正确;对于C,由等角定理知∠QME=∠DBC,∠MEQ=∠BCD,则△BCD∽△MEQ,故C正确;对于D,没有充分理由证明四边形MNPQ为矩形,故D不正确.13.(5分)如图所示,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且AOA'O=BOB'O=COC【解析】如题干图,AOA'O=BOB'可证AB∥A'B',AC∥A'C',BC∥B'C'.由等角定理得∠CAB=∠C'A'B',∠ACB=∠A'C'B',所以△ABC∽△A'B'C',所以S△ABCS所以VO-ABCVO-A答案:114.(10分)如图,A是△BCD所在平面外一点,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,已知BD=6.(1)判断MN与BD的位置关系;(2)求MN的长.【解析】(1)MN∥BD.理由如下:连接AM,AN并延长分别与BC,CD交于点E,F,由重心的定义知E,F分别为BC,CD的中点,连接EF,则EF∥BD,且EF=12又因为点M为△ABC的重心,点N为△ACD的重心,所以AM∶ME=AN∶NF=2∶1,所以MN∥EF,且MN=23EF,故MN∥(