高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价五十八　简单的三角恒等变换(二)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价五十八简单的三角恒等变换(二)含答案五十八简单的三角恒等变换(二)(时间:45分钟分值:95分)【基础全面练】1.(5分)3cos15°-4sin215°cos15°等于 ()A.12 B.22 C.1 D【解析】选D.3cos15°-4sin215°cos15°=3cos15°-2sin15°·sin30°=3cos15°-sin15°=-2(12sin15°-32=-2sin(-45°)=2.2.(5分)sin8°+3cos8°A.2 B.1 C.22 D.【解析】选A.sin8=2(=2sin(8°+60°)3.(5分)若3sinα-cosα=105,则cos(α+π3)等于 (A.105 B.-105 C.1010 D【解析】选D.因为3sinα-cosα=2(32sinα-12cosα)=-2cos(α+π3)所以cos(α+π3)=-104.(5分)公元前6世纪,古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时,发现了黄金分割数5-12,其近似值为0.618,这是一个伟大的发现,这一数值也表示为a=2sin18°,若a2+b=4,则a2bA.12B.2C.5+12【解析】选B.因为a=2sin18°,a2+b=4,所以b=4-a2=4-4sin218°=4(1-sin218°)=4cos218°,所以a2b1-cos72°5.(5分)若3sinx+cosx=4-m,则实数m的取值范围是 ()A.[2,6] B.[-6,6]C.(2,6) D.[2,4]【解析】选A.因为3sinx+cosx=4-m,所以32sinx+12cosx=所以sinπ3sinx+cosπ3cosx=所以cos(x-π3)=4因为-1≤cos(x-π3)所以-1≤4-m2≤1,所以2≤6.(5分)(多选)已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x,则下列说法正确的是 ()A.f(x)的最大值为2B.f(x)的最小正周期为πC.f(x)关于直线x=-π8D.f(x)在(0,π4)【解析】选BCD.因为f(x)=12sin2x+1-cos2x2=12(sin2x-cos2x)+12=22sin(所以f(x)max=22+12=2+12,最小正周期T当x=-π8时,sin(2x-π4所以直线x=-π8为对称轴当x∈(0,π4)时,2x-π4∈(-π4,所以f(x)在(0,π4)综上有B,C,D正确,A不正确.7.(5分)喷泉是流动的艺术,美妙绝伦的喷泉给人以无限的享受,若不考虑空气阻力,当喷泉水柱以与水平方向夹角为α的速度v喷向空气中时,水柱在水平方向上移动的距离为D=v2gsin2α,能够达到的最高高度为H=v24g(1-cos2α)(如图所示,其中g为重力加速度).若tanα=52,则【解题指南】先表示HD,然后结合二倍角公式进行化简即可求解【解析】HD=v2=2sin2α8sinαcosα=答案:58.(5分)如图,扇形OAB的半径为1,圆心角为π2,若P为AB上异于A,B的点,且PQ⊥OB交OB于点Q,当△POQ的面积大于38时,∠POQ的取值范围为【解析】设∠POQ=θ(0<θ<π2)则PQ=sinθ,OQ=cosθ,所以S△POQ=12sinθcosθ=14由14sin2θ>38,得sin2θ>又2θ∈(0,π),所以π3<2θ<2π则π6<θ<π所以∠POQ的取值范围为(π6,π3答案:(π6,π9.(10分)已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x.(1)求函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离;【解析】f(x)=23sinxcosx+2cos2x=3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1(1)函数f(x)图象的相邻两条对称轴的距离为T2=π(2)求函数f(x)在区间[-π6,π3]上的最大值与最小值,以及此时x【解析】(2)因为x∈[-π6,π3所以2x+π6∈[-π6,5π所以当2x+π6=π2,即x=π6时,f当2x+π6=-π6,即x=-π6时,f(10.(10分)如图,矩形ABCD的长AD=23,宽AB=1,A,D两点分别在x,y轴的正半轴上移动,B,C两点在第一象限,求OB2的最大值.【解析】过点B作BH⊥OA,垂足为H.设∠OAD=θ(0<θ<π2),则∠BAH=π2-OA=23cosθ,BH=sin(π2-θ)=cosθ,AH=cos(π2-θ)=sin所以点B坐标为(23cosθ+sinθ,cosθ),OB2=(23cosθ+sinθ)2+cos2θ=7+6cos2θ+23sin2θ=7+43sin(2θ+π3)由0<θ<π2,知π3<2θ+π3所以当θ=π12时,OB2取得最大值7+43【综合应用练】11.(5分)若不等式4sin2x+43sinxcosx+5≤m在[0,π2]上有解,则实数m()A.11 B.5 C.-5 D.-11【解析】选B.设y=4sin2x+43sinxcosx+5=2(1-cos2x)+23sin2x+5=4sin(2x-π6)+7因为x∈[0,π2],所以2x-π6∈[-π6,所以y=4sin(2x-π6)+7∈又y≤m有解,故实数m的最小值为5.12.(5分)若函数f(x)=|3sinx+4cosx+m|的最大值是8,则m等于 ()A.3 B.13C.3或-3 D.-3或13【解析】选C.因为f(x)=|3sinx+4cosx+m|,所以f(x)=|5sin(x+φ)+m|,因为-5≤5sin(x+φ)≤5,所以当m>0时,f(x)max=|5+m|=8,解得m=3;当m<0时,f(x)max=|-5+m|=8,解得m=-3.13.(5分)已知函数f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0)在[0,π]上有两个零点,则ω的取值范围为 ()A.(116,176) B.[116C.(53,83) D.[53【解析】选B.f(x)=3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6)由x∈[0,π],又ω>0,则可令t=ωx+π6∈[π6,ωπ+π又函数y=2sint在t∈[π6,ωπ+π6则2π≤ωπ+π6<3π,解得ω∈[116,1714.(5分)如图所示,有一块正方形的钢板ABCD,其中一个角有部分损坏,现要把它截成一块正方形的钢板EFGH,其面积是原正方形钢板面积的三分之二,则应按角度x=来截.

【解析】设原正方形钢板的边长为a,截后的正方形钢板边长为b,则a2b2=32,又a=GC+CF=bsinx+bcosx,所以sinx+cosx=62所以sin(x+π4)=3因为0<x<π2,π4<x+π4所以x+π4=π3或2π3,则x=π答案:π12或15.(10分)如图,已知OPQ是半径为5,圆心角为θ(tanθ=2)的扇形,C是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩形.当矩形ABCD的周长最大时,求BC边的长.【解析】由tan得sin设∠COP=α,则AD=BC=OCsinα=5sinα,OB=OCcosα=5cosα,在Rt△OAD中,∠AOD=θ,所以OA=ADtanθ=52所以CD=AB=OB-OA=5cosα-52sinα所以矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2×(5cosα-52sinα+5sinα)=5(sinα+2cosα)=55sin(α+θ当α+θ=π2时,矩形ABCD的周长取最大值55,此时BC=5sinα=5sin(π2-θ)=5cosθ=【补偿训练】已知小朋友从倾斜度为θ的滑梯上下滑的长度s与t2和sinθ的积成正比,当θ=π6时,小朋友下滑2秒时的长度恰好为10米(1)求s关于时间t的函数表达式;【解析】(1)由题意,设s=kt2sinθ,t≥0,k≠0,当θ=π6,t=2时,s所以10=k×22sinπ6,解得k所以s关于时间t的函数表达式为s=5t2sinθ,t≥0.(2)请确定θ的值,使小朋友从点A滑到O所需的时间最短.【解析】(2)由题意,∠OBA为直角,可得OA=OBcosθ,所以OBcosθ=5t化简可得t=OB5cosθsin所以当θ=π4时,时间t最短【创新拓展练】16.(5分)已知函数f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x.若关于x的方程f(x)-m=2在x∈[π4,π2]上有解,则实数m【解析】f(x)=2sin2(π4+x)-3cos2x=1-cos(π2+2x)-3cos2x=1+sin2x-3cos2x=1+2sin(2x-π3),关于x的方程f(x)-m=2在x∈[π4,π2]上有解⇔关于x的方程f(x)=m+2在x∈[π4,π2]上有解⇔m+2的范围与函数f(x)=1+2sin(2x-π3),x∈[π4,π2]的值域相同.当x∈[π4,π2]时,2x-π3所以2≤m+2≤3,解得m∈[0,1].答案:[0,1]五十二正切函数的性质与图象(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)函数f(x)=-2tan(2x+π6A.{x∈R|x≠π6B.{x∈R|x≠-π12C.{x∈R|x≠kπ+π6,k∈D.{x∈R|x≠kπ2+π6,【解析】选D.由2x+π6≠π2+kπ,得x≠π6+kπ所以函数f(x)=-2tan(2x+π6)的定义域是{x∈R|x≠kπ2+π6,2.(5分)函数y=1tanx(-π4<x<πA.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,1) D.(-1,+∞)【解析】选B.因为-π4<x<π4且x≠0,所以-1<tanx<1且tanx≠0,所以y>1或y3.(5分)由正切函数的图象可知,“tanx>0”是“x>0”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选D.由正切函数的图象可知,当tanx>0时,不一定有x>0;当x>0时,不一定有tanx>0,所以“tanx>0”是“x>0”的既不充分也不必要条件.4.(5分)不等式tanx≤-1的解集是()A.(2kπ-π2,2kπ-π4](kB.[2kπ-π4,2kπ+3π2](kC.(kπ-π2,kπ-π4](kD.[2kπ+π2,2kπ+3π4](k【解析】选C.由于正切函数是周期等于π的周期函数,由不等式tanx≤-1,结合正切函数的图象,可得在一个周期(-π2,π2)上,不等式的解集为(-π2,-π4],故在R上,不等式tanx≤-1的解集是(kπ-π2,kπ-π【补偿训练】(2024·昆明高一检测)已知0≤x≤π,且|tanx|≥1,则x的取值范围是()A.[0,π4]∪[3π4,π] B.[π4,π2)∪(C.[0,π4]∪(π2,3π4] D.[π4,π2【解析】选B.将|tanx|≥1转化为tanx≥1或tanx≤-1,如图所示:由正切函数图象知x∈[π4,π2)∪(π2,5.(5分)已知函数f(x)=tanωx(0<ω<1),且经过点(π2,1),则函数f(x)=tanωxA.π2 B.π C.2π D.【解析】选C.因为函数过点(π2所以tanωπ2=1,则ωπ2=kπ+π所以ω=2k+12(k∈又0<ω<1,所以ω=12所以函数的最小正周期为T=π126.(5分)(多选)下列关于函数y=tan(x+π3A.在区间(-5π6,πB.最小正周期是πC.图象关于点(π4D.图象关于直线x=π6【解析】选CD.令kπ-π2<x+π3<kπ+π2,解得kπ-5π6<x<kπ+π6,k∈易知该函数的最小正周期为π,故B正确,不符合题意;令x+π3=kπ2,解得x=kπ2-π3,k∈Z,任取正切函数曲线没有对称轴,因此函数y=tan(x+π3)的图象也没有对称轴,故D错误,符合题意7.(5分)函数y=tan2x-2tanx+2的最小值为.

【解析】y=(tanx-1)2+1,由于tanx∈R,所以当tanx=1时,函数取最小值1.答案:18.(5分)已知函数f(x)=tan(x+φ)的图象的一个对称中心为(π3,0),且|φ|<π2,则φ=【解析】因为f(x)=tan(x+φ),所以由x+φ=kπ2(k∈Z)得,x=kπ2-φ因为函数f(x)=tan(x+φ)的图象的一个对称中心为(π3,0),且|φ|<π所以φ=π6或-π答案:π6或-9.(10分)求函数y=tan2x的定义域、值域和最小正周期,并作出它在区间[-π,π]上的简图.【解析】对于函数y=tan2x,令2x≠kπ+π2,k∈Z,求得x≠kπ2+π4故函数的定义域为{x|x≠kπ2+π4,由于函数y=tanx的值域为R,故函数y=tan2x的值域为R;它的最小正周期T=π2其在区间[-π,π]上的简图如下:10.(10分)(1)(2024·襄阳高一检测)若函数y=tan(ωx+π4)在区间[-π3,π3]上单调递减,且在[-π3,π3]上的最大值为【解析】(1)因为函数y=tan(ωx+π4)在[-π3,π3π|ω|>2π3,则-32<ω<0.又函数在[-π3,π3]上的最大值为3,所以-πω3+π4=π3+kπ,k∈因为-32<ω<0,所以k=0时,ω=-1(2)求函数y=3tan(π6-x4【解析】(2)函数y=3tan(π6-x4)=-3tan(x4-π6)的最小正周期T由-π2+kπ<x4-π6<π2+k求得-43π+4kπ<x<83π+4kπ,k所以函数y=-3tan(x4-π6)的单调递减区间为(-43π+4kπ,83π+4kπ),【综合应用练】11.(5分)下列图形分别是①y=|tanx|;②y=tanx;③y=tan(-x);④y=tan|x|在x∈(-3π2,3π2)内的大致图象,那么由a到A.①②③④ B.①③④②C.③②④① D.①②④③【解析】选D.y=tan(-x)=-tanx在(-π2,π2)上单调递减,只有图象d符合,即d对应12.(5分)(2024·泰安高一检测)与函数y=tan(2x+π4A.x=π2 B.y=π2 C.x=π8 D【解析】选C.对于A,当x=π2时,y=tan(π+π4)=1,直线x=π2与函数y=tan(2x+π对于C,当x=π8时,y=tan(π4+π4)=tanπ2无意义,直线x=π8与函数y对于B和D,正切函数的值域是R,所以直线y=π2和y=π8都与函数y=tan(2x+π13.(5分)已知函数y=tanωx在区间(-π2,πA.0<ω≤1 B.-1≤ω<0 C.ω≥1 D.ω≤-1【解析】选B.因为y=tanωx在(-π2,π2)内单调递减,所以ω<0且T=π|ω14.(5分)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空):(1)tan2π7tan10π【解析】(1)tan10π7=tan3π7,且0<2π7<3π又y=tanx在(0,π2所以tan2π7<tan3π7,即tan2π7答案:(1)<(2)tan6π5tan(-13π5【解析】(2)tan6π5=tanπ5,tan(-13π5因为0<π5<2π5<又y=tanx在(0,π2所以tanπ5<tan2π5,则tan6π5<tan(-答案:(2)<15.(10分)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的图象与x轴相交的两个相邻点的坐标为(π6,0)和(5π(1)求f(x)的解析式.【解析】(1)由题可