高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价四十五　同角三角函数的基本关系(一)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第一册课时过程性评价四十五同角三角函数的基本关系(一)含答案四十五同角三角函数的基本关系(一)(时间:45分钟分值:100分)【基础全面练】1.(5分)已知sinα=-35,且π<α<3π2,则cosA.-45 B.-34 C.34 【解析】选A.由题意得cosα=-1-sin22.(5分)(2024·遂宁高一检测)若tanθ=43,θ∈(0,π),则cosθA.35 B.-35 C.45 D【解析】选A.因为tanθ=43,所以sinθcos因为sin2θ+cos2θ=1,所以169cos2θ+cos2θ=1,解得cosθ=±3因为tanθ=43>0,θ∈(0,π),所以θ∈(0,π2),所以cosθ=3.(5分)(2024·黔东南高一检测)若cosθ=83tanθ,则sinθA.13 B.-13 C.13或-3 D.【解析】选A.由题意,cosθ=83tanθ=83·sinθcosθ,即cos因为sin2θ+cos2θ=1,所以sin2θ+8sinθ3-1=0,解得sinθ=-3(舍去)或4.(5分)化简11+A.-cos160° B.cos160° C.1cos160° D.【解析】选A.11+tan2160=11cos2160【补偿训练】(2024·连云港高一检测)α是第二象限角,则tanα1sinA.1 B.-1 C.1或-1 D.2【解析】选B.因为α是第二象限角,则tanα<0,所以tanα1sin2α=tanαcos2αsin25.(5分)若π2<α<π,则-sinα|sinαA.0 B.1 C.2 D.-2【解析】选A.因为π2<α<π,则sinα>0,cosα所以-sinα|sinα=-sinαsinα-cosα·1+sin2αcos2=-1-cosα·1-cos6.(5分)(多选)(2024·德州高一检测)已知θ∈(0,π),cosθ=-45A.θ为第二象限角B.θ2C.tanθ=-4D.4sinθcosθ-2cos2θ=-16【解析】选AD.因为θ∈(0,π),cosθ=-45所以π2<θ<π,θ由上知,π4<θ2<π2因为θ∈(0,π),cosθ=-45所以sinθ=1-cos2θ=35,所以tanθ由上知,4sinθcosθ-2cos2θ=4×35×(-45)-2×(-47.(5分)设θ为第二象限角,若tanθ=-12,则sinθ+cosθ=【解析】θ为第二象限角,则sinθ>0,cosθ<0,若tanθ=-12则有sinθcosθ所以sinθ+cosθ=55-255答案:-5【补偿训练】(2024·徐州高一检测)若θ∈(0,π2),tanθ=12,则sinθ-cosA.-255 B.255 C.-55【解析】选C.因为tanθ=12,所以sinθcos即4sin2θ=cos2θ,即5sin2θ=1,因为θ∈(0,π2),所以sinθ=55,cosθ=故sinθ-cosθ=55-2558.(5分)(2024·温州高一检测)已知1-cos2α1+cos2α=1【解析】因为1-cos2α1+cos2α=1所以sin2α=±1-13所以tan2α=sin2αcos2α=±答案:±229.(5分)已知sinα+cosα=1cosα,则tanα=【解析】由sinα+cosα=1cosα得,sinαcosα+cos2α=1=sin2α+cos2α,则sinαcosα=sin2α,tanα=tan2α,所以tanα=0或tanα答案:0或110.(10分)(2024·许昌高一检测)证明:1-2sinα【证明】左边=cos=(cosα-sinα所以1-2sinα【综合应用练】11.(5分)(2024·淮南高一检测)已知cosα1-A.43 B.34 C.-43 D【解析】选B.因为cosα所以cosα+2sinα=2,且cosα≠0,所以cos2α+4sinαcosα+4sin2α=4,即4sinαcosα=3cos2α,cosα≠0,所以tanα=3412.(5分)(多选)(2024·济南高一检测)2sinx1-A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选BD.令f(x)=2sinx1-cos2x+当x为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,则f(x)=3,当x为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,则f(x)=1,当x为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,则f(x)=-3,当x为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,则f(x)=-1.13.(5分)若sinθ=k+1k-3,cosθ=k-1k-3,且θ【解析】依题意,sin2θ+cos2θ=1=k+1k-32+k-即(k-1)(k+7)=0,解得k=-7或k=1,但θ的终边不落在坐标轴上,于是sinθ=k+1k-3≠0,cos即k=1不符合题意,于是k=-7,此时sinθ=35,cosθ=45,故tanθ=sinθ答案:-7314.(10分)(2024·天水高一检测)(1)已知α∈(π,3π2),tanα=2,求cosα的值【解析】(1)由tanα=sinαcosα=2,sin2α+cos2α=1得4cos2α+cos又α∈(π,3π2),所以cosα=-5(2)已知cosα=-817,求sinα,tanα的值【解析】(2)因为cosα=-817,所以α为第二或第三象限角,又sin2α+cos2α=1若α为第二象限角,则sinα=1517,tanα=-15若α为第三象限角,则sinα=-1517,tanα=1515.(10分)(2024·榆林高一检测)(1)化简:1-【解析】(1)1=(cos10(2)证明:tanα·sin【解析】(2)因为tanα·sinαtantanα+sinαtan=(1+cosα=sinα所以tanα·sin【创新拓展练】16.(5分)若实数α满足cosα=tanα,则1sinα+cos4A.2 B.3 C.2 D.1【解析】选A.由cosα=tanα=sinαcosα,得cos2α=sinα.又cos2α+sin2α=1,得1sinα+cos4α=cos2α+=1+sinα+sin2α=1+cos2α+sin2α=2.17.(5分)“sinθ+tanθ>0”是“θ为第一或第三象限角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选C.因为sinθ+tanθ=sinθ(cosθ+1)cos所以θ为第一或第三象限角,反之,当θ为第一或第三象限角时,tanθ>0,所以sinθ+tanθ>0,综上,“sinθ+tanθ>0”是“θ为第一或第三象限角”的充分必要条件.四十一任意角(时间:45分钟分值:95分)【基础全面练】1.(5分)(2024·吉安高一检测)下列说法中正确的是()A.锐角是第一象限角B.终边相同的角必相等C.小于90°的角一定在第一象限D.第二象限角必大于第一象限角【解析】选A.锐角是指大于0°小于90°的角,故其在第一象限,即A正确;选项B,终边相同的角可以相差360°的整数倍,故错误;选项C,小于90°的角不一定在第一象限,也可以为负角,故错误;选项D,根据任意角的定义,第二象限角可以为负角,第一象限角可以为正角,此时第二象限角小于第一象限角,故错误.2.(5分)每周一的早晨,我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式,一般需要10分钟.这10分钟的时间,钟表的分针走过的角度是()A.30° B.-30° C.60° D.-60°【解析】选D.因为分针是顺时针走的,所以形成的角是负角,又分针走过了10分钟,所以走过的角度大小为1060综上,分针走过的角度是-60°.3.(5分)下列各角中,与43°角终边重合的是()A.137° B.143° C.-317° D.-343°【解析】选C.与43°角终边重合的角为α=43°+k·360°(k∈Z),则当k=-1时,α=-317°,故C正确.经检验,其他选项都不正确.4.(5分)若α是第一象限角,则下列各角是第三象限角的是()A.90°-α B.180°-α C.270°-α D.-α【解析】选C.若α是第一象限角,则k·360°<α<90°+k·360°,k∈Z,-90°-k·360°<-α<-k·360°,k∈Z,则-α是第四象限角,故D错误;-k·360°<90°-α<90°-k·360°,k∈Z,则90°-α是第一象限角,故A错误;90°-k·360°<180°-α<180°-k·360°,k∈Z,则180°-α是第二象限角,故B错误;180°-k·360°<270°-α<270°-k·360°,k∈Z,则270°-α是第三象限角,故C正确.【补偿训练】在平面直角坐标系中,以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合的角.①小于90°的角一定是锐角;②第二象限角一定是钝角;③终边重合的角一定相等;④相等的角终边一定重合.其中真命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选A.对于①,-60°角是小于90°的角,但不是锐角,所以①错误;对于②,480°角是第二象限角,但不是钝角,所以②错误;对于③,480°角和120°角终边相同,但不相等,所以③错误;对于④,因为角都是顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合的角,所以若角相等,则终边一定重合,所以④正确.所以真命题的个数是1.5.(5分)如图,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°,k∈Z}【解析】选C.由题图可知,终边在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°,k∈Z}.6.(5分)(多选)下列四个角为第二象限角的是()A.-200° B.100° C.220° D.420°【解析】选AB.-200°=-360°+160°,在0°~360°内,与-200°终边相同的角为160°,它是第二象限角,同理100°为第二象限角,220°为第三象限角,420°为第一象限角.7.(5分)(2024·威海高一检测)下列角的终边与60°角的终边关于x轴对称的是()A.660° B.-660° C.690° D.-690°【解析】选A.由题意知,与60°角的终边关于x轴对称的角为θ=-60°+360°·k,k∈Z.当k=2时,θ=-60°+720°=660°,A正确.经验证,其他三项均不符合要求.8.(5分)在0°~360°内,与角-60°的终边在同一条直线上的角为.

【解析】与角-60°的终边在同一条直线上的角可表示为β=-60°+k·180°,k∈Z.因为所求角在0°~360°内,所以0°≤-60°+k·180°<360°,k∈Z,解得13≤k<73,k∈Z,所以k当k=1时,β=120°;当k=2时,β=300°.答案:120°,300°9.(5分)(2024·乌鲁木齐高一检测)角θ的终边在第二象限,则角2θ的终边在.

【解析】θ是第二象限角,所以k·360°+90°<θ<k·360°+180°,k∈Z.2k·360°+180°<2θ<2k·360°+360°,k∈Z.2θ的终边在第三或第四象限或y轴的非正半轴.答案:第三、第四象限或y轴的非正半轴10.(10分)(2024·济南高一检测)(1)如图,阴影部分表示角α的终边所在的位置,试写出角α的集合.【解析】(1)①{α|-30°+k·360°≤α≤k·360°,k∈Z}∪{α|150°+k·360°≤α≤180°+k·360°,k∈Z}={α|-30°+k·180°≤α≤k·180°,k∈Z};②{α|-30°+k·360°<α<60°+k·360°,k∈Z}.(2)在直角坐标系中画出表示集合{α∣k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}的范围.【解析】(2)因为{α∣k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}={α∣k·360°-90°≤α≤k·360°+45°,k∈Z}∪{α∣k·360°+90°≤α≤k·360°+225°,k∈Z},所以集合{α∣k·180°-90°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}表示的范围如图所示:【综合应用练】11.(5分)(2024·西安高一检测)“α为三角形的一个内角”是“α为第一、二象限角”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选D.α为三角形的一个内角,当α=π2时,α故“α为三角形的一个内角”推不出“α为第一、二象限角”;当α为第一、二象限角时,不妨取α=420°,α不是三角形的一个内角,故“α为第一、二象限角”推不出“α为三角形的一个内角”.故“α为三角形的一个内角”是“α为第一、二象限角”的既不充分也不必要条件.12.(5分)(多选)与-457°角终边相同的角的集合是()A.{α|α=k·360°-457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}【解析】选AC.与-457°角终边相同的角可写为α=k·360°-457°(k∈Z),因为97°≠k·360°-457°(k∈Z),263°=2×360°-457°,-263°≠k·360°-457°(k∈Z),所以与-457°角终边相同的角的集合为{α|α=k·360°-457°,k∈Z},A正确;{α|α=k·360°+263°,k∈Z},C正确.【补偿训练】(2024·朔州高一检测)集合{α|k·180°≤α≤k·180°+60°,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()【分析】k分奇偶讨论,结合图象可得答案.【解析】选C.当k=2n,n∈Z时,{α|n·360°≤α≤n·360°+60°,n∈Z},当k=2n+1,n∈Z时,{α|n·360°+180°≤α≤n·360°+240°,n∈Z},所以选项C满足题意.13.(5分)已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β=.

【解析】因为-60°与-30°的终边关于直线y=-x对称,所以β的终边与-30°角的终边相同,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.答案:-30°+k·360°,k∈Z14.(10分)已知α=-1845°,在与α角终边相同的角中,求满足下列条件的角:(1)最小的正角;【解析】(1)与角α终边相同的角为β=-1845°+k·360°(k∈Z),当k=5时,β=-45°,当k=6时,β=315°,故在与α终边相同的角中,最小的正角为315°.(2)最大的负角;【解析】(2)由(1)可知,在与α终边相同的角中,最大的负角为-45°.(3)-360°~720°内的角.【解析】(3)与角α终边相同的角为β=-1845°+k·360°(k∈Z),当k=4时,β=-405°;当k=5时,β=-45°;当k=6时,β=315°;当k=7时,β=675°;当k=8时,β=1035°.因此,在与α终边相同的角中,在-360°~720°内的角为-45°,315°,675°.15.(10分)如图,分别写出适合下列条件的角的集合.(1)