高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第八章　8.6　8.6.2　直线与平面垂直(2)含答案

高中数学《高中全程学习方略》2025版必修第二册第八章8.68.6.2直线与平面垂直(2)含答案8.6.2直线与平面垂直(2)【学习目标】1.理解直线与平面垂直的性质定理.2.能利用直线与平面垂直的性质定理进行证明.3.理解空间距离相关定义并会求相应的距离.【素养达成】数学抽象逻辑推理数学运算一、直线与平面垂直的性质定理1.定理:垂直于同一个平面的两条直线平行.2.符号:a⊥α,b⊥α⇒a∥b.二、空间距离1.直线到平面的距离一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离.2.平面与平面之间的距离如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.【教材挖掘】(P154)任意的直线与平面、平面与平面间都有距离吗?提示:不是,只有当直线与平面平行,平面与平面平行时才涉及距离问题.教材深化平行关系与垂直关系之间的相互转化【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)到已知平面距离相等的两条直线平行.(×)提示:两直线平行、相交、异面都有可能.(2)如果一条直线与两个平行平面中的一个平面垂直,那么这条直线也和另一个平面垂直.(√)提示:由直线与平面所成的角的定义可知正确.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(√)提示:垂直于同一条直线的两个平面无公共点,所以平行.(4)若直线a⊥平面α,直线a⊥直线b,则直线b∥平面α.(×)提示:直线b也可能在平面α中.类型一线面垂直性质定理的应用(逻辑推理)【典例1】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB⊥平面PAD,AD=AP,E是PD的中点,M,N分别在AB,PC上,且MN⊥AB,MN⊥PC.求证:AE∥MN.【证明】因为AB⊥平面PAD,AE⊂平面PAD,所以AE⊥AB,又AB∥CD,所以AE⊥CD.因为AD=AP,E是PD的中点,所以AE⊥PD.又CD∩PD=D,CD,PD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB,AB∥CD,所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC,PC∩CD=C,PC,CD⊂平面PCD,所以MN⊥平面PCD,所以AE∥MN.【总结升华】线面垂直性质定理应用的关注点(1)适用前提:已知一条直线和某个平面垂直,证明这条直线和另一条直线平行,可利用线面垂直的性质定理,证明另一条直线和这个平面垂直;(2)注意:证明时注意利用正方形、平行四边形及三角形中位线的有关性质.【即学即练】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,F是AC的中点,E是PC上的点,且EF⊥BC,求证:PA∥EF.【证明】在三棱锥P-ABC中,因为PA⊥底面ABC,所以AB⊥PA,因为∠BAC=90°,所以AB⊥AC,所以AB⊥平面APC.因为EF⊂平面PAC,所以AB⊥EF,因为EF⊥BC,BC∩AB=B,所以EF⊥底面ABC,所以PA∥EF.【补偿训练】一条长度为10cm的线段与平面α相交,其两端点到平面的距离分别是2cm,3cm,求这条线段与平面α所成的角.【解析】如图,AB是一条与平面α相交的线段,过点A作AC⊥α,垂足为C;过点B作BD⊥α,垂足为D,则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面α交于CD,且CD与AB相交于点O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,可得∠AOC=∠BOD=30°.即线段AB与平面α所成的角为30°.类型二空间中的距离(直观想象、数学运算)【典例2】如图,已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,求直线BD到平面GEF的距离.【解析】如图,连接AC,分别交EF和BD于H,O,连接GH.因为四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,H为AO的中点.因为BD∥EF,BD⊄平面GFE,所以BD∥平面GFE.所以点O与平面GEF的距离就是直线BD到平面GEF的距离,作OK⊥GH于点K.因为BD⊥AC,所以EF⊥AC.因为GC⊥平面ABCD,所以GC⊥EF.因为GC∩AC=C,所以EF⊥平面GCH.因为OK⊂平面GCH,所以EF⊥OK.因为OK⊥GH,GH∩EF=H,所以OK⊥平面GEF,即OK的长就是点O到平面GEF的距离.因为正方形ABCD的边长为4,CG=2,所以AC=42,HO=2,HC=32.在Rt△HCG中,HG=HC2+在Rt△GCH中,OK=HO·GCHG故直线BD到平面GEF的距离为211【总结升华】1.求点面距的常用方法(1)构造法:根据定义构造垂直于平面的直线,确定垂足位置,将所求线段化归到三角形中求解;(2)等积变换法:将所求距离看作某个几何体(如棱锥)的高,利用体积相等建立方程求解.2.求线面距、面面距的关注点(1)方法:将线面距、面面距转化为点面距;(2)注意:线面、面面是平行关系.【即学即练】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则平面AB1D1到平面BC1D的距离为__________.

答案:6【解析】因为两平面平行,所以原问题等价于求解点C1到平面AB1D1的距离h,由等体积法可得VC1-即h·13×12×22×sin60°=13×12×2×2×2,解得h=63,即平面AB1D1到平面BC【补偿训练】如图,在四棱锥P-ABCD中,CD⊥平面PAD,AD=2PD=4,AB=6,PA=25,∠BAD=60°,点Q在棱AB上.(1)证明:PD⊥平面ABCD;(2)若三棱锥P-ADQ的体积为23,求点B到平面PDQ的距离.【解析】(1)因为AD=2PD=4,PA=25,所以PA2=PD2+AD2,即PD⊥AD,因为CD⊥平面PAD,所以CD⊥PD,且AD∩CD=D,所以PD⊥平面ABCD.(2)因为三棱锥P-ADQ的体积为23,所以13S△ADQ·PD=23所以S△ADQ=33.所以12AD·AQ·sin60°=33,所以AQ=3所以Q为AB中点,即点A到平面PDQ的距离等于点B到平面PDQ的距离.在△ADQ中,由余弦定理可得DQ=AD2+所以S△PDQ=12·PD·DQ=13由VP-ADQ=VA-PDQ⇒23=13×13×d所以d=639即点B到平面PDQ的距离为639类型三线面垂直的综合应用(逻辑推理)【典例3】如图所示,已知平面α∩平面β=EF,A为α,β外一点,AB⊥α于点B,AC⊥β于点C,CD⊥α于点D.求证:BD⊥EF.【证明】因为AB⊥α,CD⊥α,所以AB∥CD,所以A,B,C,D四点共面.因为AB⊥α,AC⊥β,α∩β=EF,所以AB⊥EF,AC⊥EF.又AB∩AC=A,所以EF⊥平面ABDC,因为BD⊂平面ABDC,所以EF⊥BD.【总结升华】线线、线面垂直问题的解题策略(1)证明线线垂直,一般通过证明一条直线垂直于经过另一条直线的平面,为此分析题设,观察图形找到是哪条直线垂直于经过哪条直线的平面;(2)证明直线和平面垂直,就是要证明这条直线垂直于平面内的两条相交直线,这一点在解题时一定要体现出来.【补偿训练】1.如图,PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,E,F分别为BC,CD上的点,且EF⊥AC.求证:CFDC=CE【证明】因为PA⊥平面ABD,PC⊥平面BCD,所以PA⊥BD,PC⊥BD,PC⊥EF.又PA∩PC=P,所以BD⊥平面PAC.又EF⊥AC,PC∩AC=C,所以EF⊥平面PAC,所以EF∥BD,所以CFDC=CE2.斜边为AB的直角三角形ABC,PA⊥平面ABC.AE⊥PB,AF⊥PC,E,F分别为垂足,如图.(1)求证:EF⊥PB;(2)若直线l⊥平面AEF,求证:PB∥l.【证明】(1)因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥BC.又因为△ABC为直角三角形,所以BC⊥AC,PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC.又因为AF⊂平面PAC,所以BC⊥AF.又AF⊥PC,且PC∩BC=C,所以AF⊥平面PBC.又PB⊂平面PBC,所以AF⊥BP.又AE⊥PB,且AE∩AF=A,所以PB⊥平面AEF.又EF⊂平面AEF,所以EF⊥PB.(2)由(1)知,PB⊥平面AEF,而l⊥平面AEF,所以PB∥l.8.6.3平面与平面垂直(1)【学习目标】1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角的平面角的大小.2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,学会用判定定理证明垂直关系.【素养达成】数学抽象、数学运算直观想象、逻辑推理一、二面角1.定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.2.图形:3.记作:二面角α-AB-β;二面角α-l-β;二面角P-AB-Q;二面角P-l-Q.4.二面角的平面角:(1)定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.(2)图形:(3)范围:0°≤∠AOB≤180°.【教材挖掘】(P155-156)二面角是一个角吗?其平面角是否只有一个?提示:不是,二面角是从一条直线出发的两个半平面构成的空间图形.其平面角有无数个.【版本交融】(苏教P191思考)二面角α-l-β的平面角的大小,与角的顶点O的位置有关吗?提示:无关.如图,根据等角定理可知,∠AOB=∠A'O'B',即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关,只与二面角的大小有关.二、平面与平面垂直1.定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.2.图示:3.判定定理:(1)定理:如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直;(2)符号:a⊂α,a⊥β⇒α⊥β.【教材挖掘】(P157)过一点有多少个平面与已知平面垂直?为什么?提示:过一点有无数个平面与已知平面垂直,虽然过一点有且只有一条直线和已知平面垂直,但是经过这条垂线的所有平面都和已知平面垂直.【版本交融】(苏教P195)为使门在打开的过程中门所在平面都与地面垂直,在安装门的时候,固定门一边的两个合页所在的直线与地面什么关系?为什么?提示:垂直.安装门的时候,只要固定门一边的两个合页所在的直线与地面垂直,即门所在平面经过地面的垂线,由面面垂直的判定定理可知,门所在的平面与地面垂直.教材深化证明或判断面面垂直的方法:1.利用面面垂直的定义.2.利用面面垂直的判定定理.3.利用判断面面垂直的结论(1)m∥n,m⊥α,n⊂β⇒α⊥β;(2)m⊥α,n⊥β,m⊥n⇒α⊥β;(3)α∥β,γ⊥α⇒γ⊥β.【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)顶点在棱上,两条边分别在两个半平面内的角就是二面角的平面角.(×)提示:二面角的平面角的两边与棱垂直.(2)长方体的侧面与底面是垂直的.(√)提示:由长方体的性质可知.(3)若一条直线垂直于一个平面,则经过这条直线的所有平面都与这个平面垂直.(√)提示:由面面垂直的判定定理可知.(4)若平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线,则α⊥β.(×)提示:平面α与平面β平行,垂直,相交但不垂直都有可能.类型一求二面角的大小(数学运算)【典例1】(1)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则二面角A-B1D1-B的余弦值为()A.63 B.73 C.64 【解析】选A.如图所示,连接AC交BD于点O,取B1D1的中点E,连接AE,OE,则AE⊥B1D1,OE⊥B1D1,所以∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角.又正方体的棱长为1,所以B1D1=B1A=AD1=2,所以AE=62.又OE=BB1所以cos∠AEO=OEAE=63,即二面角A-B1D1-B的余弦值为(2)(教材P158例8改编)如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角P-BC-A的大小为()A.60° B.30° C.45° D.15°【解析】选C.由条件得PA⊥BC,AC⊥BC,又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以PC⊥BC,所以∠PCA为二面角P-BC-A的平面角.在Rt△PAC中,由PA=AC得∠PCA=45°.【总结升华】关于二面角大小的求法(1)步骤:简称为“一作二证三求”.(2)方法:①定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.②垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.【即学即练】如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中:二面角D'-AB-D的大小为__________;二面角A'-AB-D的大小为__________.

答案:45°90°【解析】在正方体ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥平面ADD'A',所以AB⊥AD',AB⊥AD,因此∠D'AD为二面角D'-AB-D的平面角.在Rt△D'DA中,∠D'AD=45°,所以二面角D'-AB-D的大小为45°.因为AB⊥平面ADD'A',所以AB⊥AD,AB⊥AA',故∠A'AD为二面角A'-AB-D的平面角.又∠A'AD=90°,所以二面角A'-AB-D的大小为90°.【补偿训练】如图,已知D,E分别是正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1和BB1上的点,且A1D=2B1E=B1C1.设平面DEC1与平面A1B1C1相交于直线l,求二面角A1-l-D的大小.【解析】如图所示,延长DE交A1B1的延长线于点F,连接C1F,则F是平面DEC1与平面A1B1C1的公共点,C1F为这两个平面的交线l.因此,所求二面角A1-l-D即为二面角D-C1F-A1.因为A1D∥B1E,且A1D=2B1E,所以E,B1分别为DF,A1F的中点.因为A1B1=B1C1=B1F,所以FC1⊥A1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1,FC1⊂平面A1B1C1,所以CC1⊥FC1.又A1C1,CC1为平面AA1C1C内的两条相交直线,所以FC1⊥平面AA1C1C.因为DC1⊂平面AA1C1C,所以FC1⊥DC1.所以∠DC1A1是二面角D-C1F-A1的平面角.由A1D=B1C1知A1D=A1C1,则∠DC1A1=45°.故二面角A1-l-D的大小为45°.类型二平面与平面垂直的证明(逻辑推理)角度1定义法【典例2】如图所示,在四面体A-BCD中,BD=2a,AB=AD=CB=CD=AC=a.求证:平面ABD⊥平面BCD.【证明】因为AB=AD=CB=CD=a,所以△ABD与△BCD是等腰三角形.所以取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,BD⊥CE.所以∠AEC为二面角A-BD-C的平面角.在Rt△ABE中,AB=a,BE=12BD=22所以AE=AB2-同理CE=22在△AEC中,AE=CE=22a,AC=a所以AC2=AE2+CE2,所以AE⊥CE,即∠AEC=90°,即二面角A-BD-C的平面角为90°.所以平面ABD⊥平面BCD.【总结升华】定义法证明两个平面垂直的步骤(1)找出两个相交平面的平面角;(2)证明这个平面角是直角;(3)根据定义,这两个平面互相垂直.【即学即练】如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠ABC=45°,AB=AC,求证:平面PAB⊥平面PAC.【证明】因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC,所以∠BAC为二面角B-PA-C的平面角,因为∠ABC=45°,AB=AC,所以∠BAC=90°,即二面角B-PA-C的平面角为90°,所以平面PAB⊥平面PAC.角度2判定定理法【典例3】(教材P159T4改编)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,∠ACB=90°,AC=BC=12AA1,D是棱AA1的中点.证明:平面BDC1⊥平面【证明】由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又D